ESCOLA SECUNDÁRIA DR. JOSÉ AFONSO

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA DR. JOSÉ AFONSO Matemática A 10ºD 21/01/2011 Ficha detrabalh Nº8 Generalidades sbre Funções 1. Intrduçã a cnceit de funçã Um aviã descla d aerprt das Lajes, na ilha Terceira, ns Açres, em direcçã a aerprt da Prtela em Lisba. Quand chega a Lisba é brigad a dar algumas vltas sbre aerprt antes de ter autrizaçã para aterrar. O gráfic seguinte dá-ns a altitude d aviã, em quilómetrs, em funçã d temp, em hras, desde que deslca até que aterra na Prtela Quant temp aviã demru a atingir a altitude máxima? 1.2. Qual a altitude máxima atingida pel aviã? 1.3. Após 2,5 hras de viagem a que altura estava aviã? 1.4. A viagem demru quantas hras? Se aviã desclu das Lajes às 15 hras, a que hras aterru? 1.5. Quant temp esteve aviã em espera antes de aterrar? 1.6. Três aluns apresentaram uma pssível representaçã gráfica da distância que aviã percrreu desdeque desclu até que aterru. Só uma pde representar a viagem descrita. Qual e prquê? 1

2 2. Nçã de funçã Funçã é uma crrespndência entre dis cnjunts A e B, em que td element x (bject) d cnjunt A (cnjunt de partida) crrespnde cm um e um só element y (imagem) d cnjunt B (cnjunt de chegada). Simblicamente, A cnjunt ds bjects chamams Dmíni da funçã e representams pr D. A cnjunt das imagens chamams Cntradmíni da funçã e representams pr D. Ex1: Quais ds seguintes gráfics sã representações de funções? Ex2: Ex3: Ex4: D g D f D g D' g... D' f g 1 g 2... g Zers de uma funçã. Sinal de uma funçã. f f f... 0 D' g g 1... g 0... g... 1 Zer de uma funçã é td bject que tem imagem nula. Ou seja, a é um zer de uma funçã se e só se f(a)=0. Ex5: 2

3 D D' Quadr de sinal: g g Os Zers da funçã sã: f ( x) 0, para f ( x) 0, para 4. Mntnia de uma funçã Diz-se que uma funçã f é crescente num interval d dmíni se, para tds s númers reais a e b deste interval, sempre que se tem a b tem fa f b se. Diz-se que uma funçã f é decrescente num interval d dmíni se, para tds s númers reais a e b deste interval, sempre que se tem a b tem fa f b se. Uma funçã f é cnstante num interval d dmíni se nesse interval tds s bjects tiverem a mesma imagem. Extrems absluts: f a é máxim abslut de f se, para td x D, f f x a diz-se um maximizante da funçã. a. f b é miním abslut de f se, para td x D, f f x b diz-se um minimizante da funçã. Extrems relativs: b. f a é máxim relativ de f se existir um interval abert da funçã a que pertence a), tal que para td x, f f x a diz-se um maximizante da funçã. (interval d dmíni a. 3

4 f b é miním abslut de f se existir um interval abert da funçã a que pertence a), tal que para td x, f f x b diz-se um minimizante da funçã. (interval d dmíni b. Ex6: Na figura está representada uma funçã f Indica dmíni e cntradmíni de f Indica s extrems da funçã (máxims e mínims absluts e relativs) Indica um interval nde f seja negativa e crescente Faz quadr de variaçã da funçã. 5. Funçã par e funçã ímpar Uma funçã diz-se par se, para td seu gráfic fr simétric em relaçã a eix ds yy]. x D, f x f x. [Na prática, uma funçã é par se Uma funçã diz-se ímpar se, para td x D, f - x f x. [Na prática, uma funçã é ímpar se seu gráfic fr simétric em relaçã a eix ds yy]. Ex7: 4

5 Exempl7: Cnsidera a funçã g representada graficamente n referencial abaix. Determina cnjunt sluçã de cada uma das cndições seguintes: 7.1. g x g x g x g x g x g x 2 6. Mntnia e extrems de uma funçã. Quadr de variaçã. Diz-se que uma funçã f é estritamente crescente num interval I d dmíni se, para tds s númers reais a e b deste interval I, sempre que se tem a b tem f a f b Nta: f diz-se crescente em sentid lat se, a bi, a b f a f b,. se. Diz-se que uma funçã f é estritamente decrescente num interval I d dmíni se, para tds s númers reais a e b deste interval I, sempre que se tem a b tem f a f b Nta: f diz-se decrescente em sentid lat se, a bi, a b f a f b,. se. Uma funçã f é cnstante num interval I d dmíni se, nesse interval, tds s bjects tiverem a mesma imagem. Nta: Uma funçã diz-se mnótna se é crescente u decrescente em td seu dmíni. Exempl8: Estuda a mntnia da funçã abaix representada e indica s seus intervals de mntnia. D f D' f f é estritamente crescente em f é estritamente decrescente em 5

6 Extrems absluts: f a é máxim abslut de f se, para td x D, f f x a diz-se um maximizante da funçã. a. f b é mínim abslut de f se, para td x D, f f x b diz-se um minimizante da funçã. b. Nta: O máxim (mínim) abslut de uma funçã, cas exista, é mair (menr) valr d seu cntradmíni. Extrems relativs: f a é máxim relativ de f se existir um interval abert da funçã centrad em a), tal que para td x, f f x a diz-se um maximizante da funçã. (interval d dmíni a. f b é miním abslut de f se existir um interval abert da funçã centrad em a), tal que para td x, f f x b diz-se um minimizante da funçã. (interval d dmíni b. Exempl9: Estud da mntnia e ds extrems relativs e absluts de uma funçã através d Quadr de Variaçã. - f é estritamente crescente em - f é estritamente decrescente em - Extrems absluts (máxim e mínim): - Extrems relativs (máxims e mínims): 6

7 Exempl10: Estud da mntnia e ds extrems relativs e absluts de uma funçã através d Quadr de Variaçã. - f é estritamente crescente em - f é estritamente decrescente em - Extrems absluts (máxim e mínim): - Extrems relativs (máxims e mínims): 7. Cntinuidade de uma funçã Uma funçã diz-se cntínua se nã tiver pnts de descntinuidade [u seja, se fr pssível, em td seu dmíni, percrrer gráfic da funçã cm um lápis sem levantar]. Exempl11: Quais das funções seguintes sã cntínuas? 8. Injectividade Uma funçã diz-se injectiva se para quaisquer bjects diferentes crrespnderem imagens diferentes. Simblicamente, a, bdf, se a b entã f a f b Nta1: Se existirem dis bjects diferentes cm a mesma imagem a funçã é nã injectiva. Pr exempl, uma funçã cnstante [u que tenha um interval em seja cnstante] é sempre nã injectiva prque há uma infinidade de bjects cm a mesma imagem. 7

8 Nta2: Graficamente, uma funçã é injectiva se a se traçar qualquer recta hrizntal esta intersectar gráfic da funçã apenas num pnt. Nta3: Uma funçã diz-se sbrejectiva se cntradmíni cincidir cm cnjunt de chegada. 9. Paridade: funçã par e funçã ímpar. Simetrias n gráfic Uma funçã diz-se par se, para td x D, f x f x. [Graficamente, uma funçã é par se seu gráfic fr simétric em relaçã a eix ds yy]. Uma funçã diz-se ímpar se, para td x D, f - x f x. [Graficamente, uma funçã é ímpar se seu gráfic fr simétric em relaçã à rigem]. Nta: Uma funçã pde nã ser par nem ímpar. 10. Limites n infinit e limites infinits Examinand a representaçã gráfica de uma funçã pdems cncluir cm se cmprta uma funçã para valres muit grandes x, para valres muit pequens x u para valres próxims de um qualquer bject x pr exempl, x 0 u x 0. x x x 0 y 0 u lim f x x y u xlim lim f x 0 y u f x x 0 y u f x lim x0 x0 8