PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2008/1

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 008/

2 . CONCEITO DE FUNÇÃO As funções são as melhores ferramentas para descrever o mundo real em termos matemáticos. Muitas atividades e instrumentos são baseados no conceito de função. As funções matemáticas são usadas como ferramentas que auiliam na resolução de problemas ligados à administração de empresas. Intuitivamente, a palavra função evoca uma idéia de dependência. Quando se diz que uma mudança na oferta monetária afeta a taa de juros ou que a quantidade demandada de uma mercadoria é função de seu preço, o que se pretende dizer é que a taa de juros depende da oferta monetária ou a quantidade demandada de mercadoria depende de seu preço. Essas sentenças podem também ser epressas em símbolos que, pela comodidade de uso, se tornam universais. As funções podem ser epressas de pelo menos três modos diferentes: por meio de tabelas, gráficos e fórmulas. Eemplo : As máimas diárias de temperatura na cidade de Porto Alegre, de 0 a 0 de maio (006), são dadas pela tabela: Data: Temp.: Veja que, cada data, t, tem uma única temperatura mais alta, H, associada a ela. Dizemos que a grandeza H é função da grandeza t, mas não eiste fórmula para a temperatura máima (senão não precisaríamos dos institutos de meteorologia). Graficamente: As máimas diárias de temperatura na cidade de Porto Alegre 0 0 temperatura [º] dia

3 Eemplo : Eiste um certo tipo de cigarra que zunem essencialmente na mesma taa, se estiverem submetidas a mesma temperatura ambiente. Isto significa que a taa dos zunidos é uma função da temperatura. Até mais surpreendente ainda, a taa dos zunidos, C, em zunidos por minuto, cresce linearmente com a temperatura, t em graus Celsius, e até um alto grau de precisão pode ser calculado pela fórmula C = 7 t - A fórmula para C é denotada por C = f(t) e epressa o fato de estarmos considerando C uma função de t. Graficamente: Nesse conteto, a variável t é chamada de independente e a variável C é chamada de dependente; o conjunto dos valores possíveis para a variável independente é o domínio da função; a imagem da função é o conjunto dos valores da variável dependente que foram associados à variável independente. De um modo geral chamamos de função f, uma lei, a qual para cada elemento, faz corresponder eatamente um elemento f(). O elemento do domínio de f é chamado de variável independente; dom(f) O conjunto de todos os valores de f() é chamado de imagem da função, y = f() é chamado de variável dependente. Eercícios:. Escreva a função que descreve os seguintes fatos: a) Receita R de um comerciante que vende a quantidade variável q de mercadorias ao preço unitário de R$,00. b) A área A de um quadrado em função de seu lado l. c) Salário mensal y de um operário que ganha R$ 60,00 fios mais R$ por hora etra, sabendo que o número de horas etras varia todo mês.. Um vendedor ambulante compra objetos ao preço unitário de R$,0 e vende cada unidade a R$,0. a) Epresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q. b) Epresse sua receita diária R em função da quantidade vendida q, que se supõe igual a quantidade comprada. c) Epresse seu lucro diário L em função da quantidade q.

4 Consideraremos o conjunto dos números reais (IR), ou seus intervalos, como o domínio para as funções, isto é, vamos trabalhar com funções cujas variáveis, e y = f() estão no conjunto dos números reais ou subconjunto dele. Neste caso chamaremos de funções reais. Nas funções reais quando o domínio não está especificado considera-se que o domínio será de todos os números reais para os quais f() tem significado nos reais. Muitas funções podem ser identificadas por apresentar características semelhantes. Função Crescente ou Decrescente Na função do eemplo anterior, percebemos que, à medida que a temperatura aumenta, a taa C de zunidos também aumenta; nesse caso, dizemos que a função é crescente. Tomando como eemplo a demanda, q, de um produto em função de seu preço, p, relacionados pela fórmula q = - p + 0. Podemos esboçar o gráfico: Percebemos que, à medida que o preço p aumenta, a demanda q diminui. Nesse caso, dizemos que a função é decrescente. Função Limitada Vamos analisar a função de venda total, v, de um CD, no decorrer dos meses, t, dada pela seguinte epressão: 0 v = t , Construindo uma tabela, obtemos as vendas aproimadas( em milhares de CDs) t v 0, Note que, de acordo com essa função, as vendas nunca ultrapassam CDs. Nesse caso dizemos que a função é limitada superiormente e que o limite superior é Função Composta Consideremos duas funções: A produção p de um produto, em função da quantidade q de insumo disponível P = - q + 8 q + 9 A quantidade vendida v do mesmo produto, em função daquilo que foi produzido, p v = 0,7 p Determinar a venda para uma dada quantidade de insumo: a) q = b) q = Podemos calcular as vendas diretamente a partir da quantidade de insumo, usando a função composta das funções p e v, tal função composta é obtida substituindo a função de produção na epressão que dá a venda. Assim, v = 0,7( - q + 8q + 9) v = - 0,7 q +,6q + 6,

5 . ESTUDO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES DE UMA OU MAIS LEIS E) Observe o gráfico da função f, definida por f() = +, abaio. y Determine: a) f(), f(-0), f(/), f( ) e f(-0,); b) o domínio, a imagem e o zero(raiz) da função f; c) o intervalo onde f é crescente e o intervalo onde f é decrescente, caso eistam; d) o valor máimo(máimo absoluto) e o valor mínimo(mínimo absoluto) de f, caso eistam; e) lim f() = lim ( + ), lim f() + e lim f() ; f) a área da região compreendida pelo gráfico de f e pelas retas = -, = e y = 0; g) a variação da f quando = - recebe um acréscimo Δ de uma unidade.

6 E) Observe o gráfico da f, definida por f ( ) =, abaio. y 6 6 Determine: a) f(), f(-0), f(/), f( ) e f(-0,); b) o domínio, a imagem e o zero da função f; c) o intervalo onde f é crescente e o intervalo onde f é decrescente, caso eistam; d) o máimo absoluto e o mínimo absoluto de f, caso eistam; e) lim f(), lim f() + e lim f() ; f) o valor de onde f é descontínua; g) a área da região compreendida pelo gráfico de f e pelas retas =, = e y = 0; h) a variação da f quando = recebe um acréscimo Δ = -.

7 E) Observe o gráfico da f, definida por f ( ) =,, se se, abaio. = y 6 6 Determine: a) f(), f(-0), f(/), f( ) e f(-0,); b) o domínio, a imagem e o zero da função f; c) o intervalo onde f é crescente e o intervalo onde f é decrescente, caso eistam; d) o máimo absoluto e o mínimo absoluto de f, caso eistam; e) lim f(), lim f() + e lim f(); f) o conjunto dos pontos onde f é contínua. g) a área da região compreendida pelo gráfico de f e pelas retas = -, = - e y = 0; h) a variação da f quando = recebe um acréscimo Δ =. 6

8 E) Observe o gráfico da função f, definida por ( ), se > f = -, se <, abaio., se = y 6 6 Determine: a) f(), f(-0), f(/), f( ) e f(,); b) o domínio, a imagem e o zero da função f; c) o intervalo onde f é crescente e o intervalo onde f é decrescente, caso eistam; d) o máimo absoluto e o mínimo absoluto de f, caso eistam; e) lim f(), lim f() + e lim f() ; f) o conjunto dos pontos onde f é contínua. g) a área da região compreendida pelo gráfico de f e pelas retas = -, = 0 e y = 0; h) a variação da f quando = - recebe um acréscimo Δ de uma unidade. 7

9 E) Observe o gráfico da função f, definida por f() = e, abaio. A função dada por f() = e é chamada função Eponencial na base e, onde e =, Esta constante é denominada Número de Euler e é muito usada na Matemática Financeira, sendo um número irracional tão importante quanto o número π. y 6 Determine: a) f(0), f(), f(-) e f(); b) o domínio, a imagem e os zeros da função f; c) os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente, caso eistam; d) o máimo absoluto e o mínimo absoluto de f, caso eistam; e) os máimos relativos(locais) e os mínimos relativos(locais) de f, caso eistam; f) lim f() 0, lim f() + 0 e lim f() ; 0 g) o conjunto dos pontos onde f é contínua; h) a variação da f quando = 0 recebe um acréscimo Δ de uma unidade. 8

10 E6) Observe o gráfico da função f, definida por f() = ln, onde ln = log e, abaio. A função dada por f() = ln é chamada função Logaritmo Natural, seno a sua base o Número de Euler e =,788..., isto significa que ln = log e. y 6 7 Determine: a) f(0), f(), f(-) e f(e); b) o domínio, a imagem e os zeros da função f; c) os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente, caso eistam; d) o máimo absoluto e o mínimo absoluto de f, caso eistam; d) os máimos relativos(locais) e os mínimos relativos(locais) de f, caso eistam; f) lim f(), lim f() + e lim f() ; g) o conjunto dos pontos onde f é contínua, h) a variação da f quando = recebe um acréscimo Δ de uma unidade. 9

11 E7) Observe o gráfico da função f, definida por f() =, abaio. y Determine: a) f(), f(), f(-), f() e f(0); b) o domínio, a imagem e os zeros da função f; c) os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente, caso eistam; d) o máimo absoluto e o mínimo absoluto de f, caso eistam; e) os máimos relativos(locais) e os mínimos relativos(locais) de f, caso eistam; f) lim f() g) lim f() 0, lim f() +, lim f() + 0 e lim f() ; e lim f() ; 0 h) lim f ( ); i) o conjunto dos pontos onde f é contínua; j) a variação da f quando = 0 recebe um acréscimo Δ de uma unidade; k) as equações das retas tangentes ao gráfico de f nos pontos = - e =. Observações: a) lim f () = L se e somente se lim f () = L e lim f () = L a a + a b) Se lim f () a + lim f () a, então lim f () a não eiste 0

12 RESPOSTAS E) a), 9,/, +, 0,8 b) Domf =R, Imf =R, = c) crescente em R d)ne má f, NE min f e),, f) 9/ u. a. g) E) a) NE, 9,/, +, 0,8 b) Domf =R -{}, Imf =R -{}, = c) crescente em R -{} d) NE má f, NE min f e),, f) = g) 8 u. a. h) E) a), 9,/, +, 0,8 b) Domf =R, Imf =R -{}, = c) crescente em R -{} d) NE má f, NE min f e),, f) R -{} g) u. a. h) E) a),, /,, 0, b) Domf =R, Imf = (0,+ ), NE c) crescente em [,+ ) e decrescente em (-,] d) NE má f, NE min f e), 0, NE f) R -{} g) 7/ u. a. h) E) a), e,, e e b) Domf =R, Imf = ( 0, + ), NE c) e) crescente emr d) NE má f, NE min f e) NE mínimo relativo de f, NE máimo relativo f),, g) R h) e E6) a) NE, 0, NE, b) Domf = ( 0, + ), Imf =R, = c) crescente em ( 0, + ) d) NE má f, NE min f e) NE mínimo relativo de f, NE máimo relativo f) 0, 0, 0 g) ( 0, + ) h) ln E7) a), -, -, 8, 0 b) Domf =R, Imf =R, = 0, =, = c) crescente em (-,-] [, + ) e decrescente em [-,] d) NE má f, NE min f e) f() = - é mínimo relativo de f, f(-) = máimo relativo de f f),, g) 0, 0, 0 h) i) R j) - k) y =, y = -

13 . FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL. APLICAÇÕES.. Função Oferta : y = f() Epressa a relação entre o preço e a quantidade oferecida y de uma mercadoria, descrevendo desta forma o comportamento do produtor. y y o y y.. Função Demanda : y = f() O Epressa a relação entre o preço e a quantidade demandada y de uma mercadoria, descrevendo desta forma o comportamento do consumidor. y y y y d O Observação: Seja PE( 0,y 0 ) o ponto de intersecção dos gráficos das funções oferta e demanda, observe que, neste ponto, a oferta é igual a demanda. Então: a) P 0 é denominado ponto de equilíbrio de mercado ; b) 0 é denominado preço de equilíbrio de mercado; c) y 0 é denominado quantidade de equilíbrio de mercado. y o y 0 PE O 0 d

14 Eemplo: Dadas as funções y = e y = + 9, respectivamente oferta e demanda para um certo produto, determine o ponto de equilíbrio de mercado e os seus no mesmo sistema de eios. Solução: y = As coordenadas do ponto de equilíbrio de mercado é a solução do sistema. Usando o método y = + 9 da substituição temos: = + 9 = 0 =. Substituindo = em qualquer equação do sistema, obtemos: y =. Logo, o ponto de equilíbrio de mercado é PE(,). As funções oferta e demanda são do o grau, logo: a) o gráfico da função demanda é um segmento de reta que passa pelo ponto PE(,) e cujos etremos são (0,9) e (9/,0). b) o gráfico da função oferta é uma semi-reta que passa pelo ponto PE(,) e cuja origem é (/,0). Observe o gráfico abaio: y 9 o d 0 / 9/ E) Dadas as funções y = e y = +, respectivamente oferta e demanda para um certo produto, determine: a) o ponto de equilíbrio de mercado; b) os seus gráficos no mesmo sistema de eios. E) As equações de demanda e oferta do mercado para um certo produto são, respectivamente, y = e y + 0 = 0, onde é o preço e y é a quantidade demandada ou ofertada. Determine o ponto de equilíbrio de mercado e os seus gráficos no mesmo sistema de eios. E) Com um preço de R$,00 por unidade, uma fábrica oferecerá mensalmente.000 lanternas de pilha; a R$,0 por unidade, ela oferecerá.000 unidades. Determine a equação da oferta para este produto, sabendo que a mesma é linear.

15 E) Uma companhia de ônibus observou que, quando o preço de uma ecursão é de R$,00, 0 pessoas compram bilhetes; quando o preço é de R$ 8,00, são vendidos apenas 0 bilhetes. Considerando a demanda linear, encontre a equação da demanda. E) Dadas as equações + y 7 = 0 e y + = 0, determine: a) qual das equações epressa curva de oferta; b) qual das equações epressa curva de demanda; c)o ponto de equilíbrio de mercado; d) os seus gráficos no mesmo sistema de eios.... Função Custo Total: C() = C v () + C f C v : Custo Variável C f : Custo Fio : quantidade produzida y y C y C f O Eemplo: Dada a função Custo Total C() = +, onde representa a quantidade produzida, determine: a) o custo de produção de unidades; b) o custo de produção da a unidade. Solução: a) Se a produção é de unidades então = e o custo total correspondente é C() = 7 u. m. b) Se queremos o custo de produção da a unidade, devemos ecluir de C(), o custo das primeiras unidades, logo, o custo de produção da a unidade é C() C() = 7 8 = 9 u. m..

16 E6) Se a função Custo Total para produzir unidades de um certo produto é dado pela função C() = , determine: a) o custo fio; b) custo variável; c) o custo de fabricação de 0 unidades; d) o custo de fabricação de unidades; e) a variação do custo de fabricação da a unidade.... Função Receita Total: R() = p. : quantidade vendida(quantidade demandada) p : preço unitário de venda (p=f(), de...) y R má y y R O Eemplo: Dada a função Receita Total R() = 0, onde representa a quantidade vendida, determine: a) a receita decorrente da venda de unidades; b) a variação da receita decorrente da venda da a unidade; c) a quantidade que deve ser vendida para que a receita seja máima e a receita máima. Solução: a) Se unidades foram vendidas, então = e a receita total correspondente é R() = u. m. b) Se queremos saber qual a variação da receita se for vendida a a unidade, devemos ecluir de R(), a receita decorrente da venda das primeiras unidades, isto é, R() R() = = u. m.. c) Neste caso, a função receita R é uma função quadrática( y = a + b + c, com a =, b = 0 e c =0), e seu gráfico é parte de uma parábola com a concavidade voltada para baio e vértice V( v,y v ). Portanto, a receita será máima quando a quantidade vendida for v e a receita máima será y v. Como a abscissa do vértice de b uma parábola pode ser calculada pela fórmula v =, a receita é máima quando a quantidade vendida a é = e a receita máima é R() =.

17 E7) Se a demanda de um certo produto é dada pela função p = + 00, determine: a) a função Receita; b) a receita decorrente da venda de unidades; c) a receita decorrente da venda de 6 unidades; d) a variação da receita decorrente da venda da 6 a unidade; Observação: y C y PN y PN R C f O Os pontos de intersecção dos gráficos das funções Receita e Custo PN (,y ) e PN (,y ) são denominados pontos de nivelamento. Eemplo: Dadas as funções C = + 6 e R =, respectivamente Custo e Receita para um certo produto, determine os pontos de nivelamento e o intervalo onde a receita é maior que o custo. Solução: y = + 6 a) As coordenadas dos pontos de nivelamento são obtidas através da solução do sistema y =. Usando o método da substituição temos: + 6 = = 0 = ou = 8. Substituindo = em qualquer equação do sistema, obtemos y =. Logo, um ponto de nivelamento é PN (,). Substituindo = 8 em qualquer equação do sistema, obtemos y = 0. Logo, o outro ponto de nivelamento é PN (8,0). b) neste caso, o intervalo onde R() > C() é (,8), observe o gráfico que aparece na observação anterior. 6

18 ... Função Lucro Total: L() = R() C() : quantidade produzida e vendida(quantidade demandada) y C C f R O -C f L E8) Dadas as funções Receita e Custo R() = + e C() = ( ) +. Encontre a função Lucro Total. E9) Dadas as funções C = + + e R = 8, respectivamente Custo e Receita para um certo produto, determine: a) os pontos de nivelamento; b) os seus gráficos no mesmo sistema de eios; c) o intervalo onde não ocorre prejuízo. E0) Dadas as funções C = + 8 e R = 0, respectivamente Custo e Receita para um certo produto, determine: a) a função Lucro; b) os pontos de nivelamento; c) a receita máima; d) o lucro máimo; e) os seus gráficos no mesmo sistema de eios; f) o intervalo onde não ocorre prejuízo. 7

19 RESPOSTAS E) a) (,8) E) (,6) E) y =, sendo a demanda y dada em milhares. E) 0 90 y = + E) a) demanda y = 7 b) oferta y = + c) (,6) E6) a) 00 b) C v = , C f = 00 c) 00 d) 60 e) 0 E7) a) R() = + 00 b) 0 c) 8 d) 78 E8) L() = + ( ) E9) a)(,8) e (,0) c) [,] E0) a) L() = b) (,8), (,) c) d) 9 f)[,] 8

20 . DERIVADAS.. DERIVADA DE UMA FUNÇÃO OU FUNÇÃO DERIVADA Δy f ( + Δ) f () f () = lim = lim Δ 0 Δ 0 Δ Δ d Notações: f (), D f(), f () d dy ou y, D y,,se y = f(). d Eemplo: f() = + f ' ( ) = = lim = lim = lim = lim = lim = lim Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ 0 Δ 0 f ( + Δ) f ( ) Δ ( ( + Δ) + ) ( + ) Δ ( + Δ + ) ( + ) Δ + Δ Δ Δ Δ.. REGRAS DE DERIVAÇÃO. DERIVADA DA FUNÇÃO CONSTANTE D c = 0 Eemplos: a) D = 0 b) Se f() = então f () = 0 c) Se y = e então y = 0. DERIVADA DA FUNÇÃO IDENTIDADE D = 9

21 . DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL NATURAL (e ) = e. DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARITMO NATURAL (ln ) =. DERIVADA DA SOMA DE DUAS FUNÇÕES (f()+ g()) = f ()+ g () Eemplos: a) D ( + e ) = 0 + e = e b) Se f() = ln então f () = 6. DERIVADA DO PRODUTO DE UMA CONSTANTE POR UMA FUNÇÃO (c.f()) = c.f () Eemplos: a) D =. = b) Se f() = ln então f () =. = E) Encontre y, sabendo que: a) y = b) y = e + c) y = ln d) y = + e e) y = 7 6 f) y = e + 8ln g) y = 9 h) y = 9 ln i) y = + + j) y = ln e + π - 0

22 7. DERIVADA DA FUNÇÃO POTÊNCIA ( p ) = p p- Eemplos: a) D = b) Se f() =, f() = / então f () =. / = c) Se y =, y = - então y = - = E) Encontre y, sabendo que: a) y = + b) y = e + c) y = e π + e d) y = e) y = + f) y = g) y = j) y = + h) y =.( + ) i) y = ( )( + ) 8. DERIVADA DO PRODUTO DE DUAS FUNÇÕES (f().g()) = f().g () + g().f () Eemplo: D (.ln ) =. +.ln. = +.ln =.( + ln ) 9. DERIVADA DO QUOCIENTE DE DUAS FUNÇÕES f () g() ' g().f '() f ().g' () = [g()] Eemplo: Se f() = então f () = ( ). ( )( ) = = ( ) ( ) ( )

23 E) Encontre y, sabendo que: a) y =.ln b) y = e c) y = + d) y = + e) y = e ln f) y = e g) y = ( ) ln h) y = i) y = j) y = + 0. DERIVADA DA COMPOSTA DA POTÊNCIA COM UMA FUNÇÃO f ([f()] p ) = p.[f()] p-.f () Eemplos: a) D ( ) =.( ). =.( ) / b) Se f() = + 6, f() = ( + 6) / então f () =.( + 6). = c) Se y =, y = ( ) - então y =.( ) -.(-) = ( ) ( ) + 6 E) Encontre y, sabendo que: a) y = ( ) 6 b) y = ( + ) c) y = ( + ) d) y = e) y = i) y = ( ) f) y = ( ) j) y = ( + ) g) y = h) y = + E) Resolve as equações f () = 0, para: a)f() = b) f() = + c) f() = d) f()= 8 e) f()= f) f()= + g) f()= + h) f()= i) f() = j) f() = + +

24 .. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO A derivada f ( ), se eistir, fornece a declividade da reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto P(, f( )). y f t f( ) P α 0 f ( ) = a t Importante: Da Geometria Analítica, a equação de uma reta, não vertical, que passa pelo ponto P(,y ) e tem declividade a é y y = a( ) Eemplo: Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função logaritmo natural no ponto de abscissa. Solução: f() = ln Se o ponto de tangência P tem abscissa =, a ordenada y é f( ) = f() = 0. A declividade da reta tangente ao gráfico da f no ponto P é a = f ( ) = f () =. Portanto, a equação da reta tangente é y 0 = ( ) ou y =. E6) Seja a função definida por f() =. a)calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto =. b)encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto =. c)esboce os gráficos de f e da reta tangente, no mesmo sistema de eios. E7) Seja a função definida por f() = no ponto P(, ). a)encontre a derivada da função f. b)calcule a declividade da reta tangente ao gráfico de f no ponto P. c) Escreva a equação da reta tangente, no ponto P.

25 .. APLICAÇÕES DE DERIVADAS. CUSTO MARGINAL : C mg () = C () Sendo C a função Custo Total para produzir unidades de um certo produto, chama-se Custo Marginal a derivada da função Custo Total em relação a. E8) Se a função Custo Total é dada por C() = , determine a função custo marginal. Observação: Da definição de derivada: C () = C( + Δ) C() lim Δ 0 Δ Para C( + Δ) C() C( + ) C() Δ muito pequeno C (), fazendo Δ =, tem-se: C mg Δ No eemplo acima: C mg (0) = 00 C() C(0) = 0. Então, o custo marginal é aproimadamente a variação do custo decorrente da produção de uma unidade adicional. No eemplo, C mg (0) é aproimadamente o custo da décima primeira unidade.. RECEITA MARGINAL : R mg () = R () Sendo R a função Receita Total decorrente da venda de unidades de um certo produto, chama-se Receita Marginal a derivada da função Receita Total em relação a. E9) Se a função Receita Total é dada por R() = + 00, determine a função receita marginal. Observação: Do mesmo modo que a custo marginal, a receita marginal representa, aproimadamente, a variação da receita total devido a venda de uma unidade a mais, a partir de unidades. No eemplo anterior: R mg () = 80 R(6) R() = 78. Então, a receita marginal calculada no ponto é a variação aproimada da receita decorrente da venda da 6 a unidade.. LUCRO MARGINAL : L mg () = L () Sendo L a função Lucro Total decorrente da produção e venda de unidades de um certo produto, chama-se Lucro Marginal a derivada da função Lucro Total em relação a.

26 0) Se a função Receita é dada por R() = + 00 e a função Custo Total dada por C() = , onde representa a quantidade produzida e vendida, determine: a) a função Lucro Total; b) a função Lucro Marginal; c) o lucro marginal ao nível de 0 unidades; d) a interpretação do resultado. E) Se a função Receita é dada por R() = 00 e a função Custo Total C() = , onde representa a quantidade produzida e vendida, determine: a) a função Custo Marginal; b) a função Receita Marginal; c) a função Lucro Total; d) a função Lucro Marginal; e) o custo de produção de unidades; f) o custo de produção da a unidade; g) use a função Custo Marginal para estimar o custo de produção da a unidade; h) a receita decorrente da venda de unidades; i) a variação da receita decorrente da venda da a unidade; j) use a função Receita Marginal para estimar a variação da receita decorrente da venda da a unidade; k) o lucro decorrente da produção e venda de unidades; l) a variação do lucro decorrente da produção e venda da a unidade; m) use a função Lucro Marginal para estimar a variação do lucro decorrente da produção e venda da a unidade; E) Dadas as funções Receita e Custo R() = + 9 e C() = + 6, determine o Lucro Marginal no = e interprete o resultado obtido.

27 RESPOSTAS E) a) y = b) y = e c) y = d) y = e) y = 6 f) y = e + 8 g) y = h) y = i) y = + j) y = 0 E) a) y = 6 + b) y = c) y = e π d) y = e) y = f) y = - + g) y = + h) y = i) y = + j) y = E) a) y = + ln b) y = e ( + ) c) y = e) y = e e ( ) ( +ln ) f) y = ( ) + d) y = ( + ) g) y = + (+ln ) h) y = i) y = ( ) j) y = E) a) y = 6( ) b) y = 7( + ) c) y =( + 6)( 0 + ) d) y = ( + ) 8 e) y = ( ) i) y = ( ) 6 + f) y = ( ) j) y = ( ) g) y = h) y = + 6 E) a) = 0 b) = c) NE d) = 0, = -, = e) = 0, = f) = -, = g) = 0, = h) = 0, = -, = i) =, = j) =, = E6) a) b) y = E7) a) f () = b) c) y = + E8) C mg = E9) R mg = + 00 E09) a) L = b) L mg = c) 0 E) a) C mg = + 0 b) R mg = 00 c) L = d) L mg = + 80 e) 0 E) f) g) 0 h) 00 i) 00 j) 00 k) 9 l) 9 m) 60 6

28 . ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL E) Observe o gráfico da função f abaio e determine: y f 0 a) os pontos do domínio da função f onde a tangente é horizontal; b) os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente; c) os máimos e mínimos relativos de f; d) os intervalos onde f () é positiva; e) os intervalos onde f () é negativa... PONTO ESTACIONÁRIO Um ponto c do domínio de uma função f é chamado de ponto estacionário de f se f (c) = 0. Geometricamente: y y y y t t t t 0 c 0 c 0 c 0 c E) Encontre os pontos estacionários de f, sendo: a)f()= + b) f()= + c) f()= 6 + 7

29 .. DETERMINAÇÃO DOS INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO Seja f uma função continua em [a,b] e derivável em (a,b). a) Se f ()>0 para todo (a,b) então f é crescente em [a,b] ) b) Se f ()< 0 para todo (a,b) então f é decrescente em [a,b] Eemplo: Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada por f() = 6 +. Solução: o ) Determinação dos pontos estacionários: f () = = 0.( ) = 0 = 0 ou = 0 PE={0,} o ) Determinação do sinal da derivada nos intervalos (,0), (0,) e (,+ ): Para qualquer (,0), f () > 0, logo f é crescente em (,0). Para qualquer (0,), f () < 0, logo f é decrescente em (0,). Para qualquer (, + ), f () > 0, logo f é crescente em (, + ). Importante: Para determinar o sinal da derivada num intervalo, basta escolher um ponto qualquer do intervalo e calcular a derivada nesse ponto. E)Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das funções dadas por: a) f()= b) f()= 8 c) f()= d) f()= 8

30 .. DETERMINAÇÃO DOS EXTREMOS RELATIVOS DE UMA FUNÇÃO.TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA(TDP) Seja f uma função continua e derivável em (a,b), eceto possivelmente em c (a,b) a) Se f passa de positiva para negativa em c então f(c) é máimo relativo de f b) Se f passa de negativa para positiva em c então f(c) é mínimo relativo de f c) Se f não muda de sinal em c então f(c) não é etremo relativo de f Geometricamente: y y y y t t t t 0 c 0 c 0 c 0 c c é ponto de máimo relativo e f(c ) é máimo relativo de f c é ponto de mínimo relativo e f(c ) é mínimo relativo de f c e c não são pontos etremantes Eemplo: Determine os máimos e os mínimos relativos da função dada por f() = 8. Solução: o ) Determinação dos pontos estacionários: f () = 6 6 = 0.( ) = 0 = 0 ou = 0 PE={-,0,} o ) Determinação do sinal da derivada nos intervalos (,-), (-,0), (0,) e (,+ ): Para qualquer (,-), f () < 0, logo f é decrescente em (,-). Para qualquer (-,0), f () > 0, logo f é crescente em (-,0). Para qualquer (0,), f () < 0, logo f é decrescente em (0,). Para qualquer (, + ), f () > 0, logo f é crescente em (, + ). TDP f(-) = -6 é mínimo relativo de f, f(0) =0 é máimo relativo de f e f() = -6 é mínimo relativo de f. E) Encontre os máimos e mínimos relativos das funções dadas por: a) f()= 8 + b) f()= + c) f() = d) f() = 9

31 . TESTE DA DERIVADA SEGUNDA(TDS) Seja f uma função derivável em (a,b) e c (a,b), tal que f (c)= 0 a) Se f (c) > 0 então f(c) é mínimo relativo de f. b) Se f (c) < 0 então f(c) é máimo relativo de f. c) Se f (c) = 0, nada podemos concluir. Eemplo: Determine os máimos e os mínimos relativos da função dada por f() = 8. Solução: o ) Determinação dos pontos estacionários: f () = 6 6 = 0.( ) = 0 = 0 ou = 0 PE={-,0,} o ) Determinação da derivada segunda: f () = 6 TDS f (-) = > 0 então f(-) = -6 é mínimo relativo de f f (0) = -6 < 0 então f(0) =0 é máimo relativo de f f () = > 0 então f() = -6 é mínimo relativo de f E) Encontre os máimos e mínimos relativos das funções dadas por: a) f()= + b) f()= + c) f()= d) f()= E6) Faça um estudo completo do comportamento das funções abaio. a)f()= 8 +6 b) f()= + 0 c) f() = d) f() = + 6 e) f() = + + f) f() = E7) Se L()= + 6 é a função lucro na venda de unidades de um certo produto, determine o lucro máimo. E8) Seja R() = a função receita total na venda de unidades de um certo produto. Determine a receita marginal e a receita máima. 0

32 RESPOSTAS E) a) = 0, =, =, = 8 b) Cresc.: (,0] [,] [8, + ), Decresc.: [0,] [,8] c) Má. Rel.: f(0) = e f () =, Mín. rel. : f() = - e f(8) = - d) (,0) (,) (8, + ) e) (0,) (,8) E) a) ; b) ; 0 ; c) ; E) a) Cresc. b) Cresc.:[-,0] [, + ), Decresc.: (, ] [0,] c) Cresc. d) Cresc.: [, + ), Decresc.: (,] E) a) Má. Rel.: f(0) = Mín. Rel. : f( ) = f() = b) Má. Rel.: f( ) = Mín. Rel. : f(0) = c) Má. Rel.:f(0) = 6 Mín. Rel.:f( ) = 6 e f() = d) Má. Rel.: f( ) = 6 Mín.Rel.: f() = 6 E) a) Má. Rel.: f( ) = 0 Mín. Rel. : f() = b) Má. Rel.: f(0) = Mín. Rel. : f() = c) Má. Rel.: f(0) = 6 Mín. Rel. : f( ) = f() = -0 d) Má. Rel.: f( ) = Mín. Rel. : f() = E6) a) Cresc.: [ 0, + ), Decresc.: (,0], Má. Rel.: NE, Mín. Rel. : f(0) = 0 b) Cresc.: (, ] [, + ), Decresc.:[-,], Má. Rel.: f( ) = 7, Mín.Rel. : f() = 0 c) Cresc.: (,] [, + ), Decresc.:[,], Má. Rel.: f() = d) Decresc.: (,], Cresc.: [, + ), Má. Re.:NE, Mín. Rel. : f() =, Mín. Rel. : f() = 0, e) Cresc.: (,] [, + ), Decresc.:[,], Má. Rel.: f() =, Mín. Rel. : f() = 6 f) Cresc.: (, + ), Má. Rel.: NE, Mín. Rel. : NE E7) L má = E8) a) R mg = b)r má = 000

33 6. INTEGRAL INDEFINIDA Em matemática, cada vez que definimos uma operação, pensamos na sua operação inversa, que desfaz o efeito da primeira. Assim, a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operação inversa da multiplicação e a etração da raiz quadrada é a inversa da operação que eleva ao quadrado. Estamos agora interessados na operação inversa da derivação. DERIVAÇÃO F F = f PRIMITIVAÇÃO 6.. PRIMITIVA Uma função F é chamada de primitiva de uma função f em um intervalo I se F () = f(), I. Eemplos: As funções dadas por F () =, F () = +, F () = são primitivas da função dada por f() =. A função f possui infinitas primitivas que podem ser representadas por F() + k chamada de primitiva geral ou integral indefinida da f que é notada por f()d ou seja f()d = F() + k. 6.. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas. Eemplo: d = + k

34 E) Determine: a) d b) d c) d d) ( + )d 6.. REGRAS DE INTEGRAÇÃO. cf()d c = f()d, sendo c uma constante Eemplos: b) d = d = + k a).e d = e d = e + k. [f() g()]d = f()d ± ± g()d Eemplos: + d = e + + k a) (e )d = e d + b) ( )d = d d = + k. d = + k. e d = e + k d. = ln + k E) Encontre: a) d b) ( e ) + d c) ( ) d d) d e e) (ln e ) d f) ( ) d g) e + (π ln 6) d h) (e + e ) d i) ( ) d 0 j) ( ) d

35 p+ p 6. d = + k, sendo p - p + Eemplos: a) d = + k / / b) d = d = + k = + k / d c) = d + k = + k = E) Encontre: a) ( )d b) ( )d d c) d d) d e) f) d g) ( + )d h) ( )d + i) d j) ( ) d p+ p u 7. Se u = f(), u u' d = + k, se p p + Eemplos: ( - ) a) ( - ).d = + k, observe que u = e u = b) ( - ) d, observe que u = e u = não aparece na integral. ( - ) d = ( - ). d = ( - ).d = ( - ). ( - ) + k = + k

36 / c) +.d = ( + ) d, observe que u = + e u = não aparece na integral. / / ( + ) d = ( + ). d = ( + ) / / ( + ).d =. / + k = ( + ) + k d d) = ( + 6) d, observe que u = + 6 e u = não aparece na integral. ( + 6) - - ( + 6) d = ( + 6). d = ( + 6) E) Encontre: - - ( + 6).d =. - + k = ( + 6) + k a) ( ) d b) ( ) d c) (- ) d d) ( ) d e). d f) ( + ) d d g) ( ) d h) ( + ) d i) ( + ) j). d E) Determine a equação da curva y = f() que passa pelo ponto P, sabendo que: a) P(,) e f ()= b) P(,) e f ()= 6 + c) P(0, ) e f () = e d) P(, ) e f () = + e) P(,) e f () = E6) Dadas as funções C mg = q e R mg = q + 6q +, respectivamente Custo Marginal e Receita Marginal para um determinado produto, determine as funções Custo, Receita e Lucro, sabendo que o custo de duas unidades é 8. E7) Dadas as funções R mg = q + 6q, C mg = 0 e C f = 00, respectivamente Receita Marginal, Custo Marginal e Custo Fio para um mesmo produto, determine a função Lucro. E8) Sabendo que o custo marginal é dado por C mg () = 0 e o custo de produção de duas unidades é u.m., determine o custo fio.

37 E9) Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 0,00 a unidade. O fabricante estima que se unidades forem vendidas por semana, o custo marginal será C mg =. Ache a função Lucro desse produto, sabendo que o custo de produção de quatro unidades é R$ E0) Um fabricante pode produzir um determinado produto cujo preço de venda é R$ 0,00 a unidade. O fabricante estima que se unidades forem vendidas por semana, o custo marginal será C mg = 0. Ache o lucro obtido pela produção e venda de 0 unidades desse produto, sabendo que o custo de produção de quatro unidades é R$ E) Um fabricante produz e vende uma quantidade q de certa mercadoria. As funções Custo Marginal e Receita Marginal são respectivamente C mg =q + 0 e R mg = q+0. Sabendo que o custo de produção de dez unidades é R$ 800,00, determine: a) a função Custo Total; b) a função Receita Total; c) a função Demanda; d) a função Lucro Total; e) o lucro decorrente da venda de unidades; f) a variação do lucro decorrente da venda da a unidade; g) a função Lucro Marginal; h) o Lucro Marginal no ponto e interprete o resultado obtido. 6

38 RESPOSTAS E) a) + k b) + k c) + k d) + + k E) a) + k b) + e + k c) ln + k d) e + k e) ln - e + k f) ln + k g) ( π e + ln 6) + k h)e + e + k i) ln + k j) 0ln + k E) a) k b) + + k c) + k 6 d) + k e) + k f) + k g) ln + k h) k + + i) + ln + + k j) + k 6 ( ) E) a) + k ( ) b) + k 6 ( ) c) + k 6 ( ) d) + k h) + k ( + ) ( ) e) + k i) k 8( + ) + ( + ) f) + k 6 j) + k ( ) 6 g) k ( ) + E) a) y = b) y = + c) y = e d) y = + + e) y = ln + E6) C = q + 0 ; R = q + q + q ; L = q 8q + q 0 E7) L = q + q 0q 00 E8) E9) L = 0 E0) 0 E) a) C = q + 0q + 00 b) R = q + 0q c) p = q + 0 d)l = q + 0q 00 e) 0 f) 0 g) L mg = q + 0 h) 0 7

39 7. INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real representado por b f()d e calculado por F(b) - F(a). a b f()d = b [F()] a = F(b) - F(a) a Eemplos: a)calcule Solução: 0 d o ) Cálculo da integral indefinida: d = + k o ) Cálculo da integral definida: b) Calcule ( ) d d = 9 0 = Solução: o ) Cálculo da integral indefinida: ( ) ( ) d = ( ) d = ( ) ( )d = + k o ) Cálculo da integral definida: ( ) ( ) d = = 0 = 8

40 7.. PROPRIEDADES BÁSICAS a) a a f()d = 0 b) b f()d = - a a f()d b c) b c.f()d = c. a b f()d, sendo c uma constante a b d) [f() ± g()]d = a b a f()d ± b a g()d e) b a f()d = c a f()d + b c f()d, com a < c < b f) b a f()d 0, se f() 0, [a,b] E)Calcule: 0 a) ( + )d b) 0 ( + )d c) ( -)d 0 d) ( - ) d e) - 6) ( d f) 8( + ) d 0 g) ( + ) d 7.. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número b f()d representa a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eio O e pelas retas verticais = a e = b. a y f R 0 a b A R = b f()d a 9

41 7.. ÁREA DA REGIÃO ENTRE DUAS CURVAS Sejam f e g funções continuas em [a,b], com f() g(), [a,b]. Se R é a região limitada pelos gráficos de f, g, =a e =b então A R = b [f() - g()]d y a f R g 0 a b E) Escreva a integral que fornece a área da região R: a) y f R b) y 0 0 R 6 f c) y g 0 R f d) g y f R 0 e) y 0 g R f 0

42 E)Use integração para calcular as áreas das regiões hachuradas. a) f ( ) = b) f ( ) = + c) f ( ) =

43 d) f + ( ) = e) ( ) g = f ( ) = f) ( ) f = ( ) = - g +

44 RESPOSTAS 9 E) a) 0 7 b) c) d) 6 e) f) g) 7 6 E) a) f ()d b) f ()d c) [ f () g()]d 0 d) f ()d + g()d e) [ g() f ()]d 0 E) a) 8 u.a. b) u.a. c) u.a. d) u.a. e) u.a. f) u.a.

45 APÊNDICE.CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS R = Q I a Onde: Q = /a, b Z, com b 0 é o Conjunto dos números racionais e I é o conjunto dos números b irracionais. Eemplos: 0= 0 Q, = Q, = Q, =0,7(decimal finita) Q, =0,...(decimal infinita e periódica) Q, 9 =,... (decimal infinita e não periódica) I, π =,9... (decimal infinita e não periódica) I, =,60... (decimal infinita e não periódica) I, 6 = 0, (decimal infinita e não periódica) I, 0,,,,,, π,, R 9 6 Observações: 0 = 0, 0 8 é indeterminado, não eiste, 6 =, 8 =, =, =,70..., = i R, = i R.. REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DO CONJUNTO R , 6 π

46 . OPERAÇÕES COM FRAÇÕES.. Adição e subtração de frações Para adicionar(subtrair) frações, devemos reduzir as frações ao mesmo denominador e adicionar(subtrair) os numeradores conservando o denominador comum. Eemplo: + + = = Multiplicação de frações Para multiplicar frações, devemos multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Eemplo: = = = Divisão de frações fração. Para dividir frações, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda Eemplo: : =. =. SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES Para simplificar uma fração, devemos dividir o numerador e o denominador pelo máimo divisor comum de ambos(maior número inteiro que divide os dois). Eemplo: isto é: 6 Seja a fração. O máimo divisor comum entre 6 e 7 é 9. Portanto, devemos dividir o 6 e o 7 por 9, = 6 : 9 7 : 9 =

47 . INTERVALOS Sejam a,b R, com a < b... Intervalo fechado de etremos a e b: [a,b] = { R / a b} a b.. Intervalo aberto de etremos a e b: (a,b) = { R / a < < b} a b.. Intervalo fechado à direita de etremos a e b: (a,b] = { R / a < b} a b.. Intervalo fechado à esquerda de etremos a e b: [a,b) = { R / a < b} a b.. Intervalo infinito fechado à esquerda: [a, + ) = { R / a} a.6. Intervalo infinito aberto à esquerda: (a, + ) = { R / > a} a.7. Intervalo infinito fechado à direita: (,a] = { R / a} a.8. Intervalo infinito aberto à direita: (,a) = { R / < a} a Observação: (, + ) = R 6

48 Eemplo: Determine se verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaio: a) [,] = (,) b) [,]={,,} c) (,)={} d) (,)={ } Solução a) Falsa, o primeiro intervalo inclui o e o, o segundo intervalo não. b) Falsa, o primeiro intervalo inclui o, o e todos os reais entre e, o segundo é um conjunto finito, constituído por três elementos o, o e o. c) Falsa, o primeiro intervalo inclui todos os reais entre e, o segundo é um conjunto finito, constituído por um único elemento o. d) Falsa, o primeiro intervalo inclui todos os reais entre e, o segundo é um conjunto vazio.. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS.. União ou Reunião A operação união ou reunião de dois conjuntos A e B é o conjunto representado por A B, formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Eemplos: a) {-,0,,} {,,,} = {-,0,,,,} b) (-,] [,) = (-,).. Intersecção A operação intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto representado por A B, formado pelos elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B. Eemplos: a) {-,0,,} {,,,} = {,} b) (-,] [,) = [,] 7

49 .. Diferença A operação diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, é o conjunto representado por A B, formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Eemplos: a) {-,0,,} {,,,} = {-,0} b) (-,] [,) = (-,) E) Represente graficamente os conjuntos: ) (0, ] [,] ) [, ] [0,6) ) (, ) [0, ) ) (,] (,7] ) (, ] (0, + ) 6) [, ) [, ) 7) R [, + ) 8) R {0,,} 9) R (, + ) 0) R { } 6. PRODUTOS NOTÁVEIS 6.. Quadrado da Soma: (a + b) = a + ab + b 6.. Quadrado da Diferença: (a b) = a ab + b 6.. Produto da Soma pela Diferença: (a + b).(a b) = a b Eemplos: Desenvolva os produtos: a) ( + ) b)( ) c) ( + ).( ) Solução a) ( + ) = () +.(.) + = b) ( ) = ().(.) + = c) ( + ).( ) = () = 9 E)Desenvolva os produtos: ) ( + ) ) ( ) ) ( + ).( ) ) ( ) ) ( ) 6) ( ).( + ) 7) ( + ) 8) ( + ).( ) 9) ( + ) 0) ( + ).( ) 8

50 7. FATORAÇÕES COMUM E DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS Fatorar uma epressão é escrever a epressão na forma de multiplicação. Eemplos: Fatore as epressões abaio: a) 8 + b) Solução a) Em 8 + vamos aplicar a fatoração comum. O máimo divisor comum dos coeficientes 8 e é 6. O máimo divisor comum da parte literal e é (letra comum com o menor epoente). Portanto, vamos colocar em evidência o máimo divisor dos termos da epressão que é = 6 8 ( 6 + ) = 6 ( + ) 6 b) é uma diferença de dois quadrados. A forma fatorada de uma diferença de dois quadrados a b é (a + b)(a b), então: = ( + )( ) E) Fatore as epressões: ) + ) 6 ) + ) ) 9 6) 7) 8) + 9) 9 0) RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE O GRAU a = b, com a 0 Solução : Como a 0, podemos dividir os dois membros por a, b Conjunto Solução: S= R / =, com a 0 a a b b = daí, =. a a a 9

51 Eemplo: Resolva a equação = Solução: = = = = 6, S ={-6} E) Resolva as equações: ) = ) = ) 0, = ) + = ) 0, + = 0, 6) + = 7) + = 8) ( ) = + + 9) = 0) 9 = ( + ) 9. RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE O GRAU a + b + c = 0, com a 0 b ± Solução : = b a ac Eemplo: Resolva a equação = 0 Solução: a =, b = e c = 6, logo: = ±.( ).6 ± + ± 7 = =.( ) 7 Portanto = = = ou = = =, S ={,6} E) Resolva as equações: ) = 0 ) = 0 ) + = 0 ) + = 0 ) + = 0 6) + + = 0 7) + = 0 8) ( ) = 9) = 0 0) 9 = ( + ) 0

52 0. PRODUTO NULO a.b = 0 a = 0 ou b = 0 Eemplos: Resolva as equações: a) = 0 b) 9 = 0 Solução: a) = 0.( ) = 0 = 0 ou = 0 = 0 ou = b) 9 = 0.( 9) = 0 = 0 ou 9 = 0 = 0 ou = ± E6) Resolva as equações: ) ( ).( +) = 0 ).( ).( +).( 9) = 0 ) = 0 ) 6 = 0 ) + = 0 6) + 6 = 0 7) + = 0 8) + + = 0 9) 9 = 0 0) 6 = 0. RESOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES DO O GRAU Eemplo: Resolver a inequação + Solução: , S = [, + ) E7) Resolva as inequações: ) > ) ) < ) 0, ) + < 6) 0, + 0, 7) + > 8) + < 9) ( ) + 0) +

53 . RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO O GRAU Eemplo: Resolver o sistema + y = y = Resolução pelo método da substituição: Isolando na a equação temos: = y +. Substituindo o obtido na a equação temos: ( y + ) + y =. Resolvendo a equação do o grau obtemos: y = Substituindo y = na equação = y +, obtemos =. = Solução: y = Resolução pelo método da adição: + y = y = Multiplicando-se a a + y = equação por obtemos: y = Adicionando membro a membro as duas equações temos: = = Substituindo = na a equação do sistema dado obtemos: y = = Solução: y = E8) Resolva os sistemas: + y = ) y = ) + y = 6 y = ) + y = 6 + y = ) y = 0 y = ) + y = y = 6) + 7y = 0 + y = 0 7) + y = 6 + y = 8) + y = 6 y = 9) y + = y = 0) + y = 6 0, 0,y =

54 . POTÊNCIAS Sejam a,b R e m,n {,,,...}. Eemplos: a n = a.a.a. K a n vezes a) =... = b) (-) = (-). (-). (-). (-). (-) = - Propriedades a) a 0 =, a 0 Eemplos: a) 0 = b) (-) 0 = b) a m.a n = a m+n Eemplos: a). = = b) (-).(-) = (-) = - d) (a.b) n = a n.b n Eemplos: a) (.) =. = 6 = 6 b) (-).(-) = [(-).(-)] = 8 e) a a m n m n = a, a 0 Eemplos: 6 ( ) a) = = b) = ( ) = 7 ( ) f) a b n a = b n n, b 0 Eemplos: a) = = 8 7 b) ( ) ( ) = = = 7 8 m g) ( a ) n = a m.n Eemplos: 6 a) ( ) = = 6 b) [( ) ] = ( ) = 79 6

55 h) a -n = n, a 0 a Eemplos: a) = = b) = = 9 i) n a m = a m/n, quando n a R Eemplos: 6 6 / a) = = = 9 b) E9) Calcule o valor de: ) ) (0,) 0 ) ) - = / = = ) ( ) 6) (-0,) - 7) (8) / 8) (6) / 9) (-8) -/ 0). -9 ) (6) / ) - : -0 E0)Aplique as propriedades adequadas: ) - ) 0. ) ) 0 ) ( ) 6) / 7) / 8) - : -0 9) 0). EQUAÇÃO PONTO-DECLIVIDADE r: y y = a( ) onde: P(, y ) é um ponto da reta r e a é a declividade da reta r. Eemplo: Escreva a equação da reta que passa pelo ponto P( ) e tem declividade. Solução: =, y = e a = y = ( ( )) y = 0 y = 7 E) Escreva a equação da reta que contém o ponto P e tem declividade a, sendo: )P(,) e a = ) P( -,-) e a = - ) P( /,-6) e a = )P(, ) e a = - ) P(,0) e a = 6) P(-,-) e a = /

56 . IMAGEM DE UMA FUNÇÃO NUM PONTO Se para cada valor de, a equação y = f() fornece um único valor para y, dizemos que esta equação define uma função da variável, onde: o domínio da função f é o conjunto de números reais, para os quais a função tem sentido. a imagem de pela f é f( ). Eemplo: Seja a função dada por f() =. Determine: + a) o domínio da f; b) f(-) c) f(0) d) f(/) e) f(-) Solução: a) Como o valor da função num ponto é o resultado de uma divisão, a função só tem sentido quando + 0. O domínio da função é o conjunto dos números reais diferentes de, isto é, Dom f = (, ) (, + ). ( ) b) f(-) é o valor da função f quando = -, logo f(-) = = = + c) f(0) é o valor da função f quando = 0, logo f(0) = (0) = = 0 + (/ ) / / d) f(/) é o valor da função f quando = /, logo f(/) = = = = / + / / e) f(-) é o valor da função f quando = -, como - Dom f, não eiste f(-) E) Achar os domínios das seguintes funções: a)f() = b) f() = + 0 c) f() = 6 d) f() = + e)f() = f) f() = + g) f() = + h) f() = i) f() = j) f() = + E) Considere as funções do eercício anterior e determine f(-), f(0) e f().

57 6. RESPOSTAS E) ) 0 ) ) - 0 ) 7 ) 0 6) { } 7) 8) 0 9) 0) - E) ) ) + ) ) + ) + 9 6) 7) + + 8) 9) ) 9 6 E) ) ( + ) ) ( ) ) ( + ) ) ( + )( ) ) ( )( + ) 6) ( )( + ) 7) ( + )( ) 8) ( + ) 9) + 0) + 6

58 E) ) S = ) S = 0 ) S = 9 ) S = { -} ) S = { -0} 6) S ={ -8} 7) S = 8) S = 7 9) S = 0) S = E) ) S = {-,} ) S = {0,} ) { } ) S = 0, ) S = {,} 6) S = {-} 7) { } 8) S = {,} 9) S =, 0) S = {-,} E6) ) S = {-,} ) S = {-,-,0,,} ) {0,} ) S ={-,0,} ) S = {-,0} 6) S = {0,-} 7) {0,,} 8) S = {0,-} 9) S = {-,0,} 0) S = {-,0,} 0 E7) ) S = (, + ) ) S = (, ) ) S = (, ) ) S = [, + ) ) S = (, ) 9 7 6) S = [ 0, + ) 7) S = ( 8, + ) 8) S = (, ) 9) S = [, + ) 0) S = [, + ) = E8)) y = ) = y = ) = y = 0 ) = 6 y = ) = y = 0 6) = 0 y = 0 7) = 0 y = 8) = y = 0 9) = y = 0) = y = E9) ) 8 ) ) 7) 9 8) 9) ) 0) 6 ) 6 6) 000 ) 6 ) 6 E0) ) ) ) ) ) 6 6) 7) 8) 6 9) / 0), para 0 E) ) y = 7 ) y = ) y = 7 ) y = + ) y = 6)y = 7

59 E) a) R {} b) R { } c) (,] d) [0, + ) e) (0, + ) f) R {,} g ) R {, } h) R {} i) [/, + ) j) R E) a),, b),, c), 6, d) NE,, e) NE, NE, 0 f),, g ), 0, NE h),, i), -, j),, BIBLIOGRAFIA MORETTIN, Pedro A., BUSSAB, Wilton O., HAZZAN, Samuel. Cálculo: funções de variável. São Paulo : Atual, 999. uma SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática para os Cursos de economia, ciências contábeis. São Paulo : Atlas, 98. administração e 8