3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x)

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1 . Limites Ao trabalhar com uma função nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de eistência) afinal só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua epressão matemática portanto tenha significado. Todavia em muitos casos é importante saber como a função se comporta quando a variável está muito próima de um ponto que não pertence ao seu domínio. E para este estudo nos valemos da teoria de ites a qual permite a análise de uma função em uma vizinhança muito próima de um ponto sem se preocupar com o valor da função neste ponto. Este conceito será ilustrado nos eemplos abaio: sen( ) a) Vejamos o que ocorre com a função f ( ) = quando está muito próimo de 0: f() Observamos que quando se aproima de 0 (ou tende a 0 ou 0 ) tanto pela esquerda quanto pela direita f() se aproima de ( f ( ) ). Vejamos o gráfico: Observe que o programa utilizado desenha o gráfico de f como se tivéssemos f(0) = porém sabemos que ± f(0) (mais uma vez cuidado ao utilizar o computador para fazer gráficos). b) Observemos agora a função f ( ) = quando : f()

2 Note que quando pela direita (ou seja > ) f() cresce infinitamente de modo positivo e quando pela esquerda (ou seja < ) f() decresce infinitamente de modo negativo. Vejamos o gráfico: Conceito de ite: Se f() se aproima de um número L quando se aproima de um número c tanto pela esquerda ( c ) como pela direita ( c a c o que é denotado por f ( ) = L. ) então L é o ite de f() quando tende Observações:. $ f ( ) = L ñ $ _ f ( ) = f ( ) = L. Corolário: _ f ( ) f ( ) ± f ( ).. Se f() cresce ou decresce infinitamente quando se aproima de um número c pela esquerda ou pela direita então dizemos que o ite de f() não eiste quando tende a c e denotamos f ( ) = ±.. Se f() se aproima de um número L quando cresce ou decresce infinitamente ( ± ) então L é o ite de f() quando tende a infinito o que é denotado por f ( ) = L. ± Cálculo de ites: o cálculo do ite de uma função na vizinhança de um determinado ponto (que pertença ou não ao seu domínio) é feito a partir das propriedades abaio:. k = k e = c k c R.. Se f ( ) e g( ) eistem então: 49

3 . [ f ( ) ± g( ) ] = f ( ) ± g( ). [ k f ( ) ] = k f ( ) k R. [ f ( ) g( ) ] = f ( ) g( ) f ( ) f ( ).4 = se g( ) 0 g( ) g( ) p p.5 [ ] [ f ] se [ f ] p f ( ) = ( ) ( ) eiste. = ; = = 0 ± Eemplos:. ( 4 8) = ( ) 4( ) 8 = 9 9 ( )( ). = = ( ) = 6. ( 4)( ) = = 5 5 = 5 ( ) ( ) 5. = = = ( ) ( ) 6. 9 ( ) ( = 9 9 ( 9) ( ) 9 = = 9 9 ) ( 9)( ) ( = ) 6 Epressões indeterminadas: são epressões que a priori nada se pode afirmar sobre o valor de seus ites. Neste caso faz-se necessário um trabalho algébrico para transformar a epressão em 50

4 uma equivalente a ela para a qual seja possível o cálculo do ite. Os eemplos 5 e 6 acima possuem epressões indeterminadas. São consideradas indeterminadas as seguintes epressões: Limites fundamentais: os três ites abaio são denominados ites fundamentais e podem ser utilizados no cálculo de outros ites quando necessário. A demonstração será omitida aqui porém é aconselhável que os estudantes façam a verificação através da visualização gráfica e/ou a construção de tabelas. sen( ). = 0. = e ± a. = ln( a) ( a > 0 a ) 0 Eemplos: sen(9). =? 0 Seja 9 =. Então = / 9 e 0 0. Substituindo na função acima temos: sen(9) 0 9sen( ) = 0 sen( ) = 9 0 = 9 = 9. cos cos =? π. ( ) Seja π = cos. Então π cos = e. Substituindo na função temos: cos ( cos ) = = e. 5

5 5 5. =? Seja =. Então = e 0. Substituindo na função temos: = = (5 ) = 0 (5 ) = 5 0 = 5ln EXERCÍCIOS: Calcule os ites abaio caso eistam:. ( ) ( ). ( 5 ) sen(4) 0 ( ) e f ( ) e f ( ) se 5. f ( ) e f ( ) se < f ( ) < f ( ) 5

6 4. Continuidade Informalmente dizemos que uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta interrupções ou seja seu gráfico pode ser traçado sem que o lápis se afaste do papel. Assim para que uma função f seja contínua em um ponto = a é necessário que a função esteja definida em a e que os valores de f() para próimos de a estejam próimos de f(a). Uma definição formal é dada a seguir: Definição: Uma função f é contínua no ponto a se: (a) $ f(a); (b) $ f ( ) ; a (c) f ( ) = f(a). a Eemplos: Verifique a continuidade das funções abaio nos pontos indicados: ) f ( ) = ; = 0. (a) ± f(0). Assim a primeira condição de continuidade já não é satisfeita o que implica que f não é contínua em = 0. Observe a descontinuidade no gráfico. ) f ( ) = ; = -. (a) $ f(-) = 0; (b) = 0. Portanto eiste e (c) = f(-). Logo f é contínua em = -. 5

7 ) < f ( ) ; =. (a) $ f () = ; (b) = f ( ) = fl ± f ( ) ; Logo f não é contínua em =. Observação: Se uma função não é contínua em um ponto a dizemos que ela é descontínua neste ponto. Continuidade em intervalo: Uma função f é dita contínua em um intervalo aberto (ab) se for contínua em todos os valores de contidos neste intervalo. f é dita contínua no intervalo fechado [ab] se for contínua no aberto (ab) e além disso f ( ) = f ( a) e f ( ) = f ( b). a b Uma pergunta natural que surge aqui é: como verificar se uma função é contínua em um intervalo se ele contém infinitos elementos? Eistem duas maneiras de respondê-la: podemos tomar um ponto genérico do intervalo por eemplo 0 e verificar usando a definição se f é contínua neste ponto. Se for será em todo o intervalo uma vez que 0 representa um ponto qualquer do intervalo em questão. Outra maneira é utilizar as propriedades válidas para continuidade apresentadas abaio. Propriedades:. Toda função polinomial é contínua em todos os reais.. Toda função racional (divisão de polinômios) é contínua em seu domínio.. As funções f() = sen() e f() = cos() são contínuas para todo número real. 4. A função eponencial f() = e é contínua para todo número real. 5. Se f e g são funções contínuas em um ponto a então: (i) f g é contínua em a; (ii) f - g é contínua em a; 54

8 (iii) f µ g é contínua em a; (iv) f / g é contínua em a desde que g ( a) Sejam f e g funções tais que f ( ) = b e g é contínua em a. Então a [ f ( ) ] g[ f ( )] = g. a a 7. Se f é contínua em a e g é contínua em f(a) então a função composta g o f é contínua em a. 8. Seja = f() definida e contínua em um intervalo real I. Seja J = Im(f). Se f admite uma função inversa f - - : J Ø I então f - - é contínua em todos os pontos de J. Obs.: Devido a esta propriedade a função f() = ln() é contínua em todo o seu domínio ( * ) uma vez que é a inversa da função eponencial que é contínua. Eemplos: Investigue a continuidade das funções abaio ou seja determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas eplicando porque.. f() = tg() A função f() = tg() = sen()/cos() é o quociente de duas funções contínuas e pela propriedade 4(iv) f é contínua em todos os pontos que não anulam o seu denominador ou seja no conjunto S = { œ : π/ k π k œ Z}.. f ( ) = 8 4 f é uma função racional (quociente de duas funções polinomiais) e portanto contínua em seu domínio. Logo f é contínua em - {-}.. f ( ) = 4 5 f é a composta das funções u ( ) = 4 5 e v ( ) =. u é uma função polinomial e portanto contínua; v é a inversa da função contínua f() = e portanto contínua em seu domínio. Como a composta de funções contínuas é uma função contínua em seu domínio segue que f é contínua em seu domínio. Porém dom(f) =. Logo f é contínua em todos os reais. 55

9 EXERCÍCIOS. Investigue a continuidade das funções abaio ou seja determine os pontos ou intervalos onde elas sejam contínuas ou descontínuas eplicando porque. Depois faça os respectivos gráficos utilizando o programa winplot. (a) 4 f ( ) = (b) e f ( ) = 4 (c) f ( ) = cot g( ) (d) f ( ) = ln( ) (e) f ( ) = 5 (f) f ( ) = cos sec( ) (g) cos( ) < 0 f ( ) (h) 0 sen( π / ) f ( ) π / π / > π / (i) f ( ) = (j) f ( ) = e e. O Brasil taa em 5% a renda mensal entre R$.70 e R$.65 e em 75% a renda acima deste valor sendo isenta a parcela inferior ou igual a R$.69. a) Determine uma função que represente o imposto pago sobre uma renda qualquer. b) Verifique se esta função é contínua ou seja se a transição entre uma faia e outra se dá de modo contínuo minimizando injustiças.. Suponha que a temperatura é T ( o F) e que a velocidade do vento é v (milhas/h). Neste caso a temperatura corrigida é dada pela função T W ( v) 94 (94 T )(000v 004 v 0474) 6T 55 se 0 v 4 se 4 < v < 45 se v 45 (a) Suponha que T = 0 o F. Qual é a temperatura corrigida quando v = 0 milhas/h? E quando v = 50 milhas/h? (b) Para T = 0 o F que velocidade do vento corresponde a uma temperatura corrigida de 0 o F? (c) A função W é contínua em seu domínio? 56

10 4. Se uma esfera oca de raio R é carregada com uma unidade de eletricidade estática a intensidade do campo elétrico E() em um ponto P situado a uma distância de unidades do centro da esfera é dada por: 0 E( ) 0 < < R = R > R A função E() é contínua para > 0? Faça o gráfico para visualizar seu comportamento. 5. A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma toina é dada por t 7 t < 5 f ( t) 8t 7 t 5 (a) Quanto tempo levará para a colônia se etinguir? (b) Eiste algum instante em que a população varia abruptamente ou esta variação se dá de modo contínuo ao longo do tempo? 6. O raio da Terra tem aproimadamente km e um corpo situado a km do centro da Terra pesa p() kg onde A p ( ) B > e A e B são constantes positivas. Qual deve ser a relação entre A e B para que p() seja contínua para qualquer valor de? 57

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