Deseja-se mostrar que, se o Método de Newton-Raphson converge, esta convergência se dá para a raiz (zero da função). lim
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- Regina Batista Weber
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1 Estud da Cnvergência d Métd de Newtn-Raphsn Deseja-se mstrar que, se Métd de Newtn-Raphsn cnverge, esta cnvergência se dá para a raiz (zer da unçã. Hipótese: A raiz α é única n interval [a,b]. Deine-se : α = lim Para mstrar que a cnvergência d métd se dá para zer da unçã, devese prvar que α = α. Raphsn. Parte-se da epressã que deine prcess iterativ d Métd de Newtn- Levand a epressã a limite: = ( ( lim = lim lim ( ( Substituind: α = α Slucinand a epressã acima: ( α ( α ( α = 0 Prtant α é raiz da unçã. Cm α é a única raiz n interval [a,b], tem-se que α = α. Cndições Suicientes para a cnvergência ( e ( nã nulas e preservam sinal n interval [a,b]. tal que ( ( > 0. As cndições suicientes para cnvergência pde-se dizer que nã sã as ideais para aplicações práticas, pis, se nã rem satiseitas, nada se pde dizer sbre a cnvergência d prcess. 7
2 Na prática, para se bter a cnvergência n Métd de Newtn-Raphsn, prcura-se sluções iniciais próima à raiz. Em situações de diícil cnvergência, para se ter uma sluçã inicial de melhr qualidade, pde-se rdar algumas iterações de utrs métds. Eempl Determine zer da unçã ( = ln + e, a partir de iterações d Métd de Newtn- Raphsn cm valr inicial =. ( = ln + e ( = + e,78 = = 0,69,7 (0,69 = 0,69 = 0,7 (0,69 (0,7 = 0,7 = 0,7 (0,7 Eempl Determine zer da unçã ( = 0, utilizand Métd de Newtn-Raphsn cm = e tlerância ( = ( = = =, =,8 =,55 =,095 =,895 =,857 0 ε = 0. ( 0 = =, ( (, 7,9 =, =,8 (,,7 (,8 0,6 =,8 =,55 (,8 0,5 (,55 9,7 =,55 =,095 (,55 65, (,095 7,685 =,095 =,895 (,095 5,780 (,895 =,895 (,895,000 6, =,857 (,857 0,08 =,857 =,856 (,857,65 8
3 Cass de Diícil Cnvergência para Métd de Newtn-Raphsn a Pnts de Inleã mais primidades da raiz, ( = ( Observe que este é um cas etrem n qual prcess entra em lp e nã chega à cnvergência. Em situações deste tip, dependend da cndiçã inicial, prcess passa a ser muit scilatóri, retardand a cnvergência. b Pnt de máim u mínim lcal, ( = 0. Observe a análise gráica através da unçã ( = + sin(. 6 (
4 Observe que para valr inicial dad prcess entru em lp e nã cnverge. Veja cm ica mudand valr inicial. 6 ( Observe que prcess diverge. Neste cas ( = 0 e na epressã de recrrência d Métd de Newtn-Raphsn aparecerá uma divisã pr zer, criand uma situaçã para verlw. Cmparaçã entre Métd de Iterações Lineares e Métd de Newtn-Raphsn Cnsidere a equaçã ( = 0. Para Métd de Iterações Lineares prcess iterativ é realizad através da deiniçã de uma unçã de iteraçã: = ϕ(. Para Métd de Newtn-Raphsn prcess iterativ se dá através da ( epressã: =. ( Tmand cm unçã de iteraçã linear: ( ϕ ( = ( 0
5 Pde-se interpretar que Métd de Newtn-Raphsn é um cas particular d Métd de Iterações Lineares. Deiniçã: Seja { } {,,... } Ordem de Cnvergência de Métds Iterativs =, uma sequência que cnverge para um númer α e seja e = err na iteraçã. Se eistir um númer p > 0 e uma cnstante c > 0, tal que: e lim = = c p e Entã p é chamad de rdem de cnvergência da sequência { } assintótica d err. Observações e c é a cnstante e - Se lim = = c, cm 0 c <, entã a cnvergência é pel mens linear. e e - Da epressã lim = = c, pde-se escrever que: p e Para { } p e c e para cnvergente, tem-se e 0 quand. Prtant, quant mair r valr de p, mais rápid será a reduçã d valr da epressã rápida será a cnvergência. e p c, quand e <, e mais Ordem de Cnvergência d Métd de Iteraçã Linear Seja { } uma sequência, btida através d Métd de Iterações Lineares. que cnverge para a raiz α e seja e err na iteraçã. Cnsidere as relações: = = ϕ( α = ϕ( α Subtraind as duas epressões, chega-se: = ϕ( ϕ( α A partir d terema d valr médi, tem-se: + α = ϕ( ϕ( α = ϕ ( c ( α cm c, Rearranjand a epressã, tem-se: = ϕ ( c α]
6 Levand a relaçã a limite: lim = limϕ ( c A partir da hipótese que prcess é cnvergente, tem-se que:. ϕ ( e ϕ ( sã cntínuas num interval [a,b].. ϕ ( M a, b].. [ a, b]. Cnsiderand as hipóteses de cnvergência: lim = limϕ ( c = ϕ ( lim c = ϕ ( α Prtant: e lim = ϕ ( α = c c < e Cncluind: Pela análise da epressã acima, Métd de Iterações Lineares pssui cnvergência linear e será mais rápid quant menr r ϕ ( α, pis para, tem-se que e ϕ ( α e. Ordem de Cnvergência d Métd de Newtn Raphsn Supnha que Métd de Newtn-Raphsn gere uma sequência { } que cnverge para a raiz α. Tma-se a epressã geral d métd: ( = ( ( Subtraind α da epressã (: ( = ( ( Cm: e = ( e = Substituind as equações ( na equaçã (, tem-se: ( e = e ( (
7 0 Desenvlvend ( em Série de Taylr, n pnt =, chega-se: ( c ( = ( + ( ( + ( para c, ] (5 Para = α, send α raiz: ( c = ( α = ( ( ( + ( para c, α] (6 Dividind a epressã (6 pr (, chega-se a: ( ( c = ( + ( (7 ( ( Substituind a epressã ( e ( na epressã (7, tem-se: ( c ( ( e ( e e + = = (8 ( ( Rearranjand a epressã (8, tem-se: e ( c = (9 e ( Levand a epressã (9 a limite para, chega-se: e ( c + lim = lim (0 e ( Cnsiderand que a primeira derivada e a segunda derivada da unçã ( sã cntínuas, pde-se levar s limites para s arguments das unções: e (lim c lim = = ( e ( α + (lim ( α Cnsiderand para a cnvergência que ( α e ( α sejam dierentes de zer: e ( α lim = = C, C 0 ( e ( α Analisand a epressã (, pde-se cncluir que Métd de Newtn- Raphsn tem cnvergência quadrática.
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