FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL

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1 Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015

2 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos de... 2 Representações de um produto cartesiano... 2 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 2 RELAÇÃO DE A em B... 3 FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL... 3 NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO... 3 ELEMENTOS ESSENCIAIS... 3 FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS... 4 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 4 DOMÍNIO DE FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS... 4 RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL... 5 EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS... 5 REFORÇANDO A NOÇÃO DE GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO... 5 CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO... 6 GRÁFICOS EM 3D... 6 CAIU NO SIGMA... 6

3 AULA 01 INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO Você deve se lembrar, do 9 ano, que em um plano cartesiano ortogonal, no qual temos um sistema de eixos perpendiculares e (denotado por ), um ponto P de abscissa e ordenada, denotado por, pode ser representado conforme a figura a seguir. Número de elementos de Sendo A e B conjuntos finitos, é possível demonstrar que o número de elementos do produto cartesiano de por,, é dado por: Representações de um produto cartesiano O produto cartesiano de por pode ser representado de três formas: Tabular Diagrama de flechas Diagrama cartesiano EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Sejam. a) Determine. b) Represente os produtos cartesianos e, na forma b.1) tabular; b.2) de diagrama de flechas; e b.3) de diagrama cartesiano Sejam. Represente. Em geral, os eixos coordenados e são graduados em uma mesma escala. TAREFA 1 Ler: na parte teórica 1, o tópico Introdução ao plano cartesiano, a Observação 1 e os exercícios resolvidos 1 e 2. PRODUTO CARTESIANO Sejam e conjuntos não vazios. Tomando quaisquer e podemos formar pares ordenados. O produto cartesiano de por, denotado por, é o conjunto formado por todos esses pares ordenados. Em símbolos, temos: Como representar um produto cartesiano quando pelo menos um dos conjuntos é um intervalo? Representaremos tais produtos cartesianos apenas no plano cartesiano. Use a seguinte notação: Extremo do intervalo aberto: traçar por ele uma perpendicular pontilhada; Extremo do intervalo fechado: traçar por ele uma perpendicular contínua; Extremo do intervalo infinito: não traçar reta; Intercessão de retas contínuas: bolinha fechada ; Intercessão de retas, em que pelo menos uma é pontilhada: bolinha aberta. Para representar o produto cartesiano, você deve pintar a região comum delimitada pelas retas e suas intercessões. Obs.1: Em geral,. TAREFA 2 Ler, na pág 6 e 7, a Obs. 4, os ex. resolvidos 5 e 6 e FAZER os PPS de 1 a 4a. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Página 2

4 AULA 02 RELAÇÃO DE A em B Considere dois conjuntos e, não vazios, e o produto cartesiano formado à partir de e. Todo subconjunto de denomina-se relação de em. Exemplo 1: Sendo e tem-se que. Desse modo, algumas relações de A e B são: FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Considere e, subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais, e todas as relações de em possíveis de serem realizadas. Dentre essas relações, chamaremos de função de em, denotada por, aquelas em que para cada existe um único, tal que. Obs.1: O conjunto é denominado domínio da função e será denominado por. Obs.2: O conjunto é denominado contradomínio da função e será denominado por. Obs.3: Se, então é a imagem de por o qual denotamos por. Obs.4: O conjunto formado pelos elementos de para os quais existe pelo menos um elemento de tal que é denominada conjunto-imagem de e será denotado por. Note que Obs.5: Em, com, é denominado variável independente e é denominado variável dependente. EM SALA Ler, na pág. 16, o exercício resolvido 9(a, d, e). E, na pág 22, o exercício resolvido 11. Como verificar se uma relação de A em B é uma função de A em B? Verifique se cada elemento do domínio, sem exceção, está associado a exatamente um elemento do contradomínio. Dica: Uma relação será uma função de A em B se a comparação a seguir valer para todos os elementos de A: Cada filho(em A) deve ter uma única mãe (em B). Dica prática para relações envolvendo intervalos: No diagrama cartesiano: trace retas verticais por toda a extensão do domínio da suposta função. Se pelo menos uma das retas não intersectar, ou intersectar mais de uma vez, a curva apresentada, então não se trata de uma função de A em B. NOÇÃO INTUITIVA DE FUNÇÃO A noção intuitiva de função é aquela que nos permite reconhecer as situações em que os valores de duas grandezas estão relacionados de tal forma que a cada valor de uma delas está associado um único valor da outra. Exemplo 1: Ao pesarmos nosso prato em um selfservice, temos a certeza de que para cada quantidade de comida servida existirá um valor associado a ser pago e este será único. Exemplo 2: Ao analisar, durante um intervalo de tempo, a altura atingida por uma bola ao ser chutada para cima, tem-se a certeza de que, para cada instante analisado a altura atingida pela bola existirá e será única. Mesmo que o contrário não seja verdadeiro (isto é, em dois instantes distintos a bola pode estar a uma mesma altura). ELEMENTOS ESSENCIAIS Para definirmos uma função, precisamos de três elementos essenciais: que associa a cada um único elemento. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Página 3

5 FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Quando é uma função real de variável real, o valor é, geralmente, dado por uma expressão algébrica em termos de. Entendendo a simbologia das funções... A seguir tem-se a mesma situação descrita em duas linguagens: I) EM LÍNGUA PORTUGUESA Seja f uma função com domínio em um conjunto A e contradomínio em um conjunto B, tal que a imagem de cada elemento do domínio é associada ao quadrado deste acrescido de 1. Dado que os elementos de A são todos os números inteiros entre -2 e 2 e os elementos de B são os números naturais não nulos menores que 4, determine o que se pede: a) o domínio de ; b) o contradomínio de ; c) a imagem de -1 pela função ; d) o conjunto-imagem de ; e) o elemento do domínio de tal que sua imagem pela função f é igual a 2; f) o elemento do contradomínio de tal que ele é a imagem de 0 pela função f. II) EM LINGUAGEM SIMBÓLICA Seja, uma função tal que. Dados e, determine o que se pede: a) ; b) ; c) ; d) ; e) tal que ; f) tal que. Esperamos que, com essa comparação, você entenda o significado e as facilidades que a linguagem simbólica nos traz. EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Responda à situação descrita no quadro verde acima. TAREFA 3 Ler, na pag 20, o exercício resolvido 10 e na pág 25 a 30, os exercícios resolvidos 12, 13, 15 e 17. Após a leitura, fazer os PSA 5,8, 11, 13, 15(c,d,e), 17 e 24. TAREFA 4 Fazer os PSA 6, 10, 12, 14, 16(a,d,e), 18, 22(a,b), 26 e 32. AULA 03 DOMÍNIO DE FUNÇÕES CUJAS LEIS SÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Suponha, nas expressões a seguir, que e representam polinômios na variável, que assume todos os valores reais para os quais seja um número real. existe em se, e somente se,. Assim, sendo, tal que, tem-se existe em se, e somente se,. Assim, sendo, tal que, tem-se existe, em, para todo. Assim, sendo, tal que, tem-se existe em se, e somente se,. Assim, sendo, tal que, tem-se Obs. 1: Algumas funções podem ter suas leis dadas por expressões que misturam os casos acima. Nesses casos, você deve analisar cada expressão. EM SALA Ler, na pág 32, o PSA 19(b, c, d, e, g, i) Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Página 4

6 RAIZ OU ZERO DE UMA FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Seja uma função real de uma variável real, com. Diz-se que é uma raiz de f se: é solução de Obs. 2: Se é zero de uma função, então é correto afirmar que o par ordenado. E, desse modo, a representação cartesiana de f intersectará o eixo exatamente no ponto. Portanto, podese dizer que o zero de uma função é igual à abscissa do ponto de intercessão do gráfico de f com o eixo das abscissas. EM SALA Ler, na pág 36, o exemplo 4 e o exercício resolvido 21. EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 3.1. Sejam, e uma função tal que sua representação cartesiana está ilustrada a seguir. e AULA 04 REFORÇANDO A NOÇÃO DE GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DESFAZENDO MITOS Normalmente, quando falamos de gráfico de uma função, a um aluno do 1 ano do Ensino Médio, percebemos que alguns acreditam em alguns mitos. MITO 1) Existem apenas dois tipos de gráfico: parábola ou reta. Veja como podemos definir o que é um gráfico de uma função: O gráfico de uma função conjunto dos pares ordenados que e. é o, em Ou seja, se supormos, temos a seguinte representação cartesiana de : Determine os zeros de Determine, se existir, a raiz de cada uma das funções a seguir. a), tal que b), tal que TAREFA 6 Fazer os PSA 35, 36(b,c), 37, 38 e 40. E, desse modo, qualquer seleção de pontos da região vermelha (qualquer desenho ), que atenda à definição de função, pode ser o gráfico de uma função e não apenas uma reta ou uma parábola. MITO 2) Para se construir o gráfico de uma função é obrigatório ligar os pontinhos. Observando o que vimos no MITO 1), podemos perceber que, no caso de ser um subconjunto de ou de, teremos como representação cartesiana de um conjunto de pontos isolados. Desse modo, qualquer subconjunto de não terá pontos ligados, nem por segmentos de reta, nem por outra curva qualquer. EM SALA Ler, na pág 37, os exercícios resolvidos 22 e 23. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Página 5

7 EM SALA Ler, nas pág. 41, a Observação 10, o Exemplo 6 e o exercício resolvido 25. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Sejam uma função real de uma variável real tal que e, um subconjunto não-vazio de. Nesse contexto, podemos dizer que, em, uma função pode receber apenas uma das seguintes três classificações: TAREFA 8 Ler, na parte teórica 5, o exemplo 8 e fazer os PSA 46 a 48. GRÁFICOS EM 3D Sela do cavalo é dita CRESCENTE em se sendo, e elementos de, tivermos que Note que, no sentido de leitura (da esquerda para a direita), o gráfico de sobe, quando é crescente. é dita DECRESCENTE em se sendo, e elementos de, tivermos que Note que, no sentido de leitura (da esquerda para a direita), o gráfico de desce, quando é decrescente. Sela do Macaco é dita CONSTANTE em se sendo, e elementos de, tivermos que Note que o gráfico de fica contido em uma reta horizontal, quando é constante. Uma função pode ser crescente e decrescente? Note que em todos os casos acima, a definição foi feita sobre um subconjunto do domínio da função, ou seja, quando falamos de crescimento ou decrescimento, estamos estudando cada pedacinho da função. Desse modo, como um todo, uma função pode ser crescente em um momento e decrescente em outro. Porém, é claro, em um mesmo subconjunto a função é crescente ou decrescente ou constante (apenas um). Tente citar algum exemplo de função que seja crescente em um intervalo e decrescente em outro. TAREFA 7 Ler, na pág 40, o exercício resolvido 24 e fazer os PSA 41 a 45. EXTRA EXTRA: CONHECENDO AVALIAÇÕES 1,2, 5, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 31, 33, CAIU NO SIGMA 1. (TESTE 2014) Considere os conjuntos e e a função, tal que. Nessas condições, é possível a). b). c). d). e ) Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Página 6

8 2. (TESTE 2014) Um taxista cobra por uma corrida um valor fixo de R$ chamado de bandeirada, e R$ por quilômetro rodado. Em uma corrida de quilometros, qual o valor pago, em reais, por taxista? a) b) c) d) e) c). d). e). 3. (TESTE 2014) A função real cuja lei é, tem domínio igual a a) b) c) d) e) 4. (TESTE 2014) a figura a seguir é uma representação cartesiana de uma função que tem exatamente quatro raízes reais É correto afirmar que a soma das raízes dessa função pertence ao intervalor a). b). c). d). e). 5. (TESTE 2014) Considere uma função tal que. Nessas condições, tem-se a). b). c). d). e). 6. (TESTE 2014) Sejam, e, tais que a). b)., tem-se igual a e,. Dado que Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Página 7

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