Nível B3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES

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1 Nível B SISTEMAS DE EQUAÇÕES Equações do º grau com duas incógnitas Equação do º grau com duas incógnitas é uma equação onde figuram eactamente duas letras com epoente, por eemplo: -. Uma solução de uma equação com duas incógnitas é um par ordenado de números que transformam a igualdade numérica numa igualdade verdadeira. Qualquer equação do º grau com duas incógnitas tem uma infinidade de soluções. Eemplos:. Indicar três pares ordenados que sejam solução da equação a 0. Como a equação é simples, a determinação de soluções faz-se facilmente à custa de cálculo mental. São soluções, por eemplo, os pares: ( ; -) ; (- ; ) e (0 ; 0) a Os valores são escritos no par ordenado por ordem alfabética das letras a que correspondem. Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas

2 . Indicar uma solução da equação b a 0. Para facilitar a determinação de soluções, resolve-se a equação em ordem a uma das incógnitas, por eemplo, em ordem à letra a. b a 0 -a b b a a b Para obter a solução substitui-se b pelo valor que se quiser e calcula-se o correspondente valor de a. Por eemplo, se b, solução da equação. a a a. O par ( ; ) é uma Sistema de duas equações Um sistema de duas equações é uma epressão matemática constituída por duas equações. Por eemplo, 9 e ( ) 5 0 Solução de um sistema é um par ordenado que é solução das duas equações que o formam. Eemplos:. Verificar se o par ordenado ( ; -) é solução do sistema: Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas

3 Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas Substituindo nas duas equações por e por, obtém-se: ) ( ) ( ambas as igualdades são verdadeiras. Portanto, o par ( ; -) é a solução do sistema. Um sistema está na forma canónica se: as incógnitas figuram no º membro por ordem alfabética; o º membro é formado por um único termo independente; as equações não têm parênteses nem denominadores.. Reduzir à forma canónica o sistema: ) ( Desembaraça-se de parênteses e, em seguida, de denominadores. ) ( () () () () () () Sistemas equivalentes são sistemas com as mesmas soluções.

4 Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas. Averiguar se o par ( ; -) é solução dos sistemas 5 e 5 b a b a e decidir se são equivalentes. Substituindo o par ( ; -) em cada um dos sistemas, obtém-se: 5 ) ( ) ( 5 as duas igualdades são verdadeiras, logo o par é solução do sistema. ) ( 5 5 as duas igualdades são Verdadeira, logo o par é solução do sistema. Como os dois sistemas admitem a mesma solução, são equivalentes. Resolução e classificação Resolver um sistema é determinar as suas soluções. Eistem dois processos para o fazer: método da substituição e método gráfico. Método da substituição ) ( ) (

5 Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas 5 Desembaraçar de parênteses Desembaraçar de denominadores Resolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas Substituir na outra equação, a incógnita escolhida pela epressão obtida Resolver a equação obtida Substituir o valor encontrado na outra equação Escrever a solução O par ( ; ) é a solução. Método gráfico Deve em primeiro lugar resolver-se cada equação em ordem a e organizar uma tabela de pares ordenados para cada uma

6 As coordenadas do ponto de intersecção das duas rectas constituem a solução do sistema. Neste caso, o par ordenado ( ; ). O sistema diz-se possível e determinado. Eemplos:. Resolver pelos dois métodos e classificar o sistema. Método da substituição 0 impossível. Equação impossível. O sistema é Método gráfico Elaborando as tabelas de pares ordenados, representa-se graficamente cada recta As rectas são paralelas, não tendo, portanto, pontos em comum. O sistema não tem soluções: chama-se impossível. Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas

7 Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas. Resolver pelos dois métodos e classificar o sistema Método da substituição ) ( 0 0 equação possível e indeterminada. O sistema é possível e indeterminado. Método gráfico o As rectas são coincidentes. As coordenadas de todos os pontos de intersecção constituem soluções do sistema: chama-se possível indeterminado.

8 Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas Resolução de problemas Os sistemas facilitam a resolução de alguns problemas. Eemplos:. Determinar a medida do lado do triângulo equilátero representado: Num triângulo equilátero os lados são todos iguais. Logo, o sistema que traduz o enunciado do problema é: () () ) (. Substituindo por e por em qualquer uma das epressões dos lados, obtêm-se a medida 5.. Um pai tem o dobro da idade do filho. Há cinco anos, a idade do filho era da idade do pai. Qual a idade actual de cada um? Elaborando uma tabela: Há 5 anos Idade actual Pai 5 Filho - 5

9 O sistema que traduz o problema é: 5 ( 5) 5 0 () () () O par (-5 ; -0) é a solução do sistema. O sistema é possível e determinado. No entanto, o problema é impossível, pois as idades não podem ser negativas. Eercícios:. O sistema que traduz o enunciado do problema A soma de dois números inteiros positivos é. Ao dividir o maior pelo menor, obtém-se de quociente e de resto. Quais são os números? é:. Se o par (; -) é solução do sistema, então: (A) A e B (B) A0 e B A B nas incógnitas e (C) A0 e B- (D) A e B- Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas 9

10 . O sistema com a seguinte representação gráfica é:. Resolve os sistemas: Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas 0

11 CORRECÇÃO DOS EXERCICIOS. B. D. C... (; ).. (5; -).. (; ).. (0; 0) Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas

12 AVALIAÇÃO FORMATIVA. Sem resolver a equação, verifica se algum dos pares ordenados (; -) e (; ) é solução.. Determina duas soluções da equação ( ). 5. Verifica qual dos pares ordenados (; ), ; e ;0 é a solução do sistema, sem o resolver.. Resolve pelos dois métodos conhecidos o sistema classifica-o. 5. Resolve os sistema e classifica-os: 5 e a) b) ( ) ( 9) c) 9 0. Determina as dimensões de um rectângulo, sabendo que a medida do comprimento ecede a medida da largura em unidade e a medida do perímetro é 0.. Há dois anos, a idade da D. Teresa era o quíntuplo da idade do seu filho. Daqui a anos, a soma das suas idades será. Quais são as suas idades actuais?. Determina dois números inteiros, sabendo que a sua soma é 5 e que se dividir o maior pelo menor o quociente é e o resto é 9. Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas

13 Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas APLICA O QUE APRENDESTE. O sistema que traduz o enunciado do problema A soma de dois números inteiros positivos é. Ao dividir o maior pelo menor, obtémse de quociente e de resto. Quais são os dois números? é: a) b) c) d). Se o par ( ; -) é solução do sistema B A nas incógnitas e, então: a) A e B b) A 0 e B c) A 0 e B - d) A e B -. O sistema com a seguinte representação gráfica é: a) b) c) d)

14 . Resolve os sistemas: ( ) 9 ( ) ( ) ( ) 0,( ) 0,, 0,( ) 5. Utilizando um sistema, resolve os problemas. 5.. Um rectângulo tem 0 cm de perímetro. Adicionando 5 cm à largura e subtraindo 5 cm ao comprimento, obtém-se um quadrado. Quais as dimensões do rectângulo? 5.. O Sr. Alberto depositou no banco 55 em notas de 5 e 0 sendo no total 5 notas. Determina o número de notas de cada tipo. Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas

15 5..Determina os valores de e de modo que o triângulo seja isósceles com 9 cm de base. 5.. O Sr. Ernesto comprou dois canários e cinco periquitos. Cada canário custou o quadruplo do preço de cada periquito. Determina o preço de cada pássaro sabendo que no total gastou, Determina o número de dois algarismos sabendo que a sua diferença entre o dobro do algarismo das unidades e o das dezenas é 5 e que a soma dos dois é igual a. Equipa de Formadores da Escola Profissional de Capelas 5