Questão 1. Questão 2. Resposta. Resposta

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1 Questã 1 O gráfic mstra, aprimadamente, a prcentagem de dmicílis n Brasil que pssuem certs bens de cnsum. Sabe-se que Brasil pssui aprimadamente 50 milhões de dmicílis, send 85% na zna urbana e 15% na zna rural. a) Há 15% 50 milhões = 7,5 milhões de dmicílis na zna rural. Admitind que a distribuiçã de bens nas znas urbana e rural é mantida, d gráfic, 0% 7,5 milhões =,5 milhões de dmicílis rurais têm máquina de lavar rupas e 90% 7,5 milhões = 6,75 milhões têm televisr. b) Admitind independência entre dmicíli ter telefne e ter freezer, tems P(T F) = P(T) P(F) e, prtant, d gráfic, P(T F) = P(T) + P(F) P(T F) = P(T) + P(F) P(T) P(F) = = 60% + 0% 60% 0% = 68%. Assim, a quantidade de dmicílis da zna urbana cm telefne u freezer é 68% (50 milhões 7,5 milhões) = 8,9 milhões. Questã Cnsidere a figura, nde estã sbrepsts s quadrads OX 1 Z 1 Y 1, OX Z Y, OX Z Y, OX 4 Z 4 Y 4,..., OX n Z n Y n,..., n 1, frmads pr pequens segments medind 1 cm cada um. Sejam A n ep n a área e perímetr, respectivamente, d n-ésim quadrad. (IBGE) Admita que a distribuiçã percentual ds bens, dada pel gráfic, mantenha a prprcinalidade nas znas urbana e rural. a) Escrevend tds s cálculs efetuads, determine númer de dmicílis da zna rural e, dentre esses, quants têm máquina de lavar rupas e quants têm televisr, separadamente. b) Cnsidere s events T: dmicíli tem telefne e F: dmicíli tem freezer. Supnd independência entre esses dis events, calcule a prbabilidade de crrer T u F, ist é, calcule P(T F). Cm base n resultad btid, calcule quants dmicílis da zna urbana têm telefne u freezer. a) Mstre que a seqüência (P 1,P,..., P n,...) é uma prgressã aritmética, determinand seu term geral, em funçã de n, e sua razã. b) Cnsidere a seqüência (B 1,B,..., B n,...), A definida pr Bn = n. Calcule B 1,B eb. Pn Calcule, também, a sma ds 40 primeirs terms dessa seqüência, ist é, B 1 + B B 40. Admitind que OXn = OYn = n, n-ésim quadrad tem lad n, perímetr Pn = 4n e área A n n =, n N.

2 matemática a) Cm P n + 1 P n = 4(n + 1) 4n = 4 é cnstante, a seqüência (P 1, P,..., P n,...) é uma prgressãaritméticaderazã4etermgeralpn = 4n. An n n b) Tems Bn = = =,n N. Assim, Pn 4n B1 =, B = =, B = e, send (B 1, B,..., B n,...) uma prgressã aritmética cm 1 40 B1 = e B40 = = 10, B 1 + B B 40 = 4 4 B1 + B = = = Questã Sejam A = y 1 + y 1, B = 1 1 e C = 1 5 matrizes reais. a) Calcule determinante de A, det(a), em funçã de e y, e represente n plan cartesian s pares rdenads (, y) que satisfazem a inequaçã det(a) det(b). b) Determine e y reais, de md que A + B = C. a) Send det A = ( y) ( 1) ( + y) 1 = = y 4 e det B = ( ) 1 ( 1) =, tems det(a) det(b) y 4 y 4 ea representaçã ds pares rdenads (; y) que a satisfazem é: Questã 4 Seja z = 1 + i um númer cmple. a) Escreva z e z na frma trignmétrica. b) Determine plinômi de ceficientes reais, de menr grau, que tem z e z cm raízes e ceficiente dminante igual a 1. a) Tems1 + i = π cs + π isen. 4 4 Pela fórmula de Mivre, π π z = ( ) cs + isen 4 4 z = cs π + isen π. 4 4 b) As raízes d plinômi de ceficientes reais pedid P() sã z = ( ) =,z = 1+ i e cnjugad de z, z = 1 i. Cm ceficiente dminante de P() é 1, P() = 1 ( ) [ (1 + i)] [ (1 i)] P() = Questã 5 Cnsidere númer inteir 600, cuja fatraçã em prims é 600 = 5. Os divis- 4 resinteirsepsitivsde600sãsnúme- rs da frma 5,cmα {0,1,,,4}, α β γ β {0, 1, } e γ {0, 1, }. Determine: a) númer ttal de divisres inteirs e psitivs de 600 e quants desses divisres sã também divisres de 70. b) quants ds divisres inteirs e psitivs de 600 sã pares e quants sã quadrads perfeits. y 1 b) A + B = C 1 + y = 1 = y + 4 = 1 y = 5 + y = + y = 5 = 1 y = 4 4 a) Cm 600 = 5 e 70 = 5, 70 é um divisr de 600. Assim tems (4 + 1)( + 1)( + 1) = 45 divisres psitivs de 600 e (4 + 1)( + 1)(1 + 1) = 0 divisres psitivs de 70 que sã também divisres de 600. b) Os divisres inteirs e psitivs de 600 que sã pares precisam ter, em sua decmpsiçã, pel mens um fatr. Assim α {1,,, 4}, β {0, 1, } e γ {0, 1, }, perfazend um ttal de 4 = 6 divisres.

3 matemática Os divisres psitivs de 600 que sã quadrads perfeits devem ter α, β e γ divisíveis pr. Prtant α {0,, 4}, β {0, } e γ {0, } e, cnseqüentemente, = 1 divisres psitivs de 600 sã quadrads perfeits. Questã 6 Seja C a circunferência de centr (, 0) e rai, e cnsidere O e P s pnts de interseçã de C cm ei O. Sejam T e S pnts de C que pertencem, respectivamente, às retas r e s, que se interceptam n pnt M, de frma que s triânguls OMT e PMS sejam cngruentes, cm mstra a figura. a) Dê a equaçã de C e, sabend que a equaçã de s é y =, determine as crdenadas de S. b) Calcule as áreas d triângul OMP e da regiã smbreada frmada pela uniã ds triânguls OMT e PMS. a) Uma equaçã da circunferência C de centr (;0)eraié( ) + y = 4. Send S uma das intersecções de C cm a reta s, pdems escrever: y = y = ( ) + y = = 4 9 = y (10 6) = 0 ist é, S = 18 5 ; 6. 5 ( = 0 y = 0), 18 6 = y = 5 5 b) Send M pnt de s, sua rdenada é M ym = = e a área d triângul OMP, de 4 base OP = 4 e altura ym =, é 4 =. A área d triângul OSP, de base OP = 4 e altura ys =, é 5 1 =. 5 5 Cm s triânguls OMT e PMS sã cngruentes, a área da regiã smbreada é 1 4 (áreaδosp área Δ OMP ) = = Questã 7 Cnsidere as funções f() = 5 + lg (1 ), definida para < 1, e g() = 4 4, definida para td real. a) Reslva a inequaçã f() g(4) e a equaçã g() = f(7/8). b) Determine dmíni da funçã cmpsta f g, ist é, s valres de R para s quais f g está definida. Determine também em qual valr de a cmpsta f g atinge seu valr máim. a) f() g(4) 5 + lg (1 ) lg (1 ) 1 1 < 1 < 1 e 7 g() = f = 5 + lg = 0 ( ) = 0 =. b) (f g)() = f(g()) = 5 + lg ( ) e Df g 5 + lg ( ) R > 0 1 < < 5, u seja, D f g = [ 1; 5]. A funçã cmpsta f g atinge seu valr máim quand lg ( ) atinge seu valr máim. Cm plinômi representa uma parábla cm cncavidade para bai, máim de b 4 f g crre quand = = =. a ( 1)

4 matemática 4 Questã 8 Questã 9 A figura mstra a órbita elíptica de um satélite S em trn d planeta Terra. Na elipse estã assinalads dis pnts: pnt A (apgeu), que é pnt da órbita mais afastad d centr da Terra, e pnt P (perigeu), que é pnt da órbita mais próim d centr da Terra. O pnt O indica centr da Terra e ângul PÔS tem medida α, cm0 α 60. A altura h, em km, d satélite à superfície da Terra, dependend d ângul α, é dada aprimadamente pela funçã h = csα Determine: a) A altura h d satélite quand este se encntra n perigeu e também quand se encntra n apgeu. b) s valres de α, quand a altura h d satélite é de km. a) A altura d satélite quand este se encntra n perigeu P, ist é, quand α=0 u α=60, é: = 1 00 km e a altura d satélite quand este se encntra n apgeu A, ist é, quand α=180, é: = 000 km b) Quand h = km tems = cs α 64 + = 15, cs α = 79,8 cs α= cs α α = 90 u α=70. Cm um recipiente de vidr fin transparente na frma de um paralelepíped ret-retângul, que tem cm base um quadrad cuj lad mede 15 cm e a aresta da face lateral mede 40 cm, Márcia mntu um enfeite de natal. Para tant, clcu n interir desse recipiente 90 blas clridas maciças de 4 cm de diâmetr cada e cmpletu tds s espaçs vazis cm um líquid clrid transparente. Desprezand-se a espessura d vidr e usand (para facilitar s cálculs) a aprimaçã π=, a) dê, em cm, a área lateral d recipiente e a área da superfície de cada bla. b) dê, em cm, vlume d recipiente, vlume de cada esfera e vlume d líquid dentr d recipiente. a) A área lateral d recipiente crrespnde à área de 4 retânguls de 15 cm pr 40 cm. Prtant a área lateral é = 400 cm. 4 A área de cada bla é 4 π = 16π cm 48 cm. b) O recipiente de vidr é um paralelepíped ret-retângul de dimensões 15 cm 15 cm 40 cm. Lg seu vlume é = cm. = cme cada uma tem v- As esferas têm rai 4 lume 4 π () = π cm cm. O vlume d líquid dentr d recipiente é a diferença entre s vlumes d recipiente de vidr e das 90 esferas. Assim, vlume d líquid é, aprimadamente, cm =. Questã 10 Dis terrens, T1 e T, têm frentes para a rua R e funds para a rua S, cm mstra a figura. O lad BC d terren T 1 mede 0 m e éparalelaladdedterrent.afrente AC d terren T 1 mede50mefundbd d terren T mede 5 m. A lad d terren T há um utr terren, T, cm frente para a rua Z, na frma de um setr circular de centr E e rai ED.

5 matemática 5 Determine: a) as medidas d fund AB d terren T 1 eda frente CE d terren T. b) a medida d lad DE d terren T e perímetr d terren T. a) N triângul ABC, cm m (ACB) = 10, AC = 50 mebc = 0 m, pela lei ds c-sens, (AB) = cs 10 (AB) = AB = 70 m. Já que BC// DE, pel Terema de Tales, AB BD 70 5 = = CE = 5 m. AC CE 50 CE b) Pel cas AA, ΔACB ~ ΔAED, DE AE = BC AC DE 75 = DE = 45 m Já que terren T tem a frma de um setr circular de centr E, rai DE = 45 m e m(def) = = = 60 60, m(df) = π 45 = 60 = 15 π m. Lg perímetr d terren T é (DE) + m (DF) = π = = 15 (6 + π) m.