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1 MATEMÁTICA I AULA 03: LIMITES DE FUNÇÃO, CÁLCULO DE LIMITES E CONTINUIDADES TÓPICO 03: CONTINUIDADES Este tópico trata dos conceitos de continuidade de funções num valor e num intervalo, a compreensão de tais conceitos não apresenta nenhuma dificuldade para o estudante que tenha assimilado a noção intuitiva de limite. A parte teórica é finalizada com o teorema do valor intermediário, trata-se de um importante resultado que será usado no tópico da aula 08 e no próximo módulo que dá continuidade a este, seu enunciado neste estágio deve-se ao fato de ser necessário apenas o conceito de continuidade na formulação de suas hipóteses; entretanto, encontram-se nos exercícios 40 a 46 do exercitando deste tópico, algumas aplicações desse teorema. Para um determinado grupo de funções é possível estabelecer o limite em relação a um valor, sem que a função esteja definida no valor; ou ainda, mesmo sendo definida no valor e podendo estabelecer o limite, tal limite não coincida com a imagem da função no valor. Exemplo Se, então sendo então assim Uma função f é contínua num valor c do seu domínio, se o limite de f (x) quando existe e é igual ao valor de f em c, isto é, se Exemplo Resolvido 1 Verificar que a função dada é contínua no valor indicado (a) Como tem-se Logo a função f é contínua em c = 0. (b) Sendo, além disso como

2 obtém-se. Logo g é contínua em c = 1. Exemplo Proposto 1 Mostrar que a função dada é contínua no valor indicado: Exemplo Resolvido 2 Mostrar que as funções seno e co-seno são contínuas em zero. No exemplo resolvido 6 do tópico 2 desta aula, foi provado que logo, pela definição, isto mostra que as funções seno e co-seno são contínuas em zero. Provar que as funções seno e co-seno são contínuas em qualquer número real c. Sugestão. Veja o exemplo proposto 6 - Clique aqui para abrir do tópico 2 desta aula. Exemplo Proposto 6. Provar que: Sugestão: fazer x - c = t; Se uma função f não é contínua num valor c do seu domínio, diz-se que f é descontínua em c. Geometricamente, para que uma função f seja contínua num valor c, o gráfico de f não deve apresentar interrupção em c. Nas figuras seguintes, estão ilustrados os gráficos de algumas funções, que apresentam algum tipo de interrupção relativa a um valor c, por serem descontínuas em c.

3 Decorrente da definição de continuidade num valor e do teorema 2 do tópico 2 desta aula, tem-se o seguinte teorema. TEOREMA 1 Se f e g são funções contínuas num valor c, então: contínuas em c, e é contínua em c se. e fg são Com aplicações sucessivas deste teorema e baseando-se que as funções constante e identidade são contínuas em qualquer valor, tem-se os seguintes corolários. Corolário 1. Uma função polinomial é contínua em qualquer número real. Corolário 2. Uma função racional é contínua em qualquer número real em que ela esteja definida. Por exemplo: a função é contínua em qualquer número real, pois ela é uma função polinomial; já a função é contínua em qualquer número real exceto 1, pois ela é uma função racional e não está definida somente em 1. Quanto à composição de funções, tem-se o teorema seguinte, cuja demonstração será feita no texto complementar deste tópico e que será indicado no final deste tópico. TEOREMA 2 Sejam e f contínua em a, então Do teorema 2, segue-se o seguinte resultado. Corolário. Sejam g contínua em c e f contínua em g(c), então fog é contínua em c. DEMONSTRAÇÃO Como g é contínua em c, em g(c) pelo teorema 2, logo, como f é contínua

4 Sejam f uma função e c um valor no domínio de f, diz-se que f é: (a) contínua à esquerda de c, se (b) contínua à direita de c, se Uma função f é dita: (a) contínua num intervalo aberto I, se f é contínua em todos os valores de I; (b) contínua num intervalo semifechado à esquerda [a,b) (ou [a, + ) ), se f é contínua à direita de a e no intervalo aberto (a,b) (ou (a, + ) ); (c) contínua num intervalo semifechado à direita (a,b] (ou(-, b) ), se f é contínua à esquerda de b e no intervalo aberto (a, b) (ou (-, b) ); (d) contínua num intervalo fechado [a, b], se f é contínua em (a, b), além disso, é contínua à direita de a e à esquerda de b. Exemplo Resolvido 3 Determinar os maiores intervalos em que é contínua a função Para que f seja contínua num valor c, é necessário que c esteja no domínio de f, daí c 2-1 > 0 ou seja, c < -1 ou c > 1 Por outro lado, se c < -1 ou c > 1 tem-se Logo f é contínua em todo valor c menor do que -1 ou maior do que 1, isto é, f é contínua nos intervalos Exemplo Proposto 3 Mostrar que [-1,1] é o maior intervalo em que é contínua a função O gráfico de uma função contínua num intervalo não apresenta interrupção em sua extensão, essa noção geométrica sobre continuidade pode ser justificada pelo teorema seguinte. Teorema (Sejam f uma função contínua num intervalo I, a e b valores em I. Então, dado qualquer valor r entre f(a) e f(b), existe pelo menos um valor c em (a,b) tal que f(c)= r.) (do Valor Intermediário) 3. Sejam f uma função contínua num intervalo I, a e b valores em I. Então, dado qualquer valor r entre f(a) e f(b), existe pelo menos um valor c em (a,b) tal que f(c)= r. LEITURA COMPLEMENTAR

5 O texto "Continuidades com e, trata da segunda etapa do estudo de continuidades, fazendo uma abordagem rigorosa do tema. Não exigiremos nenhum conhecimento deste assunto neste módulo, mas é sugestivo uma leitura atenciosa. Para acessar o conteúdo, consulte a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo ContinuidadesComEpsilonEDelta.doc ou clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.). ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá à seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo "Exercitando(Aula03_Top3).doc" para baixar o exercitando ou clique aqui para abrir (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.). Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. O exercício 32 é a quinta questão do trabalho desta aula que deverá postado no Portifólio Individual do ambiente Solar. É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio, no período indicado na Agenda do ambiente Solar, num único documento de texto (doc ou docx) ou manuscrito e escaneado. FONTES DAS IMAGENS Responsável:Prof. José Othon Dantas Lopes Universidade Federal do Ceará - Instituto UFC Virtual

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