Questão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta

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1 ATENÇÃO: Escreva a resluçã COMPLETA de cada questã n espaç a ela reservad. Nã basta escrever resultad final: é necessári mstrar s cálculs u racicíni utilizad. Questã Uma pessa pssui a quantia de R$7.560,00 para cmprar um terren, cuj preç é de R$5,00 pr metr quadrad. Cnsiderand que s custs para bter a dcumentaçã d imóvel neram cmpradr em 5% d preç d terren, pergunta-se: a) Qual é cust final de cada m d terren? b) Qual é a área máxima que a pessa pde adquirir cm dinheir que ela pssui? a) O cust final de cada m d terren é 5 ( + 0,05 ) = 5,05 = R$ 5,75. b) Cm R$ 7.560,00 e cust final d m a R$ 5,75, a área máxima que a pessa pde adquirir é ,75 = 80 m. Questã Uma caixa d água cúbica, de vlume máxim, deve ser clcada entre telhad e a laje de uma casa, cnfrme mstra a figura a seguir. Dads: AB = 6m AC =,5m CD = m. a) Qual deve ser cmpriment de uma aresta da caixa? b) Supnd que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quants litrs de água pdem ser armazenads na caixa? a) Para que vlume seja máxim, a caixa d água cúbica deve ter a mair aresta x pssível. Esse fat crre quand a aresta FG d cub estiver cntida n plan BCD, cm F sbre BC. Pel cas AA, triângul CAB é semelhante a triângul FHB e, prtant, FH HB = CA AB x 6 x = x =, m.,5 6 b) O vlume de água crrespndente a uma altura de 85% da altura da caixa é igual a (, m) (, m) (0,85, m) =,688 m = 68,8 litrs. Questã Supnha que uma tabela (incmpleta) para cálcul d impst de renda fsse a seguinte: Renda em reais % a a isent 5 0 Parcela a deduzir em reais OBS. O impst é calculad aplicand-se à renda a prcentagem crrespndente e subtraind-se desse resultad a parcela a deduzir.

2 matemática a) Calcule s valres ds impsts a serem pags pr dis cntribuintes cujas rendas sã de R$.000,00 e de R$.000,00. b) Escreva a tabela acima n cadern de respstas, cmpletand-a cm a parcela a deduzir para a faixa de R$.000,00 a R$.000,00 e cm a alíquta que crrespnde à faixa de renda superir a R$.000,00. Admitirems que interval "m a n" crrespnde as númers pertencentes a interval [m; n]. a) O cntribuinte cuja renda é R$.000,00 está isent d impst de renda, u seja, ele nã paga impst. O impst a ser pag pel utr cntribuinte, de acrd cm a segunda linha da tabela, é 5% = R$ 50,00. b) Seja x a parcela a deduzir em reais quand a renda é mair u igual a 000 reais e menr u igual a 000 reais. Cm impst a ser pag pr um cntribuinte cuja renda é R$.000,00 é R$ 50,00, tems 0% 000 x = 50 x = 50 reais. Seja y a prcentagem crrespndente a rendas maires u iguais a 000 reais. O impst crrespndente a uma renda de 000 reais é, segund a terceira linha da tabela, 0% 000 x = 0% = R$ 50,00. Lg y = 50 y = 7,5%. Desta frma, pdems cmpletar a tabela. b) Tems que mdc (a, b) = 5 e mmc (a, b) = 05 = = 5 7. Lg5éumfatr prim que aparece em a e b. Já e 7 sã fatres prims que aparecem em apenas um desses númers. Assim, as pssibilidades para (a, b) sã (5, 5 7); ( 5 7, 5); ( 5, 5 7); (5 7, 5), ist é, (5, 05); (05, 5); (5, 5) e (5, 5). Questã 5 Os pnts AeBestã, ambs, lcalizads na superfície terrestre a 60 de latitude nrte; pnt A está a 5 5 de lngitude leste e pnt B a 56 5 de lngitude este. a) Dad que rai da Terra, cnsiderada perfeitamente esférica, mede 6.00 km, qual é rai d paralel de 60? b) Qual é a menr distância entre s pnts A e B, medida a lng d paralel de 60? [Use /7 cm aprximaçã para π] Renda em reais % Parcela a deduzir em reais a a isent 5 0 7, Questã Sejam a e b dis númers inteirs psitivs tais que mdc(a, b) = 5emmc(a, b) = 05. a) Qual é valr de b se a = 5? b) Encntre tds s valres pssíveis para (a, b). a) Cm a e b sã inteirs psitivs, ab = mdc (a, b) mmc (a, b) 5b = 5 05 b = 5. a) Na figura, rai d paralel de 60 é igual a PC. N triângul retângul OPC, de hiptenusa OC, PC= OC sen 0 = 6 00 = 00 km.

3 matemática b) Tems m(acb) = m(ac) + m(cb) = = 7. Assim, a menr distância entre s pnts AeB,medida a lng d paralel de 60, é igual a cmpriment d arc ACB, dad pr π 5 7 = 8 60 = km 0,9 km. 7 Questã 6 As equações ( x + ) + y = e( x ) + y = representam duas circunferências cujs centrs estã sbre eix das abscissas. a) Encntre, se existirem, s pnts de intersecçã daquelas circunferências. b) Encntre valr de a R, a 0, de md que duas retas que passam pel pnt (a, 0) sejam tangentes às duas circunferências. Questã 7 Cnsidere cnjunt S = { n N : 0 n 500 }. a) Quants elements de S sã múltipls de e de 7? b) Esclhend-se a acas um element de S, qual a prbabilidade de mesm ser um múltipl de u de 7? a) Os elements de S que sã múltipls de e de 7 sã múltipls de mmc (, 7) =. Cm 0 = e 500 = + 7, há 0 = múltipls psitivs de n cnjunt S. b) Sejam AeBscnjunts ds múltipls de e de 7 n cnjunt S, respectivamente. O númer de múltipls de u de 7 é n(a B) = n(a) + + n(b) n(a B). Cm 0 = 6 + e 500 = 66 +, n(a) = = 66 6 = 60. Da mesma frma, 0 = e 500 = e, assim, n(b) = 7 = = 69. E d item a, n(a B) =. Prtant há n(a B) = = 06 múltipls de u de 7 n cnjunt S. O númer de elements de S é n(s) = = 8. Deste md, a prbabilidade pedida é Questã 8 a) A circunferência (x + ) + (y 0) = tem centr B = (; 0) e rai igual a, enquant a circunferência (x ) + (y 0) = tem centr C = (; 0) e rai igual a. Cm a distância BC entre s centrs é igual a, que é a sma ds rais, as circunferências sã tangentes e únic pnt de intersecçã entre as duas é a rigem (0; 0). b) Send AQ e AS par de retas que passam pr A = (a; 0), a 0, tangentes às duas circunferências, respectivamente, ns pnts P eqens pnts R e S, tems APB ~ AQC e ARB ~ ~ ASC. Assim: AB BP BR a = = = AC CQ CS a a = Cnsidere dis triânguls retânguls T e T, cada um deles cm sua hiptenusa medind cm. Seja α a medida de um ds ânguls aguds de T eα a medida de um ds ânguls aguds de T. a) Calcule a área de T para α=,5. b) Para que valres de α a área de T é menr que a área de T?

4 matemática O catet adjacente a ângul de medida α em T mede csα =csα. Lg a área de T é, em cm csα senα sen α, =. Analgamente, cnclui-se que a área de T é, em cm, sen( α ) sen α =. Devems ter 0 <α <90 e0< α <90, u seja, 0 <α <5. a) A área de T para α=,5 sen(,5 ) é = sen 90 = = cm. b) A área de T é menr que a área de T se, e smente se, sen α sen α < sen α < sen α cs α cs α > cs α >cs 60 ( ) Cm 0 < α <90 e a funçã cs x é decrescente para 0 < x < 90,( ) 0<α<60 0<α<0. Questã 9 O prcess de resfriament de um determinad crp é descrit pr: T(t) = T A +α βt, nde T(t) é a temperatura d crp, em graus Celsius, n instante t, dad em minuts, T A é a temperatura ambiente, supsta cnstante, e α e β sã cnstantes. O referid crp fi clcad em um cngeladr cm temperatura de 8 C. Um termômetr n crp indicu que ele atingiu 0 C após 90 minuts e chegu a 6 C após 70 minuts. a) Encntre s valres numérics das cnstantes α e β. b) Determine valr de t para qual a temperatura d crp n cngeladr é apenas C superir à temperatura ambiente. α = 8 α = 8 α = 5 ( ) = β = 8 = 90 b) T(t) = TA + TA t = TA + 90 t = = 90 t t = 60 minuts = 6 hras Questã 0 Cnsidere um cub cuja aresta mede 0cm. O sólid cujs vértices sã s centrs das faces d cub é um ctaedr regular, cujas faces sã triânguls eqüiláters cngruentes. a) Calcule cmpriment da aresta desse ctaedr regular. b) Calcule vlume d mesm ctaedr. A figura a seguir representa um ctaedr regular ABCDEF inscrit num cub, send M pnt médi de uma aresta d cub: a) A temperatura, em graus Celsius, d ambiente n qual crp fi clcad é T A =8. Assim, cm T(90) = 0 e T(70) =6, 0 = 8 + α 70β 6 = 8 + α α = 8 α ( ) = a) A aresta AB d ctaedr regular é também hiptenusa d triângul retângul AMB. Lg (AB) = (AM) + (BM) (AB) = AB = 5 cm. b) O vlume d ctaedr pde ser calculad pela sma ds vlumes de duas pirâmides cngruentes de base quadrada BCDE e medida da altura

5 matemática 5 igual à metade da medida da aresta d cub. Assim, vlume d ctaedr é: 500 (5 ) 5 = cm Questã Seja a um númer real e seja: x px ( ) = det 0 a x 0 x a) Para a =, encntre tdas as raízes da equaçã px ( ) = 0. b) Encntre s valres de a para s quais a equaçã px ( ) = 0 tem uma única raiz real. Tems: x p(x) = det 0 a x = 0 x = ( x) [(a x) ( x) + ] a) Para a =, p(x) = 0 ( x) [( x) + ] = 0 x = 0 u ( x) = x = u x = ± i x = u x = ± i. Assim, V = {, i, + i}. b) p(x) = 0 ( x) [(a x) ( x) + ] = 0 ( x) [ x (a + ) x + a + ] = 0 Para que a equaçã anterir pssua uma única raiz real, essa raiz deve ser x = e a equaçã x (a + ) x + a + = 0 só pde ter raízes imaginárias, que crre quand < 0 (a + ) (a + ) < 0 a a 5 < 0 < a < 5. Observaçã: se é raiz da equaçã x (a + ) x + a + = 0, devems ter (a + ) + a + = 0 a = 5. Para este valr de a, a utra raiz dessa equaçã é também igual a, u seja, p(x) tem três raízes reais iguais a. Questã Cnsidere a funçã quadrática f(x) = = x + x cs α+sen α. a) Reslva a equaçã f(x) = 0 para α= π. b) Encntre s valres de α para s quais númer cmplex + i é raiz da equaçã f(x) + = 0. a) f(x) 0 x x cs π sen π = + + = 0 x + x 0 + ( ) = 0 x = x = ± V = {; } b) f(x) + = 0 x + x csα + senα + = 0 Cm essa equaçã pssui ceficientes reais, se z = + i é raiz, entã z = i éa utra raiz. Prtant: csα z + z = cs α = senα + senα + = z z = csα = α = (k + ) π; k Z senα = 0