Caderno 1 : Domínios de Definição, Limites e Continuidade

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1 Institut Superir de Ciências d Trabalh e Empresa Curs: Gestã e GEI, An Cadeira: Optimizaçã Cadern : Dmínis de Definiçã, Limites e Cntinuidade (Tópics de teria e eercícis) Elabrad pr: Diana Aldea Mendes Departament de Métds Quantitativs Fevereir de 2009

2 Capítul Nções Tplógicas e Dmínis de Definiçã de Funções. Tópics de Teria Definiçã : Seja (R n,d) um espaç métric cm a distância d entre dis pnts = (,..., n ) R n e =(,..., n ) R n definida pr: q d (, ) = ( ) ( n n ) 2. Seja a =(a,...,a n ) R n e ε>0. A bla aberta de centr a eraiε designa-se pr B (a, ) u B (a) eédefinida pel seguinte cnjunt de pnts B (a, ε) ={ R n : d (, a) <ε}. R B(a,ε) R B(a,ε) 0 a A a-ε A a+ε R a 2 0 ah a ε R a a 3 0 ε a h a 2 R R Bla aberta em R Bla aberta em R 2 Bla aberta em R 3 Definiçã 2: Seja (R n,d) um espaç métric cm a distância d, A R n e a = (a,...,a n ) R n. Têm-se entã que:

3 2CAPÍTULO. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES a éumpnt interir de A se eiste pel mens uma bla aberta de centr a erai ε cntida em A, isté ε>0 tal que B (a, ) A a éumpnt eterir de A se eiste pel mens uma bla aberta de centr a erai ε cntida em R n \A (u seja: eiste pel mens uma bla aberta de centr a erai ε que nã cntém pnts pertencentes a A), ist é ε>0 tal que B (a, ) R n \A u seja B (a, ) A = a éumpnt frnteir de A se em qualquer bla aberta de centr a eraiε eiste pel mens um pnt de A eeistepelmensumpntder n \A, isté ε>0 : B (a, ) A 6= e B (a, ) R n \A 6= a éumpnt de acumulaçã de A se em qualquer bla aberta de centr a eraiε eistem infinits elements de A, ist é ε>0 : B (a, ) Aé umcnjuntinfinit a éumpnt islad se nã é um pnt de acumulaçã. eterir h frnteir h interir eterir h A h h frnteir = 2 islad h 0 2 pr: Definiçã 3: Seja (R n,d) um espaç métric cm a distância d e A R n. Designa-se Interir de A (IntA) cnjuntdspntsinteriresdea

4 .. TÓPICOS DE TEORIA 3 Eterir de A (EtA) cnjunt ds pnts eterires de A Frnteira de A (FrntA) cnjunt ds pnts frnteirs de A Fech u aderência de A (FechA u Ā) à uniã d interir de A cm a frnteira de A, isté FechA = IntA FrntA Derivad de A (A 0 ) cnjunt ds pnts de acumulaçã de A. OcnjuntA R n diz-se abert se IntA = A ediz-sefechad se FechA = A. Definiçã 4: Sejam A e B dis cnjunts quaisquer. Se para cada A se faz crrespnder um e só um = f () B entã tem-se uma funçã f de A em B (f : A B). f : R n R diz-se funçã real de n variáveis reais.e representa-se pr uma epressã cm n variáveis f : R n R m diz-se funçã vectrial de n variáveis reais e representa-se pr um sistema de m funções cm n variáveis. Definiçã 5: Seja a funçã f : D f R n R m. OcnjuntD f édmíni u camp de eistência da funçã f e representa cnjunt ds tds s pnts de R n para s quais se pdem efectuar tdas as perações indicadas nas m epressões, ist é, crrespnde à intersecçã ds dmínis das m funções crdenadas f,...,f m..: D f = D f... D fm. Sejam F e G duas funções quaisquer. Para calcular s dmínis de definiçã tems que ter em cnsideraçã que F G = G 6= 0 n F = F 0 se n par lg F = F>0 F G = F>0 arcsin F u arccs F = F

5 4CAPÍTULO. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES.2 As equações e s gráfics de algumas curvas n plan real Recta b = m ( a) Eempl.2. : = - =- <- >- Circunferência de centr (a, b) erair : ( a) 2 +( b) 2 = r 2 Eempl.2.2 : = < = >

6 .2. AS EQUAÇÕES E OS GRÁFICOS DE ALGUMAS CURVAS NO PLANO REAL 5 Parábla: rientada na direcçã d ei ds : b = m ( a) 2 e rientada na direcçã d ei ds : r a = m ( b) 2 a = = b ± m Eempl.2.3 : = 2 = 2 > 2 < 2 Eempl.2.4 : = 2, u equivalente = ± > 2 = 2 < 2 Hipérble: rientada na direcçã d ei ds : ( a) 2 p 2 ( b)2 q 2 =

7 6CAPÍTULO. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES e rientada na direcçã d ei ds : ( b) 2 ( a)2 q 2 p 2 = Eempl.2.5 : Hipérble equilateral: = =/ </ >/.3 Eercícis Prpsts. Representa graficamente s cnjunts e indique interir, eterir, a frnteira, fech e derivad. Diga se sã aberts e (u) fechads: (a) A = (, ) R 2 : ª {(6, 7)} (b) B = (, ) R 2 : > ª (c) C = (, ) R 2 : >0 ª (, ) R 2 : 2 4 <0 ª (d) D = (, ) R 2 : 2 + ª {( 2, )} 2. Determine e represente graficamente dmíni de definiçã D de cada uma das seguintes funções f : D R 2 R: (a) f (, ) = p 2 2 (b) f (, ) =lg( + )

8 .3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7 (c) f (, ) =lg( + ), cm, 0 (d) f (, ) = lg (4 ) 4 3 (e) f (, ) = p q (f) f (, ) =+ ( ) 2 (g) f (, ) = 2 4+ p 4 2 (h) f (, ) = 2 + p 2 (i) f (, ) = (j) f (, ) = p (k) f (, ) = 2 2 q ( ) 3 (l) f (, ) =arcsin (m) f (, ) =lg 2 +cs() (n) f (, ) = µ + /2 2 () f (, ) = + (p) f (, ) = Determine dmíni de definiçã das seguintes funções: (a) f (, ) = lg ( + ), (, ) : + >0, (, ) : (b) f (, ) = 2 3 3, (, ) 6= (0, 0), (, ) =(0, 0)

9 8CAPÍTULO. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES lg (3 + ), (, ) :3 + >0 (c) f (, ) = +, (, ) :3 + 0 p + 2 (d) f (, ) = 3 2, (, ) : 6= 3 0, (, ) : =3 lg + 2, (, ) : 6= (e) f (, ) = 2, (, ) : = e +, (, ) 6= (0, 0) (f) f (, ) = 0, (, ) =(0, 0) (g) f (, ) = 2 sin cs (h) f (, ) = (i) f (, ) = (j) f (, ) = , (, ) : 6=, (, ) : = 2 2, (, ) : 6= ± 0, (, ) : = ± , (, ) 6= (0, 0) 0, (, ) =(0, 0) q 4. Seja a funçã f (, ) =lg( ) + 9 ( ) 2 2. (a) Determine seu dmíni de definiçã e represente- graficamente. (b) Indique, justificand, se D f é um cnjunt abert e/u fechad.

10 Capítul 2 Limites e Cntinuidade 2. Tópics de Teria Definiçã: Seja f : D f R 2 R uma funçã real de dmíni D f eseja(a, b) um pnt de acumulaçã de D f. Diz-se que l R élimite de f (, ) n pnt (a, b) eescreve-selim (,) (a,b) f (, ) =l se e só se " δ >0, ε>0: q ( a) 2 +( b) 2 <ε (, ) D f \{(a, b)} = f (, ) l <δ # Adefiniçã d limite traduz-se n essencial pr: a primidade de (, ) de (a, b) deve brigar à primidade de f (, ) de l. Gemetricamente: O dmíni D f é uma regiã d plan e um pnt (, ) pde aprimar-se d pnt (a, b) pr uma infinidade da caminhs pssíveis (rectas, paráblas, etc.), cm mstra a figura: b (, ) (, ) (, ) (, ) h (, ) (, ) a 9

11 0 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE Adefiniçã de limite de f (, ) em (a, b) briga a: para que eista lim (,) (a,b) f (, ) é necessári (mas nã é suficiente) que eistam e tenham mesm valr s limites a lng de tds s caminhs pssíveis (limites relativs).. iterads (u sucessivs) Limites relativs a). direcçã = recta 2. direccinais b). direcçã = parábla. Limites iterads: l =lim a (lim b f (, )) l 2 =lim b (lim a f (, )) 2. Limites direccinais (a) O caminh é uma recta nã vertical de declive m que passa pr pnt (a, b) e a equaçã da família de rectas é dada pr = b + m ( a), m R Nessecaslimiteacalcularé l r = lim f (, ) = lim f (, ) =limf (, b + m ( a)) (,) (a,b) (,) (a,b) a =b+m( a) (b) O caminh é uma parábla de ei vertical que passa pr pnt (a, b) ea equaçã da família de paráblas é dada pr = b + m ( a) 2, m R Nessecaslimiteacalcularé l p = lim (,) (a,b) f (, ) = lim (,) (a,b) =b+m( a) 2 f (, ) =lim f ³, 2 b + m ( a) a Algumas desigualdades a utilizar em prblemas cm a definiçã de limite de funções de duas variáveis sã:

12 2.. TÓPICOS DE TEORIA p p = ± + 2 p /2 Definiçã: Seja f : D f R n R m uma funçã definida pelas m funções crdenadas = f (,..., n ),..., m = f m (,..., n ), esejaa =(a,...,a n ) um pnt de acumulaçã de D f. Diz-se que limite de f n pnt A é pnt B =(b,...,b m ) R m eescreve-se lim A f () =B, se cada uma das funções crdenadas f i tem limite n pnt A e esse limite é b i,isté, lim A f i () =b i. Definiçã (Cntinuidade): Seja f : D f R 2 R uma funçã real de duas variáveis reais de dmíni D f. A funçã f diz-se cntínua num pnt (a, b) (que seja pnt de acumulaçã d D f ) se as seguintes três cndições sã verificadas Eiste f (a, b) u seja (a, b) D f Eiste lim (,) (a,b) f (, ) lim (,) (a,b) f (, ) =f (a, b) Definiçã: Diz-se que uma funçã f : D f R 2 R é prlngável pr cntinuidade a pnt (a, b) (u que f tem em (a, b) uma descntinuidade remvível) se (a, b) / D f Eiste lim (,) (a,b) f (, ) Send f prlngável pr cntinuidade a pnt (a, b), a funçã f, prlngament de f pr cntinuidade a pnt (a, b), édefinida cm segue: f (, ), se (, ) D f f (, ) = lim (,) (a,b) f (, ), se (, ) =(a, b)

13 2 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE Definiçã: Uma funçã f : D f R 2 R é descntínua n pnt (a, b) (pnt de acumulaçã de D f )sef nã é cntínua em (a, b), nem prlngável pr cntinuidade a pnt (a, b). Definiçã: Uma funçã f : D f R 2 R diz-se cntínua n seu dmíni D f R 2, se fôr cntínua em tds s pnts desse dmíni. 2.2 Eercícis Prpsts. Seja a funçã Calcule, se eistirem: f () = +, 0 e, > 0 (a) lim f ();lim f (); lim 0 f (); lim + f (); lim f () 2. Seja a funçã: f (, ) = +. Calcule seu limite n pnt (, 2) Cnsidere a seguinte funçã f (, ) = 2 + sin Calcule seu limite na rigem ds eis., (, ) : 6= sin, (, ) : = sin 4. Seja a funçã f (, ) = p 2 + 2, (, ) 6= (0, 0), (, ) =(0, 0) Estude seu limite na rigem ds eis. 5. Prvar pela definiçã que lim (,) (0,0) f (, ) 6= 0, para a funçã f (, ) = q ( ) 3

14 2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3 6. Dada a funçã f (, ) = 2 2, (, ) : 6= ±, (, ) : = ± Verifique se a funçã tem limite em (0, 0). 7. Calcule α R\{0}, β de md que a funçã sin (α), < 0 f () = α + β, =0 e α cs β +sin, > 0 seja cntínua em =0. 8. Verifiqueseafunçã ( + sin ) 2, 6= 0 f () =, =0 écntínuaemr. 9. Dada a funçã f (, ) = , (, ) 6= (0, 0) 0, (, ) =(0, 0) Verifique se a funçã é cntínua na rigem ds eis. 0. Faça estud da cntinuidade da funçã 2, (, ) 6= (0, 0) +3 f (, ) = 0, (, ) =(0, 0)

15 4 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE. Dada a funçã f : R 2 R 2 f : Z = Z 2 = Estude-a quant à cntinuidade n pnt (0, 0). 2. Cnsidere a funçã f (, ) = p Diga, justificand, se é prlngável, pr cntinuidade, n pnt (0, 0). 3. Seja a funçã f (, ) = 4 + 4, se =0 0, se =0 Estude a cntinuidade da funçã. 4. Dada a funçã sin + sin, (, ) 6= (0, 0) 2( + ) f (, ) =, (, ) =(0, 0) Estude-a quant à cntinuidade na rigem ds eis. 5. Seja a funçã f (, ) = , (, ) : 6=, (, ) : = Que pde cncluir quant à cntinuidade da funçã? Justifique.

16 2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 5 6. Seja a funçã f (, ) = 2 + 2, (, ) 6= (0, 0) 0, (, ) =(0, 0) Estude-a quant à cntinuidade. 7. Estude a cntinuidade das seguintes funções: (a) f (, ) = (b) f (, ) = , (, ) 6= (0, 0) 0, (, ) =(0, 0) p 2 + 2, (, ) 6= (0, 0), (, ) =(0, 0) 2, (, ) 6= (0, 0) +4 (c) f (, ) = 2, (, ) =(0, 0) 8. Dada a funçã f : R 2 R 2 f : Z = Z 2 = Estude-a quant à cntinuidade na rigem. 9. Cnsidere a funçã f (, ) = 2 + sin, (, ) : 6= sin, (, ) : = sin Prve que a funçã nã é cntínua em (0, 0). Justifique.

17 6 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE 2.3 Eercícis de Revisã. Cnsidere a funçã f : R 2 R 2 f : Z = Z 2 = sin (a) Estude-a quant a limite na rigem ds eis. (b) Estude-a quant à cntinuidade na rigem. 2. Cnsidere a funçã p , (, ) : 6= 3 f (, ) = 3, (, ) : =3 (a) Determine seu dmíni. (b) Calcule limite da funçã n pnt (3, ). (c) Estude a cntinuidade da funçã nesse pnt. 3. Cnsidere a funçã lg 2 + 2, (, ) : 6= f (, ) = 2, (, ) : = (a) Calcule limite da funçã n pnt (0, ). (b) Verifique se eiste uma descntinuidade remvível n pnt (0, ). (c) Estude a funçã quant à cntinuidade n seu dmíni de definiçã. Justifique. 4. Para a funçã 2 2 f (, ) = 2 2 +( ) 2, (, ) 6= (0, 0) 0, (, ) =(0, 0)

18 2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 7 (a) Determine seu dmíni. (b) Verifique se a funçã tem limite na rigem ds eis. (c) Estude a cntinuidade da funçã. Justifique. 5. Seja a seguinte funçã f (, ) = 5 q 3 ( ) 3 (a) Determine seu dmíni. (b) Calcule limite da funçã n pnt (0, 0). (c) Estude a cntinuidade da funçã. (d) Diga se a funçã é prlngável, pr cntinuidade, a pnt (0, 0). Justifique. 6. Cnsidere a funçã f (, ) = 2 sin sin (a) Determine seu dmíni. Justifique. (b) Estude a tplgia d dmíni da funçã. (c) Calcule limite da funçã na rigem ds eis. (d) Estude a funçã quant à cntinuidade. Justifique. (e) Diga se a funçã é prlngável, pr cntinuidade. Justifique. (f) Cnsidere a nva funçã f (, ), (, ) 6= (0, 0) g (, ) = 0, (, ) =(0, 0) Verifique se a funçã g (, ) é cntínua na rigem ds eis. Justifique. 7. Reslva eercíci anterir para a seguinte funçã f (, ) = 2 cs sin

19 8 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE 8. (Eame 2 a Épca - /09/96) Cnsidere a funçã f : R 2 R, cmn natural e p real, definida pr n + p f (, ) = 2 + 2, (, ) 6= (0, 0) 0, (, ) =(0, 0) (a) Indique dmíni da funçã, referind se é um cnjunt abert e/u fechad. Justifique. (b) Mstre que f (, ) écntínuaem(0, 0) se e só se n 2 e p =0. 9. (Frequência - /06/97) Cnsidere a funçã definida pr: f (, ) = 2 + 2, (, ) 6= (0, 0) β, (, ) =(0, 0) (a) Calcule dmíni da funçã e verifique se é um cnjunt abert e/u fechad. (b) Eiste algum valr de β para qual a funçã f écntínuaemtdseu dmíni? Justifique. 0. (Eame a Épca - 09/07/97) Cnsidere a funçã f : R 2 R definida pr f (, ) = lg ( ), (, ) 6= (0, 0) e < 0, (, ) =(0, 0) (a) Calcule dmíni da funçã e represente- graficamente. Verifiquesedmíni é um cnjunt abert e/u fechad. (b) Estude a cntinuidade da funçã na rigem.. (Frequência - 5/06/98) Seja a funçã lg 2, se k(, )k 2 f (, ) = p 2 2, se k(, )k < 2

20 2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 9 em que k(, )k = p Represente graficamente dmíni da funçã e verifique se cnjunt é abert e/u fechad. 2. (Frequência - 5/06/98) Cnsidere a funçã f (, ) = 2 + (a) Mstre que f é cntínua n seu dmíni. Justifique. (b) Verifique que a funçã tem limite na rigem ds eis.

21 20 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE

22 Capítul 3 Sluções ds Eercícis Prpsts 3. Nções Tplógicas e Dmínis de Funções. Tem-se (a) IntA = (, ) R 2 : < 4 ª,FrntA= (, ) R 2 : =4 ª {(6, 7)} A 0 = (, ) R 2 : ª,FechA= (, ) R 2 : ª {(6, 7)} EtA = R 2 \FechA e {(6, 7)} é um pnt islad em A. A éumcnjunt fechad prque A = FechA. 7 h (6,7) A h = 4 (b) IntB = (, ) R 2 : > <+ > 2ª 2

23 22 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS FrntB = (, ) R 2 : = + 2ª (, ) R 2 : = + 2ª (, ) R 2 : = 2ª FechB = B 0 = (, ) : ª EtB = R 2 \ FechB,IntB 6= B = B nã é abert e FechB 6= B = B nã é fechad. (c) IntC = (, ) R 2 : < 4 >0 ª (, ) R 2 : > 2 4 <0 ª FrntC = (, ) : =4 0 ª (, ) : = ª {(, ) : =0 2 2} FechC = C 0 = (, ) : ª (, ) : ª EtC = R 2 \ FechC,IntC 6= C = C nã é abert. FechC 6= C = C nã é fechad =4-2 2 = (d) IntD = (, ) R 2 : > 2 <+ ª,EtD = R 2 \ FechD, FrntD = (, ) : = 2 + ª (, ) : 2 = + ª {( 2, )} FechD = (, ) : 2 + ª {( 2, )},D 0 = (, ) : 2 + ª IntD 6= D = D nã é abert. FechD = D = D é fechad

24 3.. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES Tems s seguintes dmínis de definiçã (a) D f = (, ) R 2 : ª = (b) D f = (, ) R 2 : > ª = - 0 (c) D f = (, ) R 2 : > 0 0 ª = - 0

25 24 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (d) D f = ½(, ) R 2 : < +4 > 3 ¾,6= 0 = 3 / (3,) 0 = 4 - (e) D f = (, ) R 2 : < 4 ª = (f) D f = (, ) R 2 : = ª (g) D f = {(, ) :( 2 2 2)} {(, ) :( 2 2 2)}

26 3.. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES 25 (h) D f = (, ) R 2 :( ) ( ) ª (i) D f = R 2 \{(0, 0)} (j) D f = (, ) R 2 : > 0 ª = 0 (k) D f = R 2 \{(0, 0)} (l) D f = (, ) R 2 : ª \{(0, 0)} = 0 n = -

27 26 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (m) D f = (, ) R 2 : << ª - 0 (n) D f = (, ) R 2 : < 2 > 2 ª, dmíniestá representad pela regiã d plan nã trasejada = 2 0 = - () D f = R 2 \{(0, 0)} (p) D f = (, ) R 2 : < 4 ª =

28 3.. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES Tems s seguintes dmínis de definiçã (a) D f = (, ) R 2 : 6= ª (b) D f = (, ) R 2 : 6= 3 2 ª {(0, 0)} (c) D f = R 2 \{(, ) : = 0} u D f = (, ) R 2 : 6= ª (d) D f = (, ) R 2 : 6= 3 2ª {(0, 0), (3, )} µ½ (e) D f = R 2 \ (, ) : = ¾ ½ {(0, 0)} u D f = (, ) : 6= ¾ \{(0, 0)} 2 2 (f) D f = R 2 \{(, ) : = } {(0, 0)} u D f = {(, ) : 6= } {(0, 0)} (g) D f = R 2 \{(0, 0)},IntD f = R 2 \{(0, 0)},FrntD f = {(0, 0)},FechD f = D 0 f = R2.D f éumcnjuntabertprqued f = IntD f = R 2 \{(0, 0)}. (h) D f = (, ) R 2 : 6= 3 ª {(0, 0)},IntD f = (, ) R 2 : 6= 3 ª, FrntD f = (, ) R 2 : = 3 ª,D 0 f = FechD f = R 2,D f nã é um cnjuntabertprqued f 6= IntD f, nã é fechad prque FechD f 6= D f. (i) D f = R 2,IntD f = R 2,FrntD f =,EtD f = e FechD f = D 0 f = R2,D f éumcnjuntabertprqueintd f = D f = R 2.D f é um cnjunt fechad prque FechD f = D f = R 2. ( ) ( ) 5 5 (j) D f = (, ) : 6= ± 5 {(0, 0)},IntD f = (, ) : 6= ± 5,FrntD f = ( ) 5 (, ) : = ± 5,EtD f = e FechD f = Df 0 = R2. 4. Tem-se

29 28 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (a) D f = ½ (, ) R 2 : > ¾ ( ) ,6= 0 = / ( - ) = 9-3 h Limites e Cntinuidade. (a) l =/e; Nã eiste limite; l =; l =0; l =0 2. l =3/2 3. Nã eiste limite 4. l =0 5. p limite. <δ,lg a definiçã d limite nã é verificada, prtant nã eiste 6. Nã eiste limite em (0, 0) 7. A funçã é cntínua se β =0e α R\{0}. 8. A funçã é descntínua em =0 9. É descntínua em (0, 0), nã eiste limite 0. A funçã é cntínua em (, ) R 2 : 6= 3 ª \{(0, 0)}. É cntínua em (0, 0)

30 3.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO É prlngável pr cntinuidade em pnt (0, 0), bastaria, para ser cntínua, que f (0, 0) = É cntínua em R 2 \{(0, 0)} 4. A funçã é descntínua na rigem 5. A funçã é cntínua para (, ) R 2 : 6= 3 6= ª {(2, 2)} 6. É cntínua em R 2 7. Tem-se (a) A funçã é cntínua em R 2 \{(0, 0)} (b) A funçã é cntínua em R 2 \{(0, 0)} (c) A funçã é cntínua em (, ) R 2 : 6= 4 ª \{(0, 0)} 8. A funçã é descntínua na rigem 9. Nã eiste limite ( + sin + sin + ). 3.3 Eercícis de Revisã. (a) Nã eiste limite em (0, 0). (b) A funçã nã é cntínua na rigem. 2. Tem-se (a) D f = (, ) R 2 : 6= 3 2ª {(0, 0), (3, )} (b) l = (c) A funçã é descntínua em (3, ) 3. Tem-se

31 30 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (a) l =0. (b) Eiste uma descntínuidade remvível. (c) A funçã é cntínua em {(, ) : 6= /2 6= } ± e, ª \{(0, 0)}. 4. Tem-se (a) D f = R 2 (b) Nã eiste limite na rigem. (c) A funçã é cntínua em R 2 \{(0, 0)}. 5. Tem-se (a) D f = R 2 \{(0, 0)} (b) l =0. (c) A funçã é cntínua n seu dmíni. (d) A funçã é prlngável pr cntinuidade a (0, 0), bastaria, para ser cntínua, que f (0, 0) = (0, 0). 6. Tem-se (a) D f = R 2 \{(0, 0)} (b) IntD f = R 2 \{(0, 0)},FrntD f = {(0, 0)},EtD f =, Df 0 = FechD f = R 2, nã eistem pnts islads. D f é um cnjunt abert, mas nã é fechad. (c) l =0 (d) A funçã é cntínua n seu dmíni, u seja R 2 \{(0, 0)} (e) É prlngável pr cntinuidade em (0, 0). (f) A funçã g écntínuaem(0, 0), prqueeistelimiteem(0, 0) 7. Tem-se

32 3.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 3 (a) D f = R 2 \{(0, 0)} (b) IntD f = R 2 \{(0, 0)},FrntD f = {(0, 0)},EtD f =, Df 0 = FechD f = R 2, nã eistem pnts islads. D f é um cnjunt abert, mas nã é fechad. (c) Nã eiste limite em (0, 0). (d) A funçã é cntínua n seu dmíni, u seja R 2 \{(0, 0)}. (e) Nã é prlngável, prque nã eiste limite em (0, 0). (f) A funçã g é descntínua em (0, 0), prque nã eiste limite em (0, 0). 8. D f = R 2, dmíni é um cnjunt abert e fechad. 9. Tem-se (a) D f = R 2, dmíni é um cnjunt abert e fechad. (b) Para β =0a funçã é cntínua em (0, 0), lgécntínuaemtdseudmíni (R 2 ). 0. Tem-se (a) D f = (, ) R 2 : < ª,IntD f = (, ) R 2 : < ª,FrntD f = (, ) R 2 : = ª,IntD f = D f = D f é um cnjunt abert. D f nã é fecahd = (b) A funçã é cntínua na rigem.

33 32 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS. D f = (, ) R 2 : > ª (, ) R 2 : ª. Ocnjunt D f nã é abert e nã é fechad = = = 2. Tem-se (a) D f = R 2 \{(0, 0)}. A funçã é cntínua em R 2 \{(0, 0)} e é prlngável pr cntinuidade a (0, 0). (b) l =0.