ANÁLISE MATEMÁTICA II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "ANÁLISE MATEMÁTICA II"

Transcrição

1 ANÁLISE MATEMÁTICA II Acetatos de Ana Matos Noções Básicas de Funções em R n Topologia DMAT

2 Noções Básicas sobre funções em n Introdução Vamos generalizar os conceitos de limite, continuidade e diferenciabilidade, dados para funções reais de variável real, a funções definidas em subconjuntos do espaço vectorial n e com valores em m, com n e m números naturais. Isto é f : D n m x 1,...,x n fx 1,...,x n Notação: As características vectoriais da função e/ou do seu argumento são frequentemente indicadas escrevendo em letra carregada ( bold ) esses símbolos. Exemplos: fx caso os argumentos e as imagens sejam vectores; fx caso os argumentos sejam escalares e as imagens sejam vectores; fx caso os argumentos sejam vectores e as imagens sejam escalares. Muitos autores utilizam a notação fx ou f x. Se nenhuma notação em especial for utilizada é o contexto que permite averiguar das características escalares ou vectoriais dos objectos e das imagens. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 1

3 Campos Escalares e Campos Vectoriais Definição: Chama-se campo escalar a uma função f : D n x fx Exemplos: A distribuição espacial da temperatura numa sala e a distribuição da pressão na atmosfera são exemplos de campos escalares. Definição: Chama-se campo vectorial a uma função f : D n x m fx (Se m 1, a função é um campo escalar). Exemplos: Os campos da velocidade de escoamento de um fluido e da sua aceleração são exemplos de campos vectoriais. Sendo f : D n m um campo vectorial, chamamos componentes escalares associadas a f aos campos escalares f 1,, f m tais que Para cada 1 i m, fx f 1 x,, f m x. f i : D n x a i -ésima componente da imagem fx Deste modo, grande parte do estudo de campos vectoriais vai reduzir-se ao estudo das suas componentes escalares. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 2

4 Observação: Chama-se projecção de ordem j em n a j : n x 1,...,x j,,x n x j que a cada vector de n associa a sua componente de ordem j. Noções de Domínio e de Contradomínio Definição: Sendo f um campo vectorial ou escalar, chama-se domínio de f ao conjunto D dos elementos de n para os quais a função está definida. Em geral consideramos D o maior conjunto para o qual a função pode ser definida. Observação: Sendo f um campo vectorial, de n em m, tem-se que D f D f1 D f2 D fm. Definição: Sendo f : D f n m um campo vectorial ou escalar, chama-se contradomínio de f ao conjunto dos elementos de m que são imagem por meio de f de algum x D f, isto é, a fd f y m : y fx para algum x D f fx : com x D f. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 3

5 Composição de Funções Consideremos duas funções f : D f n m e g : D g p n. A função h : D h p x m hx fgx designa-se por composição da função g com a função f e representa-se por f g [lê-se f após g]. A função f g está definida se a intersecção do contradomínio de g com o domínio de f for não vazia, isto é, se Neste caso gd g D f. D fg x p : x D g e gx D f. Nota: Se gd g D f, então D fg D g. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 4

6 Representação Gráfica de Funções Considerando um sistema de eixos ortogonais OXYZ, o gráfico de uma função f : D 2 é o conjunto x, y,z 3 : z fx, y e x, y D f. Para campos escalares definidos em n, com n 2, definimos de modo análogo o gráfico, mas não o podemos representar geometricamente. Como auxílio no esboço de um gráfico, frequentemente fazemos a sua intersecção com planos simples de 3 (obtendo o seu corte por esses planos). Geralmente usamos planos paralelos aos planos coordenados, isto é, da forma x C 1, y C 2 e z C 3. Conjuntos de Nível Constituem outra forma de perceber o comportamento de um campo escalar. No caso de duas variáveis também são úteis para o esboço do seu gráfico; no caso de três variáveis poderem ainda ser visualizados geometricamente. Definição: Seja f : D n um campo escalar e c um real. Ao conjunto Lc x n : x D e fx c. chama-se conjunto de nível associado a c. Em 2 designa-se por curva de nível, linha de nível ou linha de contorno; em 3 designa-se por superfície de nível. Exemplos: Linhas (ou superfícies) isotérmicas, isobáricas ou equipotênciais. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 5

7 Noções Topológicas em n Revisão - norma e distância em n Chama-se norma Euclideana em n à função definida por : n x x x x x x n 2 e chama-se distância (ou métrica) associada à norma Euclideana em n à função d : n n x, y dx,y xy Portanto, dx,y x 1 y x n y n 2. Definição: Sejam a n e. Chama-se bola aberta de centro a e raio (ouvizinhança em torno de a) ao conjunto B a x n : dx, a, também representado por Ba,. Nota: Em, as bolas abertas são intervalos abertos. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 6

8 Noções Topológicas Elementares Definição: Sejam S um subconjunto de n e a n. a diz-se um ponto interior de S se existe uma bola aberta de centro em a totalmente contida em S, isto é, se 0 : B a S; a diz-se um ponto exterior de S se for interior ao seu complementar; a diz-se um ponto fronteiro de S se não for interior nem exterior ao conjunto S. Nota: da definição resulta imediatamente que: a é um ponto exterior de S sse existe uma bola de centro em a totalmente contida no complementar de S; a é um ponto fronteiro de S sse qualquer bola de centro em a tem pontos de S e do seu complementar. Notação: Sendo S um subconjunto de n, interior de S ints conjunto dos pontos interiores de S; exterior de S exts conjunto dos pontos exteriores de S; fronteira de S frs conjunto dos pontos fronteiros de S. (A fronteira de S representa-se também por S.) Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 7

9 Proposição: Sendo S um subconjunto de n, ints S; exts n \S; n ints exts frs ( união disjunta de conjuntos). Definição: Um subconjunto de n diz-se aberto se todos os seus pontos forem pontos interiores. Portanto, S n é um conjunto aberto sse ints S. Definição: Um subconjunto de n diz-se fechado se o seu complementar for aberto. Proposição: S n é um conjunto fechado sse frs S. Nota: Um dado conjunto pode ser aberto, fechado, nem aberto nem fechado e simultaneamente aberto e fechado. Definição: Chama-se fecho ou aderência do conjunto S à união de S com a sua fronteira que se representa por S. Portanto S ints frs. Um ponto a diz-se aderente a S se pertencer S. Nota: O fecho de um conjunto é sempre um conjunto fechado. Nota: S é fechado sse S S. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 8

10 Definição: Diz-se que o ponto a n é ponto de acumulação de S n se em toda a bola aberta de centro em a existe uma infinidade de pontos de S. Um elemento de S que não é um ponto de acumulação de S diz-se um ponto isolado de S. Nota: Prova-se que a é ponto de acumulação de S sse toda a bola aberta de centro em a tem pelo menos um ponto de S diferente de a. Chama-se derivado de S ao conjunto de todos os pontos de acumulação de S e denota-se por S. Nota: Um conjunto finito não tem pontos de acumulação. Definição: Um conjunto S diz-se limitado se existir alguma bola que o contenha. Definição: Um subconjunto de n diz-se compacto se for limitado e fechado. Nota: Os intervalos a, b, com a, b, são compactos de. Definição: Seja C um subconjunto de n. Diz-se que C é separável por dois abertos se existem A e B, subconjuntos abertos de n, tais que C A B, A B, CA e CB. Se C não é separável por dois abertos, diz-se que C é conexo. Ana Matos - AMII 13/14 Funções e Top. - 9

LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x

LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES Noções prévias 1. Valor absoluto de um número real: Chama-se valor absoluto ou módulo de um número real ao número x tal que: x se x 0 x = x se x < 0 Está assim denida

Leia mais

Noções Topológicas em R n

Noções Topológicas em R n Noções Topológicas em R n Revisão - norma e distância em R n Chama-se norma Euclideana em R n à norma associada ao produto interno canónico em R n, isto é, à função definida por PP : R n v R x v PxP x

Leia mais

Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é:

Função. Definição formal: Considere dois conjuntos: o conjunto X com elementos x e o conjunto Y com elementos y. Isto é: Função Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função. Definição formal:

Leia mais

Expansão linear e geradores

Expansão linear e geradores Espaços Vectoriais - ALGA - 004/05 4 Expansão linear e geradores Se u ; u ; :::; u n são vectores de um espaço vectorial V; como foi visto atrás, alguns vectores de V são combinação linear de u ; u ; :::;

Leia mais

Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico. I. Conjuntos

Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico. I. Conjuntos I. Conjuntos 1. Introdução e notações 1.1. Relação de pertença 1.2. Modos de representar um conjunto 1.3. Classificação de conjuntos quanto ao número de elementos 1.4. Noção de correspondência 2. Relações

Leia mais

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO 5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e

Leia mais

Tópico 8 Funções de Duas ou Mais Variáveis Consulta Indicada: ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Volume 2. Páginas 311 a 323.

Tópico 8 Funções de Duas ou Mais Variáveis Consulta Indicada: ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Volume 2. Páginas 311 a 323. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática Cálculo B (Informática) Turmas 18 e 138 Tópico 8 Funções de Duas ou Mais Variáveis Consulta Indicada:

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 2. Universidade Portucalense

Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 2. Universidade Portucalense Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 2 Universidade Portucalense Funções reais de variável real Deinição e generalidades Uma unção é uma correspondência que a qualquer elemento de um conjunto D az corresponder

Leia mais

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O :

ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA PROF. CARLINHOS NOME: N O : ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES PROF. CARLINHOS NOME: N O : 1 FUNÇÃO IDÉIA INTUITIVA DE FUNÇÃO O conceito de função é um dos mais importantes da matemática.

Leia mais

1 Propriedades das Funções Contínuas 2

1 Propriedades das Funções Contínuas 2 Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005 Sumário 1 Propriedades das Funções Contínuas 2 2 Continuidade 2 3 Propriedades 3 4 Continuidade Uniforme 9 5 Exercício 10 1 1 PROPRIEDADES

Leia mais

Lições de Análise Matemática 2. Maria do Carmo Coimbra Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Lições de Análise Matemática 2. Maria do Carmo Coimbra Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Maria do Carmo Coimbra Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Julho de 008 Conteúdo Prefácio vii 1 Breves Noções de Topologia em R n 1 Funções Diferenciáveis

Leia mais

2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1

2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 2.1 Domínio e Imagem 2.1A Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 3 (e) g (x) 2x (f) g (x) = jj 8 8 < x, se x 2

Leia mais

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos

Leia mais

Complementos de Análise Matemática

Complementos de Análise Matemática Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Departamento: Matemática Ficha prática n o 1 - Cálculo Diferencial em IR n 1. Para cada um dos seguintes subconjuntos de IR, IR 2 e IR 3, determine

Leia mais

5 Transformações Lineares e Matrizes

5 Transformações Lineares e Matrizes Nova School of Business and Economics Prática Álgebra Linear 5 Transformações Lineares e Matrizes 1 Definição Função de em Aplicação que faz corresponder a cada elemento de um conjunto (domínio), denominado

Leia mais

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos Capítulo 4 Funções de duas variáveis 4.1 Funções de varias variáveis - Definição e eemplos Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D R com D R n = R R. Ou seja, uma

Leia mais

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y

Capítulo 1. x > y ou x < y ou x = y Capítulo Funções, Plano Cartesiano e Gráfico de Função Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

Espaços vectoriais com produto interno. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15

Espaços vectoriais com produto interno. ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15 Capítulo 6 Espaços vectoriais com produto interno ALGA 2007/2008 Mest. Int. Eng. Biomédica Espaços vectoriais com produto interno 1 / 15 Definição e propriedades Seja V um espaço vectorial real. Chama-se

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO

CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO Ricardo Bianconi Primeiro Semestre de 2008 Revisado em Fevereiro de 2015 Resumo Relacionamos os conceitos de campos irrotacionais, campos conservativos e forma do domínio

Leia mais

Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing)

Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) ISCTE, Escola de Gestão Aula 5 - Matemática (Gestão e Marketing) Diana Aldea Mendes 29 de Outubro de 2008 Espaços Vectoriais Definição (vector): Chama-se vector edesigna-sepor v um objecto matemático caracterizado

Leia mais

Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela)

Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela) Aula 7 Valores Máximo e Mínimo (e Pontos de Sela) MA - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual

Leia mais

1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1.

1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1. 2.1 Domínio e Imagem EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 1.1 1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 3 (e) g (x) 2x

Leia mais

Séries de Potências de x

Séries de Potências de x Séries de Potências de x As séries de potências de x são uma generalização da noção de polinómio. Definição: Chama-se série de potências de x com coeficientes a 0, a 1,, a n,, a qualquer série da forma

Leia mais

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e

Objetivos. Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas e MÓDULO 2 - AULA 13 Aula 13 Superfícies regradas e de revolução Objetivos Apresentar as superfícies regradas e superfícies de revolução. Analisar as propriedades que caracterizam as superfícies regradas

Leia mais

MAT2454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II

MAT2454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II MAT454 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II a Lista de Exercícios -. Ache os pontos do hiperboloide x y + z = onde a reta normal é paralela à reta que une os pontos (,, ) e (5,, 6).. Encontre

Leia mais

2. Estude o sinal da função f cujo gráfico é a reta de inclinação 3 e que passa pelo ponto ( 5, 2).

2. Estude o sinal da função f cujo gráfico é a reta de inclinação 3 e que passa pelo ponto ( 5, 2). MAT1157 Cálculo a uma Variável A - 2014.1 Lista de Exercícios 7 PUC-Rio Função afim: 1. (a) Qual é a inclinação de uma reta horizontal (paralela ao eixo-x)? (b) Qual é a expressão da função cujo gráfico

Leia mais

ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO RAUL PILLA COMPONENTE CURRICULAR: Matemática PROFESSORA: Maria Inês Castilho. Conjuntos

ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO RAUL PILLA COMPONENTE CURRICULAR: Matemática PROFESSORA: Maria Inês Castilho. Conjuntos ESCOL ESTDUL DE ENSINO MÉDIO UL PILL COMPONENTE CUICUL: Matemática POFESSO: Maria Inês Castilho Noções básicas: Conjuntos 1º NOS DO ENSINO MÉDIO Um conjunto é uma coleção qualquer de objetos, de dados,

Leia mais

I. Cálculo Diferencial em R n

I. Cálculo Diferencial em R n Análise Matemática II Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Ano Lectivo 2010/2011 2 o Semestre Exercícios propostos para as aulas práticas I. Cálculo Diferencial em R n Departamento

Leia mais

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0. Introdução Por método numérico entende-se um método para calcular a solução de um problema realizando apenas uma sequência finita de operações aritméticas. A obtenção

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

GEOMETRIA NO PLANO. Linha Conjunto infinito de pontos que pode ser desenhado por um único movimento contínuo (objecto geométrico a uma dimensão).

GEOMETRIA NO PLANO. Linha Conjunto infinito de pontos que pode ser desenhado por um único movimento contínuo (objecto geométrico a uma dimensão). GEOMETRIA NO PLANO 1 Noções Elementares Ponto O objecto geométrico mais elementar (sem dimensão). Linha Conjunto infinito de pontos que pode ser desenhado por um único movimento contínuo (objecto geométrico

Leia mais

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência:

FUNÇÃO DO 1º GRAU. Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: FUNÇÃO DO 1º GRAU Vamos iniciar o estudo da função do 1º grau, lembrando o que é uma correspondência: Correspondência: é qualquer conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao primeiro

Leia mais

NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR

NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇO VETORIAL REAL NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR ESPAÇOS VETORIAIS Seja um conjunto V φ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar, tais que u, v V, u+v V e α R, u V, αu V

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

2. O número de vectores da base de L construída na alínea anterior é a soma do número de vectores das bases de M e N.

2. O número de vectores da base de L construída na alínea anterior é a soma do número de vectores das bases de M e N. 2.4. PROJECÇÕES 2. dim(l)=dim(m)+dim(n) Demonstração. Se L=M N, qualquer vector x L se pode escrever de forma única como a soma de um vector x M M e outro vector x N N. 1. Dada uma base de M, x M pode

Leia mais

12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição

12. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 12.1 FUNÇÕES INJETORAS. Definição 90 1. FUNÇÕES INJETORAS. FUNÇÕES SOBREJETORAS 1.1 FUNÇÕES INJETORAS Definição Dizemos que uma função f: A B é injetora quando para quaisquer elementos x 1 e x de A, f(x 1 ) = f(x ) implica x 1 = x. Em

Leia mais

FUNÇÕES AULA 2 DO PLANO DE

FUNÇÕES AULA 2 DO PLANO DE Matemática Tema 2 Professora: Rosa Canelas FUNÇÕES AULA 2 DO PLANO DE TRABALHO Nº1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO Uma função é uma relação entre duas variáveis em que a cada valor da primeira, a variável independente,

Leia mais

FICHA N.º1:Isometrias: Reflexão, rotação e translação ISOMETRIAS

FICHA N.º1:Isometrias: Reflexão, rotação e translação ISOMETRIAS FICHA N.º1:Isometrias: Reflexão, rotação e translação Matemática 8º Ano Aluno: Data: / /2013 Nº Ano/Turma: 8º ISOMETRIAS Uma ISOMETRIA (iso = igual, metria = medição) é uma transformação geométrica que

Leia mais

3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1

3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 1 3.3 Espaço Tridimensional - R 3 - versão α 1 1 3.3.1 Sistema de Coordenadas Tridimensionais Como vimos no caso do R, para localizar um ponto no plano precisamos de duas informações e assim um ponto P

Leia mais

Soluções abreviadas de alguns exercícios

Soluções abreviadas de alguns exercícios Tópicos de cálculo para funções de várias variáveis Soluções abreviadas de alguns exercícios Instituto Superior de Agronomia - 2 - Capítulo Tópicos de cálculo diferencial. Domínio, curva de nível e gráfico.

Leia mais

Capítulo 7. Topologia Digital. 7.1 Conexidade

Capítulo 7. Topologia Digital. 7.1 Conexidade Capítulo 7 Topologia Digital A Topologia Digital estuda a aplicação das noções definidas em Topologia sobre imagens binárias. Neste capítulo vamos introduzir algumas noções básicas de Topologia Digital,

Leia mais

PARTE 3. 3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais

PARTE 3. 3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais PARTE 3 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 3. Funções Reais de Várias Variáveis Reais Vamos agora tratar do segundo caso particular de funções vetoriais de várias variáveis reais, F : Dom(F) R n R

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR

CAPÍTULO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR INODUÇÃO AO ESUDO DA ÁLGEBA LINEA CAPÍULO 6 ANSFOMAÇÃO LINEA Introdução Muitos problemas de Matemática Aplicada envolvem o estudo de transformações, ou seja, a maneira como certos dados de entrada são

Leia mais

LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO).

LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO). LISTA DE EXERCÍCIOS DE CAMPOS CONSERVATIVOS NO PLANO E NO ESPAÇO. CURVAS PARAMETRIZADAS, INTEGRAIS DE LINHA (COM RESPEITO A COMPRIMENTO DE ARCO. PROFESSOR: RICARDO SÁ EARP OBS: Faça os exercícios sobre

Leia mais

Tipos de variáveis aleatórias

Tipos de variáveis aleatórias Tipos de variáveis aleatórias Variáveis aleatórias discretas se assumem um conjunto finito ou infinito numerável de valores. Exemplos: número de pintas que sai no lançamento de um dado; registo, a intervalos

Leia mais

Universidade Federal de Goiás Instituto de Informática Processamento Digital de Imagens

Universidade Federal de Goiás Instituto de Informática Processamento Digital de Imagens Universidade Federal de Goiás Instituto de Informática Processamento Digital de Imagens Prof Fabrízzio Alphonsus A M N Soares 2012 Capítulo 2 Fundamentos da Imagem Digital Definição de Imagem: Uma imagem

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

Um Exemplo de Topologia Não Metrizável

Um Exemplo de Topologia Não Metrizável Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Um Exemplo de Topologia Não Metrizável Autor: Tamyris Marconi Orientadora: Profa. Dra. Cláudia Buttarello

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

Cálculo diferencial em IR n

Cálculo diferencial em IR n Cálculo diferencial em IR n (Eercícios) DMAT Abril 2003 1 Eercícios propostos 1.1 Funções de IR n em IR m Eercício 1 Determine os domínios das funções seguintes e represente-os graficamente. 2 + 2 9 ;

Leia mais

X.0 Sucessões de números reais 1

X.0 Sucessões de números reais 1 «Tal como a tecnologia requer as tøcnicas da matemætica aplicada, tambøm a matemætica aplicada requer as teorias do nœcleo central da matemætica pura. Da l gica matemætica topologia algøbrica, da teoria

Leia mais

4. Tangentes e normais; orientabilidade

4. Tangentes e normais; orientabilidade 4. TANGENTES E NORMAIS; ORIENTABILIDADE 91 4. Tangentes e normais; orientabilidade Uma maneira natural de estudar uma superfície S consiste em considerar curvas γ cujas imagens estão contidas em S. Se

Leia mais

Representação no Plano Cartesiano INTRODUÇÃO A FUNÇÃO

Representação no Plano Cartesiano INTRODUÇÃO A FUNÇÃO INTRODUÇÃO A FUNÇÃO Def: Dado dois conjuntos que tenham uma relação, chama-se função quando todo elemento do primeiro tiver associado um único elemento do segundo conjunto. Ou seja, f é função de A em

Leia mais

Noções elementares sobre conjuntos

Noções elementares sobre conjuntos Noções elementares sobre conjuntos Conjunto, elemento de um conjunto Factos Um conjunto pode ser visto, intuitivamente, como uma colecção de objectos. Cada um destes objectos é um elemento do conjunto.

Leia mais

11 a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE 1 o semestre 2003/04 - semana de 2003-12-08

11 a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark, LERCI, LEGI, LEE 1 o semestre 2003/04 - semana de 2003-12-08 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA a LISTA DE PROBLEMAS DE ÁLGEBRA LINEAR LEIC-Taguspark LERCI LEGI LEE o semestre 23/4 - semana de 23-2-8. Diga justificando quais dos seguintes ternos

Leia mais

Análise Funcional. José Ferreira Alves. Março de 2002. Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática Pura

Análise Funcional. José Ferreira Alves. Março de 2002. Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática Pura Análise Funcional José Ferreira Alves Março de 2002 Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática Pura ii Introdução Estas notas foram elaboradas para a disciplina de Complementos

Leia mais

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I

Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 2013/I 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática 3 a Lista - MAT 137 - Introdução à Álgebra Linear 013/I 1 Sejam u = ( 4 3) v = ( 5) e w = (a b) Encontre a e b tais

Leia mais

MD Teoria dos Conjuntos 1

MD Teoria dos Conjuntos 1 Teoria dos Conjuntos Renato Martins Assunção assuncao@dcc.ufmg.br Antonio Alfredo Ferreira Loureiro loureiro@dcc.ufmg.br MD Teoria dos Conjuntos 1 Introdução O que os seguintes objetos têm em comum? um

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral II

Cálculo Diferencial e Integral II 1 álculo Diferencial e Integral II Exercícios para as aulas práticas - 5 1. alcule o integral estendido a, ds, em que é o segmento de recta de x y extremos A(0, 2) e B(4, 0), percorrido de A para B. 2.

Leia mais

TOPOLOGIA DA IMAGEM DIGITAL

TOPOLOGIA DA IMAGEM DIGITAL Faculdade de Computação Universidade Federal de Uberlândia TOPOLOGIA DA IMAGEM DIGITAL Sumário Vizinhança de um pixel O que é conectividade? Algoritmo para rotular componentes conectadas Relação de adjacência

Leia mais

Funções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior

Funções algébricas do 1º grau. Maurício Bezerra Bandeira Junior Maurício Bezerra Bandeira Junior Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados

Leia mais

Breve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204

Breve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Breve referência à Teoria de Anéis Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Anéis Há muitos conjuntos, como é o caso dos inteiros, dos inteiros módulo n ou dos números reais, que consideramos

Leia mais

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa

Leia mais

Computabilidade 2012/2013. Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

Computabilidade 2012/2013. Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Computabilidade 2012/2013 Sabine Broda Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Capítulo 1 Computabilidade 1.1 A noção de computabilidade Um processo de computação

Leia mais

Introdução ao estudo de equações diferenciais

Introdução ao estudo de equações diferenciais Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações

Leia mais

Chapter 2. 2.1 Noções Preliminares

Chapter 2. 2.1 Noções Preliminares Chapter 2 Seqüências de Números Reais Na Análise os conceitos e resultados mais importantes se referem a limites, direto ou indiretamente. Daí, num primeiro momento, estudaremos os limites de seqüências

Leia mais

1.1 Domínios e Regiões

1.1 Domínios e Regiões 1.1 Domínios e Regiões 1.1A Esboce o conjunto R do plano R 2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classi que R em: aberto, fechado, itado, compacto, ou conexo. (a) R = (x; y) 2 R 2 ; jxj 1; 0 y (b) R

Leia mais

Fundamentos de Matemática Elementar (MAT133)

Fundamentos de Matemática Elementar (MAT133) Fundamentos de Matemática Elementar (MAT133) Notas de aulas Maria Julieta Ventura Carvalho de Araújo (Colaboração: André Arbex Hallack) Março/2010 i Índice 1 Conjuntos 1 1.1 A noção de conjunto e alguns

Leia mais

TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos

TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos 1 MATERIAL DE APOIO MATEMÁTICA Turmas 1º AS e 1º PD Profº Carlos Roberto da Silva A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar

Leia mais

ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Física Geral I (1108030) - Capítulo 04

ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Física Geral I (1108030) - Capítulo 04 ENERGIA POTENCIAL E CONSERVAÇÃO DE ENERGIA Física Geral I (1108030) - Capítulo 04 I. Paulino* *UAF/CCT/UFCG - Brasil 2012.2 1 / 15 Sumário Trabalho e EP Energia potencial Forças conservativas Calculando

Leia mais

5/Dez/2012 Aula 21. 21. Polarização das ondas EM 21.1 Por absorção 21.2 Por reflexão 21.3 Por birrefringência 21.4 Equações de Fresnell

5/Dez/2012 Aula 21. 21. Polarização das ondas EM 21.1 Por absorção 21.2 Por reflexão 21.3 Por birrefringência 21.4 Equações de Fresnell 5/Dez/2012 Aula 21 21. Polarização das ondas EM 21.1 Por absorção 21.2 Por reflexão 21.3 Por birrefringência 21.4 Equações de Fresnell 7/Dez/2012 Aula 22 22. Óptica geométrica 22.1 Espelhos planos 22.2

Leia mais

É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A

É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A, simplesmente por y=f(x), x A 4. Função O objeto fundamental do cálculo são as funções. Assim, num curso de Pré-Cálculo é importante estudar as idéias básicas concernentes às funções e seus gráficos, bem como as formas de combiná-los

Leia mais

1. Extremos de uma função

1. Extremos de uma função Máximo e Mínimo de Funções de Várias Variáveis 1. Extremos de uma função Def: Máximo Absoluto, mínimo absoluto Seja f : D R R função (i) Dizemos que f assume um máximo absoluto (ou simplesmente um máximo)

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UFRPE Matemática Discreta Licenciatura em Computação Respostas - 3ª Lista de Exercícios

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UFRPE Matemática Discreta Licenciatura em Computação Respostas - 3ª Lista de Exercícios 1.Represente, graficamente, a relação Relações e Funções Represente, graficamente, a relação S = {( x, y) RxR / 2x + 3y 6 0}. 2.São dados A={1,2,3,4} e B={x, y, z}. Seja R a seguinte relação de A para

Leia mais

Interbits SuperPro Web

Interbits SuperPro Web . (Pucrj 015) Sejam as funções f(x) = x 6x e g(x) = x 1. O produto dos valores inteiros de x que satisfazem a desigualdade f(x) < g(x) é: a) 8 b) 1 c) 60 d) 7 e) 10 4. (Acafe 014) O vazamento ocorrido

Leia mais

Teorema de Green no Plano

Teorema de Green no Plano Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires Teorema de Green no Plano O teorema de Green permite relacionar o integral de linha ao longo de uma

Leia mais

Plano de Ensino. Identificação. Código Disciplina Seriação ideal 0004124 Elementos de Topologia 4

Plano de Ensino. Identificação. Código Disciplina Seriação ideal 0004124 Elementos de Topologia 4 Curso 1503 - Licenciatura em Matemática Enfase Identificação Código Disciplina Seriação ideal 0004124 Elementos de Topologia 4 Departamento Departamento de Matemática Unidade Faculdade de Ciências Créditos

Leia mais

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15

5910170 Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 15 Ondas (continuação) Ondas propagando-se em uma dimensão Vamos agora estudar propagação de ondas. Vamos considerar o caso simples de ondas transversais propagando-se ao longo da direção x, como o caso de

Leia mais

MATEMÁTICA I AULA 07: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO TÓPICO 02: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada

Leia mais

MATEMÁTICA. Prof. Sabará CONJUNTOS NUMÉRICOS TEORIA DOS CONJUNTOS. Símbolos. : pertence : existe. : não pertence : não existe

MATEMÁTICA. Prof. Sabará CONJUNTOS NUMÉRICOS TEORIA DOS CONJUNTOS. Símbolos. : pertence : existe. : não pertence : não existe MATEMÁTICA Prof. Sabará CONJUNTOS NUMÉRICOS Símbolos TEORIA DOS CONJUNTOS : pertence : existe : não pertence : não existe : está contido : para todo (ou qualquer que seja) 1 : não está contido : conjunto

Leia mais

ESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA. [x] := {y X t.q. x y}.

ESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA. [x] := {y X t.q. x y}. ESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA 1. Relações de equivalência Seja uma relação de equivalência sobre um conjunto X, isto é, uma rel ção binária que satisfaz as seguintes propriedades i. (Prop. Reflexiva.)

Leia mais

ficha 3 espaços lineares

ficha 3 espaços lineares Exercícios de Álgebra Linear ficha 3 espaços lineares Exercícios coligidos por Jorge Almeida e Lina Oliveira Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico 2 o semestre 2011/12 3 Notação Sendo

Leia mais

(x, y) = (a, b) + t*(c-a, d-b) ou: x = a + t*(c-a) y = b + t*(d-b)

(x, y) = (a, b) + t*(c-a, d-b) ou: x = a + t*(c-a) y = b + t*(d-b) Equação Vetorial da Reta Dois pontos P e Q, definem um único vetor v = PQ, que representa uma direção. Todo ponto R cuja direção PR seja a mesma de PQ está contido na mesma reta definida pelos pontos P

Leia mais

Função Quadrática Função do 2º Grau

Função Quadrática Função do 2º Grau Colégio Adventista Portão EIEFM MATEMÁTICA Função Quadrática 1º Ano APROFUNDAMENTO/REFORÇO Professor: Hermes Jardim Disciplina: Matemática Lista 5 º Bimestre/13 Aluno(a): Número: Turma: Função Quadrática

Leia mais

OTIMIZAÇÃO VETORIAL. Formulação do Problema

OTIMIZAÇÃO VETORIAL. Formulação do Problema OTIMIZAÇÃO VETORIAL Formulação do Problema Otimização Multiobjetivo (também chamada otimização multicritério ou otimização vetorial) pode ser definida como o problema de encontrar: um vetor de variáveis

Leia mais

A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é:

A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecida para integral indefinida é: Integral Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. No cálculo, a integral de uma função foi criada para originalmente determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas

Leia mais

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36 MATEMÁTICA Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade

Leia mais

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ

CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA. Departamento de Análise - IME UERJ CÁLCULO: VOLUME III MAURICIO A. VILCHES - MARIA LUIZA CORRÊA Departamento de Análise - IME UERJ 2 Copyright by Mauricio A. Vilches Todos os direitos reservados Proibida a reprodução parcial ou total 3

Leia mais

Exercícios resolvidos P2

Exercícios resolvidos P2 Exercícios resolvidos P Questão 1 Dena as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, por sinh(t) = et e t e cosh(t) = et + e t. (1) 1. Verique que estas funções satisfazem a seguinte

Leia mais

Seqüências, Limite e Continuidade

Seqüências, Limite e Continuidade Módulo Seqüências, Limite e Continuidade A partir deste momento, passaremos a estudar seqüência, ites e continuidade de uma função real. Leia com atenção, caso tenha dúvidas busque indicadas e também junto

Leia mais

Aplicações de Derivadas

Aplicações de Derivadas Aplicações de Derivadas f seja contínua no [a,b] e que f '(x) exista no intervalo aberto a x b. Então, existe pelo menos um valor c entre a eb, tal que f '(c) f (b) f (a) b a. pelo menos um ponto c (a,

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

POTENCIAL ELÉTRICO. por unidade de carga

POTENCIAL ELÉTRICO. por unidade de carga POTENCIAL ELÉTRICO A lei de Newton da Gravitação e a lei de Coulomb da eletrostática são matematicamente idênticas, então os aspectos gerais discutidos para a força gravitacional podem ser aplicadas para

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) II Métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais. Objetivos:

Leia mais

Matemática A. Teste Intermédio de Matemática A. Versão 1. Teste Intermédio. Versão 1. Duração do Teste: 90 minutos 5.05.2010. 10.º Ano de Escolaridade

Matemática A. Teste Intermédio de Matemática A. Versão 1. Teste Intermédio. Versão 1. Duração do Teste: 90 minutos 5.05.2010. 10.º Ano de Escolaridade Teste Intermédio de Matemática A Versão 1 Teste Intermédio Matemática A Versão 1 Duração do Teste: 90 minutos 5.05.2010 10.º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 74/2004, de 26 de Março Na sua folha de

Leia mais

Capítulo 5: Aplicações da Derivada

Capítulo 5: Aplicações da Derivada Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais