Questão 2. Questão 1. Questão 3. alternativa E. alternativa D. alternativa E

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1 NOTAÇÕES C é cnjunt ds númers cmplexs. R é cnjunt ds númers reais. N {,,,...}. i denta a unidade imaginária, u seja, i. z é cnjugad d númer cmplex z. Se X é um cnjunt, P(X) denta cnjunt de tds s subcnjunts de X. A\B {x A ; x B}. [a, b] {x R ; a x b}. [a, ) {x R ; a x}. (, a] {x R ; x a}. P (x, y) significa pnt P de crdenadas (x, y). AB denta segment que une s pnts A e B. ln x denta lgaritm natural de x. A t denta a matriz transpsta da matriz A. Questã Cnsidere as seguintes afirmações sbre númers reais psitivs: I. Se x > e y <, entã x y >. II. Se x > u y <, entã x y >. III. Se x < e y >, entã x y < 0. Entã, destas é (sã) verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas IeII. c) apenas II e III. d) apenas I e III. e) tdas. alternativa D I. Verdadeira, pis x > ey< x > 6 e y > x y > 6. II. Falsa, pis, pr exempl, para x ey 7tems que a sentença (x > uy< ) é verdadeira, enquant x y > é falsa. III. Verdadeira, pis, send x, y psitivs, tems x < e y > x < e y > x y < x y < 0. Prtant smente as afirmações I e III sã verdadeiras. Questã Sejam a, b, c reais nã-nuls e distints, c >0. Send par a funçã dada pr f(x) ax + b, c < x < c, x + c entã f(x), para c < x < c, é cnstante e igual a a) a + b. b) a + c. c) c. d) b. e) a. alternativa E f(x) é par se, e smente se, para td x, c < x < c, f( x) f( x) a ( x) + b ax + b x + c x + c ax + (b ac)x + bc ax + (ac b)x + bc b ac Lg, para c < x < c, f(x) Questã ax + ac a. x + c Os valres de x R, para s quais a funçã real dada pr f(x) x 6 está definida, frmam cnjunt a) [0, ]. c) [, 0] [, ). b) [, 6]. d) (, 0] [, 6]. e) [, 0] [, 6]. alternativa E f(x) R x 6 R x 6 0 x 6 x 6 x x u x x [ ; 0] [; 6] x 0 u x 6

2 matemática Questã Seja a equaçã em C z z + 0. Qual dentre as alternativas abaix é igual à sma de duas das raízes dessa equaçã? a). b). c)+. d) i. e) i. alternativa D z z + 0 z z + + z 0 (z ) z z zi 0 z + zi 0 z zi z zi i + i z z i + z i z Lg as pssíveis smas de duas das raízes sã 0, i,, e i. Questã Sejam A um cnjunt cm 8 elements e B um cnjunt tal que A B cntenha elements. Entã, númer de elements de P(B\A) P( ) é igual a a) 8. b) 6. c) 0. d) 7. e) 9. alternativa B Tems n(a B) n(a) + n(b \ A) 8 + n(b \ A) n(b \ A). Cm P( ) P(B \ A), n(p(b \ A) P( )) n(p(b \ A)) 6. Questã 6 Sejam f e g duas funções definidas pr f(x) ( ) sen x e g(x) sen x, x R. A sma d valr mínim de f cm valr mínim de g é igual a a) 0. b). c). d). e). alternativa D A funçã f é expnencial de base mair que, lg, para que f tenha valr mínim, expente deve ser menr pssível, ist é, cm sen x sen x sen x, valr mínim é. A funçã g é expnencial de base menr que, lg, para que g tenha valr mínim, expente deve ser mair pssível, ist é, cm sen x 0 sen x 0 sen x sen x, valr mínim é. Smand tais valres, btems +. Questã 7 Seja f :R P(R) dada pr f(x) {y R ;seny<x}. Se A é tal que f(x) R, x A, entã a) A [, ]. b) A [a, ), a>. c) A [a, ), a. d) A (, a], a<. e) A (, a], a. ver cmentári Seja x A. Cm f(x) {y R sen y < x} R, x deve ser tal que a inequaçã sen y<xseja verdadeira y R, que acntece se, e smente se, x>. Assim, A pde ser qualquer subcnjunt de ]; [. Questã 8 A divisã de um plinômi f(x) pr ( x )( x ) tem rest x +. Se s rests das divisões de f(x) pr x e x sã, respectivamente, s númers a e b, entã a + b vale a). b). c). d). e) 0.

3 matemática alternativa A O rest da divisã de f(x) pr x é f() ae rest da divisã de f(x) pr x é f() b. Send q(x) quciente da divisã de f(x) pr (x )(x ), tems que f(x) q(x)(x )(x ) + + x +. Dessa frma, a f() eb f(). Lg a + b +. Questã 9 Sabend que a equaçã x px q m, p,q>0, q, m N, pssui três raízes reais psitivas a, b e c, entã a b c lg q [ abc (a b c ) ] é igual a a) m+ plg q p. c) m + p lgq p. e) m plgq p. b) m + plg q p. d) m p lgq p. ver cmentári m m x px q x px q 0 Lg, pelas relações entre ceficientes e raízes, 0 ab + ac + bc 0. Prém, cm a, b e c sã reais psitivs, ab + ac + bc > 0, cntradiçã. Prtant as cndições dadas n prblema sã incnsistentes. Observaçã: retirand das cndições d prblema fat de a, b e c serem reais psitivs, teríams, pelas relações entre ceficientes e raízes: ( p) a + b + c 0 p; ab + ac + bc 0 e abc m ( q ) m q Assim, a + b + c (a + b + c) (ab + ac + bc) p 0 p e, cm p, q>0,q, a+ b + c lg q [abc (a + b + c ) ] m p lg q [q (p ) ] m p lgq q + lgq p m + p lgq p, alternativa B. Questã 0 Dada a funçã quadrática f(x) x ln + x ln6 tems que ln a) a equaçã f(x) 0 nã pssui raízes reais. b) a equaçã f(x) 0 pssui duas raízes reais distintas e gráfic de f pssui cncavidade para cima. c) a equaçã f(x) 0 pssui duas raízes reais iguais e gráfic de f pssui cncavidade para baix. ln ln d) valr máxim de f é. ln ln ln ln e) valr máxim de f é. ln ln alternativa D A funçã dada é da frma f(x) ax + bx + c nde a ln ln ln<0,b ln6 ln + ln e c ln (ln ln). O discriminante é dad pr b ac (ln + + ln) (ln ln) (ln ln) (ln + + ln) (ln ln) ln ln > 0. Assim, cm > 0 a equaçã f(x) 0 pssui duas raízes reais distintas e, cm a<0,gráfic de f pssui cncavidade para baix. A funçã f pssui prtant um valr máxim, dad pr lnln ln ln a (ln ln) ln ln. Questã Quants anagramas cm letras distintas pdems frmar cm as 0 primeiras letras d alfabet e que cntenham das letras a, b e c? a) 69. c) 0. e) 9. b) 7. d). alternativa D Pdems esclher duas letras dentre a, b, c de maneiras, e pdems esclher duas letras dentre as 7 restantes de 7 maneiras. Cm letras distintas pdem ser permutadas de! maneiras, tems que númer de anagramas pedid é.

4 matemática Questã Questã O seguinte trech de artig de um jrnal lcal relata uma crrida beneficente de bicicletas: Alguns segunds após a largada, Ralf tmu a liderança, seguid de pert pr David e Rubinh, nesta rdem. Daí em diante, eles nã mais deixaram as primeiras três psições e, em nenhum mment da crrida, estiveram lad a lad mais d que dis cmpetidres. A liderança, n entant, mudu de mãs nve vezes entre s três, enquant que em mais it casiões diferentes aqueles que crriam na segunda e terceira psições trcaram de lugar entre si. Após términ da crrida, Rubinh reclamu para nsss repórteres que David havia cnduzid sua bicicleta de frma imprudente puc antes da bandeirada de chegada. Desse md, lg atrás de David, Rubinh nã pôde ultrapassá-l n final da crrida. Cm base n trech acima, vcê cnclui que a) David ganhu a crrida. b) Ralf ganhu a crrida. c) Rubinh chegu em terceir lugar. d) Ralf chegu em segund lugar. e) nã é pssível determinar a rdem de chegada, prque trech nã apresenta uma descriçã matematicamente crreta. alternativa E Representems Ralf pr, David pr e Rubinh pr. Em cada mment da crrida, a classificaçã é uma terna rdenada desses três númers u está crrend uma inversã (trca de psições entre dis ciclistas). Cm a liderança mudu de mãs 9 vezes, e em mais 8 casiões aqueles que crriam na segunda e terceira psições trcaram de lugar entre si, huve n ttal 7 inversões. Tems que, após um númer ímpar de inversões, pdems bter smente as classificações (; ; ), (; ; ) e (; ; ). Rubinh chegu lg atrás de David, prtant a classificaçã final é (; ; ) u (; ; ). Nenhuma das quais pderia ter sid btida cm um númer ímpar de inversões. Cnseqüentemente, nã é pssível determinar a rdem de chegada, prque trech nã apresenta uma descriçã matematicamente crreta. Seja a matriz cs sen 6. sen 0 cs 90 O valr de seu determinante é a). b). c). d). e) 0. alternativa E cs sen 6 cs cs sen 0 cs 90 sen 60 cs 0 cs cs 0 Questã Sejam A e B matrizes quadradas de rdem n tais que AB A e BA B. Entã, [( A + B) t ] é igual a a) (A + B) t t. b) (A B ). t t t t c) (A + B ). d) A + B. e) AB t t. alternativa C Cm A AB eb BA, tems A ( AB)( AB) A( BA) B A B B ( AB) B AB A B ( BA )( BA ) B ( AB ) A B A A ( BA) A BA B Assim, t t [(A + B) ] [(A + B) ] t (A + AB + BA + B ) ( A + A + B + B) t t t t t A + A + B + B t t (A + B ). Questã Seja A uma matriz real. Supnha que α e β sejam dis númers distints, e V e W duas matrizes reais nã-nulas, tais que AV αv e AW β W.

5 Seja k > 0 tal que a equaçã ( x x) + + k(y y) 0 define uma elipse cm distância fcal igual a. Se(p, q) sã as crdenamatemática Se a, b R sã tais que av + bw é igual à matriz nula, entã a + bvale a) 0. b). c). d). e). alternativa A Nas cndições dadas, av + bw 0 A[aV + bw] A 0 a(av) + b(aw) 0 a(αv) + b(βw) 0 aα V +bβw 0. Lg: av + bw 0 aαv + bβw 0 a α V a β V 0 bαw bβw 0 Questã 7 Num sistema de crdenadas cartesianas, duas retas r e s, cm ceficientes angulares e, respectivamente, se interceptam na rigem 0. SeB r e C s sã dis pnts n pri- meir quadrante tais que segment BC é perpendicular a r e a área d triângul OBC é igual a 0, entã a distância de B a eix das rdenadas vale a) 8. b). c). d). e). alternativa B a( α β)v 0 b( α β)w 0 Assim, cm α e β sã númers distints evew sã nã nulas, a 0eb 0 e prtant a + b 0. Questã 6 O triângul ABC, inscrit numa circunferência, tem um lad medind 0 π cm, cuj ângul pst é de. O cmpriment da circunferência, em cm, é a) 0 ( + ). b) 00( + ). c) 80( + ). d) 0( + ). e) 0( + ). alternativa A Seja R rai e, prtant, πr cmpriment da circunferência circunscrita a triângul ABC. Pela lei ds sens tems: 0 0 R π πr sen sen ( 0 ) Seja θ ângul frmad pr r e s. Tems: tg θ + Assim, cm OBC é retângul em B, BC OB OB tgθ área OBC OB 0 6 OB. Cm B está n º quadrante e pertence à reta r, que passa pela rigem e tem ceficiente angular, tems que B (b;b),b>0.lg OB (b 0) + (b 0) 6 b b. 0 πr sen cs 0 sen 0 cs 0 ( ) 0 ( + ) cm Questã 8

6 matemática 6 das de um pnt da elipse, cm q q 0, entã p p q q é igual a a) +. b). c) +. d). e). ver cmentári Tems (x x) + k(y y) 0 k x x + + ky y + + k + x + ky x y +. k + k + k Lembrand que a b + c, tems: se eix mair é paralel a eix x entã, cm k > 0, k + k + + k k 0 k k + ; se eix mair é paralel a eix y entã, cm k > 0, k + k + + k k 0 k + k +. Assim, send (p; q) um pnt da elipse cm q q 0, (p p) k(q + q) 0 p p (p p ) k(q q) k. q q Entã p p + u p p q q q q +. Questã 9 Cnsidere a regiã d plan cartesian xy definida pela desigualdade x + x + y y 8 0. Quand esta regiã rdar um ângul de π 6 radians em trn da reta x + y 0, ela irá gerar um sólid de superfície externa ttal cm área igual a a) 8 d) 8 6 π. b) 8 π. e) 8 7 π. c) 8 π. π. alternativa A Tems x + x + y y 8 0 x + x + + y y + 6 (x + ) + (y ), desigualdade que crrespnde a um círcul de centr ( ; ) e rai. Cm a reta de equaçã x + y 0 cntém centr d círcul, quand este rdar um ângul de π radians em trn da reta, sólid frmad 6 será a uniã de duas cunhas esféricas de rai cm diâmetr sbre x + y 0 e em semi-espaçs psts cm relaçã a plan xy. Cada cunha tem superfície igual à sma das áreas de um fus cm rai igual aeângul central igual a π e de dis semicírculs de rai igual a. 6 Lg a superfície externa ttal tem área 8 π π + π. Na figura a seguir, representa-se uma das cunhas esféricas. Questã 0 Seja uma pirâmide regular de base hexagnal e altura 0 m. A que distância d vértice devems crtá-la pr um plan paralel à base de frma que vlume da pirâmide btida seja d vlume da pirâmide riginal? 8 a)m. b)m. c)m. d)6m. e)8m. alternativa C Send a razã entre s vlumes da pirâmide 8 menr e da pirâmide mair, a razã entre suas alturas é. 8 Lg a distância entre plan e vértice é 0 m.

7 matemática 7 As questões dissertativas, numeradas de a 0, devem ser respndidas n cadern de sluções. Questã Seja a funçã f dada pr x f(x) (lg ) lg x x x(x ) + lg lg +. Determine tds s valres de x que trnam f nã-negativa. x f(x) (lg ) lg x x + lg x(x + ) lg x f(x) lg ( ) + + x x x(x + ) + lg ( ) lg f(x) (x ) lg + + ( + x x ) lg x(x + ) lg f(x) ( x + 6x ) lg Assim, cm lg > 0, f(x) 0 ( x + 6x ) lg 0 x ( x ) 0 x ( x ) 0 x. Prtant s valres de x que trnam f nã negativa sã s pertencentes a interval ;. Questã Mstre que x y + + > C8,, y x para quaisquer x e y reais psitivs. Obs.: C n, p denta a cmbinaçã de n elements tmads p a p. Pela desigualdade das médias, x y + y x x y x y +. Lg y x y x x y y + + ( + ) 6. x 70, cncluí Send C8,! ms que x y + + > C8,. y x Questã Cm base n gráfic da funçã plinmial y f(x) esbçad abaix, respnda qual é rest da divisã de f(x) pr x ( x ). Send q(x) quciente e r(x) ax + b rest da divisã de f(x) pr x (x ), tems que f(x) q(x) x (x ) + ax + b. D gráfic, btems: a f + b 8 8 f() 0 a + b 0 a b Lg rest da divisã é r(x) + x. Questã Sejam a e b dis númers cmplexs nã-nuls, tais que a + b 0.Sez, w C satisfazem zw + zw 6a zw zw 8b determine valr de a de frma que z w.

8 matemática 8 zw + zw 6a zw a + b zw zw 8b zw a b zw zw (a + b)(a b) zw zw (a) (b) zw 9a 6b Lg, cm zw ea + b 0 b a, 9a 6( a ) a a. Questã. Mstre que se uma matriz quadrada nã-nula A satisfaz a equaçã A + A + A 0 () entã (A + I) A + I,emqueI é a matriz identidade.. Send dad que A 0 satisfaz a equaçã () acima, encntre duas matrizes nã-nulas B e C tais que B + C B + C A. Para essas matrizes vcê garante que sistema de equações x 0 (B C) y 0 tem sluçã (x, y) (0, 0)? Justifique. () Cm as matrizes AeIcmutam, tems A + A + A 0 A + A + A + I A + I (A + I) A + I. () Cm ( I) I e (A + I) A + I, basta tmarms B e I C A + I. Assim, B + C B + C I + A + I A. Lg B C, cuj determinante é 0 0 nul. Prtant sistema hmgêne admite sluçã (x; y) (0; 0). Observaçã: pdems verificar que (B I e C A + I) e (B A + I e C ) I sã as únicas sluções cm entradas reais de B + C B + C A. De fat, seja T ; tems 0 0 T AT e B + C B + C A 0 (T BT) + (T CT) (T BT) + (T CT) (T AT). a b Assim, send T BT e c d a b T CT, tems: c d (T BT) a + bc(a + d) b(a + ad + d + bc) e c(a + ad + d + bc) d + bc(a + d) (T CT) (a + ) bc(a + d + ) c((a + ) + (a + )( + d) + ( + d) + bc) b((a + ) + (a + )( + d) + ( + d) + bc) ( + d) bc(a + d + ) Prtant (T BT) + (T CT) (T AT) a + a + bc 0 (a + d u b 0) (a + d u c 0) 6(d + ) + bc 0 (a 0 u a ) b c 0 d Assim, T BT B A + I u T BT I 0 B 0. Questã 6 Sejam n númers reais psitivs a, a,... a n que frmam uma prgressã aritmética de razã psitiva. Cnsidere An a + a a n e respnda, justificand: Para td n, A qual é mair entre s númers n an e n An an? n Tems: An An an an n n An An + A an an n + an n n n

9 matemática 9 An anan ( ) n Cm n e a razã da PA é psitiva, A nn a + a an an + a n an < an. n n An Assim, an > 0, e cm an 0 n >, a expressã ( ) é psitiva, u seja, mair ds númers é An an. n Questã 7 Cnsidere n pnts distints A, A,..., A n sbre uma circunferência de rai unitári, de frma que s cmpriments ds arcs A A, A A,..., A n A n frmam uma prgressã gemétrica de term inicial π e razã. Para que valres de n N terems cmpriment d arc AnA menr que d cmpriment da circunferência? Obs.: Para td arc A k A, cmpriment cnsiderad édarc que une pnt A k a pnt A n sentid anti-hrári. Cm rai é unitári e s arcs AA ; A A ;...; An An frmam uma prgressã gemétrica de primeir term π e razã, tems que arc n π n AA n mede π, assim arc AA n mede n π π n π. Prtant, para que AA n seja menr que d cmpriment da circunferência, deve-se ter n π < π n < 9 n > 9 n > 0, u seja, n N tal que n. Questã 8 Seja S a área ttal da superfície de um cne circular ret de altura h, e seja m a razã entre as áreas lateral e da base desse cne. Obtenha uma expressã que frneça h em funçã apenas de S e m. Send r rai da base e g a geratriz d cne, tems S lateral πrg g m e S base πr r S Slateral + Sbase π r(g + r). Assim, g S S r mr r e πr π(m + ) h g r m r r r (m ) S (m ) h π(m + ) Questã 9 S(m ). π Cnsidere seguinte racicíni de cunh cartesian: Se a circunferência de centr C (h, 0) e rai r intercepta a curva y + x, x>0,n pnt A (a, a ) de frma que segment AC seja perpendicular à reta tangente à curva em A, entã x a é raiz dupla da equaçã em x que se btém da intersecçã da curva cm a circunferência. Use este racicíni para mstrar que ceficiente angular dessa reta tangente em A é a. Seja m ceficiente angular da reta t tangente à curva y x n pnt A (a; a ), a > 0. Seja a circunferência (x h) + (y 0) r de centr C (h; 0) e rai r que passa pr A e tal que AC seja perpendicular a t. A intersecçã da curva e da circunferência é a sluçã d sistema: (x h) + (y 0) r y x (x h) + ( x 0) r x + ( h)x + h r 0.

10 matemática 0 Pel fat enunciad, x a é raiz dupla dessa ( h) equaçã, u seja, a h a +. Cm AC é perpendicular a t, tems: h a m. a 0 a a a h Questã 0 Se x, y e z sã s ânguls interns de um triângul ABC e sen x sen y + sen z, prve csy+ csz que triângul ABC é retângul. Cm x, y e z sã ânguls interns de um triângul, x + y + z + π y z x π, x 0 < < π π y z π e < <. Assim, π x sen ( ) sen x π x cs sen x cs x cs x sen x x x sen sen 0 sen y + sen z sen x cs y + cs z + sen y z y z cs sen x y + z y z cs cs ( ) cs x 0 x ABC é retângul. π, u seja, triângul

11 Matemática Mair preferência pr Álgebra Este an, a prva de Matemática d ITA apresentu nv frmat, cm 0 testes e 0 questões dissertativas. O acréscim de questões nã aumentu exageradamente a dificuldade da prva, apenas fez cm que questões bastante simples ( e 0, pr exempl) aparecessem junt cm questões de alta cmplexidade (, e 0). Pr utr lad, também nã trnu a prva mais equilibrada, mantend a preferência pela Álgebra. O nv frmat permitiu ainda que examinadres pedissem demnstrações (questões e 0), alg impssível n frmat antig. Finalmente, pdems destacar a riginalidade d teste e lamentar s prblemas ns enunciads das questões 7, 9 e 8 (veja s detalhes na resluçã da prva), que certamente causaram cnfusã para s candidats. A resluçã da prva de Química estará dispnível em e nas unidades d Etapa