Lugar Geométrico das Raízes. Lugar Geométrico das Raízes. Lugar Geométrico das Raízes

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1 Cnstruíd dretamente a partr ds póls e zers da funçã de transferênca de malha aberta H(. Os póls de malha fechada sã sluçã da equaçã + H( = 0, u: arg( H( ) = ± 80 (k+), k = 0,,,... H( = Para cada pnt s (d plan cmplex que satsfaz a cndçã de ângul, arg( G (s )H(s ) ), há um ganh K crrespndente que satsfaz a cndçã de módul. LGR: Gráfc ds póls de malha fechada para tds s valres d ganh K de 0 a. Para traçarms gráfc, vms que precsams apenas achar s pnts que satsfazem a cndçã angular (a aplcaçã da cndçã d módul drá que valr de K crrespnde a uma dada lcalzaçã n LGR). Prmer pass: lcalzar s póls (pnts de partda d LGR) e zers (pnts de chegada d LGR) de malha aberta (u seja, da funçã de transferênca H( ). A segur: determnar que prções d ex real pertencem a LGR (pnt de teste s ). Regra geral : Os pnts n ex real que encntramse à esquerda de um númer ímpar de póls e/u zers sã parte d LGR. (pr que?) Próxm pass:determnar númer de rams d LGR. Regra geral : Um ram d LGR parte de cada pól de malha aberta d sstema (crrespndente a K = 0). Para K, cada ram rá termnar em um zer de malha aberta. Se sstema tver n póls e m zers fnts, cm n m, m rams rã termnar ns m zers fnts, e s n m rams restantes rã termnar ns n m zers n nfnt. ( Mas nde estã estes zers n nfnt?)

2 Zers n nfnt e assínttas Regra geral : Vms que as assínttas rgnam-se n ex real n pnt: póls zers σ = n m e partem a lng ds ânguls: θ = 80 ( k + ), n m k = 0,,... Exempl: =, H ( s ) = s ( s + s + ) Pass : Determnar s póls e zers de malha aberta nã há zers de malha aberta; póls de malha aberta: s = 0 e s = ± j Pass : Determnar LGR n ex real ex real negatv (pr que?) Pass : Zers n nfnt zers n nfnt e, prtant, assínttas (pr que?) Assínttas: 0 + ( + j) + ( j) pnt de partda: σ = = 80 ( k + ) ânguls: θ = Pass 4: Cada ram d LGR parte de um pól de malha aberta e termna em um zer fnt (nenhum, neste ca u em um zer n nfnt. Um ram nca-se em s = 0 e percrre ex real negatv ( ); E s utrs ds rams?

3 Os utrs ds rams partem ds póls cmplex cnjugads e camnham na dreçã ds zers n nfnt Mas de que md? Ânguls de partda (a partr ds póls cmplexs cnjugad: determnam a dreçã em que s rams partem ds póls de malha aberta. Cnsdere um pnt de teste s mut próxm (à uma dstânca ε > 0) d pól em s = + j. Supnha que um vetr partnd d pól para s faça um ângul θ em relaçã a ex real pstv. Neste cas, cm fca a cndçã de ângul? s ) H ( s ) = m = s z ) n j= s p ) = θ 5 90 s ) H ( s ) = m = s z ) n j= s p ) = θ 5 90 Estes ânguls serã cnstantes, ndependentes de θ, smente se a dstânca ε entre s e pól em s = + j fr mut pequena.

4 s ) H ( s ) = Cndçã angular: θ = 45 m = s z ) j= s p ) = θ 5 90 Assm, LR parte d pól em s = + j cm um ângul de 45 Cm as raízes cmplexas crrem em pares cnjugads ângul de partda a partr d pól em s = j é n s ) H ( s ) = θ 5 = 80 Uma questã permanece: cm s póls de malha fechada partem ds póls de malha aberta (K = 0) e atngem as assínttas (K )? Cnsdere a reta a 45 a partr d pól em s = + j. Se ns mverms a lng desta lnha: As cntrbuções a argument ds póls em s = 0 e s = + j nã rã mudar. N entant, a cntrbuçã d pól em s = j rá dmnur. Prtant, a fase será mens negatva d que 80 a lng desta lnha. Assm, cm θ deve varar para que a cndçã de ângul cntnue send satsfeta?

5 Próxmas cnsderações: Em que pnt LR crta ex magnár? Em que pnt sbre ex real s rams partnd de póls de malha aberta reas separam-se? Para st, cnsdere sstema dad pr: H ( = s ( s + ) ( s + ) LGR? Póls e zers de malha aberta; Prçã d ex real pertencente a LGR; Zers n nfnt: ângul e pnt de partda das assínttas. K H ( = K s ( s + ) ( s + ) Nenhum zer de malha aberta; Póls de malha aberta em: s = 0; s = e s = ; Zers n nfnt: n m = 80 (k + ) θ = Pól em s = : LGR parte de e mve-se para a esquerda, na dreçã ; E ns póls em s = 0 e s =? 0 + ( ) + ( ) σ = = 0 Póls em s = 0 e s = Um ram parte de 0 e utr de em algum pnt sbre ex real, s rams se encntram e, a segur, s póls trnam-se cmplexs. Cm determnar este pnt em que s rams se separam?

6 Determnaçã d pnt de quebra: Até agra: a varar K de 0 a, cm LGR (u seja, s póls de malha fechada) varam? Agra: a camnharms a lng d LGR, cm K vara? Cmeçand de s = 0, e mvend-se para a esquerda (nã há LR à dreta de s = 0) valr de K aumenta. Cmeçand de s =, e mvend-se para a dreta, também sabem que valr de K aumenta. Se cntnuássems em cma d ex real, a nvés de acmpanharms s póls de malha fechada, a passarms d pnt de quebra, valr de K passa a dmnur, até 0. Determnaçã d pnt de quebra (cntnuaçã): Prtant, pnt de quebra é um pnt de máxm para K. Assm, para determnar pnt de quebra, pdems pensar em K cm uma funçã de s, K(. O pnt de máxm de K(, que é pnt de quebra, pde ser encntrad pr: K( = 0. Mas K( =? s Cm K smente é defnd a lng d LGR, para pnts pertencentes a LR, pde-se bter K( a partr da cndçã de magntude. IMPORTANTE: Os pnts de quebra pdem ser pnts de separaçã de partda u de chegada em relaçã a ex real. Se um lugar das raízes estver entre ds póls de malha aberta adjacentes sbre ex real, entã exste pel mens um pnt de separaçã de partda entre s ds póls. Analgamente, se exstr um lugar das raízes entre ds zers adjacentes (um zer pde estar lcalzad em ) sbre ex real, entã sempre exstrá pel mens um pnt de separaçã de chegada entre s ds zers. Se exstr um lugar das raízes entre um pól e um zer (fnt u nfnt) de malha-aberta sbre ex real, entã nã pdem exstr pnts de separaçã de partda u chegada, u entã, lá exstrá tant pnts de separaçã de partda cm de chegada.

7 Vltand a exempl: Para um pnt s pertencer a lugar das raízes, devese ter: K = equaçã característca s ( s + ) ( s + ) d sstema Pde-se defnr K( cm: K H ( = K s ( s + ) ( s + ) K( = s ( s + ) ( s + ) K( ( s + s + = (s ) = 0 K( = s s 6 ± 6 4 s + 6s + = 0 s = = ± 6 s = ± s = 0.46; s = Cm pdems saber qual é valr de s crrespndente a pnt de quebra? Smente s pertence a LGR!!!.5774 Realmente, substtund s e s para determnar respectv valr de K: Prtant, LGR para sstema é da frma: O que LGR ns dz a respet d sstema?

8 Qual é err de regme estacnár para uma entrada degrau untár? Cm há um pól em s = 0, e ss = 0 para a entrada degrau. Supnha que K = 0,5. O sstema é sbreamrtecd, crtcamente amrtecd u subamrtecd? Cm pnt de quebra só crre para K = 0,8, sstema para K dad pssu raízes reas mut mas lentas d que a tercera, pr estarem mas próxmas d ex jω: sã prtant póls dmnantes. Cm ds póls dmnantes reas, sstema é sbreamrtecd. Cm determnar valr de K para qual sstema rá cruzar ex magnár? Valr de K para qual sstema cruza ex magnár: Pde-se utlzar crtér de Ruth-Hurwtz. C( K = = R( + H ( s + s + s + K K < 6 K > 0 0 < K < 6 para sstema ser estável K = 6 : as raízes da equaçã característca (póls de malha fechada) sã magnáras. Para K = 6, sstema será sclatór, sem amrtecment. Qual é a freqüênca de sclaçã? Para tant, é necessár achar s póls de malha fechada para este valr de K: s + s + s + 6 = 0 O plnôm é cúbc, mas sabems que a raz é magnára. Assm, s = jω e: jω ω + jω + 6 = 0 Assm, tant a parte real quant a magnára devem ser guas a zer: ω + ω = 0 e ω + 6 = 0

9 ω + ω = 0 ω ( ω = 0) ω = 0; ω = ± ω + 6 = 0 ω = ω = ± Ist é, a sclaçã sendal crre a uma freqüêca de rd/s. Em utras palavras, lugar das raízes crta ex magnár em ω =. Exempl: Plte lugar das raízes para um sstema cm realmentaçã untára, cm: s + = s ( s + ) s + = s ( s + ) ) Lcalzar s póls e zers de malha aberta n plan cmplex s. zers: s = ; póls: s = 0; s =. ) Ex real LGR: s < e < s < 0. ) Assínttas: póls e zer zer n nfnt e, prtant, assíntta. θ = 80(k+)/ = 80. 4) Pnts de quebra: s + s K( = = s + 4) Pnts de quebra (cntnuaçã): K ( ( s + ) ( s + ) ( s + ( ) = = 0 s ( s + ) s ( s + = 0 s = 0 + 5s + s 4 ± 4 4 s = = ± Observe que estes ds pnts estã n lugar das raízes Um é pnt de separaçã de partda e utr de chegada em relaçã a ex real.

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