< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação

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1 . Isolar os zeros da função f ( )= 9 +. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( ) e analisar os sinais: 0 f ( ) Como f ( ) f ( ) < 0, f ( 0 ) f ( ) < 0 e f ( ) f ( ) < 0, conclui-se, de acordo com o teorema, que eistem zeros de f () nos intervalos [, ], [0,] e [,]. Como f () =0 tem eatamente raízes, pode-se afirmar que eiste eatamente um zero em cada um destes intervalos. = f ( ) - α α α Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação f ( )= 9 +=0, obtendo-se a equação equivalente =9. Neste caso, tem-se que g ( ) = e h ( ) = 9. Traçando os gráficos de g () e h (), verifica-se que as abscissas dos pontos de intersecção destas curvas estão nos intervalos [, ], [0,] e [,]. g () h () - α α α Outra forma de se verificar a unicidade de zeros nestes intervalos, é traçar o gráfico da função derivada de f (), f '( ) = 9 e confirmar que a mesma preserva o sinal em cada um dos intervalos ], [, ]0,[ e ],[, conforme a Erro! Fonte de referência não encontrada..

2 =f ()

3 . Isolar os zeros da função f ( ) = ln,. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f () e analisar os sinais: f () + + Como f ( ) f ( ) < 0, conclui-se, de acordo com o teorema, que eistem zeros de f () no intervalo [,]. 0, 0, 0, 0-0, -0, -0, -0, -0,5-0,6-0,7-0,8-0,9 -,0 =f(),6,8,0,, Pode-se ainda verificar graficamente que a função derivada da função f (), f '( ) = + ln preserva o sinal no intervalo ],[, neste caso f '( ) > 0 ],[, o que pela Erro! Fonte de referência não encontrada. garante que só eiste um zero de f () neste intervalo. f ( )

4 . Isolar os zeros da função f ( ) = 5 log + 0,. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f () e analisar os sinais: f () + + Como f ( ) f ( ) < 0, conclui-se, de acordo com o teorema, que eistem zeros de f () no intervalo [,]. Pode-se também chegar a esta mesma conclusão partindo da equação f ( ) = 5 log + 0, =0, obtendo-se a equação equivalente 5 log = 0,. Neste caso, tem-se que g( ) = 5log e h( ) = 0,. Traçando os gráficos de g () e h (), verifica-se que a abscissa do único ponto de intersecção destas curvas está no intervalo [,]. g( ) h( ) α. Isolar os zeros da função f ( ) = 5e. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f () e analisar os sinais: 0 f () + + Como f ( ) f ( ) < 0, conclui-se, de acordo com o teorema, que eistem zeros de f () no intervalo [,]. Pode-se também chegar a esta mesma conclusão partindo da equação f ( ) = 5e =0, obtendo-se a equação equivalente = 5 e. Neste caso, tem-se que g ( ) = e h( ) = 5e. Traçando os gráficos de g () e h (), verifica-se que a abscissa do único ponto de intersecção destas curvas está no intervalo [,]. g( ) h( ) α

5 5 5. Determinar um valor aproimado para 5, com erro inferior a 0. Resolução: Determinar 5 é equivalente a obter o zero positivo da função f () = 5. Sabe-se que o intervalo [,] contém este zero e a tolerância neste caso é ε = 0. Assim, a quantidade mínima de iterações para se obter a resposta com a precisão eigida é: log( b a) log ε log( ) log0 log + log0 0+ n n n n log log log log n 6,6856. Como n deve ser intero, tem-se n =7. n a b f (a ) f ( ) f (b ) (b a )/,0,5, ,5,0,5, ,5,0,5,5 + 0,5,5,875,5 + 0,065 5,875,875,5 + 0,05 6,875,75,5 + 0,0565 7,75,875, ,00785 Portanto 5,875±0, Um tanque de comprimento L tem uma secção transversal no formato de um semicírculo com raio r (veja a figura). Quando cheio de água até uma distância h do h topo, o volume V da água é: V= L 0, 5 π r r arcsen h ( r h ). Supondo r que L =0 ft, r= ft e V=, ft, encontre a profundidade da água no tanque com precisão de 0,0 ft. h r θ h Resolução: Para calcular a profundidade r h da água, substitui-se os valores de r, L e V na epressão anterior para obter a equação arcsen( h ) + h h é h. Assim, deve-se calcular o zero da função f (h) = arcsen( h ) + h +, 0,5π=0 cuja raiz h +, 0,5π, com precisão de ε= 0. Para isto, primeiramente isola-se o zero desta função num intervalo da seguinte forma. Pode-se construir uma tabela de valores para f (h) e analisar os sinais: h 0 f (h) + Como f ( 0 ) f ( ) < 0, conclui-se, de acordo com o teorema, que eistem zeros de f (h) no intervalo [0,].

6 Para se confirmar a unicidade deste zero neste intervalo, pode-se utilizar a OBS., isto é,, calcula-se a derivada f ( h) de f (h) para verificar que a mesma preserva o sinal no, h / intervalo ]0,[. Assim, obtém-se f ( h) = + h + ( h ) ( h ) h, ( h ) f ( h) = > 0 h ] 0, [, o que significa que f (h) é estritamente crescente neste h intervalo, o que garante a unicidade do zero de f (h) em ]0,[. Agora determina-se o número de iterações necessárias para se obter a precisão eigida: log( b a) log ε log log0 n n n 6,6856 log log Logo são necessárias n = 7 iterações. n a h b f (a) f (h) f (b) (b a)/ 0 0, ,5 0 0,5 0, ,5 0 0,5 0,5 + 0,5 0,5 0,875 0, , ,5 0,565 0, ,05 6 0,565 0,7875 0, , ,565 0,6065 0, ,00785 Assim, h =0,6065±0,00785 e a profundidade r h da água da água solicitada é aproimadamente (0,6065) ft. 7. Obter algumas funções de ponto fio para a função f () = + 6. Resolução: Efetuando diferentes manipulações algébricas sobre a equação f () =0 ou + 6 =0, podem-se obter diferentes funções de ponto fio, como por eemplo: a) + 6 =0 = 6, logo φ ( ) = 6. Como φ ( ) = e φ () =, tem-se que e são pontos fios de φ ( ). b) + 6 =0 = ± 6, logo pode-se ter φ ( ) = 6 e neste caso tem-se que é ponto fio de φ ( ), pois φ () =, ou φ ( ) = 6 e neste caso tem-se que é ponto fio de φ ( ), pois φ ( ) =. c) + 6 =0 + 6 = 0 = 6 6 =, logo φ ( ) = 6. Como φ ( ) = e φ () =, tem-se que e são pontos fios de φ ( ). 6 6 d) + 6 =0 + 6 = 0 ( + ) 6 = 0 =, logo φ ) + ( =. + Como φ ( ) = e φ () =, tem-se que e são pontos fios de φ ( ). No próimo passo algumas destas funções serão utilizadas na tentativa de gerar seqüências aproimadoras dos zeros α de f (). 6

7 7 8. Aproimar o maior zero da função f () = + 6 φ ( ) = 6, e 0=,5., utilizando a função Resolução: Neste caso a fórmula de recorrência n+ = φ( n), n=0,,, será: n+ = φ ( n) = 6 n, e pode-se construir a seguinte tabela: n n n+ = φ ( n) = 6 0,5,,,969,969,0076,0076,99809,99809,0008 M M M Percebe-se que neste caso a seqüência } converge para a raiz α= da equação + 6 =0. 6 { n = n φ ( ) 0 α= 6

8 8 9. Aproimar o maior zero da função f () = + 6 φ ( ) = 6, e 0 =,5., utilizando a função Resolução: Neste caso a fórmula de recorrência n+ = φ( n), n =0,,, será: n+ = φ( n) = 6 n, e pode-se construir a seguinte tabela: n n n+ = φ( n) = 6 0,5,75,75 8,065 8,065 59, , ,609 M M M Percebe-se que neste caso a seqüência } não converge para a raiz α = da equação + 6 =0. 6 { n = α= 0 φ ( ) 0. Verificar as condições i) e ii) do teorema anterior quando do uso da função φ ( ) = 6 no 8. Resolução: Verificação da condição i): φ ( ) = 6 é contínua no conjunto S ={ R/ 6}. φ '( ) = é contínua no conjunto T ={ R/ < 6}. 6 Verificação da condição ii): φ ' ( ) < < < 5,75 6 Logo, é possível obter um intervalo I, tal que α= I, onde as condições i) e ii) estão satisfeitas.

9 . Verificar as condições i) e ii) do teorema anterior quando do uso da função φ ( ) =. 6 Resolução: Verificação da condição i): φ ( ) = 6 e φ ' ( ) = são contínuas em R. Verificação da condição ii): φ ' ( ) < < < <. Logo, não eiste um intervalo I, com α= I, e tal que φ ' ( ) <, I. 9

10 0. Encontrar o zero de f () = e + com precisão ε =0 6, utilizando o método do ponto fio. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( ) e analisar os sinais: f () + + Como f ( ) f ( ) < 0, conclui-se, de acordo com o Erro! Fonte de referência não encontrada., que eistem zeros de f () no intervalo [, ]. Fazendo h ( ) = e e g ( ) =, pode-se verificar que os gráficos das mesmas se intersectam em apenas um ponto, o que garante que só eiste um zero de f () neste intervalo. 5 h( ) = e g( ) = - - α Assim, o zero de f () está isolado em [, ]. Procurando uma função de ponto fio adequada pode-se fazer: e + =0 = e + = e + φ( ) = e + Verificando as hipóteses i) e ii) do Erro! Fonte de referência não encontrada.: e i) φ' () = e + φ ( ) e φ '( ) são contínuas em [, ], o que garante a primeira condição do Erro! Fonte de referência não encontrada.. ii) k = ma φ' ( ) [, ] e φ' ( ) =. e + φ' ( ) =. e e = 0, 07 + e φ' ( ) = = 0, 08. e + Como φ' ( ) é decrescente no intervalo I =[, ], k = 0,08 <, o que garante a segunda condição do Erro! Fonte de referência não encontrada..

11 Procura-se agora, o etremo do intervalo I =[, ] mais próimo do zero α de f () : Para isto, segue-se o indicado na observação 0, isto é, calcula-se o ponto médio do ( + ( )), 5 intervalo I =[, ]: ˆ = =,5 e φ (ˆ ) = φ(, 5) = e + =,00. Como ˆ < φ (ˆ ), isto é ˆ =,5 < φ (ˆ ) = φ (, 5) =,00, então α está entre ˆ =,5 e, ou seja, é o etremo de I mais próimo de α. Desta forma, iniciando o processo recursivo pelo ponto 0 =, garante-se que todos os termos da seqüência aproimadora pertencerão ao intervalo I =[, ]. Logo, utilizando φ( ) = e + a partir de =, gera-se uma seqüência convergente para o zero α de f (). n 0 n n+ n+ n 0,055 0,055 > 0-6,055,05 0,00098 > 0-6,05,0895 0,00005 > 0-6,0895,088 0,00000 > 0-6,088,088 0 < 0-6 Portanto, =,088.

12 . Encontrar a solução para a equação = cos com precisão ε =0 6. Resolução: = cos cos = 0 f ( ) = cos Pode-se construir uma tabela de valores para f ( ) e analisar os sinais: 0 π f () + Como π f ( 0 ) f ( ) < 0, conclui-se, de acordo com o Erro! Fonte de referência não π encontrada., que eistem zeros de f () no intervalo [0, ]. Fazendo g () = e h () = cos, pode-se verificar que os gráficos das mesmas se intersectam em apenas um ponto, o que garante que só eiste um zero de f () neste intervalo. Esta informação também pode ser verificada observando que a função π f '( ) = sen, preserva o sinal ]0, [, isto é, tem-se que neste caso f ' ( )<0, π π ]0, [ (e também em [0, ] ). Isto significa dizer que a função f ( ) é estritamente decrescente no intervalo ]0, π [. g ( ) = α π π π h( ) =cos π Como f - π π ''( ) = cos, também preserva o sinal em [0, ], ( f ''( )<0, ]0, [, tem-se que as condições i), ii) e iii) do teorema são satisfeitas. Assim, a fórmula recursiva de Newton para este caso fica: n+ = n cos( n) n sen( ) n π para n 0. Agora deve-se escolher 0 convenientemente: Pode-se verificar que 0 = é uma boa escolha (o que garantirá que todos os termos da seqüência gerada pertencerão ao intervalo considerado. Outra opção é seguir a dica da observação. n n n+ n+ n 0 0, ,7956 0,05860 > 0-6 0,7956 0, , > 0-6 0, ,79085,5.0-8 <0-6 Portanto, = 0,79085.

13 Nos eercícios seguintes, considerando cada método especificado, determine uma aproimação para o zero da função.. Pelo método da Bissecção, determine uma aproimação para (,) da função f ( )= e cos com aproimação ε = 0 tal que (b a )/< ε. Resolução: n a b f (a ) f ( ) f (b ) (b a )/, ,5,5, ,5,5,75, ,5,75,75, ,065 5,75,6875, ,05 6,75,55, ,0565 7,75,55, , ,55,9875, , ,55,76565, , ,76565,888, , ,76565,775906, ,000888,76565, , ,000,76565,787695, ,00007,787695,787, ,05E-05 Logo, =, Pelo método do Ponto Fio ou Aproimações Sucessivas, determine uma aproimação para (,) da função f ( )= e cos com aproimação ε = ε = 0 tal que f ( n+ ) < ε ou n+ n < ε. Utilize 0=,5. Resolução: f ( )= e cos f ( )=0 e cos + =0 φ ( )= cos + e + φ ' ( )> em (,) φ ( )= cos e + φ ' ( )< em (,) φ( )= cos e + n+ =φ( n ) n n n+ n+ n f ( n+ ) Parada 0,5, ,0660 0,05599,657977, , ,000757,579987, , ,006698,97655, , ,000568,89577, , , ,77789, , ,0578E-05 f ( n+ ) < ε Logo, =,75708.

14 6. Pelo método de Newton-Raphson, determine uma aproimação para (,) da função f ( )= e cos com aproimação ε = ε = 0 tal que f ( n+ ) < ε ou n+ n < ε. Utilize 0=,5. Resolução: f ( )= e cos f ' ( )= f ( ) e φ( )= φ( )= f '( ) e e + sen cos + sen n+ =φ( n ) n n n+ n+ n f ( n+ ) Parada 0,5,95 0, ,000886,95,767 0,007075,0E-06 f ( n+ ) < ε Logo, =,767.

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