Caderno 1 : Domínios de Definição, Limites e Continuidade

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Caderno 1 : Domínios de Definição, Limites e Continuidade"

Transcrição

1 Institut Superir de Ciências d Trabalh e Empresa Curs: Gestã e GEI, An Cadeira: Optimizaçã Cadern : Dmínis de Definiçã, Limites e Cntinuidade (Tópics de teria e eercícis) Elabrad pr: Diana Aldea Mendes Departament de Métds Quantitativs Fevereir de 2009

2 Capítul Nções Tplógicas e Dmínis de Definiçã de Funções. Tópics de Teria Definiçã : Seja (R n,d) um espaç métric cm a distância d entre dis pnts = (,..., n ) R n e =(,..., n ) R n definida pr: q d (, ) = ( ) ( n n ) 2. Seja a =(a,...,a n ) R n e ε>0. A bla aberta de centr a eraiε designa-se pr B (a, ) u B (a) eédefinida pel seguinte cnjunt de pnts B (a, ε) ={ R n : d (, a) <ε}. R B(a,ε) R B(a,ε) 0 a A a-ε A a+ε R a 2 0 ah a ε R a a 3 0 ε a h a 2 R R Bla aberta em R Bla aberta em R 2 Bla aberta em R 3 Definiçã 2: Seja (R n,d) um espaç métric cm a distância d, A R n e a = (a,...,a n ) R n. Têm-se entã que:

3 2CAPÍTULO. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES a éumpnt interir de A se eiste pel mens uma bla aberta de centr a erai ε cntida em A, isté ε>0 tal que B (a, ) A a éumpnt eterir de A se eiste pel mens uma bla aberta de centr a erai ε cntida em R n \A (u seja: eiste pel mens uma bla aberta de centr a erai ε que nã cntém pnts pertencentes a A), ist é ε>0 tal que B (a, ) R n \A u seja B (a, ) A = a éumpnt frnteir de A se em qualquer bla aberta de centr a eraiε eiste pel mens um pnt de A eeistepelmensumpntder n \A, isté ε>0 : B (a, ) A 6= e B (a, ) R n \A 6= a éumpnt de acumulaçã de A se em qualquer bla aberta de centr a eraiε eistem infinits elements de A, ist é ε>0 : B (a, ) Aé umcnjuntinfinit a éumpnt islad se nã é um pnt de acumulaçã. eterir h frnteir h interir eterir h A h h frnteir = 2 islad h 0 2 pr: Definiçã 3: Seja (R n,d) um espaç métric cm a distância d e A R n. Designa-se Interir de A (IntA) cnjuntdspntsinteriresdea

4 .. TÓPICOS DE TEORIA 3 Eterir de A (EtA) cnjunt ds pnts eterires de A Frnteira de A (FrntA) cnjunt ds pnts frnteirs de A Fech u aderência de A (FechA u Ā) à uniã d interir de A cm a frnteira de A, isté FechA = IntA FrntA Derivad de A (A 0 ) cnjunt ds pnts de acumulaçã de A. OcnjuntA R n diz-se abert se IntA = A ediz-sefechad se FechA = A. Definiçã 4: Sejam A e B dis cnjunts quaisquer. Se para cada A se faz crrespnder um e só um = f () B entã tem-se uma funçã f de A em B (f : A B). f : R n R diz-se funçã real de n variáveis reais.e representa-se pr uma epressã cm n variáveis f : R n R m diz-se funçã vectrial de n variáveis reais e representa-se pr um sistema de m funções cm n variáveis. Definiçã 5: Seja a funçã f : D f R n R m. OcnjuntD f édmíni u camp de eistência da funçã f e representa cnjunt ds tds s pnts de R n para s quais se pdem efectuar tdas as perações indicadas nas m epressões, ist é, crrespnde à intersecçã ds dmínis das m funções crdenadas f,...,f m..: D f = D f... D fm. Sejam F e G duas funções quaisquer. Para calcular s dmínis de definiçã tems que ter em cnsideraçã que F G = G 6= 0 n F = F 0 se n par lg F = F>0 F G = F>0 arcsin F u arccs F = F

5 4CAPÍTULO. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES.2 As equações e s gráfics de algumas curvas n plan real Recta b = m ( a) Eempl.2. : = - =- <- >- Circunferência de centr (a, b) erair : ( a) 2 +( b) 2 = r 2 Eempl.2.2 : = < = >

6 .2. AS EQUAÇÕES E OS GRÁFICOS DE ALGUMAS CURVAS NO PLANO REAL 5 Parábla: rientada na direcçã d ei ds : b = m ( a) 2 e rientada na direcçã d ei ds : r a = m ( b) 2 a = = b ± m Eempl.2.3 : = 2 = 2 > 2 < 2 Eempl.2.4 : = 2, u equivalente = ± > 2 = 2 < 2 Hipérble: rientada na direcçã d ei ds : ( a) 2 p 2 ( b)2 q 2 =

7 6CAPÍTULO. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES e rientada na direcçã d ei ds : ( b) 2 ( a)2 q 2 p 2 = Eempl.2.5 : Hipérble equilateral: = =/ </ >/.3 Eercícis Prpsts. Representa graficamente s cnjunts e indique interir, eterir, a frnteira, fech e derivad. Diga se sã aberts e (u) fechads: (a) A = (, ) R 2 : ª {(6, 7)} (b) B = (, ) R 2 : > ª (c) C = (, ) R 2 : >0 ª (, ) R 2 : 2 4 <0 ª (d) D = (, ) R 2 : 2 + ª {( 2, )} 2. Determine e represente graficamente dmíni de definiçã D de cada uma das seguintes funções f : D R 2 R: (a) f (, ) = p 2 2 (b) f (, ) =lg( + )

8 .3. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7 (c) f (, ) =lg( + ), cm, 0 (d) f (, ) = lg (4 ) 4 3 (e) f (, ) = p q (f) f (, ) =+ ( ) 2 (g) f (, ) = 2 4+ p 4 2 (h) f (, ) = 2 + p 2 (i) f (, ) = (j) f (, ) = p (k) f (, ) = 2 2 q ( ) 3 (l) f (, ) =arcsin (m) f (, ) =lg 2 +cs() (n) f (, ) = µ + /2 2 () f (, ) = + (p) f (, ) = Determine dmíni de definiçã das seguintes funções: (a) f (, ) = lg ( + ), (, ) : + >0, (, ) : (b) f (, ) = 2 3 3, (, ) 6= (0, 0), (, ) =(0, 0)

9 8CAPÍTULO. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE DEFINIÇÃO DE FUNÇÕES lg (3 + ), (, ) :3 + >0 (c) f (, ) = +, (, ) :3 + 0 p + 2 (d) f (, ) = 3 2, (, ) : 6= 3 0, (, ) : =3 lg + 2, (, ) : 6= (e) f (, ) = 2, (, ) : = e +, (, ) 6= (0, 0) (f) f (, ) = 0, (, ) =(0, 0) (g) f (, ) = 2 sin cs (h) f (, ) = (i) f (, ) = (j) f (, ) = , (, ) : 6=, (, ) : = 2 2, (, ) : 6= ± 0, (, ) : = ± , (, ) 6= (0, 0) 0, (, ) =(0, 0) q 4. Seja a funçã f (, ) =lg( ) + 9 ( ) 2 2. (a) Determine seu dmíni de definiçã e represente- graficamente. (b) Indique, justificand, se D f é um cnjunt abert e/u fechad.

10 Capítul 2 Limites e Cntinuidade 2. Tópics de Teria Definiçã: Seja f : D f R 2 R uma funçã real de dmíni D f eseja(a, b) um pnt de acumulaçã de D f. Diz-se que l R élimite de f (, ) n pnt (a, b) eescreve-selim (,) (a,b) f (, ) =l se e só se " δ >0, ε>0: q ( a) 2 +( b) 2 <ε (, ) D f \{(a, b)} = f (, ) l <δ # Adefiniçã d limite traduz-se n essencial pr: a primidade de (, ) de (a, b) deve brigar à primidade de f (, ) de l. Gemetricamente: O dmíni D f é uma regiã d plan e um pnt (, ) pde aprimar-se d pnt (a, b) pr uma infinidade da caminhs pssíveis (rectas, paráblas, etc.), cm mstra a figura: b (, ) (, ) (, ) (, ) h (, ) (, ) a 9

11 0 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE Adefiniçã de limite de f (, ) em (a, b) briga a: para que eista lim (,) (a,b) f (, ) é necessári (mas nã é suficiente) que eistam e tenham mesm valr s limites a lng de tds s caminhs pssíveis (limites relativs).. iterads (u sucessivs) Limites relativs a). direcçã = recta 2. direccinais b). direcçã = parábla. Limites iterads: l =lim a (lim b f (, )) l 2 =lim b (lim a f (, )) 2. Limites direccinais (a) O caminh é uma recta nã vertical de declive m que passa pr pnt (a, b) e a equaçã da família de rectas é dada pr = b + m ( a), m R Nessecaslimiteacalcularé l r = lim f (, ) = lim f (, ) =limf (, b + m ( a)) (,) (a,b) (,) (a,b) a =b+m( a) (b) O caminh é uma parábla de ei vertical que passa pr pnt (a, b) ea equaçã da família de paráblas é dada pr = b + m ( a) 2, m R Nessecaslimiteacalcularé l p = lim (,) (a,b) f (, ) = lim (,) (a,b) =b+m( a) 2 f (, ) =lim f ³, 2 b + m ( a) a Algumas desigualdades a utilizar em prblemas cm a definiçã de limite de funções de duas variáveis sã:

12 2.. TÓPICOS DE TEORIA p p = ± + 2 p /2 Definiçã: Seja f : D f R n R m uma funçã definida pelas m funções crdenadas = f (,..., n ),..., m = f m (,..., n ), esejaa =(a,...,a n ) um pnt de acumulaçã de D f. Diz-se que limite de f n pnt A é pnt B =(b,...,b m ) R m eescreve-se lim A f () =B, se cada uma das funções crdenadas f i tem limite n pnt A e esse limite é b i,isté, lim A f i () =b i. Definiçã (Cntinuidade): Seja f : D f R 2 R uma funçã real de duas variáveis reais de dmíni D f. A funçã f diz-se cntínua num pnt (a, b) (que seja pnt de acumulaçã d D f ) se as seguintes três cndições sã verificadas Eiste f (a, b) u seja (a, b) D f Eiste lim (,) (a,b) f (, ) lim (,) (a,b) f (, ) =f (a, b) Definiçã: Diz-se que uma funçã f : D f R 2 R é prlngável pr cntinuidade a pnt (a, b) (u que f tem em (a, b) uma descntinuidade remvível) se (a, b) / D f Eiste lim (,) (a,b) f (, ) Send f prlngável pr cntinuidade a pnt (a, b), a funçã f, prlngament de f pr cntinuidade a pnt (a, b), édefinida cm segue: f (, ), se (, ) D f f (, ) = lim (,) (a,b) f (, ), se (, ) =(a, b)

13 2 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE Definiçã: Uma funçã f : D f R 2 R é descntínua n pnt (a, b) (pnt de acumulaçã de D f )sef nã é cntínua em (a, b), nem prlngável pr cntinuidade a pnt (a, b). Definiçã: Uma funçã f : D f R 2 R diz-se cntínua n seu dmíni D f R 2, se fôr cntínua em tds s pnts desse dmíni. 2.2 Eercícis Prpsts. Seja a funçã Calcule, se eistirem: f () = +, 0 e, > 0 (a) lim f ();lim f (); lim 0 f (); lim + f (); lim f () 2. Seja a funçã: f (, ) = +. Calcule seu limite n pnt (, 2) Cnsidere a seguinte funçã f (, ) = 2 + sin Calcule seu limite na rigem ds eis., (, ) : 6= sin, (, ) : = sin 4. Seja a funçã f (, ) = p 2 + 2, (, ) 6= (0, 0), (, ) =(0, 0) Estude seu limite na rigem ds eis. 5. Prvar pela definiçã que lim (,) (0,0) f (, ) 6= 0, para a funçã f (, ) = q ( ) 3

14 2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 3 6. Dada a funçã f (, ) = 2 2, (, ) : 6= ±, (, ) : = ± Verifique se a funçã tem limite em (0, 0). 7. Calcule α R\{0}, β de md que a funçã sin (α), < 0 f () = α + β, =0 e α cs β +sin, > 0 seja cntínua em =0. 8. Verifiqueseafunçã ( + sin ) 2, 6= 0 f () =, =0 écntínuaemr. 9. Dada a funçã f (, ) = , (, ) 6= (0, 0) 0, (, ) =(0, 0) Verifique se a funçã é cntínua na rigem ds eis. 0. Faça estud da cntinuidade da funçã 2, (, ) 6= (0, 0) +3 f (, ) = 0, (, ) =(0, 0)

15 4 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE. Dada a funçã f : R 2 R 2 f : Z = Z 2 = Estude-a quant à cntinuidade n pnt (0, 0). 2. Cnsidere a funçã f (, ) = p Diga, justificand, se é prlngável, pr cntinuidade, n pnt (0, 0). 3. Seja a funçã f (, ) = 4 + 4, se =0 0, se =0 Estude a cntinuidade da funçã. 4. Dada a funçã sin + sin, (, ) 6= (0, 0) 2( + ) f (, ) =, (, ) =(0, 0) Estude-a quant à cntinuidade na rigem ds eis. 5. Seja a funçã f (, ) = , (, ) : 6=, (, ) : = Que pde cncluir quant à cntinuidade da funçã? Justifique.

16 2.2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 5 6. Seja a funçã f (, ) = 2 + 2, (, ) 6= (0, 0) 0, (, ) =(0, 0) Estude-a quant à cntinuidade. 7. Estude a cntinuidade das seguintes funções: (a) f (, ) = (b) f (, ) = , (, ) 6= (0, 0) 0, (, ) =(0, 0) p 2 + 2, (, ) 6= (0, 0), (, ) =(0, 0) 2, (, ) 6= (0, 0) +4 (c) f (, ) = 2, (, ) =(0, 0) 8. Dada a funçã f : R 2 R 2 f : Z = Z 2 = Estude-a quant à cntinuidade na rigem. 9. Cnsidere a funçã f (, ) = 2 + sin, (, ) : 6= sin, (, ) : = sin Prve que a funçã nã é cntínua em (0, 0). Justifique.

17 6 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE 2.3 Eercícis de Revisã. Cnsidere a funçã f : R 2 R 2 f : Z = Z 2 = sin (a) Estude-a quant a limite na rigem ds eis. (b) Estude-a quant à cntinuidade na rigem. 2. Cnsidere a funçã p , (, ) : 6= 3 f (, ) = 3, (, ) : =3 (a) Determine seu dmíni. (b) Calcule limite da funçã n pnt (3, ). (c) Estude a cntinuidade da funçã nesse pnt. 3. Cnsidere a funçã lg 2 + 2, (, ) : 6= f (, ) = 2, (, ) : = (a) Calcule limite da funçã n pnt (0, ). (b) Verifique se eiste uma descntinuidade remvível n pnt (0, ). (c) Estude a funçã quant à cntinuidade n seu dmíni de definiçã. Justifique. 4. Para a funçã 2 2 f (, ) = 2 2 +( ) 2, (, ) 6= (0, 0) 0, (, ) =(0, 0)

18 2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 7 (a) Determine seu dmíni. (b) Verifique se a funçã tem limite na rigem ds eis. (c) Estude a cntinuidade da funçã. Justifique. 5. Seja a seguinte funçã f (, ) = 5 q 3 ( ) 3 (a) Determine seu dmíni. (b) Calcule limite da funçã n pnt (0, 0). (c) Estude a cntinuidade da funçã. (d) Diga se a funçã é prlngável, pr cntinuidade, a pnt (0, 0). Justifique. 6. Cnsidere a funçã f (, ) = 2 sin sin (a) Determine seu dmíni. Justifique. (b) Estude a tplgia d dmíni da funçã. (c) Calcule limite da funçã na rigem ds eis. (d) Estude a funçã quant à cntinuidade. Justifique. (e) Diga se a funçã é prlngável, pr cntinuidade. Justifique. (f) Cnsidere a nva funçã f (, ), (, ) 6= (0, 0) g (, ) = 0, (, ) =(0, 0) Verifique se a funçã g (, ) é cntínua na rigem ds eis. Justifique. 7. Reslva eercíci anterir para a seguinte funçã f (, ) = 2 cs sin

19 8 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE 8. (Eame 2 a Épca - /09/96) Cnsidere a funçã f : R 2 R, cmn natural e p real, definida pr n + p f (, ) = 2 + 2, (, ) 6= (0, 0) 0, (, ) =(0, 0) (a) Indique dmíni da funçã, referind se é um cnjunt abert e/u fechad. Justifique. (b) Mstre que f (, ) écntínuaem(0, 0) se e só se n 2 e p =0. 9. (Frequência - /06/97) Cnsidere a funçã definida pr: f (, ) = 2 + 2, (, ) 6= (0, 0) β, (, ) =(0, 0) (a) Calcule dmíni da funçã e verifique se é um cnjunt abert e/u fechad. (b) Eiste algum valr de β para qual a funçã f écntínuaemtdseu dmíni? Justifique. 0. (Eame a Épca - 09/07/97) Cnsidere a funçã f : R 2 R definida pr f (, ) = lg ( ), (, ) 6= (0, 0) e < 0, (, ) =(0, 0) (a) Calcule dmíni da funçã e represente- graficamente. Verifiquesedmíni é um cnjunt abert e/u fechad. (b) Estude a cntinuidade da funçã na rigem.. (Frequência - 5/06/98) Seja a funçã lg 2, se k(, )k 2 f (, ) = p 2 2, se k(, )k < 2

20 2.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 9 em que k(, )k = p Represente graficamente dmíni da funçã e verifique se cnjunt é abert e/u fechad. 2. (Frequência - 5/06/98) Cnsidere a funçã f (, ) = 2 + (a) Mstre que f é cntínua n seu dmíni. Justifique. (b) Verifique que a funçã tem limite na rigem ds eis.

21 20 CAPÍTULO 2. LIMITES E CONTINUIDADE

22 Capítul 3 Sluções ds Eercícis Prpsts 3. Nções Tplógicas e Dmínis de Funções. Tem-se (a) IntA = (, ) R 2 : < 4 ª,FrntA= (, ) R 2 : =4 ª {(6, 7)} A 0 = (, ) R 2 : ª,FechA= (, ) R 2 : ª {(6, 7)} EtA = R 2 \FechA e {(6, 7)} é um pnt islad em A. A éumcnjunt fechad prque A = FechA. 7 h (6,7) A h = 4 (b) IntB = (, ) R 2 : > <+ > 2ª 2

23 22 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS FrntB = (, ) R 2 : = + 2ª (, ) R 2 : = + 2ª (, ) R 2 : = 2ª FechB = B 0 = (, ) : ª EtB = R 2 \ FechB,IntB 6= B = B nã é abert e FechB 6= B = B nã é fechad. (c) IntC = (, ) R 2 : < 4 >0 ª (, ) R 2 : > 2 4 <0 ª FrntC = (, ) : =4 0 ª (, ) : = ª {(, ) : =0 2 2} FechC = C 0 = (, ) : ª (, ) : ª EtC = R 2 \ FechC,IntC 6= C = C nã é abert. FechC 6= C = C nã é fechad =4-2 2 = (d) IntD = (, ) R 2 : > 2 <+ ª,EtD = R 2 \ FechD, FrntD = (, ) : = 2 + ª (, ) : 2 = + ª {( 2, )} FechD = (, ) : 2 + ª {( 2, )},D 0 = (, ) : 2 + ª IntD 6= D = D nã é abert. FechD = D = D é fechad

24 3.. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES Tems s seguintes dmínis de definiçã (a) D f = (, ) R 2 : ª = (b) D f = (, ) R 2 : > ª = - 0 (c) D f = (, ) R 2 : > 0 0 ª = - 0

25 24 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (d) D f = ½(, ) R 2 : < +4 > 3 ¾,6= 0 = 3 / (3,) 0 = 4 - (e) D f = (, ) R 2 : < 4 ª = (f) D f = (, ) R 2 : = ª (g) D f = {(, ) :( 2 2 2)} {(, ) :( 2 2 2)}

26 3.. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES 25 (h) D f = (, ) R 2 :( ) ( ) ª (i) D f = R 2 \{(0, 0)} (j) D f = (, ) R 2 : > 0 ª = 0 (k) D f = R 2 \{(0, 0)} (l) D f = (, ) R 2 : ª \{(0, 0)} = 0 n = -

27 26 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (m) D f = (, ) R 2 : << ª - 0 (n) D f = (, ) R 2 : < 2 > 2 ª, dmíniestá representad pela regiã d plan nã trasejada = 2 0 = - () D f = R 2 \{(0, 0)} (p) D f = (, ) R 2 : < 4 ª =

28 3.. NOÇÕES TOPOLÓGICAS E DOMÍNIOS DE FUNÇÕES Tems s seguintes dmínis de definiçã (a) D f = (, ) R 2 : 6= ª (b) D f = (, ) R 2 : 6= 3 2 ª {(0, 0)} (c) D f = R 2 \{(, ) : = 0} u D f = (, ) R 2 : 6= ª (d) D f = (, ) R 2 : 6= 3 2ª {(0, 0), (3, )} µ½ (e) D f = R 2 \ (, ) : = ¾ ½ {(0, 0)} u D f = (, ) : 6= ¾ \{(0, 0)} 2 2 (f) D f = R 2 \{(, ) : = } {(0, 0)} u D f = {(, ) : 6= } {(0, 0)} (g) D f = R 2 \{(0, 0)},IntD f = R 2 \{(0, 0)},FrntD f = {(0, 0)},FechD f = D 0 f = R2.D f éumcnjuntabertprqued f = IntD f = R 2 \{(0, 0)}. (h) D f = (, ) R 2 : 6= 3 ª {(0, 0)},IntD f = (, ) R 2 : 6= 3 ª, FrntD f = (, ) R 2 : = 3 ª,D 0 f = FechD f = R 2,D f nã é um cnjuntabertprqued f 6= IntD f, nã é fechad prque FechD f 6= D f. (i) D f = R 2,IntD f = R 2,FrntD f =,EtD f = e FechD f = D 0 f = R2,D f éumcnjuntabertprqueintd f = D f = R 2.D f é um cnjunt fechad prque FechD f = D f = R 2. ( ) ( ) 5 5 (j) D f = (, ) : 6= ± 5 {(0, 0)},IntD f = (, ) : 6= ± 5,FrntD f = ( ) 5 (, ) : = ± 5,EtD f = e FechD f = Df 0 = R2. 4. Tem-se

29 28 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (a) D f = ½ (, ) R 2 : > ¾ ( ) ,6= 0 = / ( - ) = 9-3 h Limites e Cntinuidade. (a) l =/e; Nã eiste limite; l =; l =0; l =0 2. l =3/2 3. Nã eiste limite 4. l =0 5. p limite. <δ,lg a definiçã d limite nã é verificada, prtant nã eiste 6. Nã eiste limite em (0, 0) 7. A funçã é cntínua se β =0e α R\{0}. 8. A funçã é descntínua em =0 9. É descntínua em (0, 0), nã eiste limite 0. A funçã é cntínua em (, ) R 2 : 6= 3 ª \{(0, 0)}. É cntínua em (0, 0)

30 3.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO É prlngável pr cntinuidade em pnt (0, 0), bastaria, para ser cntínua, que f (0, 0) = É cntínua em R 2 \{(0, 0)} 4. A funçã é descntínua na rigem 5. A funçã é cntínua para (, ) R 2 : 6= 3 6= ª {(2, 2)} 6. É cntínua em R 2 7. Tem-se (a) A funçã é cntínua em R 2 \{(0, 0)} (b) A funçã é cntínua em R 2 \{(0, 0)} (c) A funçã é cntínua em (, ) R 2 : 6= 4 ª \{(0, 0)} 8. A funçã é descntínua na rigem 9. Nã eiste limite ( + sin + sin + ). 3.3 Eercícis de Revisã. (a) Nã eiste limite em (0, 0). (b) A funçã nã é cntínua na rigem. 2. Tem-se (a) D f = (, ) R 2 : 6= 3 2ª {(0, 0), (3, )} (b) l = (c) A funçã é descntínua em (3, ) 3. Tem-se

31 30 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS (a) l =0. (b) Eiste uma descntínuidade remvível. (c) A funçã é cntínua em {(, ) : 6= /2 6= } ± e, ª \{(0, 0)}. 4. Tem-se (a) D f = R 2 (b) Nã eiste limite na rigem. (c) A funçã é cntínua em R 2 \{(0, 0)}. 5. Tem-se (a) D f = R 2 \{(0, 0)} (b) l =0. (c) A funçã é cntínua n seu dmíni. (d) A funçã é prlngável pr cntinuidade a (0, 0), bastaria, para ser cntínua, que f (0, 0) = (0, 0). 6. Tem-se (a) D f = R 2 \{(0, 0)} (b) IntD f = R 2 \{(0, 0)},FrntD f = {(0, 0)},EtD f =, Df 0 = FechD f = R 2, nã eistem pnts islads. D f é um cnjunt abert, mas nã é fechad. (c) l =0 (d) A funçã é cntínua n seu dmíni, u seja R 2 \{(0, 0)} (e) É prlngável pr cntinuidade em (0, 0). (f) A funçã g écntínuaem(0, 0), prqueeistelimiteem(0, 0) 7. Tem-se

32 3.3. EXERCÍCIOS DE REVISÃO 3 (a) D f = R 2 \{(0, 0)} (b) IntD f = R 2 \{(0, 0)},FrntD f = {(0, 0)},EtD f =, Df 0 = FechD f = R 2, nã eistem pnts islads. D f é um cnjunt abert, mas nã é fechad. (c) Nã eiste limite em (0, 0). (d) A funçã é cntínua n seu dmíni, u seja R 2 \{(0, 0)}. (e) Nã é prlngável, prque nã eiste limite em (0, 0). (f) A funçã g é descntínua em (0, 0), prque nã eiste limite em (0, 0). 8. D f = R 2, dmíni é um cnjunt abert e fechad. 9. Tem-se (a) D f = R 2, dmíni é um cnjunt abert e fechad. (b) Para β =0a funçã é cntínua em (0, 0), lgécntínuaemtdseudmíni (R 2 ). 0. Tem-se (a) D f = (, ) R 2 : < ª,IntD f = (, ) R 2 : < ª,FrntD f = (, ) R 2 : = ª,IntD f = D f = D f é um cnjunt abert. D f nã é fecahd = (b) A funçã é cntínua na rigem.

33 32 CAPÍTULO 3. SOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS. D f = (, ) R 2 : > ª (, ) R 2 : ª. Ocnjunt D f nã é abert e nã é fechad = = = 2. Tem-se (a) D f = R 2 \{(0, 0)}. A funçã é cntínua em R 2 \{(0, 0)} e é prlngável pr cntinuidade a (0, 0). (b) l =0.

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta. a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD.

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta. a) calcule a área do triângulo OAB. b) determine OC e CD. Questã Se Amélia der R$,00 a Lúcia, entã ambas ficarã cm a mesma quantia. Se Maria der um terç d que tem a Lúcia, entã esta ficará cm R$ 6,00 a mais d que Amélia. Se Amélia perder a metade d que tem, ficará

Leia mais

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta ATENÇÃO: Escreva a resluçã COMPLETA de cada questã n espaç a ela reservad. Nã basta escrever resultad final: é necessári mstrar s cálculs u racicíni utilizad. Questã Uma pessa pssui a quantia de R$7.560,00

Leia mais

Segmentação de Imagem

Segmentação de Imagem em pr bjectiv dividir a imagem em regiões u bjects segund um critéri Frequentemente resultad nã é uma imagem mas um cnjunt de regiões/bjects A precisã da fase de segmentaçã determina sucess u falha ds

Leia mais

CAPÍTULO 10 TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS

CAPÍTULO 10 TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS CAPÍTULO 0 TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS TRANSLAÇÃO DE EIXOS NO R Sejam O e O s eis primitivs, d Sistema Cartesian de Eis Crdenads cm rigem O(0,0). Sejam O e O s nvs eis crdenads cm rigem O (h,k), depis

Leia mais

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Questão 4. Resposta. Resposta. Resposta. ATENÇÃO: Escreva a resolução COM- PLETA de cada questão no espaço reservado

Questão 1. Questão 3. Questão 2. Questão 4. Resposta. Resposta. Resposta. ATENÇÃO: Escreva a resolução COM- PLETA de cada questão no espaço reservado ATENÇÃO: Escreva a resluçã COM- PLETA de cada questã n espaç reservad para a mesma. Nã basta escrever apenas resultad final: é necessári mstrar s cálculs racicíni utilizad. Questã Caminhand sempre cm a

Leia mais

Questão 1. Questão 2. Resposta. Resposta

Questão 1. Questão 2. Resposta. Resposta Questã 1 Numa cidade d interir d estad de Sã Paul, uma prévia eleitral entre.000 filiads revelu as seguintes infrmações a respeit de três candidats A, B, ec, d Partid da Esperança (PE), que cncrrem a 3

Leia mais

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura. 1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura

1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura. 1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA A área de um triângul é dada

Leia mais

SEJAFERA APOSTILA EXERCÍCIOS / QUESTÕES DE VESTIBULARES. Matrizes e Determinantes

SEJAFERA APOSTILA EXERCÍCIOS / QUESTÕES DE VESTIBULARES. Matrizes e Determinantes SEJAFERA APOSTILA EXERCÍCIOS / QUESTÕES DE VESTIBULARES Matrizes e Determinantes Depis de estudad uma matéria em matemática é imprtante que vcê reslva um númer significativ de questões para fiaçã de cnteúd.

Leia mais

ANÁLISE DE DESEMPENHO DOS GRAFICOS DE x E R.

ANÁLISE DE DESEMPENHO DOS GRAFICOS DE x E R. ANÁLISE DE DESEMPENHO DOS GAFICOS DE E. Vims cm cnstruir e utilizar s gráfics de cntrle. Agra vams estudar sua capacidade de detectar perturbações n prcess. GÁFICO de Em um julgament, veredict final será

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

Regulamento para realização do Trabalho de Conclusão de Curso

Regulamento para realização do Trabalho de Conclusão de Curso Universidade Federal d Ceará Campus de Sbral Curs de Engenharia da Cmputaçã Regulament para realizaçã d Trabalh de Cnclusã de Curs Intrduçã Este dcument estabelece as regras básicas para funcinament das

Leia mais

Cálculo diferencial em IR n

Cálculo diferencial em IR n Cálculo diferencial em IR n (Eercícios) DMAT Abril 2003 1 Eercícios propostos 1.1 Funções de IR n em IR m Eercício 1 Determine os domínios das funções seguintes e represente-os graficamente. 2 + 2 9 ;

Leia mais

Questão 2. Questão 1. Resposta. Resposta

Questão 2. Questão 1. Resposta. Resposta Instruções: Indique claramente as respstas ds itens de cada questã, frnecend as unidades, cas existam Apresente de frma clara e rdenada s passs utilizads na resluçã das questões Expressões incmpreensíveis,

Leia mais

Anexo 03 Recomendação nº 3: estatuto padrão, estatuto fundamental e contrato social

Anexo 03 Recomendação nº 3: estatuto padrão, estatuto fundamental e contrato social Anex 03 Recmendaçã nº 3: estatut padrã, estatut fundamental e cntrat scial 1. Resum 01 Atualmente, Estatut da Crpraçã da Internet para a atribuiçã de nmes e númers (ICANN) tem um mecanism únic para alterações.

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS PONTIFÍI UNIERSIDDE TÓLI DE GOIÁS DEPRTMENTO DE MTEMÁTI E FÍSI Prfessres: Edsn az e Renat Medeirs EXERÍIOS NOT DE UL II Giânia - 014 E X E R Í I OS: NOTS DE UL 1. Na figura abaix, quand um elétrn se deslca

Leia mais

Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa B. alternativa E. alternativa B

Questão 1. Questão 3. Questão 2. alternativa B. alternativa E. alternativa B Questã 1 Uma pesquisa de mercad sbre determinad eletrdméstic mstru que 7% ds entrevistads preferem a marca X, 40% preferem a marca Y, 0% preferem a marca Z, 5% preferem X e Y, 8% preferem Y e Z, % preferem

Leia mais

Tema: Estudo do Comportamento de Funções usando Cálculo Diferencial. Seja definida em um intervalo e sejam e pontos deste intervalo.

Tema: Estudo do Comportamento de Funções usando Cálculo Diferencial. Seja definida em um intervalo e sejam e pontos deste intervalo. Tema: Estud d Cmprtament de Funções usand Cálcul Diferencial Funções Crescentes, Decrescentes e Cnstantes Seja definida em um interval e sejam e pnts deste interval Entã: é crescente n interval se para

Leia mais

DISCIPLINA: Matemática. MACEDO, Luiz Roberto de, CASTANHEIRA, Nelson Pereira, ROCHA, Alex. Tópicos de matemática aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006.

DISCIPLINA: Matemática. MACEDO, Luiz Roberto de, CASTANHEIRA, Nelson Pereira, ROCHA, Alex. Tópicos de matemática aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006. DISCIPLINA: Matemática 1- BIBLIOGRAFIA INDICADA Bibliteca Virtual Pearsn MACEDO, Luiz Rbert de, CASTANHEIRA, Nelsn Pereira, ROCHA, Alex. Tópics de matemática aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006. PARKIN, Michael.

Leia mais

Lista de Exercícios Funções

Lista de Exercícios Funções PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL Faculdade de Matemática Departament de Matemática Cálcul Dierencial e Integral I Lista de Eercícis Funções ) O gráic abai epressa a temperatura em

Leia mais

Questão 2. Questão 1. Questão 3. alternativa E. alternativa D. alternativa E

Questão 2. Questão 1. Questão 3. alternativa E. alternativa D. alternativa E NOTAÇÕES C é cnjunt ds númers cmplexs. R é cnjunt ds númers reais. N {,,,...}. i denta a unidade imaginária, u seja, i. z é cnjugad d númer cmplex z. Se X é um cnjunt, P(X) denta cnjunt de tds s subcnjunts

Leia mais

Exercícios de Matemática Fatoração

Exercícios de Matemática Fatoração Eercícis de Matemática Fatraçã ) (Vunesp-00) Pr hipótese, cnsidere a = b Multiplique ambs s membrs pr a a = ab Subtraia de ambs s membrs b a - b = ab - b Fatre s terms de ambs s membrs (a+(a- = b(a- Simplifique

Leia mais

Capítulo V. Técnicas de Análise de Circuitos

Capítulo V. Técnicas de Análise de Circuitos Capítul V Técnicas de Análise de Circuits 5.1 Intrduçã Analisar um circuit é bter um cnjunt de equações u valres que demnstram as características de funcinament d circuit. A análise é fundamental para

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ELETRÔNICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ELETRÔNICA UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA ELETRÔNICA LISTA DE EXERCICIOS # () OSCILADOR PONTE DE MEACHAM O sciladr a pnte Meacham

Leia mais

Questão 13. Questão 14. Resposta

Questão 13. Questão 14. Resposta Questã Uma empresa imprime cerca de.000 páginas de relatóris pr mês, usand uma impressra jat de tinta clrida. Excluind a amrtizaçã d valr da impressra, cust de impressã depende d preç d papel e ds cartuchs

Leia mais

MATEMÁTICA APLICADA RESOLUÇÃO

MATEMÁTICA APLICADA RESOLUÇÃO GRADUAÇÃO EM ADMINISTRAÇÃO, CIÊNCIAS ECONÔMICAS E 3/0/06 As grandezas P, T e V sã tais que P é diretamente prprcinal a T e inversamente prprcinal a V Se T aumentar 0% e V diminuir 0%, determine a variaçã

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 3. Questão 4. Questão 2. alternativa B. alternativa A. alternativa D. alternativa C

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 3. Questão 4. Questão 2. alternativa B. alternativa A. alternativa D. alternativa C Questã TIPO DE PROVA: A Ds n aluns de uma escla, 0% têm 0% de descnt na mensalidade e 0% têm 0% de descnt na mesma mensalidade. Cas equivalente a esses descnts fsse distribuíd igualmente para cada um ds

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO NÚMEROS COMPLEXOS

EXERCÍCIOS DE REVISÃO NÚMEROS COMPLEXOS COMÉRCIO EXTERIOR - REGULAR TERCEIRA SÉRIE NOME: EXERCÍCIOS DE REVISÃO NÚMEROS COMPLEXOS TESTES 1) Cnjunt sluçã da equaçã z z 0, n cnjunt ds númers cmplexs, é: a), 0, - c) d) e) 0 5 ) O cnjugad d númer

Leia mais

SUPERFÍCIE E CURVA. F(x, y, z) = 0

SUPERFÍCIE E CURVA. F(x, y, z) = 0 SUPERFÍIE E URVA SUPERFÍIE E URVA As superfícies sã estudadas numa área chamada de Gemetria Diferencial, desta frma nã se dispõe até nível da Gemetria Analítica de base matemática para estabelecer cnceit

Leia mais

Nível B3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES

Nível B3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES Nível B SISTEMAS DE EQUAÇÕES Equações do º grau com duas incógnitas Equação do º grau com duas incógnitas é uma equação onde figuram eactamente duas letras com epoente, por eemplo: -. Uma solução de uma

Leia mais

A) O volume de cada bloco é igual à área da base multiplicada pela altura, isto é, 4 1

A) O volume de cada bloco é igual à área da base multiplicada pela altura, isto é, 4 1 OBMEP Nível 3 ª Fase Sluções QUESTÃO. Quincas Brba uniu quatr blcs retangulares de madeira, cada um cm 4 cm de cmpriment, cm de largura e cm de altura, frmand bjet mstrad na figura. A) Qual é vlume deste

Leia mais

Deseja-se mostrar que, se o Método de Newton-Raphson converge, esta convergência se dá para a raiz (zero da função). lim

Deseja-se mostrar que, se o Método de Newton-Raphson converge, esta convergência se dá para a raiz (zero da função). lim Estud da Cnvergência d Métd de Newtn-Raphsn Deseja-se mstrar que, se Métd de Newtn-Raphsn cnverge, esta cnvergência se dá para a raiz (zer da unçã. Hipótese: A raiz α é única n interval [a,b]. Deine-se

Leia mais

Lugar Geométrico das Raízes. Lugar Geométrico das Raízes. Lugar Geométrico das Raízes

Lugar Geométrico das Raízes. Lugar Geométrico das Raízes. Lugar Geométrico das Raízes Cnstruíd dretamente a partr ds póls e zers da funçã de transferênca de malha aberta H(. Os póls de malha fechada sã sluçã da equaçã + H( = 0, u: arg( H( ) = ± 80 (k+), k = 0,,,... H( = Para cada pnt s

Leia mais

2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 18 2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL como segue: Dado R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de, e indicamos por,, se 0 =, se < 0. Interpretação Geométrica O valor absoluto de um número é, na reta, a distância

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA II

ANÁLISE MATEMÁTICA II ANÁLISE MATEMÁTICA II Acetatos de Ana Matos Noções Básicas de Funções em R n Topologia DMAT Noções Básicas sobre funções em n Introdução Vamos generalizar os conceitos de limite, continuidade e diferenciabilidade,

Leia mais

DISCIPLINA: Matemática e Matemática Aplicada

DISCIPLINA: Matemática e Matemática Aplicada DISCIPLINA: Matemática e Matemática Aplicada 1- BIBLIOGRAFIA INDICADA Bibliteca Virtual Pearsn MACEDO, Luiz Rbert de, CASTANHEIRA, Nelsn Pereira, ROCHA, Alex. Tópics de matemática aplicada. Curitiba: Ibpex,

Leia mais

BRDE AOCP 2012. 01. Complete o elemento faltante, considerando a sequência a seguir: 1 2 4 8? 32 64 (A) 26 (B) 12 (C) 20 (D) 16 (E) 34.

BRDE AOCP 2012. 01. Complete o elemento faltante, considerando a sequência a seguir: 1 2 4 8? 32 64 (A) 26 (B) 12 (C) 20 (D) 16 (E) 34. BRDE AOCP 01 01. Cmplete element faltante, cnsiderand a sequência a seguir: (A) 6 (B) 1 (C) 0 (D) 16 (E) 4 Resluçã: 1 4 8? 64 Observe que, td númer subsequente é dbr d númer anterir: 1 4 8 16 4 8 16 64...

Leia mais

TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA

TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA TANGÊNCIA E CNCRDÂNCIA 1. TANGÊNCIA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA: A RETA TANGENTE A UM ARC DE CIRCUNFERÊNCIA SEMPRE VAI SER PERPENDICULAR A RAI D ARC, N PNT DE TANGÊNCIA Tangente por um ponto da curva Para

Leia mais

METAS DE COMPREENSÃO:

METAS DE COMPREENSÃO: 1. TÓPICO GERADOR: Vivend n sécul XXI e pensand n futur. 2. METAS DE COMPREENSÃO: Essa atividade deverá ter cm meta que s aluns cmpreendam: cm se cnstrói saber científic; cm as áreas d saber estã inter-relacinadas

Leia mais

Pontifícia Universidade Católica do RS Faculdade de Engenharia

Pontifícia Universidade Católica do RS Faculdade de Engenharia Pntifícia Universidade Católica d S Faculdade de Engenharia LABOATÓO DE ELETÔNCA DE POTÊNCA EXPEÊNCA 4: ETFCADO TFÁSCO COM PONTO MÉDO ( PULSOS) OBJETO erificar qualitativa e quantitativamente cmprtament

Leia mais

Questão 11. Questão 12. Resposta. Resposta S 600. Um veículo se desloca em trajetória retilínea e sua velocidade em função do tempo é apresentada

Questão 11. Questão 12. Resposta. Resposta S 600. Um veículo se desloca em trajetória retilínea e sua velocidade em função do tempo é apresentada Questã Um veícul se deslca em trajetória retilínea e sua velcidade em funçã d temp é apresentada na fiura. a) Identifique tip de mviment d veícul ns intervals de temp de 0 a 0 s,de 0 a 30 s e de 30 a 0

Leia mais

Exercícios de Java Aula 17

Exercícios de Java Aula 17 Exercícis de Java Aula 17 Link d curs: http://www.liane.cm/2013/10/curs-java-basic-java-se-gratuit/ 1. Faça um prgrama que peça uma nta, entre zer e dez. Mstre uma mensagem cas valr seja inválid e cntinue

Leia mais

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em

Leia mais

o que se entende por lente.

o que se entende por lente. 1062.0041 As lentes esféricas e suas principais características. 1. Habilidades e cmpetências. 3. Mntagem. B ::; A términ desta atividade alun deverá ter Cas necessári cnsulte a instruçã ]992.021. cmpetência

Leia mais

Profa. Dra. Silvia M de Paula

Profa. Dra. Silvia M de Paula Prfa. Dra. Silvia M de Paula Espelhs Esférics Certamente tds nós já estivems diante de um espelh esféric, eles sã superfícies refletras que têm a frma de calta esférica. Em nss ctidian ficams diante de

Leia mais

QUARTA EXPERIÊNCIA DO LABORATÓRIO DE ONDAS TRANSFORMADORES DE QUARTO DE ONDA EWALDO ÉDER CARVALHO SANTANA JÚNIOR EE06115-67 TURMA2

QUARTA EXPERIÊNCIA DO LABORATÓRIO DE ONDAS TRANSFORMADORES DE QUARTO DE ONDA EWALDO ÉDER CARVALHO SANTANA JÚNIOR EE06115-67 TURMA2 UNIVERSIDADE FEDERA DO MARANHÃO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOOGIA DEPARTAMENTE DE ENGENHARIA DA EETRICIDADE ABORATÓRIO DE ONDAS EETROMAGNÉTICAS QUARTA EXPERIÊNCIA DO ABORATÓRIO DE ONDAS TRANSFORMADORES

Leia mais

Informática II INFORMÁTICA II

Informática II INFORMÁTICA II Jrge Alexandre jureir@di.estv.ipv.pt - gab. 30 Artur Susa ajas@di.estv.ipv.pt - gab. 27 1 INFORMÁTICA II Plan Parte I - Cmplementar cnheciment d Excel cm ferramenta de análise bases de dads tabelas dinâmicas

Leia mais

DISSERTAÇÃO NOS MESTRADOS INTEGRADOS NORMAS PARA O SEU FUNCIONAMENTO

DISSERTAÇÃO NOS MESTRADOS INTEGRADOS NORMAS PARA O SEU FUNCIONAMENTO DISSERTAÇÃO NOS MESTRADOS INTEGRADOS NORMAS PARA O SEU FUNCIONAMENTO 1. PREÂMBULO... 1 2. NATUREZA E OBJECTIVOS... 1 3. MODO DE FUNCIONAMENTO... 2 3.1 REGIME DE ECLUSIVIDADE... 2 3.2 OCORRÊNCIAS... 2 3.3

Leia mais

Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática - 12º ano Cálculo Diferencial II - Exercícios saídos em Exames (séc XX)

Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática - 12º ano Cálculo Diferencial II - Exercícios saídos em Exames (séc XX) Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva Matemática - 1º ano Cálculo Diferencial II - Eercícios saídos em Eames (séc XX) 1. Seja f a função real de variável real tal que f()= - /. Quanto ao limite

Leia mais

Introdução À Astronomia e Astrofísica 2010

Introdução À Astronomia e Astrofísica 2010 CAPÍTULO 2 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA E POSIÇÃO DO SOL Definições gerais. Triângul de Psiçã. Relações entre distância zenital ( Z ), azimute ( A ), ângul hrári ( H ), declinaçã (δ ). Efeit da precessã ds equinócis

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

QUESTÕES DISCURSIVAS

QUESTÕES DISCURSIVAS QUESTÕES DISCURSIVAS Questã 1 Um cliente tenta negciar n banc a taa de jurs de um empréstim pel praz de um an O gerente diz que é pssível baiar a taa de jurs de 40% para 5% a an, mas, nesse cas, um valr

Leia mais

ALTERAÇÕES NO SISTEMA ORION

ALTERAÇÕES NO SISTEMA ORION ALTERAÇÕES NO SISTEMA ORION Orin Versã 7.74 TABELAS Clientes Na tela de Cadastr de Clientes, fi inserid btã e um camp que apresenta códig que cliente recebeu após cálcul da Curva ABC. Esse btã executa

Leia mais

PADRÃO DE RESPOSTA. Pesquisador em Informações Geográficas e Estatísticas A I PROVA 3 FINANÇAS PÚBLICAS

PADRÃO DE RESPOSTA. Pesquisador em Informações Geográficas e Estatísticas A I PROVA 3 FINANÇAS PÚBLICAS Questã n 1 Cnheciments Específics O text dissertativ deve cmtemplar e desenvlver s aspects apresentads abaix. O papel d PPA é de instrument de planejament de médi/lng praz que visa à cntinuidade ds bjetivs

Leia mais

MS-PAINT. PAINT 1 (Windows7)

MS-PAINT. PAINT 1 (Windows7) PAINT 1 (Windws7) O Paint é uma funcinalidade n Windws 7 que pde ser utilizada para criar desenhs numa área de desenh em branc u em imagens existentes. Muitas das ferramentas utilizadas n Paint estã lcalizadas

Leia mais

Questão 46. Questão 47 Questão 48. alternativa A. alternativa B. partem do repouso, no ponto A, e chegam, simultaneamente,

Questão 46. Questão 47 Questão 48. alternativa A. alternativa B. partem do repouso, no ponto A, e chegam, simultaneamente, Questã 46 Um pequen crp é abandnad d repus, n pnt, situad a uma altura h, e atinge sl cm uma velcidade de módul v. Em seguida, mesm crp é disparad verticalmente para cima, a lng da mesma trajetória descrita

Leia mais

Economia Financeira Internacional

Economia Financeira Internacional Ecnmia Financeira Internacinal Curs de Ecnmia, 3º an, 2001-2002 PADEF 11/07/2002 Parte A Sem cnsulta Duraçã: 1 hra 1. Cnsidere três praças financeiras, Lndres (L), Nva Irque (NY) e Paris (P), bem cm as

Leia mais

Complementos de Análise Matemática

Complementos de Análise Matemática Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Ficha prática n o 1 - Cálculo Diferencial em IR n 1. Para cada um dos seguintes subconjuntos de IR, IR 2 e IR 3, determine

Leia mais

3. TIPOS DE MANUTENÇÃO:

3. TIPOS DE MANUTENÇÃO: 3. TIPOS DE MANUTENÇÃO: 3.1 MANUTENÇÃO CORRETIVA A manutençã crretiva é a frma mais óbvia e mais primária de manutençã; pde sintetizar-se pel cicl "quebra-repara", u seja, repar ds equipaments após a avaria.

Leia mais

L = R AULA 8 - TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA TRIÂNGULO RETÂNGULO. sen. cos a b. sen. cos a tg b tg. sen cos 90 sen cos 1 tg tg.

L = R AULA 8 - TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA TRIÂNGULO RETÂNGULO. sen. cos a b. sen. cos a tg b tg. sen cos 90 sen cos 1 tg tg. AULA 8 - TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA COMO MEDIR UM ARCO CATETO OPOSTO sen HIPOTENUSA. cs tg CATETO ADJACENTE HIPOTENUSA CATETO OPOSTO CATETO ADJACENTE Medir um arc

Leia mais

Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)

Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) ISCTE, Escola de Gestão Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) Diana Aldea Mendes 29 de Outubro de 2008 Espaços Vectoriais Definição (vector): Chama-se vector edesigna-sepor v um objecto matemático caracterizado

Leia mais

1) A faculdade mediúnica é indício de algum estado patológico ou simplesmente anormal?

1) A faculdade mediúnica é indício de algum estado patológico ou simplesmente anormal? 1) A faculdade mediúnica é indíci de algum estad patlógic u simplesmente anrmal? - As vezes anrmal, mas nã patlógic. Há médiuns de saúde vigrsa. Os dentes sã pr utrs mtivs. 2) O exercíci da faculdade mediúnica

Leia mais

Matemática / 1ª série / ICC Prof. Eduardo. Unidade 1: Fundamentos. 1 - Introdução ao Computador

Matemática / 1ª série / ICC Prof. Eduardo. Unidade 1: Fundamentos. 1 - Introdução ao Computador Unidade 1: Fundaments 1 - Intrduçã a Cmputadr Cnceits básics e Terminlgias O cmputadr é uma máquina eletrônica capaz de realizar uma grande variedade de tarefas cm alta velcidade e precisã, desde que receba

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Apontamentos: Curso de Conhecimentos Básicos de Matemática Cursos do Departamento de Gestão Maria Cristina

Leia mais

Aula 03 Circuitos CA

Aula 03 Circuitos CA Campus I Jã Pessa Disciplina: Análise de Circuits Curs Técnic Integrad em Eletrônica Prfª: Rafaelle Felician 1. Elements de Circuits n dmíni de Fasres Intrduçã Para cmpreender a respsta de dispsitivs básics

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Análise de Desempenho utilizando Diversidade de Transmissão e Multiplexagem Espacial em Malha Aberta para Redes LTE com Repetidores Fixos

Análise de Desempenho utilizando Diversidade de Transmissão e Multiplexagem Espacial em Malha Aberta para Redes LTE com Repetidores Fixos Análise de Desempenh utilizand Diversidade de Transmissã e Multiplexagem Espacial em Malha Aberta para Redes LTE cm Repetidres Fixs André Martins IT/ISEL Antóni Rdrigues IT/IST Pedr Vieira IT/ISEL Sumári

Leia mais

Guião Revisões: Funções ESA-IPVC. Funções

Guião Revisões: Funções ESA-IPVC. Funções GUIÃO REVISÕES Funções Conceito de função Quatro amigos decidiram apostar no totoloto, tendo cada um deles preenchido o seu boletim da seguinte forma: Boletim do Hugo Boletim do João Jogos Apostas Jogos

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Cálcul Diferencial e Integral I Curs de Agreclgia Prfª Paula Reis de Miranda 0/º semestre MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA

Leia mais

XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO

XXXIII OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA PRIMEIRA FASE NÍVEL 3 (Ensino Médio) GABARITO XXXIII OLIMPÍD RSILEIR DE MTEMÁTI PRIMEIR FSE NÍVEL (Ensin Médi) GRITO GRITO NÍVEL ) 6) ) D 6) D ) ) 7) D ) 7) D ) D ) 8) ) 8) D ) ) 9) ) 9) ) D ) E 0) D ) D 0) E ) E ada questã da Primeira Fase vale pnt.

Leia mais

Prova Escrita e Prova Oral de Inglês

Prova Escrita e Prova Oral de Inglês AGRUPAMENTO DE ESCOLAS AURÉLIA DE SOUSA PROVA DE EQUIVALÊNCIA À FREQUÊNCIA Prva Escrita e Prva Oral de Inglês 11.º An de esclaridade DECRETO-LEI n.º 139/2012, de 5 de julh Prva (n.º367) 1.ªe 2.ª Fase 6

Leia mais

T12 Resolução de problemas operacionais numa Companhia Aérea

T12 Resolução de problemas operacionais numa Companhia Aérea T12 Resluçã de prblemas peracinais numa Cmpanhia Aérea Objectiv Criar um Sistema Multi-Agente (SMA) que permita mnitrizar e reslver s prblemas relacinads cm s aviões, tripulações e passageirs de uma cmpanhia

Leia mais

ELETRICIDADE E MAGNETISMO

ELETRICIDADE E MAGNETISMO PONIFÍCIA UNIVERSIDADE CAÓLICA DE GOIÁS DEPARAMENO DE MAEMÁICA E FÍSICA Prfessres: Edsn Vaz e Renat Medeirs ELERICIDADE E MAGNEISMO NOA DE AULA II Giânia 2014 1 ENERGIA POENCIAL ELÉRICA E POENCIAL ELÉRICO

Leia mais

Passo 1 - Conheça as vantagens do employeeship para a empresa

Passo 1 - Conheça as vantagens do employeeship para a empresa Manual Cm intrduzir emplyeeship na empresa Índice Intrduçã Pass 1 - Cnheça as vantagens d emplyeeship para a empresa Pass 2 - Saiba que é a cultura emplyeeship Pass 3 - Aprenda a ter "bns" empregads Pass

Leia mais

QUESTÕES COMENTADAS DE MECÂNICA

QUESTÕES COMENTADAS DE MECÂNICA QUSTÕS OMNTS MÂNI Prf. Ináci envegnú Mrsch MOM ept. ng. ivil UFRGS 1) etermine valr da frça F 2, figura (1), que é rtgnal à reta O, para que smatóri ds mments em O seja igual a zer. 2 16 F 2 Sluçã: Transprta-se

Leia mais

Os antigos gregos acreditavam que quanto maior fosse a massa de um corpo, menos tempo ele gastaria na queda. Será que os gregos estavam certos?

Os antigos gregos acreditavam que quanto maior fosse a massa de um corpo, menos tempo ele gastaria na queda. Será que os gregos estavam certos? Lançament vertical e queda livre Se sltarms a mesm temp e da mesma altura duas esferas de chumb, uma pesand 1 kg e utra kg, qual delas chegará primeir a chã? Os antigs gregs acreditavam que quant mair

Leia mais

Caderno de Prova ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS. Vestibular Vocacionado 2010.2. 2ª FASE 2ª Etapa. Nome do Candidato:

Caderno de Prova ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS. Vestibular Vocacionado 2010.2. 2ª FASE 2ª Etapa. Nome do Candidato: Universidade d Estad de Santa Catarina Vestibular Vcacinad. Cadern de Prva ª FASE ª Etaa ENGENHARIA DE PRODUÇÃO E SISTEMAS Nme d Candidat: INSTRUÇÕES GERAIS Cnfira Cadern de Prva, as Flhas de Resstas e

Leia mais

matemática 2 Questão 7

matemática 2 Questão 7 Questã TIPO DE PROVA: A Na figura, a diferença entre as áreas ds quadrads ABCD e EFGC é 56. Se BE =,a área d triângul CDE vale: a) 8,5 b) 0,5 c),5 d),5 e) 6,5 pr semana. Eventuais aulas de refrç sã pagas

Leia mais

I, determine a matriz inversa de A. Como A 3 3 A = 2 I; fatorando o membro esquerdo dessa igualdade por A, temos a expressão

I, determine a matriz inversa de A. Como A 3 3 A = 2 I; fatorando o membro esquerdo dessa igualdade por A, temos a expressão VTB 008 ª ETAPA Sluçã Cmentada da Prva de Matemática 0 Em uma turma de aluns que estudam Gemetria, há 00 aluns Dentre estes, 0% fram aprvads pr média e s demais ficaram em recuperaçã Dentre s que ficaram

Leia mais

Transformadores. Transformadores 1.1- INTRODUÇÃO 1.2- PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO

Transformadores. Transformadores 1.1- INTRODUÇÃO 1.2- PRINCÍPIO DE FUNCIONAMENTO Transfrmadres 1.1- INTRODUÇÃO N estud da crrente alternada bservams algumas vantagens da CA em relaçã a CC. A mair vantagem da CA está relacinada cm a facilidade de se elevar u abaixar a tensã em um circuit,

Leia mais

j^qbjžqf`^=^mif`^a^=

j^qbjžqf`^=^mif`^a^= j^qbjžqf`^^mif`^a^ N Walter tinha dinheir na pupança e distribuiu uma parte as três filhs A mais velh deu / d que tinha na pupança D que sbru, deu /4 a filh d mei A mais nv deu / d que restu ^ Que prcentagem

Leia mais

Requisitos técnicos de alto nível da URS para registros e registradores

Requisitos técnicos de alto nível da URS para registros e registradores Requisits técnics de alt nível da URS para registrs e registradres 17 de utubr de 2013 Os seguintes requisits técnics devem ser seguids pels peradres de registr e registradres para manter a cnfrmidade

Leia mais

DIRETRIZES PARA APRESENTAÇÃO DE REDES E CRONOGRAMAS SUMÁRIO 1 OBJETIVO...2 2 ELABORAÇÃO...2 2.1 PLANEJAMENTO...2

DIRETRIZES PARA APRESENTAÇÃO DE REDES E CRONOGRAMAS SUMÁRIO 1 OBJETIVO...2 2 ELABORAÇÃO...2 2.1 PLANEJAMENTO...2 1 / 5 SUMÁRIO 1 OBJETIVO...2 2 ELABORAÇÃO...2 2.1 PLANEJAMENTO...2 2.1.1 CRITÉRIOS PARA ELABORAÇÃO E APRESENTAÇÃO DO CRONOGRAMA DE BARRAS TIPO GANTT:...2 2.1.2 CRITÉRIOS PARA ELABORAÇÃO E APRESENTAÇÃO

Leia mais

1 a QUESTÃO: (2,0 pontos) Avaliador Revisor

1 a QUESTÃO: (2,0 pontos) Avaliador Revisor ( MATEMÁTICA - Gabarit Grups I e J a QUESTÃO: (,0 pnts) Avaliadr Revisr A figura abaix exibe gráfic de uma funçã y = f (x) definida n interval [-6,+6]. O gráfic de f passa pels pnts seguintes: (-6,-),(-4,0),

Leia mais

Questão 48. Questão 46. Questão 47. Questão 49. alternativa A. alternativa B. alternativa C

Questão 48. Questão 46. Questão 47. Questão 49. alternativa A. alternativa B. alternativa C Questã 46 O ceficiente de atrit e índice de refraçã sã grandezas adimensinais, u seja, sã valres numérics sem unidade. Iss acntece prque a) sã definids pela razã entre grandezas de mesma dimensã. b) nã

Leia mais

Dissídio Retroativo. Cálculos INSS, FGTS e geração da SEFIP

Dissídio Retroativo. Cálculos INSS, FGTS e geração da SEFIP Dissídi Retrativ Cálculs INSS, FGTS e geraçã da SEFIP A rtina de Cálcul de Dissídi Retrativ fi reestruturada para atender a legislaçã da Previdência Scial. A rtina de Aument Salarial (GPER200) deve ser

Leia mais

1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 1 1 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 11 Funções trigonométricas inversas 111 As funções arco-seno e arco-cosseno Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só poderemos definir as suas funções

Leia mais

GUIA DE RELACIONAMENTO MT-COR: 001 Revisão: 000

GUIA DE RELACIONAMENTO MT-COR: 001 Revisão: 000 GUIA DE RELACIONAMENTO MT-COR: 001 Revisã: 000 A Mercur S.A., empresa estabelecida desde 1924, se precupa em cnduzir as suas relações de acrd cm padrões étics e cmerciais, através d cumpriment da legislaçã

Leia mais

INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO DE LAMEGO EDITAL

INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA E GESTÃO DE LAMEGO EDITAL EDITAL CANDIDATURA AOS CURSOS TÉCNICOS SUPERIORES PROFISSIONAIS (CTeSP) 2015 CONDIÇÕES DE ACESSO 1. Pdem candidatar-se a acess de um Curs Técnic Superir Prfissinal (CTeSP) da ESTGL tds s que estiverem

Leia mais

gradiente, divergência e rotacional (revisitados)

gradiente, divergência e rotacional (revisitados) gradiente, divergência e rotacional (revisitados) Prof Carlos R Paiva Prof Carlos R Paiva NOTA PRÉVIA Os apontamentos que se seguem não são um teto matemático: não se procura, aqui, o rigor de uma formulação

Leia mais

5. Lista de Exercícios - Amplificadores e Modelos TBJ

5. Lista de Exercícios - Amplificadores e Modelos TBJ 5. Lista de Exercícis - Amplificadres e Mdels TBJ. Um TBJ tend β = 00 está plarizad cm uma crrente cc de cletr de ma. Calcule s valres de g m, r e e r π n pnt de plarizaçã. Respsta: 40 ma/; 25 Ω; 2,5 kω.

Leia mais

Valores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal

Valores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Valores e Vectores Próprios Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Ano Lectivo 24/25 Conteúdo Definição de Valor e Vector Próprios 2 2 Um Eemplo de Aplicação 8 3

Leia mais

Analyzing the Effects of Disk- Pointer Corruption João Dias e João Isento

Analyzing the Effects of Disk- Pointer Corruption João Dias e João Isento Analyzing the Effects f Disk- Pinter Crruptin Jã Dias e Jã Isent Estrutura da Apresentaçã Intrduçã; Sistemas de Ficheirs; Mtivações; Type-Aware Pint Crruptin; Resultads; Cnclusões Intrduçã A dispnibilidade

Leia mais

3 Fundamentos do Comportamento dos Hidrocarbonetos Fluidos

3 Fundamentos do Comportamento dos Hidrocarbonetos Fluidos 3 Fundaments d Cmprtament ds Hidrcarbnets Fluids 3.1. Reservatóris de Petróle O petróle é uma mistura de hidrcarbnets, que pde ser encntrada ns estads: sólid, líquid, u ass, dependend das cndições de pressã

Leia mais

Artigo 12 Como montar um Lava Jato

Artigo 12 Como montar um Lava Jato Artig 12 Cm mntar um Lava Jat Antigamente era cmum bservar as pessas, n final de semana, cm seus carrs, bucha e sabã nas mãs. Apesar de ainda haver pessas que preferem fazer serviç suj szinhas, s lava

Leia mais

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1.

3.400 17. ( ) 100 3400 6000, L x x. L x x x. (17) 34 60 Lx ( ) 17 34 17 60 L(17) 289 578 60 L(17) 289 638 L(17) 349 40 40 70.40 40 1. REDE ISAAC NEWTON ENSINO MÉDIO 3º ANO PROFESSOR(A):LUCIANO IEIRA DATA: / / TURMA: ALUNO(A): Nº: UNIDADE: ( ) Riacho Fundo ( ) Taguatinga Sul EXERCÍCIOS DE REISÃO - AALIAÇÃO ESPECÍFICA 3º TRIMESTRE 01 MATEMÁTICA

Leia mais

Este documento tem como objetivo definir as políticas referentes à relação entre a Sioux e seus funcionários.

Este documento tem como objetivo definir as políticas referentes à relação entre a Sioux e seus funcionários. OBJETIVO Este dcument tem cm bjetiv definir as plíticas referentes à relaçã entre a Siux e seus funcináris. A Siux se reserva direit de alterar suas plíticas em funçã ds nvs cenáris da empresa sem avis

Leia mais

OBMEP NÍV. 6)A figura é composta de triângulos retângulos isósceles todos iguais. Qual é a área em 2. 30 cm

OBMEP NÍV. 6)A figura é composta de triângulos retângulos isósceles todos iguais. Qual é a área em 2. 30 cm NÍV NÍVEL 7 a Lista 1) Qual é mair ds númers? (A) 0 006 (B) 0+6 (C) + 0 006 (D) (0+ 6) (E) 006 0 + 0 6 ) O símbl representa uma peraçã especial cm númers. Veja alguns exempls = 10, 8 = 7, 7 = 11, 5 1 =

Leia mais

As várias interpretações dos Números Racionais

As várias interpretações dos Números Racionais As várias interpretações ds Númers Racinais (Algumas das tarefas apresentadas a seguir fram retiradas u adaptadas da Tese de Dutrament de Maria Jsé Ferreira da Silva, cuj text se encntra n seguinte endereç:

Leia mais

O resultado dessa derivada é então f (2) = lim = lim

O resultado dessa derivada é então f (2) = lim = lim Tets de Cálcul Prf. Adelm R. de Jesus I. A NOÇÃO DE DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO Dada uma funçã yf() e um pnt pdems definir duas variações: a variaçã de, chamada, e a variaçã de y, chamada y. Tems

Leia mais

Os Oito Principais de Sistemas de

Os Oito Principais de Sistemas de Infrme Especial Os Oit Principais in Yur DSD Mits Mbile de Sistemas de Security Strategy Gerenciament de Armazém para empresas de pequen e médi prte. Intrduçã A era das perações manuais em Armazéns está

Leia mais