1.1. Área do triângulo em função de um lado e da altura Área do triângulo em função de um lado e da altura

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA A área de um triângul é dada pela fórmula: Gemetria Plana II BASE ALTURA Aqui é imprtante saber que qualquer lad d triângul pde ser tmad cm base, desde que se utilize a altura relativa a respectiv lad na aplicaçã da fórmula. Prf.: Rgéri Dias Dalla Riva 4 Gemetria Plana II 1.Área d triângul.área d paralelgram 3.Área ds paralelgrams ntáveis 4.Área d trapézi 5.Área de um quadriláter qualquer 6.Área d círcul e suas partes 7.Áreas das figuras semelhantes A área de um triângul nã depende d lad que esclhems cm base. a h b h c h S a b c 5 1. Área d triângul Vams apresentar as frmas de calcular a área de um triângul cnsiderand três pssibilidades: (a) Área de um triângul em funçã de um lad e da altura relativa a ele; (b) Área d triângul em funçã de dis lads e d ângul cmpreendid e (c) Área d triângul em funçã ds lads (fórmula de Herã). 3 A área de um triângul nã depende d lad que esclhems cm base. a h b h c h S a b c 6 1

2 A área de um triângul nã depende d lad que esclhems cm base. a h b h c h S a b c 7 Os triânguls AHC e BIC sã semelhantes, pis H I 90 e C é um ângul cmum as dis triânguls. Assim, BC BI a h AC AH b h b a ha b hb a 10 Lg, a ha b h b (1) De frma análga, demnstra-se que: Esta prpriedade é demnstrada cm auxíli da semelhança de triânguls, traçand as alturas h a e h b de um triângul ABC. 8 a ha c h c () E de (1) e (), cnclui-se que: a h b h c h a b c 11 Exercíci 1: Seja ABC um triângul isósceles em que AB AC 13 cm e BC 10 cm. Calcular: a) a área desse triângul; b) a altura relativa a lad AC. Nesta figura, vams destacar s triânguls AHC e BIC. 9 1

3 Resluçã: a) Para cálcul da área, cnvém utilizar lad BC cm base, já que a altura relativa a ele é também mediana e, pr iss, pde ser facilmente calculada pel terema de Pitágras. Exercíci : Seja P um pnt intern qualquer de um triângul equiláter. Demnstrar que a sma das distâncias de P as lads desse triângul é igual à sua altura D triângul AHC, tems: h h h 144 h 1 cm Resluçã: Observe a figura. P é um pnt intern qualquer d triângul equiláter ABC. Querems prvar que: x + y + z h. Entã, a área d triângul é: 10 1 S S 60 cm b) Cm a área d triângul é igual a 60 cm, tems: Unind pnt P as vértices d triângul, este fica decmpst ns triânguls PBC, PAC e PAB. A sma das áreas desses três triânguls é igual à área d triângul ABC. 13 hc hc cm S + S + S S PBC PAC PAB ABC l x l y l Z l h + + l l ( x + y + z) h x + y + z h 18 3

4 1.. Área d triângul em funçã de dis lads e d ângul Exercíci 3: Calcule a área d triângul ABC da figura abaix. 19 Cnsidere um triângul ABC qualquer e uma de suas alturas. Pr exempl, a altura AH. N triângul retângul ABH, tems: h sen B h c sen B c 1.. Área d triângul em funçã de dis lads e d ângul Exercíci 4: Calcule a área de um triângul equiláter de lad l. 0 Substituind h pr c sen B na fórmula da área d triângul ABC, btems a h a c sen B S ABC S ABC Área d triângul em funçã de dis lads e d ângul Exercíci 5: Calcule x, sabend que BC 10 e AC 8. 1 Nte que a última igualdade dá a área d triângul ABC em a e c e d ângul B, cmpreendid entre esses dis lads. De md análg, demnstra-se que essa fórmula se aplica a quaisquer dis lads d triângul. b c sen A a c sen B a b sen C S 4 4

5 1.. Área d triângul em funçã de dis lads e d ângul 1.. Área d triângul em funçã de dis lads e d ângul Exercíci 6: Calcular a área d triângul da figura abaix. Resluçã: Inicialmente bserve que BM 4 e que ângul B é igual a 60, pis triângul ABC é equiláter. Pr utr lad, nte que a área S, d quadriláter AMNC, é igual à diferença das áreas ds triânguls ABC e BMN Área d triângul em funçã de dis lads e d ângul 1.. Área d triângul em funçã de dis lads e d ângul Resluçã: S S S ABC BMN 6 6 sen sen60 S 3 3 S 18 6 S S sen 45 S 40 0 cm Área d triângul em funçã de dis lads e d ângul 1.. Área d triângul em funçã de dis lads e d ângul Exercíci 7: Na figura abaix, ABC é um triângul equiláter de lad l 6. Calcular a área d quadriláter AMNC, sabend que AM e BN 3. Exercíci 8: Na figura abaix, ABC é um triângul equiláter de lad l 4a e AK BL CM a. Calcule a área d triângul KLM em funçã de a

6 1.. Área d triângul em funçã de dis lads e d ângul 1.3. Área d triângul em Exercíci 9: Na figura abaix, sabe-se que DE // BC, AD 4, DB, AE 6 e A 45. Calcule a área d trapézi BDEC. 31 Pel terema de Pitágras, ns triânguls AHB e AHC, tems: c h + m b h + ( a m) (1) b h + a am + m () Área d triângul em funçã de dis lads e d ângul 1.3. Área d triângul em Exercíci 10: Na figura seguinte, s triânguls ABC e ECD sã equiláters. Se AB 6 cm e ED 4 cm, calcule a área d quadriláter ABDE. 3 Subtraind membr a membr a igualdade (1) da igualdade (), vem: b c a am E island m nesta última igualdade, terems: a b + c m a (3) Área d triângul em 1.3. Área d triângul em Agra, vams substituir em (1) valr de m encntrad em (3). Seja ABC um triângul qualquer e altura relativa a vértice A. AH a a b + c c h + a c h + ( a b + c ) 4a ( ) ( ) ( ) ( ) 4a c 4a h + a b + c 4a h 4a c a b + c 4a h ac a b + c

7 1.3. Área d triângul em 1.3. Área d triângul em Fatrand a diferença de quadrads d segund membr da última igualdade, tems: Cm ah/ é a área d triângul ABC, cncluíms que: 4 a h ( ac + a b + c ) ( ac a + b c ) 4 a h ( a + ac + c b ) ( b a + ac c ) ( ) 4 a h ( a + ac + c b ) ( b ( a ac + c )) 4 a h [( a c) b )] [( b ( a c) ] + 37 A área de um triângul de lads a, b e c é dada pela fórmula: S p( p a)( p b)( p c) Área d triângul em 1.3. Área d triângul em Agra, vams fatrar as diferenças de quadrads que estã entre clchetes. a + c + b) a + c b) b + a c) b a + c) 4 a h ( ( ( ( a + b + c) b + c a) a + c b) a + b c) (4) 4 a h ( ( ( ( Fazend a + b + c p, pdems representar s demais fatres d membr de (4) cm segue: b + c a a + b + c a p a ( p a) p a + c b a + b + c b p b ( p b) p a + b c a + b + c c p c ( p c) p 38 nde p é semiperímetr d triângul. Ist é, a + b + c p Cm esta fórmula, denminada fórmula de Herã, pdems calcular a área de qualquer triângul d qual cnhecems s lads Área d triângul em 1.3. Área d triângul em Entã, pdems escrever a igualdade (4) da segunda maneira: 4a h 4a h p ( p a) ( p b) ( p c) 16 p( p a)( p b)( p c) a h 4 p( p a)( p b)( p c) Lg, Exercíci 11: Calcule a área de um triângul de lads a 5 cm, b 6 cm e c 7 cm. ah p( p a)( p b)( p c) Ou ainda, ah p( p a)( p b)( p c)

8 1.3. Área d triângul em 1.4. Cálcul d rai da circunferência inscrita Resluçã: Inicialmente, tems: a + b + c p p p 9 Entã, S p ( p a) ( p b) ( p c) S 9 (9 5) (9 6) (9 7) S S 6 6 cm 43 S S + S + S BIC AIC AIB ar br cr S + + ( a + b + c) S r S pr Área d triângul em 1.5. Cálcul d rai da circunferência circunscrita Exercíci 1: Na figura, pnt P é equidistante ds lads d triângul. Calcule a distância de P a cada um ds lads. Da lei ds sens, tems: a a R sen A sen A R Cálcul d rai da circunferência inscrita 1.5. Cálcul d rai da circunferência circunscrita Seja I incentr de um triângul ABC qualquer. Unind-se pnt I as três vértices d triângul, este fica decmpst ns triânguls BIC, AIC e AIB. 45 Pr utr lad, sabems que a área d triângul ABC é dada pr bc sen A S 48 8

9 1.5. Cálcul d rai da circunferência circunscrita 1.5. Cálcul d rai da circunferência circunscrita Pr utr lad, Substituind sen A pr a/r nesta fórmula, btems a bc R abc S S 4R 49 abc S 4R R 4 6 R R R 35 6 cm Cálcul d rai da circunferência circunscrita. Área d paralelgram Exercíci 13: Calcular s rais das circunferências inscrita e circunscrita num triângul de lads a 5 cm, b 6 cm e c 7 cm. A área de um paralelgram qualquer é dada pela fórmula: BASE X ALTURA Cálcul d rai da circunferência circunscrita. Área d paralelgram Resluçã: Calculand a área d triângul pela fórmula de Herã, btems: Entã, S 6 6 cm S p r 6 6 9r r 6 cm 3 51 D mesm md que crre cm triângul, também n paralelgram qualquer lad pde ser tmad cm base. A altura será a distância desse lad a lad pst. ' S a h b h p 54 9

10 3. Área ds paralelgrams ntáveis 3. Área ds paralelgrams ntáveis Os paralelgrams ntáveis sã retângul, lsang e quadrad. Suas áreas também sã dadas pela fórmula base x altura. Exercíci 14: Na figura abaix, ABCD é um paralelgram. Se a área d triângul ABM é igual a 10 cm, qual é a área d paralelgram? Retângul Lsang Quadrad SR a b SL l h S a a a Q Área ds paralelgrams ntáveis 3. Área ds paralelgrams ntáveis Exercíci 15: Calcule a área d quadrad MNPQ em funçã de a. Prém, cm as diagnais d lsang sã perpendiculares, é pssível expressar sua área em funçã de suas diagnais. Pels vértices de um lsang traçams as retas paralelas às diagnais, btend um retângul de lads cngruentes a essas diagnais Área ds paralelgrams ntáveis 3. Área ds paralelgrams ntáveis Exercíci 16: M e N sã s pnts médis ds lads AB e BC de um quadrad ABCD. Se MN 5, calcule a área d quadrad. Os lads e as diagnais d lsang decmpõem retângul em 8 triânguls retânguls cngruentes, ds quais 4 frmam lsang. Entã, a área d lsang é a metade da área d retângul. Ist é, é semiprdut das diagnais. SR D d SL SL

11 3. Área ds paralelgrams ntáveis 4. Área d trapézi Exercíci 17: O perímetr de um lsang é igual a 40 cm e sua diagnal mair é D 16 cm. Calcule a área desse lsang. A área de um trapézi qualquer é dada pela fórmula: 61 ( BASE MAIOR + BASE MENOR) ALTURA Área ds paralelgrams ntáveis 4. Área d trapézi Exercíci 18: Um retângul de área igual a 540 cm está inscrit num círcul e tem seus lads prprcinais a 5 e 1. a) Calcule as medidas ds lads d retângul. B) Calcule rai d círcul. 6 Essa fórmula pde ser facilmente btida decmpnd trapézi em dis triânguls pr mei de uma de suas diagnais. S S + S T ABD BCD ah bh ( a + b) h ST + ST Área ds paralelgrams ntáveis 5. Área de um quadriláter qualquer Exercíci 19: Na figura abaix, ABCD é um retângul, MN // AB, KL // BC, LDMO é um quadrad e as áreas ds retânguls OLCN e OKAM sã iguais a 15 e 6, respectivamente. Se x + y 7, calcule a área d retângul OKBN. S S S Q 1 + SQ S1 + S + S3 + S4 A área de um quadriláter qualquer geralmente é calculada decmpnd- em triânguls, pr mei de suas diagnais

12 5. Área de um quadriláter qualquer 5. Área de um quadriláter qualquer Exercíci 0: Num trapézi de altura h 5 cm a base média mede 6 cm. Calcule a área desse trapézi. Exercíci 3: Na figura, AB AC BC 10 e CD 6. Calcule a área d quadriláter ABCD Área de um quadriláter qualquer 5. Área de um quadriláter qualquer Exercíci 1: Na figura abaix, M e N sã s pnts médis ds lads AD e BC d trapézi ABCD. Calcule a área desse trapézi, sabend que a área d trapézi MABN é igual a 18. Exercíci 4: A figura seguinte mstra a planta de um terren. Para calcular a sua área prprietári dispõe das seguintes medidas. a m b 4 m c 18 m α 30 β Área de um quadriláter qualquer 6. Área de um círcul e de suas partes, calcule a área d tra- Exercíci : Se pézi BCDE. BE // CD A área de um círcul de rai r é dada pela fórmula SC πr

13 6. Área de um círcul e de suas partes 6.1. Área da cra circular Pi (π) é númer irracinal que representa a razã entre cmpriment de uma circunferência e seu diâmetr. Assim send, send C cmpriment de uma circunferência de diâmetr d, entã: C π d 73 A área da cra circular é: S πr πr cra S π R r cra ( ) Área de um círcul e de suas partes 6.1. Área da cra circular Exercíci 5: Calcule a área d círcul inscrit num triângul de lads 5 cm, 6 cm e 7 cm. Ou, ainda, C d π E cm d r, tems: C r π C π r Área da cra circular 6.1. Área da cra circular Exercíci 6: Calcule a área da cra circular limitada pelas circunferências inscrita e circunscrita num mesm quadrad de lad l 4 cm. Cnsidere dis círculs cncêntrics, ist é, de mesm centr, de rais R e r, R > r. Chama-se cra circular cnjunt de tds s pnts que pertencem a círcul mair e que nã estã n interir d círcul menr

14 6.1. Área da cra circular 6.. Área d setr circular Exercíci 7: Qual é a razã entre as áreas ds círculs inscrit e circunscrit num mesm triângul equiláter? Ver slides 66 e 67. Aula: Gemetria Plana I 79 ist é, estã send tmadas α partes de um ttal de 360. Assim, cm a área d círcul é igual a πr, a área desse setr será: S setr α πr Área d setr circular 6.. Área d setr circular Chama-se setr circular a intersecçã de um círcul qualquer cm um ângul também qualquer que tenha seu vértice n centr d círcul. O setr circular é uma fraçã d círcul. Desse md, para calcular a área de um setr circular basta descbrir qual é a fraçã que ele representa d círcul. 80 Se a medida α d ângul d setr estiver expressa em radians, basta, na fórmula da área, substituir 360 pr π. Ist é, para α em radians α αr π Ssetr π r Ssetr Área d setr circular 6.3. Área d segment circular Supnha, entã, que seja cnhecida a medida α, em graus, d ângul que define setr. Nesse cas, perceba que a fraçã que ele representa d círcul é: α Chama-se segment circular qualquer uma das partes em que um círcul fica dividid pr uma crda qualquer. A área de um segment circular é calculada a partir das áreas de um setr circular e de um triângul, segund dis cass pssíveis

15 6.3. Área d segment circular 6.3. Área d segment circular Resluçã: Cm triângul é equiláter, cada um de seus ânguls mede 60. Assim, a área S prcurada é igual à área d triângul subtraída das áreas de dis setres circulares de Cas: O segment circular nã cntém centr d círcul. Sseg Ssetr S AOB 85 S S S ABC SETOR sen S.. π S π 6 π S Área d segment circular 6.3. Área d segment circular Exercíci 9: ABCD é um quadrad de lad a. Os arcs de circunferência têm centrs em A e C. Calcular a área da regiã indicada. Cas: O segment circular cntém centr d círcul. Sseg Ssetr + S AOB Área d segment circular 6.3. Área d segment circular Exercíci 8: Na figura abaix, ABC é um triângul equiláter de lad l. Os arcs de circunferência têm centrs em A e B e ambs têm rai r 1. Calcular a área da regiã indicada. 87 Resluçã: A área prcurada é dbr da área S d segment circular da figura abaix. Pr sua vez, a área desse segment circular é igual à diferença entre as áreas d setr circular de 90 e d triângul BCD. S S S SETOR 90 a a S π ( a) S π 4a a 4 S πa a S a ( π ) S a ( π ) BCD 90 15

16 6.3. Área d segment circular Exercíci 30: Na figura abaix, ABC é um triângul equiláter de lad l 4. As semicircunferências têm centrs ns pnts médis ds lads, sã tangentes duas a duas e têm rais iguais. Calcule a área da regiã indicada. ' 91 Se ' ' ' ABC A BC a b c h cm k ' ' ' ' a b c h entã S S ABC ' ' ' A B C k Área d segment circular Exercíci 31: As três circunferências da figura têm mesm rai r e sã tangentes duas a duas. Calcule a área da regiã indicada. ' 9 a h Pr hipótese, tems: k e k ' ' a h Entã, ah S ABC ah a h S ABC k k k ' ' ' ' ' ' S ' ' ' a h a h a h S ' ' ' A B C A BC 95 ' Se dis triânguls sã semelhantes e a razã de semelhança entre eles é igual a k, entã a razã entre suas áreas é igual a k. Assim, se S e S sã as áreas de dis triânguls semelhantes, send k a razã de semelhança, tems: 93 S k S k S ' ' S 96 16

17 Cnsidere, agra, dis plígns semelhantes P e P quaisquer, e seja k a razã de semelhança entre eles. Vams prvar que a razã entre as áreas de P e P é igual a k. Para tant, bserve que s plígns pdem ser decmpsts em pares de triânguls semelhantes. 97 Lg, S S3 k ( S 1 1' S' S3 ' ) S S + S 1 + S3 + k S + S + S + 1' ' 3 ' 100 ' ' ' ' ( ABCD A B C D ) 1 1', ', É de imediata verificaçã que a razã de semelhança entre cada um desses pares de triânguls semelhantes é igual a k. Representand suas áreas pr S 1, S, S 3, e S 1, S, S 3, terems: 98 A última igualdade mstra que a razã entre as áreas ds plígns é igual a k. 101 Exercíci 3: Os quadriláters da figura abaix sã semelhantes. Calcular s lads d quadriláter mair, sabend que sua área é dbr da área d menr. S k S 1 1' S k S ' S k S 3 3 ' Smand essas igualdades membr a membr, btems:

18 Resluçã: Seja S a área d quadriláter menr. Entã, a área d quadriláter mair é igual a S e cm a razã entre suas áreas é k, tems: S k k k S x 3 x 3 y 4 y 4 u 7 u 7 v 6 v Exercíci 34: Os triânguls ABC e DEF da figura sã semelhantes. a) Calcule a razã de semelhança e a razã entre as áreas desses dis triânguls. b) Se a área d triângul ABC é igual a S, qual é a área d triângul DEF? 106 Exercíci 33: Na figura abaix DE // BC. Calcular x em funçã de h, sabend que a área d trapézi BDEC é dbr da área d triângul ADE. Exercíci 35: Na figura DE // BC. Calcule x em funçã de h, sabend que triângul ADE e trapézi BDEC sã equivalentes Exercíci 33: Cm DE // BC, sabems que s triânguls ADE e ABC sã semelhantes. Seja k a razã de semelhança entre eles. Se a área d triângul ADE é S, a área d trapézi BDEC é igual a S e a área d triângul ABC é S + S 3S. Lg, S S ADE ABC S k 3S 1 3 k k 3 3 Assim, x 3 h 3 x h