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1 PARTE 3 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 3. Funções Reais de Várias Variáveis Reais Vamos agora tratar do segundo caso particular de funções vetoriais de várias variáveis reais, F : Dom(F) R n R m, que são as funções reais de várias variáveis reais. Neste caso, temos que m = e n, i.e. o domínio é um subconjunto de R n, n, enquanto que a imagem é um subconjunto da reta. DEFINIÇÃO 3..: Dado Dom(f) R n, uma função real f de várias variáveis reais é uma correspondência, f : Dom(f) R n R, que a cada ponto X = (,,..., n ) Dom(f), associa um e apenas um = f(x) R. Eemplo 3..: Abaio temos alguns eemplos de funções reais de várias variáveis, com n = ((a) e (b)) e n = 3 ((c) e (d)). a) f(, ) = 4 ( + ), (,) R. b) g(,) =, (,) R. c) h(,,z) = + + z, (,, z) R 3. d) w(,,z) = + + z, (,, z) R3 \{(0, 0, 0)}. Conforme já mencionado, o conjunto Dom(f) é chamado de domínio da função f. Além disso, continuaremos abusando da linguagem, conforme mencionado nas aulas anteriores. Isto é, quando a função f for dada por sua epressão e fizermos a pergunta: qual é o domínio da função f? Estaremos de fato perguntando: qual é o maior subconjunto de R n no qual f está bem definida?, ou seja, qual é o maior subconjunto de R n no qual a epressão dada por f(x) está bem definida? 6

2 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Operações com Funções Reais de Várias Variáveis Reais Definiremos a seguir as usuais operações de soma, diferença, produto e quociente, da mesma forma que fizemos para funções reais de uma variável. DEFINIÇÃO 3..: Considere as funções f,g : D R n R e a constante k R. Neste caso, definimos as seguintes funções: a) a função f + g : D R n R, chamada de soma de f e g, dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x), X D; b) a função f g : D R n R, chamada de diferença entre f e g, dada por (f g)(x) = f(x) g(x), X D; c) a função kf : D R n R, chamada de produto de f pela constante k, dada por (kf)(x) = kf(x), X D; d) a função fg : D R n R, chamada de produto de f pela função g, dada por (fg)(x) = f(x)g(x), X D; e) se g(x) 0, X D, a função f g : D Rn R, chamada de quociente de f pela função g, dada por ( ) f (X) = f(x), X D. g g(x) Vamos agora nos concentrar em funções reais de apenas duas variáveis reais. 3.3 Funções Reais de Duas Variáveis Reais Vamos trabalhar agora apenas com funções reais de duas variáveis reais. Isto é, vamos trabalhar com funções f da forma f : Dom(f) R R (, ) f(,). Vamos iniciar identificando e esboçando o domínio de algumas funções de duas variáveis reais.

3 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 0-8 Eemplo 3.3.: Determine e esboce o domínio das funções definidas pelas epressões abaio. a) f (,) = +. b) f (,) = +. c) f 3 (,) =. d) f 4 (,) =. e) f 5 (,) =. f) f 6 (,) = ln( ). Solução: a) Neste caso, como o termo aparece no denominador da epressão de f, devemos ter 0. Desta forma, segue que Dom(f ) = {(,) R }. Temos portanto que o domínio da função é todo plano, ecetuando a reta = (figura ao lado). b) Neste caso, para podermos tirar as duas raizes que aparecem na epressão de f, devemos ter 0 e 0. Portanto, segue que Dom(f ) = {(,) R e }. Ao lado temos um esboço da região determinada pelas retas = e =. c) Neste caso, para podermos tirar a raiz que aparece na epressão de f 3, devemos ter 0. Além disso, como o termo está no denominador da função f 3, é necessário ter 0. Portanto, segue que Dom(f 3 ) = {(,) R > 0}. Como > 0 < < < <, temos que Dom(f 3 ) = {(,) R < < }. Ao lado temos um esboço do domínio da função f.

4 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 0-9 d) Neste caso, para podermos tirar a raiz que aparece na epressão de f 4, devemos ter 0. Portanto, segue que Dom(f 4 ) = {(,) R }. Ao lado temos um esboço da região determinada pela hipérbole =. e) Neste caso, como o termo aparece no denominador da epressão de f 5, devemos ter 0. Desta forma, segue que Dom(f 5 ) = {(,) R }. Temos portanto que o domínio da função é todo plano, ecetuando a reta = (figura ao lado). f) Neste caso, como o termo aparece como argumento do logaritmo natural na epressão de f 6, devemos ter > 0. Desta forma, segue que Dom(f 6 ) = {(,) R > }. Ao lado temos um esboço da região determinada pela hipérbole =. (figura ao lado). 3.4 Eemplos de Funções Reais de Duas Variáveis Reais Veremos a seguir eemplos de alguns tipos de funções reais de duas variáveis reais. Eemplo 3.4.: (Função Polinomial) Uma função polinomial de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : R R dada por f(,) = a mn n m, m+n p onde p é um natural fio e os coeficientes a mn são números reais dados. A soma é

5 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 0-30 estendida a todas soluções (m,n), m e n naturais, da inequação m + n p. Eemplo: f(,) = Eemplo 3.4.: (Função Afim) Uma função afim de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : R R dada por f(,) = a + b + c, onde a, b e c são números reais dados. A função afim é um caso particular de uma função polinomial. Eemplo: f(,) = Eemplo 3.4.3: (Função Linear) Uma função linear de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : R R dada por f(,) = a + b, onde a e b são números reais dados. A função linear é um caso particular de uma função afim. Eemplo: f(,) = + 3. Eemplo 3.4.4: (Função Racional) Uma função racional de duas variáveis reais a valores reais é uma função f : Dom(f) R R dada por f(, ) = p(,) q(,), onde p e q são funções polinomiais dadas. Temos, neste caso, que Dom(f) = {(,) R 3 q(,) 0}. Eemplo: f(,) = Observe que + Dom(f) = {(,) R ( + ) 0} = {(,) R 0 e } Temos portanto que o domínio da função é todo plano, ecetuando as retas = 0 e = (figura ao lado). 3.5 Curvas de Nível de Funções Reais de Duas Variáveis

6 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 0-3 Seja f : Dom(f) R R. Conforme já sabemos, dado k Im(f), temos que o conjunto de nível da função f correspondente ao nível k é o subconjunto do domínio dado por C k (f) = {(,) Dom(f) f(,) = k}. No caso em questão, que é o das funções reais de duas variáveis reais, os conjuntos de nível de f são de fato curvas, as quais são portanto chamadas de curvas de nível de f. Conforme mencionado, as curvas de nível são muito úteis para se ter uma visão do comportamento da função. Isto porque elas nos fornecem todos os pontos do domínio tais que o valor da função é constante. Desta forma, se tivéssemos todas as curvas de nível k poderíamos construir o gráfico de f pegando cada curva de nível de f e colocando na altura z = k. Observação 3.5.: Como sabemos que f é constante ao longo das curvas de nível, observe que duas curvas de nível de uma função f correspondentes aos níveis k e k, onde k k, não podem se interceptar. Vamos agora fazer alguns eemplos. Eemplo 3.5.: Determine e esboce as curvas de nível das funções dadas abaio. a) f (,) = +. b) f (,) = +. c) f 3 (,) =. d) f 4 (,) = ln( ). e) f 5 (,) =. f) f 6 (,) = + 4. Solução: a) Neste caso, observe que Dom(f ) = R e que Im(f ) = R. Desta forma, temos que para todo k real, o conjunto de nível k de f é dado por C k (f ) = {(,) R + = k}, ou seja, as curvas de nível k de f são retas + = k. Por eemplo, para k = 0, temos a reta = ; para k =, temos a reta = + ; para k =, temos a reta = + ; para k =, temos a reta = ; para k =, temos a reta =. As curvas de nível de f encontram-se esboçadas abaio. A curva de nível k = 0 está

7 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 0-3 esboçada em azul, as curvas de nível k > 0 estão esboçadas em verde e as curvas de nível k < 0 estão esboçadas em rosa. b) Neste caso, observe que Dom(f ) = R e que Im(f ) = {z R z 0}. Desta forma, temos que para todo k 0 real, o conjunto de nível k de f é dado por C k (f ) = {(, ) R + = k}. Observe que para k = 0, temos apenas o ponto (0, 0), i.e. C 0 (f ) = {(0, 0)}. Já para k > 0, temos que as curvas de nível k > 0 de f são circunferências + = k, i. e. circunferências de raio k e centro na origem. Por eemplo, para k =, temos a circunferência + = ; para k =, temos a circunferência + = ; para k = 3, temos a circunferência + = 3; para k = 4, temos a circunferência + = 4. As curvas de nível de f encontram-se esboçadas abaio. A curva de nível k = 0 (a origem) está esboçada em azul e as curvas de nível k > 0 estão esboçadas em verde. c) Neste caso, observe que Dom(f 3 ) = {(,) R } e que Im(f 3 ) = R. Desta forma, temos que para todo k real, o conjunto de nível k de f 3 é dado por C k (f 3 ) = {(,) Dom(f 3 ) = k( )}, ou seja, as curvas de nível k de f 3 são retas = k( ). Por eemplo, para k = 0, temos a reta = 0; para k =, temos a reta = ;

8 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 0-33 para k =, temos a reta = ; para k =, temos a reta = + ; para k =, temos a reta = +. As curvas de nível de f 3 encontram-se esboçadas abaio. As curvas de nível k = 0 (semi-retas) estão esboçadas em azul, as curvas de nível k > 0 (semi-retas) estão esboçadas em verde e as curvas de nível k < 0 (semi-retas) estão esboçadas em rosa. d) Neste caso, observe que Dom(f 4 ) = {(,) R > } e que Im(f 4 ) = R. Desta forma, temos que para todo k real, o conjunto de nível k de f 4 é dado por C k (f 4 ) = {(,) Dom(f 4 ) ln( ) = k}. Como ln( ) = k = e k = + e k, temos que as curvas de nível k de f são hipérboles = + e k. Por eemplo, para k = 0, temos a hipérbole = ; para k =, temos a hipérbole = + e; para k =, temos a hipérbole = + e ; para k =, temos a hipérbole = = + e ; para k =, temos a hipérbole = = + e. As curvas de nível de f 4 encontram-se esboçadas abaio. As curvas de nível k = 0 estão esboçadas em azul, as curvas de nível k > 0 estão esboçadas em verde e as curvas de nível k < 0 estão esboçadas em rosa. e) Neste caso, observe que Dom(f 5 ) = R e que Im(f 5 ) = R. Desta forma, temos que

9 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 0-34 para todo k real, o conjunto de nível k de f 5 é dado por C k (f 5 ) = {(,) R = k}. Observe que para k = 0, temos que = 0 = = = ±, i.e. as curvas de nível zero são as retas = e =. Já para k > 0, temos que as curvas de nível k > 0 de f 5 são hipérboles = k > 0, i. e. hipérboles cujos focos estão no eio. Contudo, para k < 0, temos que as curvas de nível k < 0 de f 5 são hipérboles = k < 0, i. e. hipérboles cujos focos estão no eio. Por eemplo, para k = 0, temos as retas = e = ; para k =, temos a hipérbole = ; para k =, temos a hipérbole = ; para k =, temos a hipérbole = ; para k =, temos a hipérbole =. As curvas de nível de f 5 encontram-se esboçadas abaio. As curvas de nível k = 0 (retas) estão esboçadas em azul, as curvas de nível k > 0 estão esboçadas em verde e as curvas de nível k < 0 estão esboçadas em rosa. f) Neste caso, observe que Dom(f 6 ) = R \{(0, 0)}. Já a imagem de f 6, vamos determinar mais tarde. Desta forma, temos que para todo k Im(f 6 ), o conjunto de nível k de f 6 é dado por C k (f 6 ) = { (,) Dom(f 6 ) } + = k. 4 Observe que k = 0 Im(f 6 ), e que o conjunto de nível 0 de f 6 é dado por Desenvolvendo então a igualdade C 0 (f 6 ) = {(,) Dom(f 6 ) = 0 ou = 0}. = k, para k 0, temos que = k = k + k 4 k + k 4 = 0. Resolvendo a equação acima em, segue que = ± 4k. k

10 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 0-35 De posse deste resultado, fica claro que Im(f 6 ) = [, ], k 0, temos que o conjunto de nível k de f 6 é dado por C k (f 6 ) = [, ]. Sendo assim, para k { ( )} ± 4k (, ) Dom(f 6 ) =, k ou seja, as curvas de nível k(k 0) de f 6 são as parábolas = ( ± 4k com (, ) (0, 0). Por eemplo, para k = /, temos a parábola = ; ( para k = /3, temos as parábolas = 3 + ) 5 ( para k = /4, temos as parábolas = 4 + ) para k = /, temos a parábola = ; ( para k = /3, temos as parábolas = 3 + ) 5 ( para k = /4, temos as parábolas = 4 + ) As curvas de nível de f 6 encontram-se esboçadas abaio. e = ( e = ( 3 ) 5 ; e = ( 4 e = ( ) k ; 3 ) 5 ; 4 ) ; ), Vamos agora passar aos gráficos de funções reais de duas variáveis. Portanto, é interessante que você faça uma revisão de planos, cilindros, esferas, superfícies de revolução e superfícies quádricas em geral. Na Parte 4, temos uma revisão destes tópicos. Não deie de estudá-los. 3.6 Gráficos de Funções Reais de Duas Variáveis Seja f : Dom(f) R R. Conforme já sabemos, temos que o gráfico da função f é o subconjunto de R 3 dado por

11 Cálculo B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise 0-36 G(f) = {(,, f(,)) R 3 (,) Dom(f)}. No caso em questão, que é o das funções reais de duas variáveis reais, atente para o fato de que os gráficos destas funções estão em R 3. A representação geométrica do gráfico de uma função de duas variáveis é uma tarefa difícil. Por isto, em alguns casos nos contentamos com as curvas de nível. Vamos agora fazer alguns eemplos que não estão entre os mais difíceis. Eemplo 3.6.: Determine e esboce os gráficos das funções dadas abaio. Use as curvas de nível encontradas no Eemplo 3.5., se achar necessário. a) h (,) = +. b) h (,) = +. c) h 3 (,) =. d) h 4 (,) = e ( + ). e) h 5 (,) =. f) h 6 (,) =. g) h 7 (,) = ln( ). Solução: a) Temos que o gráfico de h é dado por G(h ) = {(,, + ) R 3 (,) R }. z Temos portanto que o gráfico da função é o plano z = +, que é o plano que contém a origem e é perpendicular aos vetores (,, ) e (,, ) (figura ao lado). z b) Temos que o gráfico de h é dado por G(h ) = {(,, + ) R 3 (,) R }. Temos portanto que o gráfico da função é o parabolóide z = + (figura ao lado).

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