Guião Revisões: Funções ESA-IPVC. Funções

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1 GUIÃO REVISÕES Funções Conceito de função Quatro amigos decidiram apostar no totoloto, tendo cada um deles preenchido o seu boletim da seguinte forma: Boletim do Hugo Boletim do João Jogos Apostas Jogos Apostas Equipa A Equipa B X X Equipa A Equipa B X X Equipa C Equipa D X X Equipa C Equipa D X X 3 Equipa E Equipa F X 3 Equipa E Equipa F X X 4 Equipa G Equipa H X X 4 Equipa G Equipa H X X 5 Equipa I Equipa J X 5 Equipa I Equipa J X X X Boletim da Ana Boletim da Marta Jogos Apostas Jogos Apostas Equipa A Equipa B X X Equipa A Equipa B X X Equipa C Equipa D X X Equipa C Equipa D X X 3 Equipa E Equipa F X 3 Equipa E Equipa F X 4 Equipa G Equipa H X 4 Equipa G Equipa H X X 5 Equipa I Equipa J X 5 Equipa I Equipa J X Os boletins de totobola estabelecem uma relação entre dois conjuntos: o conjunto dos jogos e o conjunto das apostas. Quais destas correspondências são funções? Recorde que Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos A B Tal que: Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência. Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só correspondente no segundo conjunto. Página de 3

2 Representemos cada Boletim através de um Diagrama de Venn: Boletim do Hugo Boletim do Ana Boletim do João Boletim do Marta X X X X Jogo Aposta Jogo Aposta Jogo Aposta Jogo Aposta Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência. Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só correspondente no segundo conjunto. Cada correspondência é uma FUNÇÃO boletim válido. Todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência. Eistem elementos do primeiro conjunto com vários correspondentes no segundo conjunto Nem todos os elementos do primeiro conjunto estão envolvidos na correspondência porque um dos elementos do primeiro conjunto não tem correspondência no segundo conjunto. Cada elemento do primeiro conjunto tem um e um só correspondente no segundo conjunto. As correspondências NÃO são FUNÇÕES boletim não válido. Todo o processo que faz corresponder a cada elemento de um conjunto A um e um só elemento do conjunto B é uma correspondência que se chama aplicação ou função de A em B. Representando a função por, podemos escrever: f : A B f y O conjunto A conjunto de partida é o domínio da função. Representa-se por. O conjunto B designa-se por conjunto de chegada. Os elementos do domínio designam-se por objectos e os respectivos elementos do conjunto B designam-se por imagens. é a variável independente e é a variável dependente. O contradomínio é o conjunto das imagens. Representa-se por.. Atenção Não confunda f com f ()! designa uma função com o seu domínio, o seu conjunto de chegada e a indicação do processo para encontrar a imagem de cada elemento do domínio. representa a imagem do objecto do domínio, pela função. Página de 3

3 Considerando a função do boletim da Ana: a) Quais são os objectos? b) Quais são as imagens? c) Indique o domínio da função? d) Indique o conjunto de chegada? e) Indique o contradomínio da função? f) Qual é a imagem do objecto? g) Quais os objectos cuja imagem é X? Boletim do Ana Jogo X Aposta a) Os objectos são e. b) As imagens são e X. c) O domínio da função é. d) O conjunto de chegada é. e) O contradomínio da função é. f) A imagem do objecto é. g) Os objectos cuja imagem é X são e. Teste os seus conhecimentos ) Considere as seguintes correspondências de A para B: A a) Diga, justificando, se são funções. b) Das que são funções indique f B Carro garagem Comboio estação Barco porto A Março Maio Junho Julho g B o domínio, o contradomínio e o conjunto de chegada. A 3 h B A 3 5 j B 3 8 Página 3 de 3

4 Classificação de funções Relembre Função Sobrejectiva Uma função f diz-se sobrejectiva se o seu contradomínio coincide com o seu conjunto de chegada. Função Injectiva Uma função f diz-se injectiva se quaisquer dois elementos diferentes do seu domínio têm imagens diferentes. Função Bijectiva Uma função f diz-se bijectiva se é injectiva e sobrejectiva. Considerando a função do boletim do Hugo: a) Qual o domínio e o contradomínio da função? b) A função é injectiva? E sobrejectiva? E bijectiva? Boletim do Hugo Jogo X Aposta a) O domínio da função é. O contradomínio da função é b) A função não é injectiva porque, por eemplo, 3 e 5 têm a mesma imagem. A função é sobrejectiva porque o contradomínio é igual ao conjunto de chegada. A função não é bijectiva porque não é injectiva. Modos de definir uma função Imagine que vai de férias e encontra o seguinte anúncio. Como só dispõe de 50, quantos dias pode alugar a bicicleta? ALUGA-SE BICICLETAS D E P Ó S I T O 3 9 P O R D I A Página 4 de 3

5 A cada número de dias de aluguer corresponde um único custo. Assim, e são varáveis. Como o custo depende do número de dias de aluguer, diz-se que é a variável dependente e a chama-se variável independente. é função de. Eistem algumas formas de representar a função. Representando a função por meio de um diagrama de Venn N.º de dias Custo Note que os número de dias só variam de a 5. Para 6 dias teria de pagar 57, o que não seria possível, visto que só dispõe de 50. Representando a função por meio de uma tabela, obtém-se: Número de dias de aluguer Custo (em euros) Representando a função por meio de uma epressão analítica. A epressão da seguinte forma: é a epressão analítica da função. Assim, a função representa-se As epressões analíticas permitem determinar facilmente os valores de C a partir dos valores de N. Página 5 de 3

6 Representando a função por meio de um gráfico, obtemos: C Nota: O gráfico de f identifica-se com o conjunto de pares ordenados,. Como para representar um ponto no referencial cartesiano usamos o sistema de coordenadas o valor dos objectos é representado no eio dos e o das respectivas imagens no eio dos. Por este motivo é vulgar a identificação N Teste os seus conhecimentos ) Para cada uma das funções seguintes, indique se é injectiva e/ou sobrejectiva e/ou bijectiva: -4 4 g f - - 3) A função está definida pelo seguinte gráfico 3 y a) Defina f por meio de uma tabela. b) Calcule e. c) Indique o objecto cuja imagem é 3. Página 6 de 3

7 Posição a cada instante M@t.b 4) Identifique nas seguintes situações as que representam funções: y y 5) Considere as funções: a) Defina g por meio de um diagrama. b) Defina f por meio de uma tabela. c) Calcule e. d) Indique o conjunto de chegada de f e de g. e) Indique o domínio de cada função. f) Indique o contradomínio de cada função. Representação gráfica Através da representação gráfica, muita informação pode ser obtida. O seguinte gráfico representa o movimento de um automóvel ao longo de um trajecto de 700m Tempo (em segundos) a) Qual a variável independente? E a variável dependente? b) Nos primeiros 40 segundos quantos metros percorreu o automóvel? c) Durante o passeio, o automóvel alguma vez esteve parado? Se sim, quanto tempo? d) Indique o instante em que o automobilista iniciou o regresso. e) Em que momento o automóvel se encontra a 500m do ponto de partida? No momento 77s em que posição estava o automóvel? f) Qual o domínio e o contradomínio da função? Página 7 de 3

8 Gasolina no depósito ( litros) M@t.b a) A variável independente é o tempo e a variável dependente é a posição a cada instante. b) O automóvel percorreu 600 metros nos primeiros 40s. c) Sim, esteve parado durante 40s (dos 40 aos 80 s.) d) Aos 80 segundos iniciou a viagem de regresso. e) Nos momentos 30 e 85 o automóvel estava a 500m do ponto de partida. No momento 77 o automóvel estava a 600m do ponto de partida. f), Não se esqueça que o domínio é visto no eio dos, neste caso, no eio do tempo, e o contradomínio no eio dos. Teste os seus conhecimentos 6) Ao longo de uma viagem de carro, o número de litros de gasolina no depósito é dado pelo seguinte gráfico. y 5 5 Km a) O gráfico representa uma função? Justifique. b) Quantos litros de gasolina havia no depósito do carro no início da viagem? c) Quantos litros de gasolina se gastaram por cada 00 km de viagem? d) Quantos litros de gasolina se gastaram nos 400 km de viagem? Página 8 de 3

9 Altura (cm) 7) Feito um estudo sobre uma determinada população, analisou-se a evolução da altura de acordo com a idade e, construiu-se o seguinte gráfico: Idade (anos) a) O gráfico representa uma função? Justifique. b) Qual foi a altura máima atingida pela pessoa e em que altura da sua vida? c) A partir de que idade a altura começou a decrescer? d) Indique a altura da pessoa quando nasceu. Até agora. Conceito e classificação de função Modos de definir uma função Representação gráfica Função real de variável real Zeros de uma função Estudo de funções elementares: afins, quadráticas, racionais e irracionais. Página 9 de 3

10 Chama-se função real de variável real a uma função cujos domínio e contradomínio são conjuntos de números reais. Zeros de uma função Considere a função f, de domínio analítica., definida pelo gráfico que se segue e a sua epressão y y = f() -3 - a) Determine graficamente os zeros da função; b) Determine analiticamente os zeros da função. Recorde que Zero de uma função é todo o objecto que tem imagem nula. a) A função intersecta o eio dos nos pontos, e. Tal significa que, e, ou seja, e são zeros da função. Os zeros de uma função correspondem graficamente aos pontos de intersecção com o eio dos. Página 0 de 3

11 Custo( ) M@t.b b) Os zeros da função são: e, uma vez que. Para calcular os zeros de uma função analiticamente basta resolver a equação. Só as soluções pertencentes ao são zeros da função. Funções Afins O José todas as semanas enche o depósito do seu carro com gasóleo. O preço de um litro de gasóleo durante seis semanas consecutivas pode ser representado pelo gráfico seguinte:, Semanas O que pode concluir acerca do preço do gasóleo? Concluímos assim, que o preço do gasóleo se manteve constante durante as seis semanas. A situação pode ser descrita pela função. Num dos dias em que o José ia para o trabalho, devido a uma avaria, o seu automóvel movia-se à velocidade constante de 0 km/h. Logo, ao fim de uma hora teria andado 0 km, ao fim de duas horas, 0km, e assim sucessivamente. Página de 3

12 Custo ( ) Distância Percorrida(km) M@t.b Podemos representar a viagem efectuada, pelo seguinte gráfico: Traduzindo o gráfico por uma epressão analítica, tem-se onde, no conteto do problema, uma vez que não faz sentido considerar valores negativos para o tempo. Tempo (h) Assim, a função por gráfico a semi-recta que representa o percurso. terá Quando o José foi levar o automóvel ao mecânico, teve de ir para casa de tái. O custo de uma viagem de tái é representado pelo seguinte gráfico: a) Quanto custa, no mínimo uma viagem de tái? b) Se o José morar a 3km de casa, quanto vai pagar pela viagem? km a) Por observação do gráfico, verifica-se que uma viagem de tái custa, no mínimo, um euro. b) Se o João morar a 3km de casa paga 7 pela viagem. A situação por ser descrita pela epressão. No conteto do problema consideramos uma vez que não faz sentido considerar valores negativos para os quilómetros. Página de 3

13 Toda função do tipo, que é polinómio de grau, tem por gráfico uma recta. A estas funções chamam-se funções afins. é o declive da recta e é a ordenada na origem. Observação: Se então, logo trata-se de uma função linear. Se então, logo trata-se de uma função constante. Dado o gráfico de uma função afim, como podemos determinar a sua epressão analítica? Considere o seguinte gráfico e determine a sua epressão analítica. y Conhecemos dois pontos que constituem o gráfico, por eemplo, e. Sabemos que a equação da recta é do tipo. Primeiro vamos determinar o declive da recta, ou seja,. Recorde que Dados dois pontos e, o declive da recta que passa em A e em B é dado por Logo, temos. Para saber, basta substituir e pelas coordenadas de um dos pontos, considerando, por eemplo, obtemos: Concluímos que a epressão analítica de f é. Página 3 de 3

14 Distância percorrida (km) Teste os seus conhecimentos 8) Uma marca de automóveis pretende, com o gráfico seguinte, mostrar qual o consumo de gasolina de um novo modelo lançado no mercado. l) Terminal de bomba de gasolina Gasolina consumida ( 4, Espaço percorrido (km) Observe e responda: a) Esta correspondência é uma função linear? b) Com 8 litros de gasolina, quantos quilómetros se podem percorrer? c) Quantos litros de gasolina são necessários para percorrer 300 km? d) Sendo o número de quilómetros percorridos e a quantidade de gasolina consumida, complete: 9) Observe o gráfico: Horas a) A que horas partiu cada um dos veículos? b) Depois de quantas horas o carro alcançou a bicicleta? c) Se o objectivo dos condutores é chegar à mesma cidade, que distava 5 km do ponto de partida, qual é o primeiro a chegar à cidade? d) Escreva a epressão analítica da função cujo gráfico é: d ) a recta associada ao percurso da mota; d ) a recta associada ao percurso do ciclista. Página 4 de 3

15 Distância (m) Funções quadráticas Num grande prémio de Fórmula, um espectador encontra-se num local em que consegue visualizar um determinado troço do percurso. A certa altura vê um carro. A distância, em metros, deste ao espectador é dada por, com em segundos. a) Construa o gráfico da função, no conteto do problema. b) Qual o domínio da função no conteto do problema? c) A que distância se encontra o carro do espectador quando este o vê pela primeira vez? d) Ao fim de quanto tempo se atinge a menor distância entre o carro e o espectador? Qual é essa distância? Relembre que A toda a função, real de variável real, do tipo, com, que é polinómio de grau, chama-se função quadrática. A sua representação gráfica é uma parábola em que: se a concavidade é voltada para cima; se a concavidade é voltada para baio. a) Recorrendo ao winplot pode construir o gráfico da função, no conteto do problema. Tempo (s) Página 5 de 3

16 b) O domínio da função no conteto do problema é pois não faz sentido considerar o tempo negativo. c) O espectador vê o carro pela primeira vez em. Para saber a distância temos que determinar a imagem de 0. Assim, quando o espectador vê o carro pela primeira vez, este está a uma distância de 55 metros. d) Para saber qual é menor distância entre o carro e o espectador basta calcular as coordenadas do vértice da parábola. Comecemos por igualar a função a um valor qualquer do contradomínio, por eemplo 55 para ser mais fácil de resolver. A parábola tem um eio de simetria que passa pelo vértice da parábola. Eistem dois objectos cuja imagem é 55: 0 e 6. Logo, o eio de simetria passa pelos pontos cuja abcissa é a média destes valores, ou seja,. Para saber a ordenada do vértice determina-se a imagem de 3 As coordenadas do vértice são:. Ao fim de 3 segundos atinge-se a menor distância entre o carro e o espectador. Essa distância é de 0 metros. Recorrendo ao winplot faça a representação gráfica das seguintes funções quadráticas e, para cada uma delas, indique o domínio, o contradomínio, os zeros, a concavidade, os intervalos onde é positiva e negativa e a monotonia: a) b) Página 6 de 3

17 a) y f() Recorde Zeros: 0 Concavidade voltada para cima. É positiva em. É decrescente em. É crescente em. Graficamente uma função é positiva se está acima do eio dos e é negativa quando está abaio do mesmo eio. Analiticamente, uma função f é positiva em se qualquer que seja, E é negativa em se qualquer que seja, b) y Zeros:, - Para saber o contradomínio da função precisamos de saber as coordenadas do vértice da parábola. Como o eio de simetria da parábola passa pelo vértice e, eistem dois objectos ( e -) que têm imagem 0, o eio de simetria é mesma imagem. Assim a abcissa do vértice é que é a média dos dos objectos que têm a. Para saber a ordenada basta calcular a imagem de. As coordenadas do vértice são Concavidade voltada para baio. É positiva em. É negativa em. É decrescente em. É crescente em. Página 7 de 3

18 Teste os seus conhecimentos 0) Recorrendo ao winplot faça a representação gráfica das seguintes funções quadráticas e, para cada uma delas, indique o domínio, o contradomínio, os zeros, a concavidade, os intervalos onde é positiva e negativa e a monotonia: a) b) c) d) ) No dia 0 de Abril, foi detectada num doente uma infecção cutânea, que evoluiu de acordo com o seguinte modelo matemático:, sendo a área de pele infectada (em mm ) e t o tempo (em dias) contado a partir do momento em que foi detectada. Sabe-se que a área infectada começou a diminuir quando foi administrado um antibiótico. a) Qual a área de pele atingida durante a infecção? b) Em que dia se iniciou o tratamento com o antibiótico? c) A infecção afectou uma área de 6 mm? Se sim, passado quantos dias? Comente os resultados obtidos? e) Ao fim de quanto tempo a infecção se etinguiu? Funções racionais Uma espécie rara de insectos gigantes foi descoberta numa floresta da Amazónia. Para proteger esta espécie, os cientistas fizeram transportar alguns dos insectos para uma área protegida. A população de insectos, t meses depois de ser deslocada, era dada por: a) Qual é o domínio da função no conteto do problema? b) Quantos insectos foram transportados? c) Qual é a população, passados 5 anos? d) Passados quantos anos a população atinge 000 insectos? Página 8 de 3

19 a) O domínio da função é Na presença de uma fracção temos de garantir que o denominador é diferente de zero. No conteto do problema não faz sentido que os meses sejam negativos, por isso o domínio da função, no conteto do problema é. b) Para sabermos os insectos que foram transportados temos de calcular a população no inicio da contagem do tempo, ou seja, para. R: Foram transportados 5 insectos. c) Passados 5 anos são meses R: Passados 5 anos, a população é de 596 aproimadamente. d) Para saber passados quantos meses a população atinge os 000 insectos tem-se de resolver a equação. Recorde que: A B 0 A 0 B 0 uma vez que. 30 meses correspondem a 0 anos e 0 meses. R: Passados 0 anos e 0 meses a população atinge 000 insectos. A função é eemplo de uma função racional. Página 9 de 3

20 Uma função f, real de variável real, chama-se função racional se pode ser representada pelo quociente entre dois polinómios, sendo o divisor um polinómio não nulo. O domínio de uma função racional é dado por:. Teste os seus conhecimentos ) Determine o domínio e os zeros das funções definidas por: a) ; b) ; c) ; d). 3) Admita que uma determinada raça de cães tem um desenvolvimento que obedece ao seguinte modelo matemático: sendo o peso médio (em Kg) de um animal em função do tempo t (em meses) de vida desde o seu nascimento. a) Qual é o peso médio de um animal recém-nascido? b) Com que idade um cão desta raça atinge os 9 Kg? c) Até que idade o peso médio do animal não ecede 5kg? 4) A altura, em metros, de uma árvore, t anos após o momento em que foi plantada, é dada por. a) Com que altura a árvore foi plantada? b) Qual foi a variação da altura da árvore nos primeiros nove meses após ter sido plantada? c) Com a ajuda do programa Winplot faça um esboço do gráfico da função. d) Passado quanto tempo a árvore atinge uma altura de 4 metros? Página 0 de 3

21 5) Considere o gráfico de uma função racional f: y a) Indique o domínio e o contradomínio da função f. b) Qual é a abcissa que tem imagem 0? c) A função é injectiva? Funções Irracionais Uma função f, real de variável real, chama-se função irracional se a variável independente figura no radicando. No cálculo do domínio de uma função irracional do tipo, onde, é necessário ter em atenção que: Se n é par, Se n é ímpar, não eiste qualquer restrição, é. Considere as seguintes funções: e a) Determine o seu domínio. b) Recorrendo ao programa winplot, faça a representação gráfica das funções e g, indique o domínio, o contradomínio e os zeros de cada uma. Verifique se são injectivas. Página de 3

22 a) Note que, por eemplo, pois. Lembre-se que: No cálculo do domínio de uma função irracional, se o índice for par, o radicando não pode tomar valores negativos. índice radicando b) y Zeros: 0 A função é injectiva. y Zeros: 0 A função é injectiva. As funções e são eemplos de funções irracionais. Página de 3

23 Teste os seus conhecimentos 6) Determine o domínio das seguintes funções: a) b) c) d) 7) A procura de um determinado modelo de relógio é dada, em centenas de unidades, em função do preço p, em dezenas de euros, por a) No conteto do problema determina o domínio da função. b) Determine o preço p para o qual a procura é de centenas de unidades. Referências [] Neves, M.A.;Guerreiro, L.; Neves, A; Matemática 8º ano, ª Parte,ª edição, Porto Editora, 003; [] Guerreiro, L.; Neves, M.A.; Matemática A 0.º - Funções I, Porto Editora 004; [3] Costa, B.; Resende, L.; Rodrigues, E.; Espaço 0, ª edição, Edições Asa, 005 [4] Soveral, A.; Silva, C.; Matemática 0º ano, vol., ª edição, Teto Editora, 003 [5] Guerreiro, L.; Neves, M.A.; Moura, A.; Matemática A.º - Funções II, Porto Editora 005; [6] Costa, B.; Resende, L.; Rodrigues, E.; Espaço, ª edição, Edições Asa, 005 Página 3 de 3