Resolução dos Exercícios Propostos no Livro

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1 Resolução dos Eercícios Propostos no Livro Eercício : Considere agora uma função f cujo gráfico é dado por y 0 O que ocorre com f() quando se aproima de por valores maiores que? E quando se aproima de por valores menores que? Neste caso, o que ocorre com os valores de f() quando está bem próimo de? Solução: Quando se aproima de por valores maiores que, f( ) se aproima de Quando se aproima de por valores menores que, f( ) se aproima de Quando está bem próimo de, por um lado ele se aproima de e por outro de, assim não dá para falar para que valor f( ) se aproima Eercício : Demonstre, usando a definição, que Solução: Seja g( ), então ( ) g( ) 6 ( ) Dado 0, se tomarmos teremos (, ) 0 ( ) g( ) Assim, demonstramos por definição que ( ) Eercício : Calcule, se possível, os ites: k ( ), k ( ), k ( ), k ( ), k ( ) e k ( ), considerando a função k, cujo gráfico está esboçado na figura a seguir Se não for possível calcular os ites, justifique 8 0

2 y Solução: a k ( ) Temos, k ( ) e k ( ) Assim, não eiste o k ( ) b k ( ) Temos, k ( ) e k ( ) Assim, não eiste o k ( ) c k ( ) Temos, k ( ) e k ( ) Assim, k ( ) d k ( ) Temos, 8 k ( ) e 8 k ( ) Assim, 8 k ( ) 8 e k ( ) 0 Temos no gráfico da função k, um segmento de reta ligando o ponto P(, ) ao ponto Q(, ) que contém o ponto (0, k (0)) A equação que determina os pontos desse segmento é dada por 7 y 0, ou seja, entre os pontos P e Q, Assim, pelo Eemplo 7, 7 7 k( ) k( ) f k ( ) Eemplo, que Como 8, e nesse intervalo k ( ) é constante e igual a, temos pelo k ( ), Eercício : Considere a função h( ),, Calcule, se possível, os ites contrário, justifique Solução: h ( ), h ( ), h ( ), 0 h ( ) 00 h ( ) Caso e 0

3 a h ( ) Temos, pelo Eemplo, que h( ) Como, h ( ) e pelo Eemplo 7 que h( ) h( ), por definição h ( ) b h ( ) Temos, pelo Eemplo 7, que Assim, por definição, não eiste o h ( ) h( ) e h( ) ( ) c h ( ) Para no intervalo [, ] temos que h( ) Assim, pelo Eemplo 7, 0 h( ) d h ( ) 00 Assim, pelo Eemplo, Por definição, a função h é constante igual a para todos os valores de h ( ) ( ) e h ( ) Por definição, nas proimidades de 0, a função h é definida por 0 Assim, pelo Eemplo 7, h h( ) ( ) 0 0 Eercício : Mostre que, no eemplo 7, podemos tomar o valor f ( ) mc b c Solução: Tomando m, ficaremos com 0 c ( ) m c m m m m c m b mc b f ( ) ( mc b) para demonstrar que m Eercício 6: Demonstre que se f ( ) 7 8, então f( ) 6 Solução: Segue imediatamente do Eemplo 7, que f ( ) ( ) 8 6 Eercício 7: Calcule Solução: Seja 9, indicando as propriedades utilizadas 9 9 ( )( ) f( ), ou seja, 9 ( )( ) p ( ) f( ), onde q ( ) p( ) e q( ), isto é, f é uma função racional, onde q() 6 0 Logo, pelo

4 p() Corolário da página 0, item d, f( ) Como n é um número ímpar, pela q() 6 proposição da página 8, item e, 9 f( ) 9 Eercício 8: Calcule os seguintes ites: a) d) 0 ( ) e) Solução: a) b) Pelo Eemplo, b) ( 8) c) 8 ( 8) Pelo Eemplo, ( 8) f) h, 0 h c) Temos que, ( ) ( ) Assim, pelo Corolário da página 0 item c, ( ) d) e) ( ) Pela proposição da página 8, item a, temos h0 ( ) Como estamos calculando o ite quando 0 valores de são sempre positivos Assim, pelo Eemplo, e pelo item f da proposição da página 8, temos que 7 Seja ( ) 0 f( ) Queremos inicialmente calcular o 0 0 0, os 7 p ( ), ou seja, p( ) 7 e q( ) q ( ) p ( ) Quando o valor de p ( ) é sempre positivo, assim, pelo item f da proposição da página 8, temos que p( ) 7 0, e como q() 0 0 Assim, pelo item d, do Corolário da página 0, 7 p() 0 f( ) 0 q() 0 f) h, 0 Observemos que h h0 h h h h h h h Logo

5 h Pelo Eemplo, h h h0 h0 0, pelo item f da proposição da página 8, segue que h0 h0 e como por hipótese h Assim, se q( h) h, temos que q(0) 0 Logo, pelo item d do Corolário da página 0, temos que h0 h h Eercício 9: Para cada função f definida a seguir, calcule gráfico de f,, a) f( ) b) f( ),, Solução:, a) f( ) Temos,, f ( ) 6 e f( ) e f( ) f ( ) e esboce o, b) f( ), f ( ) 0 Temos, f ( ) e y y a) b), Eercício 0: Dada f( ), encontre, trace um esboço do gráfico de f Solução: Temos, pelo eercício 7, que f ( ) f () f( ), mostre que f ( ) f () e f ( ) ( ) Como f (), segue que

6 y Eercício : Nos itens a seguir, encontre os ites indicados, se eistirem Caso não eistam, justifique Esboce o gráfico de cada função, a) f ( ),, f( ) ; f( ) ; f( ) ; f( ) ; 0 0 f( ) e f( ), b) f ( ) 0,, f( ) ; f( ) ; f( ) ; f( ) ; t c) f() t t f( t) ; f( t) e f( t) t 0 Solução: a) t 0 t0 f( ) ( ) f( ) e f( ) f( ) f( ) não eiste, pois os ites laterais são distintos f( ) 0 0 f( ) 6 f ( )

7 y 0 b) f f ( ) ( ) 7 ( ) ( ) 7 f( ) Como os ites laterais coincidem e valem 7, temos que f 0 0 f 6 f ( ) (0) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 9 f( ) 7 y t c) f() t t t f( t) t 0 t 0 t t 0

8 t f( t) t 0 t 0 t t 0 f( t) Como os ites laterais são distintos o t0 f( t) t0 não eiste y 0 Eercício : Calcule os seguintes ites: a) Solução: b) t sen t cos t t c) t 0 t t a) f( ) g ( ), onde f ( ) e g( ) Como f( ) 0 e g ( ) tende a zero por valores positivos, então, de acordo com o item c da Propriedade da página 8 b) sen t cos t f() t, onde t g( t ) t t t f ( t ) sen t cos t e g( t ) t Como f ( t ) sen t cos t 0 e gt () tende a zero por valores positivos, então de acordo com o item a da Propriedade da página 8, temos t sen t cos t t c) t f() t, onde f ( t ) t e g() t t Como t t 0 t 0 g () t f ( t ) t 0 e gt () tende a zero por valores positivos, então de acordo t 0 t 0 t 0 com o item a da Propriedade da página 8, temos t 0 t t

9 Eercício : Mostre, utilizando a definição, que Solução: A função f( ) está definida em,,, assim, de acordo com definição de ites no infinito, dado um número 0, devemos eibir um número M 0 tal que, sempre que M Mas, para que ou seja menor que, devemos ter Tomando M, teremos M 0 somente quando sempre que neste caso, para qualquer número L 0, teremos, consideremos, sem perda de generalidade, e assim,, sempre que M, ou seja,, mas L Assim, M 0, e nesse caso, teremos Eercício : Calcule os seguintes ites: a), pois 0 b) Mas como temos, logo 0 0 c) Como temos Assim d) 9 9, pois ( 9) e

10 Eercício : Determine, caso eistam, as assíntotas verticais e horizontais dos gráficos das funções definidas a seguir: a) f( ) Temos que Dom f {,} Assim, para sabermos se a reta é uma assíntota vertical do gráfico de f devemos verificar se pelo menos um dos seguintes ites ocorre: f( ) ou f( ) ou f( ) ou f( ) Como, pois o ite da função no numerador tende a 0 e o ite da função do denominador tende a zero por valores positivos e, desta forma, o ite do quociente tende para, concluímos que a reta é uma assíntota vertical do gráfico de f Analogamente, para verificar se a reta é uma assíntota vertical do gráfico de f devemos verificar se pelo menos um dos ites ocorre: f( ) ou f( ) ou f( ) ou f( ) Como por razões análogas às apresentadas anteriormente, concluímos que a reta é uma assíntota vertical do gráfico de f Para verificar se o gráfico de f apresenta assíntotas horizontais, devemos encontrar f( ) e f( ) 0 Como 0 e 0 0, segue que a reta y 0 é a única assíntota horizontal do gráfico de f b) f( ) Temos que Dom f {} Assim, a reta é uma candidata à assíntota vertical do gráfico de f Vejamos:, pois o ite do numerador tende a um número positivo (99), e o ite do denominador tende a zero por valores positivos e, desta forma, o ite do quociente tende a Concluímos que a reta é uma assíntota vertical do gráfico de f Não é preciso calcular Para verificarmos se o gráfico de f possui assíntota horizontal, devemos calcular:, pois o ite do numerador tende a, e o ite do denominador tende a e, desta forma, o ite do quociente tende a Da mesma forma Concluímos que o gráfico de f não possui assíntotas horizontais

11 c) f( ) Temos que Dom f {0} Assim a reta 0 é uma candidata à assíntota vertical do gráfico de f Vejamos: e, portanto, a reta 0 é uma assíntota vertical do gráfico de f 0 Por outro lado, 0 e 0 Portanto, a reta y é a única assíntota horizontal do gráfico de f d) f( ) 6 Como Dom f, o gráfico de f não apresenta assíntotas verticais 6 0 Porém, 0 e, portanto, a reta y 0 é uma assíntota horizontal do 6 6 gráfico de f Da mesma forma, de f 0 6 Portanto a reta y 0 é a única assíntota horizontal do gráfico, 0 e) f( ), 0 Temos que Dom f Como as epressões algébricas que definem f são distintas em vizinhanças de 0, a reta 0 é uma candidata à assíntota vertical do gráfico de f Vejamos: f( ) e, portanto, a reta 0 é uma assíntota vertical do gráfico de f 0 0 Por outro lado, f( ) 0 e, portanto, a reta y 0 é uma assíntota horizontal do gráfico de f ; f( ) e, portanto, a reta y também é uma assíntota horizontal do gráfico de f Eercício 6: Dê um eemplo de função que possua duas assíntotas horizontais diferentes O gráfico da função dada no eercício -e ou a função definida por f( ) De fato, se, 0 e, assim Desta forma, y é uma assíntota horizontal do gráfico de f Por outro lado, se, 0 e, assim, Desta forma, e, portanto a reta

12 de f Eercício 7: Calcule os ites a seguir: e, portanto, a reta y é uma assíntota horizontal do gráfico a) b) sen( h) sen( h) sen( h) h0 h h0 h h0 h sen sen sen c), pois o ite do numerador é e, quando temos a epressão ( ) 0 e tendendo a zero, logo d) Observe que quando, 0 e 0 Assim, 6 6 e) 6 Como, temos que Daí, 6 6 6, pois quando temos 0 e 6 0 f) ( a) Temos aqui mais uma indeterminação do tipo Devemos multiplicar e dividir ( a) por ( a) ( a) ( a) ( a) ( a) ( a) a a ( a) a a

13 a a a a, pois quando, temos a a a a e 0 g) OBS: Faça outro eercício: 9 9 h) Chamando m e 7 n, temos que m 7 quando 7 Assim, 7 m n ( m n) m m n m ( m n)( m mn n ) m m mn n 7 7 i) 9 ( ) 9( ) 0 7 7( ) ( ) 6 0 OBS: Faça outro eercício: 9 7 j) 9 Como 9 0, temos que 9 k) ( )( ) ( ) 6 ( ) 6

14 l), pois 0 e 0 quando m) 0 k, pois 0 e k 0 quando n) k, pois 0 e k 0 quando o) k 0, pois 0 e k 0 quando p) k, pois 0, k 0, quando q) k, pois 0, k 0, quando r) k, pois 0 e k 0 quando s) k 0, pois 0 quando

15 sen( ) sen( ) sen( ) t) u) sen ( ) sen ( ) sen( ) sen( ) v) sen Chamando u, temos que u 0 quando Logo, sen sen( u) sen u sen u u u u u0 u0 u0 ) sen( ) sen( ) sen( ) w) cos( ) Como cos( ) é uma função itada para todo, tem-se:, ou seja, cos( ) cos( ) Por outro lado, 0 Assim, pelo teorema do confronto (sanduíche), tem-se cos( ) 0 y)

16 Chamando u, tem-se que u quando Assim, u u u u u u u u u e e u u u u z) Chamando u, tem-se que u quando Assim, u u u u u u e a OBS: Faça outro eercício:, ab, b Eercício 8: Prove que a função f ( ) 6 é contínua para todo Dado c, como f é uma função polinomial temos f ( ) f ( c ) Portanto, por definição, f é contínua para todo c Eercício 9: Dada a função eistirem 8, 0 f( ), determine seus pontos de descontinuidade, se, 0 0 Se c c f ( c ), ou seja, f é uma função contínua em (,0) (0, ) c Se c 0 temos f ( ) 8 0 f (0) Portanto o único ponto de descontinuidade da função f é o ponto 0,, 0 Eercício 0: Estude a continuidade da função f( ), 0 0, Observamos que Dom f [,]

17 Se c (,0) (0,) temos uma função polinomial, logo, f ( ) f ( c ), ou seja, a função f é contínua em (,0) (0,) Se c temos f ( ) ( ) f ( ) Logo, a função f é contínua à direita em c Se c 0 temos f ( ) ( ) e 0 0 c Logo, f( ) não eiste f ( ) e a função f não é contínua em c 0 Se c temos f ( ) 7 0 f () Logo, a função f não é contínua à esquerda em c Eercício : Mostre que a função f ( ) cos é contínua em De fato, cos sen e então para c temos 0 cos sen sen sen sen c c c c c c Como sen é contínua em cos sen cos c c c Portanto, cos é contínua em Eercício : Calcule os ites a seguir: tg sen sen 0 a) 0 0 cos cos cos 0 t (cost ) t t(cost ) t(cost ) b) sen t t cost t (cost )(cost ) t sen t t 0 sen t t t (cost ) (cost ) Mas sent e sent t 0 sent t 0 sent Logo não eiste o ite procurado c) cos( ) cos(0) d) 0 0 0, pois tg tg tg tg tg e e) tg ( ) tg( ) 6 sen( ) cos ( ) cos cos cos f) cos cos cos cos sen cos 0 sen

18 cos Como e 0 sen cos, temos que o ite procurado não eiste sen 0 Eercício : Demonstre os seguintes teoremas: a) Se f é uma função polinomial, então f é contínua para Seja c então temos que se f é uma função polinomial f ( ) f ( c ) Portanto, por definição, f é contínua em c b) Se f é uma função racional, então f é contínua em todos os pontos de seu domínio Como uma função racional é o quociente de duas funções polinomiais, que são funções contínuas em todo, e o quociente de funções contínuas é uma função contínua onde o denominador não se anula, temos que uma função racional é contínua em todo o seu domínio Eercício : Dadas as funções definidas por y f ( ) a seguir, verifique se f é contínua nos pontos a e b indicados c 7, a) f ( ) 6,, a e b, Para a temos: f ( ) ( 7) 6 e f ( ) f ( ) e, portanto, a função f é contínua em Para b temos: f( ) ( 6) 6 e f ( ) f () e, portanto, a função f é contínua em b), f ( ),, a e b, a temos: f Para ( ) 8 f( ) 6 6 Logo, f ( ) ( ) 6 Logo, e f f( ) não eiste e, portanto a função f não é contínua em ( ) 0 Logo, Para b temos: f ( ) ( ) e f ( ) ( ) Logo, f ( ) f () e, portanto, a função f é contínua em Eercício : (Teorema da conservação do sinal) Seja f uma função contínua em c, c ( a, b) tal que f( c) 0 Então, eiste 0 tal que se ( c, c ), então f( ) 0 Demonstração: Como a função f é contínua em c ( a, b), dado 0, eiste 0 tal que se c, então f ( ) f ( c ), ou seja, f ( ) f ( c ) Assim, f ( ) f ( c ) Tomando 0 f( c) temos f( c) 0, ou seja, f( ) 0, sempre que satisfizer c Eercício 6: Mostre que as funções trigonométricas inversas arcsen e arccos são contínuas Segue imediatamente da continuidade das funções seno e cosseno e do Teorema da Continuidade da Função Inversa Eercício 7: Dado o gráfico da função podemos concluir que:

19 y 0 6 a) Dom f {,} b) Im f c) f (0) d) f ( ) e) f () 0 f) f ( ) g) f ( 7) h) f ( f (0)) f () 0 i) j) l) m) n) o) f( ) 0 f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) p) f( ) q) f( ) 0 r) s) t) f( ) f( ) f( ) Eercício 8: Com base nas respostas do eercício 7, responda e justifique: a) Não é contínua em pois f( ) e f( ) 0, ou seja, não eiste f( ) Não é contínua em pois f( ) e f( ), ou seja, não eiste f( )

20 Não é contínua em pois Não é contínua em pois É contínua em 0 pois É contínua em pois 0 É contínua em pois f( ) f( ) mas f () 0 f ( ) f (0) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) b) A reta não é uma assíntota vertical do gráfico de f, pois c) Assíntotas horizontais: as retas y 0, pois f( ) 0 Assíntotas verticais: as retas, pois f( ) f( ) e y, pois f( ) f( ) e f( ) ; e, pois