Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download ""

Transcrição

1 MATEMÁTICA I AULA 03: LIMITES DE FUNÇÃO, CÁLCULO DE LIMITES E CONTINUIDADES TÓPICO 03: CONTINUIDADES Este tópico trata dos conceitos de continuidade de funções num valor e num intervalo, a compreensão de tais conceitos não apresenta nenhuma dificuldade para o estudante que tenha assimilado a noção intuitiva de limite. A parte teórica é finalizada com o teorema do valor intermediário, trata-se de um importante resultado que será usado no tópico da aula 08 e no próximo módulo que dá continuidade a este, seu enunciado neste estágio deve-se ao fato de ser necessário apenas o conceito de continuidade na formulação de suas hipóteses; entretanto, encontram-se nos exercícios 40 a 46 do exercitando deste tópico, algumas aplicações desse teorema. Para um determinado grupo de funções é possível estabelecer o limite em relação a um valor, sem que a função esteja definida no valor; ou ainda, mesmo sendo definida no valor e podendo estabelecer o limite, tal limite não coincida com a imagem da função no valor. Exemplo Se, então sendo então assim Uma função f é contínua num valor c do seu domínio, se o limite de f (x) quando existe e é igual ao valor de f em c, isto é, se Exemplo Resolvido 1 Verificar que a função dada é contínua no valor indicado (a) Como tem-se Logo a função f é contínua em c = 0. (b) Sendo, além disso como

2 obtém-se. Logo g é contínua em c = 1. Exemplo Proposto 1 Mostrar que a função dada é contínua no valor indicado: Exemplo Resolvido 2 Mostrar que as funções seno e co-seno são contínuas em zero. No exemplo resolvido 6 do tópico 2 desta aula, foi provado que logo, pela definição, isto mostra que as funções seno e co-seno são contínuas em zero. Provar que as funções seno e co-seno são contínuas em qualquer número real c. Sugestão. Veja o exemplo proposto 6 - Clique aqui para abrir do tópico 2 desta aula. Exemplo Proposto 6. Provar que: Sugestão: fazer x - c = t; Se uma função f não é contínua num valor c do seu domínio, diz-se que f é descontínua em c. Geometricamente, para que uma função f seja contínua num valor c, o gráfico de f não deve apresentar interrupção em c. Nas figuras seguintes, estão ilustrados os gráficos de algumas funções, que apresentam algum tipo de interrupção relativa a um valor c, por serem descontínuas em c.

3 Decorrente da definição de continuidade num valor e do teorema 2 do tópico 2 desta aula, tem-se o seguinte teorema. TEOREMA 1 Se f e g são funções contínuas num valor c, então: contínuas em c, e é contínua em c se. e fg são Com aplicações sucessivas deste teorema e baseando-se que as funções constante e identidade são contínuas em qualquer valor, tem-se os seguintes corolários. Corolário 1. Uma função polinomial é contínua em qualquer número real. Corolário 2. Uma função racional é contínua em qualquer número real em que ela esteja definida. Por exemplo: a função é contínua em qualquer número real, pois ela é uma função polinomial; já a função é contínua em qualquer número real exceto 1, pois ela é uma função racional e não está definida somente em 1. Quanto à composição de funções, tem-se o teorema seguinte, cuja demonstração será feita no texto complementar deste tópico e que será indicado no final deste tópico. TEOREMA 2 Sejam e f contínua em a, então Do teorema 2, segue-se o seguinte resultado. Corolário. Sejam g contínua em c e f contínua em g(c), então fog é contínua em c. DEMONSTRAÇÃO Como g é contínua em c, em g(c) pelo teorema 2, logo, como f é contínua

4 Sejam f uma função e c um valor no domínio de f, diz-se que f é: (a) contínua à esquerda de c, se (b) contínua à direita de c, se Uma função f é dita: (a) contínua num intervalo aberto I, se f é contínua em todos os valores de I; (b) contínua num intervalo semifechado à esquerda [a,b) (ou [a, + ) ), se f é contínua à direita de a e no intervalo aberto (a,b) (ou (a, + ) ); (c) contínua num intervalo semifechado à direita (a,b] (ou(-, b) ), se f é contínua à esquerda de b e no intervalo aberto (a, b) (ou (-, b) ); (d) contínua num intervalo fechado [a, b], se f é contínua em (a, b), além disso, é contínua à direita de a e à esquerda de b. Exemplo Resolvido 3 Determinar os maiores intervalos em que é contínua a função Para que f seja contínua num valor c, é necessário que c esteja no domínio de f, daí c 2-1 > 0 ou seja, c < -1 ou c > 1 Por outro lado, se c < -1 ou c > 1 tem-se Logo f é contínua em todo valor c menor do que -1 ou maior do que 1, isto é, f é contínua nos intervalos Exemplo Proposto 3 Mostrar que [-1,1] é o maior intervalo em que é contínua a função O gráfico de uma função contínua num intervalo não apresenta interrupção em sua extensão, essa noção geométrica sobre continuidade pode ser justificada pelo teorema seguinte. Teorema (Sejam f uma função contínua num intervalo I, a e b valores em I. Então, dado qualquer valor r entre f(a) e f(b), existe pelo menos um valor c em (a,b) tal que f(c)= r.) (do Valor Intermediário) 3. Sejam f uma função contínua num intervalo I, a e b valores em I. Então, dado qualquer valor r entre f(a) e f(b), existe pelo menos um valor c em (a,b) tal que f(c)= r. LEITURA COMPLEMENTAR

5 O texto "Continuidades com e, trata da segunda etapa do estudo de continuidades, fazendo uma abordagem rigorosa do tema. Não exigiremos nenhum conhecimento deste assunto neste módulo, mas é sugestivo uma leitura atenciosa. Para acessar o conteúdo, consulte a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo ContinuidadesComEpsilonEDelta.doc ou clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.). ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá à seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo "Exercitando(Aula03_Top3).doc" para baixar o exercitando ou clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.). Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. O exercício 32 é a quinta questão do trabalho desta aula que deverá postado no Portifólio Individual do ambiente Solar. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc ou docx) ou manuscrito e escaneado. FONTES DAS IMAGENS Responsável:Prof. José Othon Dantas Lopes Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual

MATEMÁTICA I AULA 07: TESTES PARA EXTREMOS LOCAIS, CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO TÓPICO 02: CONVEXIDADE, CONCAVIDADE E GRÁFICO Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada

Leia mais

Esboço de Gráficos (resumo)

Esboço de Gráficos (resumo) Esboço de Gráficos (resumo) 1 Máximos e Mínimos Definição: Diz-se que uma função tem um valor máximo relativo (máximo local) em c se existe um intervalo ( a, b) aberto contendo c tal que f ( c) f ( x)

Leia mais

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2)

Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Tópico 3. Limites e continuidade de uma função (Parte 2) Nessa aula continuaremos nosso estudo sobre limites de funções. Analisaremos o limite de funções quando o x ± (infinito). Utilizaremos o conceito

Leia mais

Seqüências, Limite e Continuidade

Seqüências, Limite e Continuidade Módulo Seqüências, Limite e Continuidade A partir deste momento, passaremos a estudar seqüência, ites e continuidade de uma função real. Leia com atenção, caso tenha dúvidas busque indicadas e também junto

Leia mais

LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x

LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES Noções prévias 1. Valor absoluto de um número real: Chama-se valor absoluto ou módulo de um número real ao número x tal que: x se x 0 x = x se x < 0 Está assim denida

Leia mais

1 Propriedades das Funções Contínuas 2

1 Propriedades das Funções Contínuas 2 Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005 Sumário 1 Propriedades das Funções Contínuas 2 2 Continuidade 2 3 Propriedades 3 4 Continuidade Uniforme 9 5 Exercício 10 1 1 PROPRIEDADES

Leia mais

4.2 Teorema do Valor Médio. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html

4.2 Teorema do Valor Médio. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html 4.2 Teorema do Valor Médio Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html Teorema de Rolle: Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses: a) f é contínua no intervalo

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire

Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA - CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO / 2015 Sumário 1. Introdução... 5 2. Conjuntos...

Leia mais

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x)

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x) . Limites Ao trabalhar com uma função nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de eistência) afinal só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua epressão matemática

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANÁLISE DE INVESTIMENTO AULA 02: CAPITALIZAÇÃO, DESCONTO E FLUXO DE CAIXA TÓPICO 02: OPERAÇÕES DE DESCONTO Desconto é a denominação dada a um abatimento que se faz quando um título

Leia mais

Consequências Interessantes da Continuidade

Consequências Interessantes da Continuidade Consequências Interessantes da Continuidade Frederico Reis Marques de Brito Resumo Trataremos aqui de um dos conceitos basilares da Matemática, o da continuidade no âmbito de funções f : R R, mostrando

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA DE CALDAS DAS TAIPAS

ESCOLA SECUNDÁRIA DE CALDAS DAS TAIPAS Ano Letivo 201/201 PLANIFICAÇÃO ANUAL Disciplina de MATEMÁTICA - 11º Ano Turma J A PROFESSORA: Paula Cristina Gomes 1 1. OBJECTIVOS GERAIS São finalidades da disciplina no ensino secundário: desenvolver

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a

x 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a Capítulo 27 Regras de L Hôpital 27. Formas indeterminadas Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F () = 2. Embora F não esteja definida em =, para traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 00/ SUMÁRIO. LIMITES E CONTINUIDADE..... NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE..... FUNÇÃO CONTÍNUA NUM

Leia mais

A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários:

A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários: 1 1.1 Função Real de Variável Real A noção de função é imprescindível no decorrer do estudo de Cálculo e para se estabelecer essa noção tornam-se necessários: 1. Um conjunto não vazio para ser o domínio;

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA HABILIDADES CONTEÚDO METODOLOGIA/ESTRATÉGIA HORA/ AULA ANÁLISE GRÁFICA DE FUNÇÕES

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA HABILIDADES CONTEÚDO METODOLOGIA/ESTRATÉGIA HORA/ AULA ANÁLISE GRÁFICA DE FUNÇÕES CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA ENSINO MÉDIO ÁREA CURRICULAR: CIÊNCIA DA NATUREZA, MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS DISCIPLINA: MATEMÁTICA I SÉRIE 1.ª CH 68 ANO 2012 COMPETÊNCIAS:.

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

v m = = v(c) = s (c).

v m = = v(c) = s (c). Capítulo 17 Teorema do Valor Médio 17.1 Introdução Vimos no Cap. 16 como podemos utilizar a derivada para traçar gráficos de funções. Muito embora o apelo gráfico apresentado naquele capítulo relacionando

Leia mais

Aplicações de Derivadas

Aplicações de Derivadas Aplicações de Derivadas f seja contínua no [a,b] e que f '(x) exista no intervalo aberto a x b. Então, existe pelo menos um valor c entre a eb, tal que f '(c) f (b) f (a) b a. pelo menos um ponto c (a,

Leia mais

Aula 17 Continuidade Uniforme

Aula 17 Continuidade Uniforme Continuidade Uniforme Aula 17 Continuidade Uniforme MÓDULO 2 - AULA 17 Metas da aula: Discutir o conceito de função uniformemente contínua, estabelecer o Teorema da Continuidade Uniforme e o Teorema da

Leia mais

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0.

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0. 4. Em cada caso use a definição para calcular f 0 (). (a) f () = 3, R (b) f () =/, 6= 0 (c) f () =/, > 0. 4.2 Mostre que a função f () = /3, R, não é diferenciável em =0. 4.3 Considere a função f : R R

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 4 Estudo do Sinal de uma Função 4.1 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

Instruções para Área Restrita site Teorema

Instruções para Área Restrita site Teorema Instruções para Área Restrita site Teorema DESENVOLVENDO SOLUÇÕES Autora: Laila Maria Doc. Vrs. 01 Aprovado em: Janeiro de 2015 Nota de copyright Copyright 2015 Teorema Informática, Guarapuava. Todos os

Leia mais

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL

FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Hewlett-Packard FUNÇÃO REAL DE UMA VARIÁVEL REAL Aulas 01 a 04 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luís Ano: 2015 Sumário INTRODUÇÃO AO PLANO CARTESIANO... 2 PRODUTO CARTESIANO... 2 Número de elementos

Leia mais

Aula 19 Teorema Fundamental das Integrais de Linha

Aula 19 Teorema Fundamental das Integrais de Linha Aula 19 Teorema Fundamental das Integrais de Linha MA211 - Cálculo II Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade

Leia mais

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

X.0 Sucessões de números reais 1

X.0 Sucessões de números reais 1 «Tal como a tecnologia requer as tøcnicas da matemætica aplicada, tambøm a matemætica aplicada requer as teorias do nœcleo central da matemætica pura. Da l gica matemætica topologia algøbrica, da teoria

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA 5 0 Encontro da RPM TRANSFORMAÇÕES NO PLANO

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA 5 0 Encontro da RPM TRANSFORMAÇÕES NO PLANO UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA INSTITUTO DE MATEMÁTICA 5 0 Encontro da RPM TRANSFORMAÇÕES NO PLANO Jorge Costa do Nascimento Introdução Na produção desse texto utilizamos como fonte de pesquisa material

Leia mais

O tutorial do ambiente virtual tem o intuito de abordar e solucionar problemas que venham a existir sobre os seguintes pontos:

O tutorial do ambiente virtual tem o intuito de abordar e solucionar problemas que venham a existir sobre os seguintes pontos: 1.Tutorial Ambiente Virtual EAD Núcleo EAD Tutorial EAD O tutorial do ambiente virtual tem o intuito de abordar e solucionar problemas que venham a existir sobre os seguintes pontos: 1.1. Acesso ao Sistema.

Leia mais

1.1 Domínios e Regiões

1.1 Domínios e Regiões 1.1 Domínios e Regiões 1.1A Esboce o conjunto R do plano R 2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classi que R em: aberto, fechado, itado, compacto, ou conexo. (a) R = (x; y) 2 R 2 ; jxj 1; 0 y (b) R

Leia mais

Estudo do Sinal de uma Função

Estudo do Sinal de uma Função Capítulo 1 Estudo do Sinal de uma Função 11 Introdução Neste Capítulo discutimos o problema do estudo do sinal de uma função, assunto muitas vezes tratado de forma rápida e supercial nos ensinos básico

Leia mais

MANUAL. Perfil de Professor

MANUAL. Perfil de Professor MANUAL Perfil de Professor Índice 1. Acesso 1.1. Acessando o Canal do Norte... 03 2. Disciplinas 2.1. Acessando Disciplinas... 07 3. Recursos 3.1. Adicionando Recursos... 10 3.2. Página de texto simples...

Leia mais

TÍTULO: Plano de Aula LINHAS E RETAS. Ensino Fundamental / Anos Iniciais. 4º ano. Matemática. Espaço e Forma. 1 aulas (50 min cada)

TÍTULO: Plano de Aula LINHAS E RETAS. Ensino Fundamental / Anos Iniciais. 4º ano. Matemática. Espaço e Forma. 1 aulas (50 min cada) Org.: Claudio André - 1 TÍTULO: LINHAS E RETAS Nível de Ensino: Ensino Fundamental / Anos Iniciais Ano/Semestre de Estudo 4º ano Componente Curricular: Matemática Tema: Espaço e Forma Duração da Aula:

Leia mais

TÓPICOS DE AULAS. Prof. Rafael Murakami

TÓPICOS DE AULAS. Prof. Rafael Murakami Definição: No Power Point, podemos fazer apresentação de slides com efeitos em cada slide e na transição de slide, com isso dando um toque de agrado pessoal na apresentação. No Power Point, podemos inserir

Leia mais

Limites e continuidade

Limites e continuidade Capítulo 3 Limites e continuidade 3.1 Limite no ponto Considere a função f() = 1 1, D f =[0, 1[ ]1, + ). Observe que esta função não é definida em =1. Contudo, fazendo suficientemente próimo de 1 (mas

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y

A abordagem do assunto será feita inicialmente explorando uma curva bastante conhecida: a circunferência. Escolheremos como y 5 Taxa de Variação Neste capítulo faremos uso da derivada para resolver certos tipos de problemas relacionados com algumas aplicações físicas e geométricas. Nessas aplicações nem sempre as funções envolvidas

Leia mais

Notas de aulas. André Arbex Hallack

Notas de aulas. André Arbex Hallack Cálculo I Notas de aulas André Arbex Hallack Julho/007 Índice 0 Preliminares 0. Números reais.................................... 0. Relação de ordem em IR.............................. 3 0.3 Valor absoluto....................................

Leia mais

USO DE CURVAS EXPONENCIAIS-LOGARÍTMICAS PARA A SUAVIZAÇÃO E CORREÇÃO DE IRREGULARIDADES NA CURVATURA DE DUTOS DE COMPRESSORES AXIAIS

USO DE CURVAS EXPONENCIAIS-LOGARÍTMICAS PARA A SUAVIZAÇÃO E CORREÇÃO DE IRREGULARIDADES NA CURVATURA DE DUTOS DE COMPRESSORES AXIAIS Anais do 12 O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA XII ENCITA / 2006 Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos SP Brasil Outubro 16 a 19 2006 USO DE CURVAS EXPONENCIAIS-LOGARÍTMICAS

Leia mais

PLANEJAMENTO ANUAL 2014

PLANEJAMENTO ANUAL 2014 PLANEJAMENTO ANUAL 2014 Disciplina: MATEMÁTICA Período: Anual Professor: AMPARO MAGUILLA RODRIGUEZ Série e segmento: 1º ENSINO MÉDIO 1º TRIMESTRE 2º TRIMESTRE 3º TRIMESTRE Objetivo Geral * Desenvolver

Leia mais

Unidade 4: Planilhas eletrônicas

Unidade 4: Planilhas eletrônicas Unidade 4: Planilhas eletrônicas 4.3. Primeiros passos No programa BrOffice.org Calc as células podem assumir diferentes categorias (formatos). Para ilustrar melhor, recomendamos que o usuário selecione

Leia mais

Teoria dos Números. A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto

Teoria dos Números. A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto Teoria dos Números 1 Noções Básicas A Teoria dos Números é a área da matemática que lida com os números inteiros, isto é, com o conjunto Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4...}. Ela permite resolver de

Leia mais

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1998/99. Erros

Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1998/99. Erros Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Numérica 1998/99 Erros Objectivos: Arredondar um número para n dígitos significativos. Determinar os erros máximos absoluto e relativo

Leia mais

Plano de Trabalho Docente 2015. Ensino Médio

Plano de Trabalho Docente 2015. Ensino Médio Plano de Trabalho Docente 2015 Ensino Médio Etec Etec: PAULINO BOTELHO Código: 091 Município: SÃO CARLOS Área de conhecimento: :CIENCIAS DA NATUREZA, MATEMATICA E SUAS TECNOLOGIAS Componente Curricular:

Leia mais

MANUAL PARA UTILIZAÇÃO DO MOODLE FACULDADE INTERAÇÃO AMERICANA VIRTUAL - Versão: Aluno

MANUAL PARA UTILIZAÇÃO DO MOODLE FACULDADE INTERAÇÃO AMERICANA VIRTUAL - Versão: Aluno 1 MANUAL PARA UTILIZAÇÃO DO MOODLE FACULDADE INTERAÇÃO AMERICANA VIRTUAL - Versão: Aluno Acessando o sistema 1- Para acessar a Faculdade Interação Americana Virtual digite o seguinte endereço: http://ead.fia.edu.br/

Leia mais

TUTORIAL. Dúvidas? Entre em contato com edunp@unp.br

TUTORIAL. Dúvidas? Entre em contato com edunp@unp.br TUTORIAL MENU (clique sobre uma das opções) 1. CADASTRO DE LEITORES/AUTORES/AVALIADORES 2. SUBMISSÃO DE TEXTO 3. REENVIO DE TEXTO NA AVALIAÇÃO 4. REENVIO DE TEXTO NA EDIÇÃO Dúvidas? Entre em contato com

Leia mais

Qual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo?

Qual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo? Qual é Mesmo a Definição de Polígono Convexo? Elon Lages Lima IMPA, Rio de Janeiro Quando pensamos num polígono convexo, imaginamos seus vértices todos apontando para fora, ou seja, que ele não possui

Leia mais

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos

Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos Funções Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne

Leia mais

Introdução ao Moodle. Ambiente de Aprendizagem. (Módulo 2)

Introdução ao Moodle. Ambiente de Aprendizagem. (Módulo 2) Introdução ao Moodle Ambiente de Aprendizagem (Módulo 2) BRASÍLIA AGOSTO -2004 Introdução ao Moodle Ambiente de Aprendizagem Módulo 2 Athail Rangel Pulino Filho Departamento de Engenharia Civil e Ambiental

Leia mais

Breve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204

Breve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Breve referência à Teoria de Anéis Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Anéis Há muitos conjuntos, como é o caso dos inteiros, dos inteiros módulo n ou dos números reais, que consideramos

Leia mais

b : nas representações gráficas de funções do tipo

b : nas representações gráficas de funções do tipo do as suas escolhas a partir daí. Nesta situação, tendem a identificar as assímptotas verticais, as assímptotas horizontais e a associar as representações analítica e gráfica que têm estas características

Leia mais

Plano de Aula MATEMÁTICA. Linhas e retas

Plano de Aula MATEMÁTICA. Linhas e retas Plano de Aula MATEMÁTICA Linhas e retas Linhas e retas. 14 p.; il. (Série Plano de Aula; Matemá ca) 1. Ensino Fundamental Matemá ca 2. Espaço e Forma 3. Educação Presencial I. Título II. Série CDU: 373.3:51

Leia mais

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO

Lógica Matemática e Computacional 5 FUNÇÃO 5 FUNÇÃO 5.1 Introdução O conceito de função fundamenta o tratamento científico de problemas porque descreve e formaliza a relação estabelecida entre as grandezas que o integram. O rigor da linguagem e

Leia mais

1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1.

1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1. 2.1 Domínio e Imagem EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 1.1 1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 3 (e) g (x) 2x

Leia mais

Plano de Trabalho Docente 2015. Ensino Médio

Plano de Trabalho Docente 2015. Ensino Médio Plano de Trabalho Docente 2015 Ensino Médio Etec Etec: PAULINO BOTELHO Código: 091 Município: SÃO CARLOS Área de conhecimento: :CIENCIAS DA NATUREZA, MATEMATICA E SUAS TECNOLOGIAS Componente Curricular:

Leia mais

FUVEST VESTIBULAR 2005 FASE II RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.

FUVEST VESTIBULAR 2005 FASE II RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. FUVEST VESTIBULAR 00 FASE II PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. Q 0. Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$9, 00, e unidades do produto B, pagando R$8,00. Sabendo-se

Leia mais

O Teorema da Função Inversa e da Função Implícita

O Teorema da Função Inversa e da Função Implícita Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit O Teorema da Função Inversa

Leia mais

Séries de Potências de x

Séries de Potências de x Séries de Potências de x As séries de potências de x são uma generalização da noção de polinómio. Definição: Chama-se série de potências de x com coeficientes a 0, a 1,, a n,, a qualquer série da forma

Leia mais

Manual - Gemelo Backup Online WEB

Manual - Gemelo Backup Online WEB Manual - Gemelo Backup Online WEB É um disco virtual que permite acessar seus dados de qualquer lugar através da Internet. Acesso A Gemelo Storage Solutions e enviará um e-mail confirmando que você é usuário

Leia mais

Função Logarítmica Função Exponencial

Função Logarítmica Função Exponencial ROTEIRO DE ESTUDO MATEMÁTICA 2014 Aluno (a): nº 1ª Série Turma: Data: /10/2014. 3ª Etapa Professor: WELLINGTON SCHÜHLI DE CARVALHO Caro aluno, O objetivo desse roteiro é orientá-lo em relação aos conteúdos

Leia mais

APLICAÇÕES DA DERIVADA

APLICAÇÕES DA DERIVADA Notas de Aula: Aplicações das Derivadas APLICAÇÕES DA DERIVADA Vimos, na seção anterior, que a derivada de uma função pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico. Nesta,

Leia mais

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em

Leia mais

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea

2 A Derivada. 2.1 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 2 O objetivo geral desse curso de Cálculo será o de estudar dois conceitos básicos: a Derivada e a Integral. No decorrer do curso esses dois conceitos, embora motivados de formas distintas, serão por mais

Leia mais

Tipos de variáveis aleatórias

Tipos de variáveis aleatórias Tipos de variáveis aleatórias Variáveis aleatórias discretas se assumem um conjunto finito ou infinito numerável de valores. Exemplos: número de pintas que sai no lançamento de um dado; registo, a intervalos

Leia mais

PLANO DE CURSO. Código: MAR 33 Carga Horária: 40 Créditos: 02 Pré-requisito(s): - Período: IV Ano: 2015.2

PLANO DE CURSO. Código: MAR 33 Carga Horária: 40 Créditos: 02 Pré-requisito(s): - Período: IV Ano: 2015.2 PLANO DE CURSO 1. DADOS DE IDENTIFICAÇÃO Curso: Bacharelado em Administração Disciplina: Pesquisa de Marketing Professor: Daiany Macieira Varjão e-mail: daianymv@gmail.com Código: MAR 33 Carga Horária:

Leia mais

Matemática Financeira II

Matemática Financeira II Módulo 3 Unidade 28 Matemática Financeira II Para início de conversa... Notícias como essas são encontradas em jornais com bastante frequência atualmente. Essas situações de aumentos e outras como financiamentos

Leia mais

PROVA BRASIL NO VISUAL CLASS

PROVA BRASIL NO VISUAL CLASS PROVA BRASIL NO VISUAL CLASS A Caltech Informática desenvolveu 2 soluções alternativas para simulação da Prova Brasil utilizando o Software de Autoria Visual Class: A) Utilizando o pacote Visual Class

Leia mais

< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação

< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação . Isolar os zeros da função f ( )= 9 +. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( ) e analisar os sinais: 0 f ( ) + + + + + Como f ( ) f ( ) < 0, f ( 0 ) f ( ) < 0 e f ( ) f ( ) < 0,

Leia mais

José Álvaro Tadeu Ferreira

José Álvaro Tadeu Ferreira UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO Instituto de Ciências Exatas e Biológicas Departamento de Computação José Álvaro Tadeu Ferreira Cálculo Numérico Notas de aulas Resolução de Equações Não Lineares Ouro

Leia mais

Miguel Abreu. Encontro Nacional do Programa Gulbenkian Novos Talentos em Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 7-8.Setembro.

Miguel Abreu. Encontro Nacional do Programa Gulbenkian Novos Talentos em Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 7-8.Setembro. Centro de Análise Matemática, Geometria e Sistemas Dinâmicos Instituto Superior Técnico Encontro Nacional do Programa Gulbenkian Novos Talentos em Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 7-8.Setembro.27

Leia mais

CURSO DE EXTENSÃO A DISTÂNCIA SECADI/UFC AULA 02: EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA TÓPICO 03: CARACTERÍSTICAS DO ENSINO A DISTÂNCIA VERSÃO TEXTUAL Antes de iniciar este curso, você deve ter refletido bastante sobre

Leia mais

Plano de Trabalho Docente 2013. Ensino Médio

Plano de Trabalho Docente 2013. Ensino Médio Plano de Trabalho Docente 2013 Ensino Médio Etec PAULINO BOTELHO Código: 091 Município: : SÃO CARLOS Área de conhecimento:ciencias DA NATUREZA, MATEMATICA E SUAS TECNOLOGIAS Componente Curricular: : MATEMATICA

Leia mais

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos

4.1 Funções de varias variáveis - Definição e exemplos Capítulo 4 Funções de duas variáveis 4.1 Funções de varias variáveis - Definição e eemplos Definição 1: Chamamos de função real com n variáveis a uma função do tipo f : D R com D R n = R R. Ou seja, uma

Leia mais

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO. Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho. Departamento de Ciências Experimentais

AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO. Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho. Departamento de Ciências Experimentais AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO Escola Básica e Secundária Dr. Vieira de Carvalho Departamento de Ciências Experimentais Planificação Anual de Matemática A 10º ano Ano Letivo 2015/2016 TEMA

Leia mais

TUTORIAL DE ACESSO AO AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM AVA

TUTORIAL DE ACESSO AO AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM AVA TUTORIAL DE ACESSO AO AMBIENTE VIRTUAL DE APRENDIZAGEM AVA 1 O acesso a plataforma educacional do colégio kadima deverá ser feito através do endereço: http://edunote.com.br/kadima/ 2 Na tela que segue,

Leia mais

INTRODUÇÃO A ECONOMIA AULA 01 : CONCEITOS BÁSICOS TÓPICO 01: FUNDAMENTOS DE ECONOMIA MULTIMÍDIA Ligue o som do seu computador! OBS.: Alguns recursos de multimídia utilizados em nossas aulas, como vídeos

Leia mais

Trabalhando Matemática: percepções contemporâneas

Trabalhando Matemática: percepções contemporâneas CONSTRUINDO CONCEITOS SOBRE FAMÍLIA DE FUNÇÕES POLINOMIAL DO 1º GRAU COM USO DO WINPLOT Tecnologias da Informação e Comunicação e Educação Matemática (TICEM) GT 06 MARCOS ANTONIO HELENO DUARTE Secretaria

Leia mais

A ideia de coordenatização (2/2)

A ideia de coordenatização (2/2) 8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) 8-1 Instituto Superior Técnico 2010/11 1 o semestre Álgebra Linear 1 o ano das Lics. em Engenharia Informática e de Computadores A ideia de coordenatização

Leia mais

www.portalfuturum.com.br

www.portalfuturum.com.br www.portalfuturum.com.br GEOGRAFIA Solos GUIA RÁPIDO DO AMBIENTE DE FORMAÇÃO DO PORTAL FUTURUM Prezado(a) cursista, Bem-vindo(a) ao Ambiente de Formação do Portal Futurum (AFPF)!!! A proposta deste material

Leia mais

2ª fase. 19 de Julho de 2010

2ª fase. 19 de Julho de 2010 Proposta de resolução da Prova de Matemática A (código 635) ª fase 19 de Julho de 010 Grupo I 1. Como só existem bolas de dois tipos na caixa e a probabilidade de sair bola azul é 1, existem tantas bolas

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum

Leia mais

Teorema de Pitágoras. Módulo 1 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e Suas Tecnologias Matemática 1

Teorema de Pitágoras. Módulo 1 Unidade 10. Para início de conversa... Matemática e Suas Tecnologias Matemática 1 Módulo 1 Unidade 10 Teorema de Pitágoras Para início de conversa... Certamente, você já deve ter ouvido falar no Teorema de Pitágoras. Pois bem, nesta unidade, ele será o centro das atenções, mas vamos

Leia mais

TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos

TEORIA DOS CONJUNTOS Símbolos 1 MATERIAL DE APOIO MATEMÁTICA Turmas 1º AS e 1º PD Profº Carlos Roberto da Silva A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos como, também para auxiliar

Leia mais

MATEMÁTICA FINANCEIRA E ANÁLISE DE INVESTIMENTO AULA 02: CAPITALIZAÇÃO, DESCONTO E FLUXO DE CAIXA TÓPICO 03: FLUXO DE CAIXA (UNIFORME E IRREGULAR) FLUXO DE CAIXA Denomina-se fluxo de caixa, a sequência

Leia mais

Vestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br. Cinemática escalar

Vestibular1 A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora! www.vestibular1.com.br. Cinemática escalar Cinemática escalar A cinemática escalar considera apenas o aspecto escalar das grandezas físicas envolvidas. Ex. A grandeza física velocidade não pode ser definida apenas por seu valor numérico e por sua

Leia mais

CONCEITUANDO RECEITA TOTAL, RECEITA MÉDIA E RECEITA MARGINAL

CONCEITUANDO RECEITA TOTAL, RECEITA MÉDIA E RECEITA MARGINAL ECONOMIA MICRO E MACRO AULA 03: A ELASTICIDADE E SUAS APLICAÇÕES TÓPICO 03: APLICAÇÕES DOS CONCEITOS DE ELASTICIDADE CONCEITUANDO RECEITA TOTAL, RECEITA MÉDIA E RECEITA MARGINAL A receita total ( ) é obtida

Leia mais

Capítulo 2. Funções complexas. 2.1. Introdução

Capítulo 2. Funções complexas. 2.1. Introdução Capítulo Funções complexas 1 Introdução Neste capítulo consideram-se vários exemplos de funções complexas e ilustram-se formas de representação geométrica destas funções que contribuem para a apreensão

Leia mais

Manual de Postagem dos Estudos Disciplinares

Manual de Postagem dos Estudos Disciplinares Manual de Postagem dos Estudos Disciplinares Manual de Postagem dos Estudos Disciplinares Para realizar a entrega do Trabalho em Grupo (TG), digite em seu navegador o seguinte endereço: http://trabalhosacademicos.unip.br/entrega

Leia mais

CONCURSO PÚBLICO SERVIÇO AUTÔNOMO MUNICIPAL DE ÁGUA E ESGOTO SAMAE PARECER DA BANCA EXAMINADORA

CONCURSO PÚBLICO SERVIÇO AUTÔNOMO MUNICIPAL DE ÁGUA E ESGOTO SAMAE PARECER DA BANCA EXAMINADORA CONCURSO PÚBLICO SERVIÇO AUTÔNOMO MUNICIPAL DE ÁGUA E ESGOTO SAMAE PARECER DA BANCA EXAMINADORA CARGO: TÉCNICO NA ÁREA DE MECATRÔNICA TEXTO Ecossistemas de água doce A água doce é assim chamada porque

Leia mais

NO ESTUDO DE FUNÇÕES

NO ESTUDO DE FUNÇÕES 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA SEMANA DA MATEMÁTICA 2014 UTILIZAÇÃO DE SOFTWARES GRÁFICOS NO ESTUDO DE FUNÇÕES PIBID MATEMÁTICA 2009 CURITIBA

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

MANUAL DO MOODLE VISÃO DO ALUNO

MANUAL DO MOODLE VISÃO DO ALUNO MANUAL DO MOODLE VISÃO DO ALUNO Desenvolvido por: Patricia Mariotto Mozzaquatro SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO....03 2 O AMBIENTE MOODLE......03 2.1 Quais as caixas de utilidade que posso adicionar?...04 2.1.1 Caixa

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ DISCIPLINA PRISE/PROSEL - 1ª ETAPA

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ DISCIPLINA PRISE/PROSEL - 1ª ETAPA UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ DISCIPLINA PRISE/PROSEL - 1ª ETAPA Competência Geral para a Matemática no Ensino Médio: Reconhecer, Interpretar e utilizar as informações matemáticas selecionadas a partir

Leia mais

UMA NOVA PROPOSTA PARA GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO MÉDIO

UMA NOVA PROPOSTA PARA GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO MÉDIO UMA NOVA PROPOSTA PARA GEOMETRIA ANALÍTICA NO ENSINO MÉDIO DANIELLA ASSEMANY DA GUIA CAp- UFRJ danyprof@bol.com.br 1.1. RESUMO Esta comunicação científica tem como objetivo tratar e apresentar a Geometria

Leia mais

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas 2 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas Sumário 1 Transformação de Matrizes.............. 3 1.1

Leia mais

Guia de Estudo de Análise Real

Guia de Estudo de Análise Real Guia de Estudo de Análise Real Marco Cabral Baseado na V2.4 Dezembro de 2011 Introdução O objetivo deste texto é orientar o estudo da aluna(o) em análise real. Ele é baseado no livro Curso de Análise Real

Leia mais

Backup (cópia de segurança) e restauração de informações no

Backup (cópia de segurança) e restauração de informações no Backup (cópia de segurança) e restauração de informações no Pag.2 Backup (cópia de segurança) Após acessar a Intranet da Unimep, para abrir o Ambiente Virtual de Aprendizagem-Moodle, clique sobre seu link

Leia mais

MANUAL DO ADVOGADO. Elaborado por: Roberta Rodrigues Seneda. Corrigido por: Wanderley Andrade

MANUAL DO ADVOGADO. Elaborado por: Roberta Rodrigues Seneda. Corrigido por: Wanderley Andrade MANUAL DO ADVOGADO Elaborado por: Roberta Rodrigues Seneda Corrigido por: Wanderley Andrade DAPI Departamento de Aprimoramento da Primeira Instância. Março/2010 Atualizado pelo Tribunal de Justiça do Estado

Leia mais