Matemática. Resolução das atividades complementares. M4 Funções

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M Funções p. Responda às questões e, tomando por base o teto abaio: (Unama-PA) O ATAQUE DOS ALIENS Caramujos africanos, medindo centímetros de comprimento e pesando gramas na fase adulta, trazidos para substituir o caro e requintado escargot, viraram praga em estados do Brasil. Têm uma capacidade reprodutiva impressionante, pois são hermafroditas e botam ovos por ano cada um. Em Casimiro de Abreu, no estado do Rio, onde também se tentou criar o caramujo para fins alimentícios, a prefeitura chegou a oferecer real para cada quilo de molusco recolhido. O alienígena da vez é o caramujo africano. Adaptado da revista Veja, set.. Considerando a oferta da prefeitura de Casimiro de Abreu, a epressão que representa a receita (R), em reais, em função do número (N) de caramujos adultos recolhidos, é: a) R 5,N b) R 5 N c) R 5 5N d) R 5 N Se g 5, kg, temos: R 5, N Se dois moradores de Casimiro de Abreu ganharam juntos R$ 9, num dia, recolhendo caramujos africanos adultos, e a razão entre o número de caramujos recolhidos por esses dois moradores é de 5 para, então o morador que mais recolheu conseguiu: a) 5 kg b) 5 kg c) 6 kg d) 65 kg R R 5 9 N N 5 5 De, vem:, N, N 5 9 N N 5 5 N 5 5 N Substituindo em, vem: 5 N 5 5 N 5 caramujos N Logo: N caramujos. Daí, vem: 5?, 5 5 kg

2 p. 5 (Mack-SP) Uma empresa de telefonia faz, a seus clientes, a seguinte promoção: a cada minutos de conversação, o minuto seguinte, na mesma ligação, é gratuito. Se o custo de cada segundo de ligação é R$,, o valor, em reais, de uma ligação de 6 minutos, durante a promoção, é: a) 5,8 b) 6, c) 6,6 d) 7, e) 6, O custo, em R$, de cada minutos de conservação é? 6?, 5,, pois se paga apenas por minutos. Assim, o custo, em R$, de 5 minutos de conservação é 5?, 5 6,. O custo do décimo seto minuto de conservação é, em R$, 6?, 5,6. Portanto, o valor, em reais, de uma ligação de 6 minutos, durante a promoção, é 6,6. Nas duas relações dadas a seguir, faça o diagrama e verifique se elas são ou não funções, justificando sua resposta. Não é função. a) f é uma relação de A = {,,, } em B = {,,, 6, 8}, epressa pela fórmula =, com A e B. b) g é uma relação de A = {,,, } em B = {8,,,,,, 8}, epressa pela fórmula =, com A e B. É função. a) A 5 {,,, } em B 5 {,,, 6, 8} e 5 b) A 5 {,,, } em B 5 {8,,,,,, 8} e 5 A Não é função, pois o elemento de A não tem representante em B. 6 8 B A 8 B 8 É função, pois a todo elemento de A corresponde um único elemento de B. p. 7 5 Dado o conjunto A 5 {,,, }, determine o conjunto imagem da função f: A R quando f for definida por: a) f() 5 Im 5 {8,,, } b) f() 5 Im 5 {,,, 5} c) f() 5 Im 5 {,, } A 5 {,,, } f: A R a) f() 5 f() 5 () 5 8 f() 5 () 5 f() 5 () 5 f() 5 () 5 Im 5 {8,,, } b) f() 5 f() 5 () 5 5 f() 5 () 5 f() 5 5 f() 5 5 Im 5 {,,, 5} c) f() 5 f() 5 () 5 f() 5 () 5 f() 5 () 5 f() 5 () 5 Im 5 {,, }

3 6 (PUC-SP) Seja a função f de D 5 {,,,, 5} em R definida por f() 5 ( ) ( ). Determine o seu conjunto imagem. Im 5 {,, } D 5 {,,,, 5} f() 5 ( ) ( ) 5 f() 5 5 f() 5 5 f() f(5) 5 5 f() 5 Im 5 {,, } 7 (UERN) Dada a função f() 5, o valor de f() f() f() é: a) b),5 c) 5,5 d),5 e),5 f() 5 f() f() f() 5 5 f() f() f() 5 5 5,5 8 (Unesp-SP) Considere a função f: R R, definida por f() 5. Determine todos os valores de m R para os quais é válida a igualdade f(m ) f(m) f(m) 5 m. ou f() 5 f(m ) f(m) f(m) 5 m (m ) (m ) (m ) 5 m m m m 5 m 5 m m 5 m 5 m 5 9 (UFSC) Considere a função f() real, definida por f() 5 e f( ) 5 f() 5. Determine o valor de f(). 9 f() 5 f( ) 5 f() 5 f( ) 5 f() 5 f( ) 5 f() 5 5 f() 5 f() 5 5 f() 5 58 f() 5 9

4 (UNI-RIO)/Ence-RJ) Seja f a função real na variável definida por f() 5 a) Determine o domínio de definição D da função. D 5 { R <, ou < } b) Mostre que, para todo D, tem-se f() 5. a) Devemos ter: > > > <. Logo: D 5 { R < ou < } b) Racionalizando f() em D, obtemos: f() 5 f() 5? ( ) 5 ( ) ( ) (UFPel-RS) Qual é o domínio de 7? a) R b), Ü c), Ü d) ] [ [ ] ] [ 7 D 5, (, 5) e) Ö (UERN) Seja f: D R, D R, a função definida por f() 5 5 da função pode ser descrito como:. O domínio D a) [,5] b) [5, ] c) ]5, [ d) ], 5] e) ]5, [ {} 5 > e. < 5 e. A 5 B A B 5 D 5 ], 5]

5 (UFRN) Dada a função f:, definida para todo inteiro n, tal que f() 5 e f(n ) 5 f(n), podemos afirmar que o valor de f() é: a) b) c) d) e) 6 f() 5 f() 5 f() 5 f() 5 f() 5 5 f() 5 f() f(n) é uma seqüência de números ímpares, ou seja, f(n) 5 n f() 5? 5. (UEL-PR) Seja a função f() 5 a b. Se f() 5 e f() 5, então a e b valem, respectivamente: a) e b) e c) e d) e e) e f() 5 a b f() 5 a b 5 f() 5 a b 5 a b 5 Resolvendo o sistema a b 5, obtemos a 5 e b 5. 5 Qual o domínio da função h() 5? D 5 R h() 5 D 5 R p. 5 6 Determine as coordenadas dos pontos indicados na figura: A(, ) F(, ) B(, ) G(, ) C(5, ) H(, ) D(, ) I(5, ) E(, ) J(5, ) 6 G D A J E B C F I H

6 7 (FGV-SP) Chama-se custo médio de produção o custo total dividido pela quantidade produzida. a) Uma fábrica de camisetas tem um custo total mensal dado por C = F 8, em que é a quantidade produzida, e F o custo fio mensal. O custo médio de fabricação de 5 unidades é R$,. Se o preço de venda for R$ 5, por camiseta, qual o lucro mensal de fabricar e vender 6 unidades? R$, b) Esboce o gráfico do custo médio de produção de unidades, em função de, se a função custo total for C =. a) O custo total mensal de fabricação de 5 camisetas é 5? 5 6. De C 5 F 8, temos: 6 5 F 8? 5 F 5 O custo total mensal de fabricação de 6 camisetas é, em R$: C 5 8? 6 C A venda total mensal de 6 camisetas é, em R$: 6? O lucro mensal é b) Sendo o custo médio de produção de unidades, temos: 5 C, ou seja, 5, com N*. (, ) 8 Sendo a R e b R, determine a e b para que se tenha: a) (a, b ) 5 (5, ) b) (a b, a b) 5 (, 5) c) (a b, 7) 5 (6, a b) a 5 5; b 5 a 5 ; b 5 a 5 8; b 5 a) (a, b ) 5 (5, ) a 5 5 b 5 b 5 b) (a b, a b) 5 (, 5) a b 5 a b 5 a b 5 5 b 5 c) (a b, 7) 5 (6, a b) a b 5 6 a b 5 7 () a b 5 6 a b 5 7 b 5 a b 5 7 a 5 7 a 5 8 a 5 8 a 5 b 5

7 9 Dados A 5 {,, } e B 5 {,,,,,, }, construa, num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, os gráficos: a) da função f: A B, dada por f() 5 Im f() 5 {,, } b) da função g: A B, dada por g() 5 Im g() 5 {, } Em ambos os itens escreva o conjunto imagem da função. A 5 {,, } B 5 {,,,,,, } a) f: A B dada por f() 5 f() 5? () 5 f() 5? 5 f() 5? () 5 Im f() 5 {,, } b) g: A B dada por g() 5 f() 5 () 5 f() 5 5 f() 5 5 Im g() 5 {,} Seja a função f dada por f() 5. Construa, num sistema de coordenadas cartesianas, o gráfico de f quando: a) D 5 {,,,, } b) D 5 [, ] c) D 5 R f() 5 a) f() 5 f() 5 f() 5 f() 5 f() 5 b) f() 5 f() 5 c) R f() 5 f() 5

8 Construa, num sistema de coordenadas cartesianas, os gráficos das funções f: R R, dadas por: a) f() 5 b) f() 5 5 c) f() 5 d) f() 5 f: R R a) f() 5 f() 5 f() 5 b) f() 5 5 f() 5 5 f() c) f() 5 f() 5 f() 5 f() 5 d) f() 5 f() 5 f() 5 f() 5 f() 5 f() 5

9 p. 5 (Mack-SP) Considere as sentenças abaio, relativas à função = f(), definida no intervalo, e representada, graficamente, na figura. I. Se,, então f(),. II. f() f() 5 f() III. A imagem de f é o intervalo [, ]. É correto afirmar que: a) apenas III é verdadeira. b) apenas I e II são verdadeiras. c) apenas I e III são verdadeiras. d) apenas II e III são verdadeiras. e) todas as sentenças são verdadeiras. Do gráfico, temos que f.. Como, e f., a afirmação I é falsa. Do gráfico, temos f() 5, f() 5 e f() 5. Como f() f() 5 f(), a afirmação II é verdadeira. Podemos afirmar que, para < <, eistem constantes a e b, tais que f() 5 a b. De f() 5, temos b 5 e, portanto, f() 5 a. De f() 5, temos a 5 e, portanto, a 5. Logo, para < <, temos f() 5 e, portanto, f() 5 (), isto é, f() 5. A projeção do gráfico de f sobre o eio corresponde ao intervalo [, ]. Logo, a imagem de f é o intervalo [, ], e a afirmação III é verdadeira. Portanto, apenas as afirmações II e III são verdadeiras.

10 (UFPR) Um estudo feito com certo tipo de bactéria detectou que, no decorrer de uma infecção, a quantidade dessas bactérias no corpo de um paciente varia aproimadamente segundo uma função q(t) que fornece o número de bactérias em milhares por mm de sangue no instante t. O gráfico da função q(t) encontra-se esboçado ao lado. O tempo é medido em horas, e o instante t 5 corresponde ao momento do contágio. Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: I. A função q(t) é crescente no intervalo [, 8]. II. A quantidade máima de bactérias é atingida horas após o contágio, aproimadamente. III. 6 horas após o contágio, a quantidade de bactérias está abaio de 5 por mm. Assinale a alternativa correta: a) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. d) Somente a afirmativa I é verdadeira. e) Somente a afirmativa III é verdadeira. q(t) 8 t I. (Falsa) No intervalo [, ] a função q(t) é crescente e no intervalo [, 8] ela é decrescente. III. (Verdadeira) Quando t 5 h, obtemos q(t) 5 bactérias, que representa a quantidade máima de bactérias. III (Verdadeira) Quando t 5 6 h, obtemos q(t) aproimadamente igual a 5 bactérias. (Unoesc-SC) Considerando a função 5 f(), com 8 < <, representada na figura ao lado, é correto afirmar que: a) f() f() 5 b) f()? f()? f() 5 c) f() 5 d) f() e) imagem de f é [, ] a) f() 5 ; f() 5 f() f() b) f()? f()? f() 5 f()?? f() 5 c) f() e não f() 5 d) f() 5 e não f() e) Im f 5 [, ] [, ]

11 5 (Mack-SP) O número de indivíduos de um certo grupo é dado por f() =?, sendo o tempo medido em dias. Desse modo, entre o o e o o dias, o número de indivíduos do grupo: a) aumentará em eatamente unidades. d) aumentará em eatamente 9 unidades. b) aumentará em eatamente 9 unidades. e) diminuirá em eatamente 9 unidades. c) diminuirá em eatamente 9 unidades. f() 5? f() f() 5? f() Logo, entre o o e o o dias, o número de indivíduos aumentará em eatamente 9 unidades. 6 Determine se cada uma das seguintes funções f: R R é crescente ou decrescente. a) 5 crescente c) 5 decrescente e) 5 crescente b) 5 crescente d) 5 5 decrescente f) 5 crescente p. 58 R e tem imagem ; R e tem imagem ;, a),, a função é crescente. b),,, a função é crescente. c),.. a função é decrescente. d), a função é decrescente. e),,, a função é crescente. f),,, a função é crescente. 7 Uma fecularia (empresa que produz farinha de milho, mandioca etc.) compõe os seus preços por duas funções: a primeira, dos custos e manipulação de matéria-prima, dada por f() 5, em que é a quantidade de produto; a segunda, g() 5, que diz respeito ao processamento, embalagem e entrega às revendas. Então, o custo total é composto de custos de processamento, embalagem e entrega, além do custo e manipulação da matéria-prima. Nessas condições, qual o preço de venda de uma unidade em reais? R$ 6, Pelos dados, temos: g (f()) 5 g( ) g(f()) 5 ( ) g (f()) 5 6 g (f()) 5 6 Para 5, temos: g(f()) 5 6? 5 6

12 8 (FGV-SP) Sejam f e g duas funções de R em R, tais que f() 5 e g() 5. Então, o gráfico cartesiano da função f[g()] g[f()]: a) passa pela origem. d) tem declividade positiva. b) corta o eio no ponto (, ). e) passa pelo ponto (, ). c) corta o eio no ponto (6, ). O gráfico cartesiano de h() 5 f(g()) g(f()) 5 f( ) g() 5 5 ( ) 5 6 passa pelo ponto (, ), pois h() 5 6? 5 9 (UERN) As funções f e g são definidas por f() 5 e g() 5. Calculando-se g(f()), tem-se: a) b) c) d) 5 6 e) 5 5 g(f()) 5 g( ) 5 ( ) ( ) g(f()) 5 5 g(f()) (UFES) Seja f a função dada por f() 5, para real, diferente de que g(f()) 5 para todo do domínio de f, então g() vale:. Se g é a função, tal a) 5 b) c) d) 8 e) 5 5 f() 5 f() 5 5 g(f()) g(f()) (PUC-MG) Considere f() 5 e f(g()) 5. Valor de g() é: a) 6 b) 8 c) d) e) 6 f() 5 f(g()) 5 g() 5 g() 5 g() 5

13 (Uniube-MG) Seja K uma constante real, f e g funções definidas em R tais que f() 5 K e g() 5 K. Os valores de K que tornam a igualdade f g 5 g f verdadeira são: a) ou b) ou c) ou d) ou e) ou f(g()) 5 g(f()) K( K) 5 (K ) K K K 5 K K K K 5 K 5 K 5 (UERN) Seja a função f: R R definida por f() 5 8. A sua inversa f é definida por: a) 8 b) c) 8 d) 8 e) (UNI-RIO) A função inversa da função bijetora f: R {} R {} definida por f() 5 é: a) f ( ) 5 c) e) f ( ) 5 f ( ) 5 b) f ( ) 5 d) f ( ) 5 5 ; 5 ( ) 5 5 ( ) Logo, f () 5 5 (UFRJ) Determine o valor real de a para que f() 5 possua como inversa a função a f ( ) 5. f ( ) 5 Trocando as variáveis, 5 a a. Logo, f 5 a 5 () 5 a. a ( ) 5 a 5 a Comparando com a epressão de f () dada, concluímos que a 5.

14 6 Construa, em um mesmo sistema cartesiano, os gráficos da função f e da sua inversa f, dados por: a) f() 5 b) f() 5 c) f() 5 A seguir, escreva o que você pode observar em cada caso sobre os gráficos da função f e da inversa f. a) f() 5 f () 5 f f b) f f c) 5 5 f f Os gráficos de f e f são simétricos em relação à bissetriz do o e do o quadrantes. 7 Sejam f: R R e g: R R definidas por f() 5 e g() 5 m. Sabendo-se que f(g()) 5, calcule m. ou 9 Se f(g()) 5, temos: g() 5? () m 5 m f(g()) 5 f(m) 5 (m )? (m ) 5 m 8m 6 m 8 5 m m Portanto: m m 5 m m m ( ) ± ? m m , ou seja: m 5 ou m

15 8 Dadas as funções f() e g() 5, pede-se: a), de modo que f(g()) 5 {, } b), para que f() g() 5 g(f()) {} f() g() 5 a) f(g()) 5 f( ) 5 ( ) 5( ) < 5 b) f() g() 5 g(f()) f() f() 5 5? g() (Unifor-CE) Considere as afirmações seguintes: I. A função f, de R* em R*, dada por f() 5, é igual à sua inversa. II. O domínio da função real definida por f() 5 é o intevalo [, [. III. A função f, de R em R, dada por f() 5, é ímpar. É verdade que SOMENTE: a) III é verdadeira. b) II e III são verdadeiras. c) I e III são verdadeiras. d) I é verdadeira e) II é verdadeira. I. (Verdadeira) ou f ( ) 5 II. (Falsa).. ], [ III (Verdadeira) f() 5 f() 5 f() 5 f() f é impar 5