Estudo do Sinal de uma Função

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1 Capítulo 4 Estudo do Sinal de uma Função 4.1 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico e médio. Daremos aqui uma maior cobertura a este tópico uma vez que se trata de um prérequisito fundamental para se aprender o Cálculo Diferencial e Integral. Também introduzimos dois novos tipos de funções: as funções racionais e as funções algébricas. 4.2 Estudo do sinal de uma função Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos nos quais a função tem imagem negativa e os intervalos nos quais a função tem imagem positiva Estudo do sinal de funções polinomiais Como toda função polinomial tem como domínio todo o conjunto R e é sempre contínua 1, suas imagens só podem mudar de sinal em suas raízes reais. Estudo do sinal de funções lineares Neste caso o é bastante simples, pois a função apresenta uma única raiz (obviamente real) e portanto muda de sinal uma única vez. Eemplo 4.1 A única raiz da função polinomial y = 2 6 é = 3. Assim (Figura 4.1) a função é positiva em { R > 3 } (isto signica que qualquer valor de maior que 3 resulta em uma imagem positiva); a função é negativa em { R < 3 } (isto signica que qualquer valor de menor que 3 resulta em uma imagem negativa). Estudo do sinal de uma função quadrática Inicialmente determinamos as raízes reais (se eistirem) do polinômio quadrático. A seguir podemos estudar o sinal utilizando o gráco da função ou o quadro de sinais (com a função na forma fatorada). O Eemplo a seguir ilustra tais possibilidades. Eemplo 4.2 As raízes da função polinomial y = são = 1 e = 4. 1

2 CAPÍTULO 4. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO 2 3 Figura 4.1: Estudo de sinal da função y = Figura 4.2: Estudo de sinal da função y = (i) Forma gráca: como o coeciente do termo quadrático é positivo, o gráco da função é uma parábola com concavidade voltada para cima (Figura 4.2). (ii) Quadro de sinais: inicialmente escrevemos a função na forma fatorada y = ( 1)( 4) e a seguir analisamos os sinais dos fatores nos subintervalos formados pelas raízes de cada fator (Figura 4.3) y Figura 4.3: Estudo de sinal da função y = a função é positiva em { R < 1 ou > 4 } ; a função é negativa em { R 1 < < 4 }. Estudo do sinal de uma função polinomial qualquer Neste caso devemos ser capazes de determinar as raízes do polinômio (não se frustre: para polinômios de grau maior que 2 isto nem sempre é fácil). Se pudermos determinar as raízes reais da função, podemos reescrevêla na forma fatorada e então estudarmos seu sinal com o auílio do quadro de sinais. 1Uma discussão detalhada de continuidade depende do conhecimento da teoria de limites (Veja Seção 2.5 e Apêndices B.2 e B.3 da referência [?]). Grosseiramente falando, uma função é contínua quando seu gráco não apresenta falhas ou saltos.

3 CAPÍTULO 4. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO 3 Eemplo 4.3 As raízes da função polinomial y = são = 2, = 0 e = 3 (verique); logo sua forma fatorada é y = ( 2)( 3). Analisamos então os sinais dos fatores nos subintervalos formados pelas raízes de cada fator (Figura 4.4). 2 3 y Figura 4.4: Estudo de sinal da função y = a função é negativa em { R < 2 ou 0 < < 3 } ; a função é positiva em { R 2 < < 0 ou > 3 }. 4.3 Funções Racionais Funções racionais 2 são dadas por razões de polinômios, ou seja, são funções da forma f() = P () Q() onde P e Q são polinômios quaisquer. Evidentemente, como não eiste divisão por zero, o domínio de uma função racional são todos os números reais para os quais Q() 0. As raízes de uma função racional são as próprias raízes de P (caso não anulem Q). Eemplo 4.4 Dada a função y = 3 1, temos: domínio: 1 0, assim D(f) = { R 1 } ; raiz: 3 = 0, assim a função possui uma única raiz = 3; : utilizamos o quadro de sinais e analisamos os sinais dos fatores nos subintervalos formados pelas raízes de cada fator: a função é positiva em { R < 1 ou > 3 } ; a função é negativa em { R 1 < < 3 }. Eemplo 4.5 Dada a função y = 3 2 9, temos: domínio: 2 9 0, assim D(f) = { R ±3 } ; 2Uma discussão mais ampla sobre funções racionais, incluido o Teorema das Frações Parciais, encontrase na Seção 10.6 e Apêndice B.9, Volume 1, da referência [?].

4 CAPÍTULO 4. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO y Figura 4.5: Estudo de sinal da função y = 3 1 raiz: 3 = 0 e neste caso = 3 seria a provável raiz. Como 3 não está no domínio, esta função não possui raiz 3 : como = 3 é raiz do numerador e do denominador o fator linear 3 poderá ser cancelado a função é positiva em { R > 3 } ; a função é negativa em { R < 3 }. y = = 3 ( 3)( 3) = 1 3, 3. Uma função racional f() = P () Q() se diz própria se o grau do polinômio P é menor que o grau do polinômio Q; caso contrário a função racional se diz imprópria. Em particular, toda função racional imprópria pode ser reescrita na forma f() = P () r() = q() Q() Q() ; (4.1) onde o polinômio q é o quociente e o polinômio r é o resto da divisão de P por Q. Eemplo 4.6 Na divisão do polinômio por 1 o quociente é e o resto é 2. Assim a função racional f() = pode ser reescrita como f() = = Funções Algébricas Funções algébricas são aquelas obtidas por qualquer manipulação algébrica de polinômios. Muitas vezes tais funções envolvem a etração de raízes e/ou divisões de polinômios. No caso de funções algébricas determinamos o seu domínio observando dois fatos: (i) não eiste divisão por zero; (ii) não eiste raiz par de número negativo. Eemplo 4.7 Determine o domínio e as raízes da função f() = Solução: uma vez que só podemos etrair a raiz quadrada de números não negativos, devemos ter A Figura 4.5 ilustra gracamente a solução desta inequação. Observamos então que o domínio da função é D(f) = { R 7 < 1 }. As raízes são = 7 e = 1, uma vez que f( 7) = f(1) = 0 = 0. 3Cuidado: conforme podemos observar neste Eemplo a primeira providência quando analisamos uma função é determinar seu domínio. Se você começasse tentando encontrar as raízes poderia cometer um (grave) erro.

5 CAPÍTULO 4. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO Figura 4.6: Determinando o domínio da função f() = Problemas Propostos Problema 4.1 Determine as raízes e estude o sinal da função f() = Problema 4.2 Determine as raízes e estude o sinal da função f() = 2 4. Problema 4.3 Determine as raízes e estude o sinal da função f() = Problema 4.4 Determine as raízes e estude o sinal da função f() = Problema 4.5 Determine as raízes e estude o sinal da função f() = , sabendose que uma de suas raízes é 7. Problema 4.6 Determine as raízes e estude o sinal da função f() = Problema 4.7 Dada a funçãof() = (b) determine suas raízes (se eistirem); (c) faça o estudo de seu sinal. Problema 4.8 Classique as funções racionais como própria ou imprópria. Para as impróprias, reescrevaa na forma (4.1). (a) (b) (c) Problema 4.9 Dada a funçãof() = Problema 4.10 Dada a funçãof() = Problema 4.11 Dada a funçãof() = (d) (e) (b) determine suas raízes (se eistirem); (b) determine suas raízes (se eistirem);

6 CAPÍTULO 4. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO 6 Problema 4.12 Determine as constantes A e B que sastifazem a igualdade = A 3 (b) determine suas raízes (se eistirem); B 4 Problema 4.13 Determine as constantes A, B e C que sastifazem a igualdade = A 3 B C Problemas Teóricos Problema Teórico 4.1 O de uma função quadrática pode ser imediatamente determinado a partir do valor de seu discriminante e do sinal do coeciente do termo quadrático. Faça um quadro resumo ilustrando as seis possibilidades de para tais funções. Problema Teórico 4.2 Podemos armar que eplique = 3? 4.7 Respostas dos Problemas Propostos Capítulo (página 5) raízes: = 1 e = 6; a função é positiva em R < 1 ou > 6 ; a função é negativa em R 1 < < (página 5) raízes: = 0 e = 4; a função é positiva em R 0 < < 4 ; a função é negativa em R < 0 ou > (página 5) raízes: = 2 (dupla); a função é positiva em R 2 ; a função nunca é negativa. 4.4 (página 5) raízes: não eiste raiz real (as raízes são = 2 ± 3i); : a função nunca é negativa R. 4.5 (página 5) raízes: = 5, = 4 e = 7; a função é positiva em R 5 < < 4 ou > 7 ; a função é negativa em R < 5 ou 4 < < (página 5) raízes: = 3, = 2, = 2 e = 3; a função é positiva em R < 3 ou 2 < < 2 ou > 3 ; a função é negativa em R 3 < < 2 ou 2 < < (página 5) (a) domínio: D(f) = R 2 ; (b) raízes: = 1 e = 4; (c). a função é positiva em R 1 < < 2 ou > 4 ; a função é negativa em R < 1 ou 2 < < (página 5) (a) própria (b) imprópria (c) imprópria = =

7 CAPÍTULO 4. ESTUDO DO SINAL DE UMA FUNÇÃO 7 (d) própria (e) imprópria = (página 5) (a) domínio: D(f) = R 2 0 ou > 1 ; (b) raíz: = 2 e = (página 5) (a) domínio: D(f) = R 3 ou > 5 ; (b) raíz: = (página 5) (a) domínio: D(f) = R 3 ou 2 < 2 ou > 3 ; (b) raíz: = 3 e = (página 6) A = 5 e B = (página 6) A = 1, B = 1 e C = 7

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