Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5
|
|
- Helena de Figueiredo Figueiredo
- 6 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva imagem, (, aproima-se do valor 5. Deinição: Diz-se que eiste e que ( L L IR é o ite de ( quando tende para a e escreve-se quando e só quando ε > δ > : < a < δ ( L < ε Epliquemos o que quer dizer, em linguagem corrente, a última órmula. Diz-se que o ( é L se para qualquer intervalo centrado em L do tipo ] ε L ε[ ordenadas, L, (relativamente às 98
2 Capítulo III: Limite de Funções 99 eiste pelo menos um intervalo da orma ] a δ, a δ [ \ { a} ponto pertence ao intervalo ] ε L ε[ L,., onde a imagem de qualquer Nota: De acordo com a deinição, só tem sentido calcular ( se a unção está deinida numa vizinhança de a, isto é, ou imediatamente antes de a (se eiste δ > tal que ] a,a[ D δ ou imediatamente depois de a (se eiste δ > tal que ] a,a [ D δ. Por eemplo, não az sentido calcular ln( sentido calcular ln( pois ( ], [, mas tem D ln pois qualquer valor à direita de pertence D ln(. De acordo com a deinição de ite, para calcular ( não interessa o que se passa em a (pode até acontecer que a D, o que importa é o que se passa imediatamente antes e depois de a.
3 Capítulo III: Limite de Funções Eemplos: ( 5 e ( ( e ( não eiste. Propriedades dos Limites Muitas unções do cálculo podem ser obtidas como somas, dierenças, produtos, quocientes e potências de unções simples. Vamos enunciar algumas propriedades, que resultam da própria deinição de ite, e podem ser usadas para simpliicar o cálculo do ite de unções menos simples. Teorema (Unicidade de Limite Seja uma unção deinida numa vizinhança de a. O ite de em a, quando eiste, é único. Teorema (Propriedades algébricas dos ites Sejam e g duas unções deinidas numa vizinhança de a IR tais que ( l IR e m IR, e seja c uma constante. Então
4 Capítulo III: Limite de Funções a. ( ( l m b. ( ( lm c. ( c ( c ( cl n n ( l n d. ( ( ( g e. ( g ( l ( m, n IN, se m. ( (, ( ( l se n par Teorema Se ( e g é uma unção itada numa vizinhança de a ( a, então (. No teorema anterior a condição g é uma unção itada numa vizinhança de ( a quer dizer que eiste uma constante C tal que vizinhança de a e a. C em todo o ponto que está numa Eemplos: sen porque a unção sen é itada e ; n n ( porque a unção ( ( n é itada CD {, } ( n e. Teorema (Encaie de ites Sejam, g e h unções tais que ( h(, se ( L h( então L ( a para todo numa vizinhança de a.
5 Capítulo III: Limite de Funções Eemplo: sen? sen sen ( sen ( como então as desigualdades são preservadas Como (, o teorema airma que sen.. Limites Laterais Seja a unção abaio representada Diz-se que 4 é o ite à esquerda de no ponto e denota-se por ( 4. Isto signiica, que quando se aproima de por valores ineriores, a respectiva imagem, (, aproima-se de 4. (ver igura
6 Capítulo III: Limite de Funções Formalmente, diz-se que o ( L se para qualquer intervalo centrado em L do tipo ] ε L ε[ ordenadas, eiste pelo menos um intervalo da orma ] a δ, a[ pertence ao intervalo ] ε L ε[ L,. L, (relativamente às, onde a imagem de qualquer ponto Analogamente, diz-se que é o ite à direita de no ponto e denota-se por ( respectiva imagem, (. Isto signiica, que quando se aproima de por valores superiores, a, aproima-se de. (ver igura Formalmente, diz-se que o ( L se para qualquer intervalo centrado em L do tipo ] ε L ε[ ordenadas, L, (relativamente às eiste pelo menos um intervalo da orma ] a, a δ [, onde a imagem de qualquer ponto pertence ao intervalo ] ε L ε[ L,. Utilizando os conceitos de ite à direita e ite à esquerda, podemos dar uma nova deinição de ite: Deinição: Seja uma unção deinida numa vizinhança de Dado um número real L, diz-se que ( L laterais, isto é, a, à direita e à esquerda. se é só se eistem e são iguais os ites
7 Capítulo III: Limite de Funções 4 ( L quando e só quando ( ( L Nota: Se os ites laterais num ponto são dierentes, então não eiste ite nesse ponto. Por eemplo, a unção anterior não tem ite no ponto, pois ( ( 4. No caso em que é uma unção deinida num intervalo, por eemplo do tipo [ a,b], diz-se que ( L se, e somente se, L ( Por eemplo: ( ( 5 (notar que neste caso, epressão ( deinida para valores ineriores a não az sentido porque a unção não está.4 Limites Ininitos. Limites no ininito. Epressões Indeterminadas Por vezes quando calculámos o ite de uma unção num ponto a acontece que à medida que nos aproimámos de a as imagens tomam valores muito grandes (em valor absoluto, tão grandes que é impossível quantiicá-los com um número utilizámos o símbolo que se designa por ininito. L IR. Para eprimir essa situação
8 Capítulo III: Limite de Funções 5 Eemplo:? Consideremos o gráico da unção deinida por ( Veriica-se que: y y Podemos, então, escrever Formalmente, temos que ( quando e só quando ] a δ, a [ \ { a ( M M > δ > tal que δ } > De orma análoga deine-se ( e (.
9 Capítulo III: Limite de Funções 6 Nota: Se ( então não é itada. Se ( então numa vizinhança de globalmente nada se pode concluir. a a unção é itada, no entanto, Limites no ininito Por vezes, quando o domínio de uma unção é iitado, importa saber o que acontece às imagens quando nos aproimámos dos etremos do domínio. Eemplo: Seja ( e cuja representação gráica é: Quando toma valores muito grandes, toma valores cada vez mais próimos de. Simbolicamente esta situação traduz-se por (. Formalmente, dado L IR, temos que ( L quando e só quando ( ] L ε L ε[ ε > M > tal que para todo > M, De modo análogo, deine-se ( L
10 Capítulo III: Limite de Funções 7 Por outro lado, quando toma valores muito grandes negativos, toma valores cada vez maiores. Eprime-se esta situação por (. Formalmente temos que ( quando e só quando ( M M > N > tal que para todo < N >. De modo semelhante deine-se (, (, (. Eemplo: Seja ( cuja representação gráica é: Quando toma valores muito grandes ou muito grandes negativos, toma valores cada vez mais próimos de. Simbolicamente esta situação traduz-se por. ± Observação: Todas as propriedades estudadas para o cálculo de ites no sub-capítulo., são válidas para ites laterais ( a a e, ites no ininito ( a e ainda para ites ininitos.
11 Capítulo III: Limite de Funções 8 Epressões indeterminadas Resulta das propriedades da aritmética dos ites que o ite de um polinómio ou de uma unção racional, quando tende para a, pode ser calculado substituindo por a. Eemplos: ( 7 ( ( ( 4 4 ( ( Contudo, aplicando directamente as propriedades da aritmética dos ites podemos ser conduzidos aos símbolos,,,, que se chamam símbolos de indeterminação, e quando tal acontece nada se pode concluir sem um estudo mais aproundado do ite em causa.. Indeterminação Mais geralmente: Sejam p ( e ( e m m q dois polinómios. Se a é o monómio de maior grau de p ( n n b é o monómio de maior grau de ( q temos que: p q n ( an ( m bm a b n m se se se n > m n m n < m
12 Capítulo III: Limite de Funções 9 Nota: Note que o que caracteriza uma indeterminação é precisamente o acto de perante o mesmo símbolo (neste caso sermos conduzidos a resultados distintos como se vê em cima.. Indeterminação ( ( ( ( ( ( (. Indeterminação 4? Aplicando directamente as regra para o quociente de ites somos conduzidos a o que mostra que anula o numerador e o denominador. Então o numerador e o denominador são divisíveis por. Aplicando a regra de Ruini, temos que: 4 ( ( ( ( 4. Indeterminação ( Segue-se uma tabela com a álgebra dos ites.
13 Capítulo III: Limite de Funções ( g ( ( ( ( ( ( ( (? indeterminação k ( ( k k ( ( k ( (. ( (. ( (. (. ( (. ( (. ( k > ( (.. k k < ( (.. k ± ( (. ±.? indeterminação k ± k > k > ± ( ( / k / ± ± ( ( / ( ( / ± / ±? indeterminação k / ( ( / / ( ( / k / ( ( / / ( ( / /? indeterminação
14 Capítulo III: Limite de Funções.5 Eercícios. Considere a unção deinida por (. Sabendo que a π ( e arctg 4 b (, qual das airmações seguintes é verdadeira: a. a e b b. a e b c. a e b d. a e b π. Seja : IR IR a unção deinida por seguintes é verdadeira: e ( e se se <. Qual das airmações a. ( ( b. ( ( c. não eiste ( d. não eiste (. Seja : IR IR a unção deinida por b (, qual das airmações seguintes é verdadeira: ( e. Sabendo que a ( e a. a e b b. a e b c. a e b d. a e b 4. Seja (,. Calcule: 7, > a. ( d. ( 5 b. ( e. ( 5 c. (. ( 5 5. Na igura está representada parte do gráico de uma unção, de domínio IR.
15 Capítulo III: Limite de Funções Qual das seguintes airmações é verdadeira? a. ( (4 4 b. ( (4 4 c. ( (4 4 d. ( (4 4 e ( (4 4 e ( (4 4 e ( (4 4 e ( ( Calcule os seguintes ites: a. t t 4t t ( t ( t 4 lo b. 6 c. 5 7 d. 5 4 e.. e g. j. m. lo h. k. 4 7 sen( tg ( π n. 7 4 i e l. lo 5 o. e 7. Usando o Teorema do Encaie de Limites, calcule os seguintes a.. sen b. cos( 8. Mostre que os seguintes ites não eistem: a. b. e c. sen( 9. Seja uma unção real de variável real, deinida e contínua em, por π e se ( π k arccos se < π Qual o valor do (? a. b. c. d.
Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5
Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva
Leia mais5.7 Aplicações da derivada ao estudo das funções.
Capítulo V: Derivação 0.. 4. 7. tg( ) 0 tg( π ( + + ) sen( ) + ) sen( ) Resolução: cos( ) Repare que não eiste sen( ). + 5. ( e + ) 6. 0 π ( + cos( )) cos( ) sen( ) sen( ) Mas, e como 0, então 0 + + +
Leia mais5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada.
Capítulo V Derivação 5 Noção de derivada Interpretação geométrica de derivada Seja uma unção real de variável real Deinição: Chama-se taa de variação média de uma unção entre os pontos a e b ao quociente:
Leia maisCÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.
CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos
Leia maisLimites: Noção intuitiva e geométrica
Eemplo : f : R {} R, f sen a Gráfico de f b Ampliação do gráfico de f perto da origem Limites: Noção intuitiva e geométrica f Apesar de f não estar definida em, faz sentido questionar o que acontece com
Leia maisAcadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites
Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites 7.1. Noção Intuitiva de ite Considere a função f(), em que f() = 2 + 1. Para valores de que se aproima de 1, por valores maiores que 1 (Direita) e por valores menores
Leia maisResolução dos Exercícios Propostos no Livro
Resolução dos Eercícios Propostos no Livro Eercício : Considere agora uma função f cujo gráfico é dado por y 0 O que ocorre com f() quando se aproima de por valores maiores que? E quando se aproima de
Leia maisSe tanto o numerador como o denominador tendem para valores finitos quando x a, digamos α e β, e β 0, então pela álgebra dos limites sabemos que.
FORMAS INDETERMINADAS E A REGRA DE L HÔPITAL RICARDO MAMEDE Consideremos o ite. Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores initos quando a, digamos α e β, e β, então pela álgebra dos ites
Leia maisNotas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental
Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 3 Limites Considere a função f definida por: Qual o domínio dessa função? Se 1, então f () é dada por: (2 + 3)( 1). 1 2 +
Leia maisLIMITE. Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por =
LIMITE Aparentemente, a idéia de se aproimar o máimo possível de um ponto ou valor, sem nunca alcançá-lo, é algo estranho. Mas, conceitos do tipo ite são usados com bastante freqüência. A produtividade
Leia maisLista de Exercícios 2 1
Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matemática MTM - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Lista de Eercícios Mostre, utilizando a definição formal, que os ites abaio eistem e são iguais ao valor
Leia mais1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016
1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: /08/16 a 6/08/016 1. Matéria dessa semana de acordo com o Plano de ensino oicial: Assíntotas Horizontais e Verticais. Continuidade. Material para estudar: Assíntotas
Leia maisAULA 13 Aproximações Lineares e Diferenciais (página 226)
Belém, de maio de 05 Caro aluno, Nesta nota de aula você aprenderá que pode calcular imagem de qualquer unção dierenciável num ponto próimo de a usando epressão mais simples que a epressão original da.
Leia maisTÓPICOS DE CORRECÇÃO
Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa EXAME E CÁLCULO I Ano Lectivo 007-08 - º Semestre Eame Final de ª Época em de Junho de 008 Duração: horas e 30 minutos É proibido usar máquinas de calcular
Leia maisApostila de Cálculo I
Limites Diz-se que uma variável tende a um número real a se a dierença em módulo de -a tende a zero. ( a ). Escreve-se: a ( tende a a). Eemplo : Se, N,,,4,... quando N aumenta, diminui, tendendo a zero.
Leia maisLimite e continuidade
Limite e continuidade Noção intuitiva de ite Considere a função f qualquer que seja o número real o Eemplo Se f ( ) Esta função está definida para todo R, isto é, f está bem definido, o valor ( ) o então
Leia maisFicha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial (soluções) 2.Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy
Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial soluções).teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Seja f) = 3 e. Então f é contínua e diferenciável em R. Uma vez que f) = +, f0) = conclui-se do Teorema do
Leia mais1 Capítulo 4 Comp m l p e l me m ntos de d Funçõ ç es
Capítulo 4 Complementos de Funções SUMÁRIO Estrutura e cardinalidade em R Topologia Limites e continuidade de unções num ponto pela deinição (vizinhanças Teorema de Bolzano e Teorema de Weierstrass Teorema
Leia maisProfª Cristiane Guedes LIMITE DE UMA FUNÇÃO. Cristianeguedes.pro.br/cefet
LIMITE DE UMA FUNÇÃO Cristineguedes.pro.br/ceet Vizinhnç de um ponto Pr um vlor rbitrrimente pequeno >, vizinhnç de é o conjunto dos vlores de pertencentes o intervlo: - + OBS: d AB = I A B I Limite de
Leia maisVolume de um gás em um pistão
Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Volume de um gás em um pistão Suponha que um gás é mantido a uma temperatura constante em um pistão. À medida que o pistão é comprimido, o volume
Leia maisFUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Introdução Considere os seguintes enunciados: O volume V de um cilindro é dado por V r h onde r é o raio e h é a altura. Um circuito tem cinco resistores. A corrente deste circuito
Leia maisMódulo 1 Limites. 1. Introdução
Módulo 1 Limites 1. Introdução Nesta disciplina você vai estudar o cálculo diferencial e integral e suas aplicações em diversos problemas relacionados à Economia. O conceito de limite é conceito mais básico
Leia maisLIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL
BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL LIMITES DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 06 Universidade Federal do Rio
Leia maisAULA 16 Esboço de curvas (gráfico da função
Belém, 1º de junho de 015 Caro aluno, Seguindo os passos dados você ará o esboço detalhado do gráico de uma unção. Para achar o zero da unção, precisamos de teorias que você estudará na disciplina Cálculo
Leia maislim f ( x) Limites Limites
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1. O ite de uma função
Leia maisExercícios de Revisão de Conceitos Fundamentais
Eercícios de Revisão de Conceitos Fundamentais. Números.. Números inteiros e números raccionários. Operações com números raccionários. Percentagens. ) Escreva as seguintes racções impróprias na orma de
Leia maisCálculo I 3ª Lista de Exercícios Limites
www.cursoeduardochaves.com Cálculo I ª Lista de Eercícios Limites Calcule os ites: a (4 7 +5 b + 5 c ( 5 ++4 d + 5 4 e 5 + 4 + ++ f 6 4 Resp. : a b 0 c /8 d / e 9 5 f Calcule os ites abaio: a 4 b + c +5
Leia maisAula 26 A regra de L Hôpital.
MÓDULO - AULA 6 Aula 6 A regra de L Hôpital Objetivo Usar a derivada para determinar certos ites onde as propriedades básicas de ites, vistas nas aulas 3, 4, e 5, não se aplicam Referência: Aulas 3, 4,
Leia maisNa aula anterior vimos a noção de derivada de uma função. Suponha que uma variável y seja dada como uma função f de uma outra variável x,
Elementos de Cálculo Dierencial Na aula anterior vimos a noção de derivada de uma unção. Supona que uma variável y seja dada como uma unção de uma outra variável, y ( ). Por eemplo, a variável y pode ser
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL. Prof. Rodrigo Carvalho
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL LIMITES Uma noção intuitiva de Limite Considere a unção () = 2 + 3. Quando assume uma ininidade de valores, aproimando cada vez mais de zero, 2 + 3 assume uma ininidade de
Leia maisLimites infinitos e limites no infinito Aula 15
Propriedades dos ites infinitos Limites infinitos e ites no infinito Aula 15 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 03 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014
Leia maisEstudar tendências no comportamento de funções.
Universidade Federal de Alagoas Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Curso de Arquitetura e Urbanismo Disciplina: Fundamentos para a Análise Estrutural Código: AURB006 Turma: A Período Letivo: 2007-2 Proessor:
Leia maisCOMISSÃO DE EXAMES DE ADMISSÃO. Prova de Matemática
COMISSÃO DE EXAMES DE ADMISSÃO Prova de Matemática Ano Acadêmico: 9 Duração : Minutos Curso: Engenharia de Minas. Sejam dados os pontos A ( ; ) e B ( m ; ). Sabendo que a distância entre eles é igual a
Leia maisExercícios orientados para a Prova Escrita de Fundamentos de Matemática Aplicada C Prof. Germán Suazo
Ministério da Educação Universidade Federal de Pelotas Centro de Educação a Distância Curso de Licenciatura em Matemática a Distância Eercícios orientados para a Prova Escrita de Fundamentos de Matemática
Leia maisExercício 1. Exercício 2. Exercício 3. Considere a função f que para valores de x é de nida pela relação f(x) = x(sin /x).
E Eercício 1 Considere a função f que para valores de é denida pela relação f() = (sin /). 1.1 Mostre que a função f é contínua em R\{}. 1.2 Sabendo que f é contínua no ponto = determine o valor de f().
Leia maisNoção intuitiva de limite
Noção intuitiv de ite Qundo se proim de 1, y se proim de 3, isto é: 3 y + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3, 1,05 3,1 1,0 3,04 1,01 3,0 De um modo gerl: Eemplo de um ite básico Qundo tende um vlor determindo, o ite
Leia maisUnidade F. Limites. Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE
9 Unidade F Limites Débora Bastos IFRS CAMPUS RIO GRANDE 9. Noção de ites Quando queremos saber a ordenada do ponto em uma função, cuja lei é y= f(), em que = a, basta calcularmos f(a). O ponto (a,f(a))
Leia maisT. Rolle, Lagrange e Cauchy
T. Rolle, Lagrange e Cauchy EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Mostre que a equação 5 + 5 = 5 tem uma única solução em R. Seja f = 5 +5 5. Então f é contínua e diferenciável em R. Temos f = 5 4 + > 0, em R, logo f
Leia maiscotg ( α ) corresponde ao valor da abcissa do
Capítulo II: Funções Reais de Variável Real 59 Função co-tangente Seja α um ângulo representado no círculo trigonométrico. ( α ) corresponde ao valor da abcissa do ponto que resulta de projectar o lado
Leia mais(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos
LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Eame - Parte I - de Julho de 8 LERC, LEGI, LEE, LEIC-T Número: Nome: valores a) valores b) valores 3 4 valores 4 valores 5 a) 3 valores 5 b) 3 valores 6 valores páginas
Leia maisCapítulo II. Funções reais de variável real. 2.1 Conceitos Básicos sobre Funções. ( x)
Capítulo II Funções reais de variável real. Conceitos Básicos sobre Funções Sejam D e B dois conjuntos. Uma unção deinida em D e tomando valores em B é uma regra que a cada elemento de D az corresponder
Leia maisMATEMÁTICA I LIMITE. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari
MATEMÁTICA I LIMITE Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda@fcav.unesp.br Parte 1 Limites Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função real com uma variável real Teorema da existência
Leia maisAula 3 Propriedades de limites. Limites laterais.
Propriedades de ites. Limites laterais. MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Propriedades de ites. Limites laterais. Objetivos Estudar propriedades elementares de ites, tais como: soma, produto, quociente e confronto.
Leia mais2.1 O problema das áreas - método de exaustão
Capítulo 2 Limite de uma função Podemos afirmar que o conceito de ite é uma das ideias fundamentais do Cálculo Diferencial. Seu processo de construção surge historicamente a partir de problemas geométricos
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I 1 o Sem. 2015/16 - LEAN, LEMat, MEQ FICHA 8
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 05/6 - LEAN, LEMat, MEQ FICHA 8 Regra de Cauchy. Estudo de funções. a. a) b 0 é uma indeterminação do tipo
Leia maisCapítulo 3 Limite de uma função
Departamento de Matemática - ICE - UFJF Disciplina MAT54 - Cálculo Capítulo 3 Limite de uma função Podemos afirmar que o conceito de ite é uma das ideias fundamentais do Cálculo Diferencial. Seu processo
Leia maisMatemática II. Prof. Luiz Gonzaga. Damasceno.
Matemática II Pro. Luiz Gonzaga Damasceno www.damasceno.ino Matemática II E-mails: damasceno1@hotmail.com damasceno1@uol.com.br damasceno104@yahoo.com.br Site: www.damasceno.ino damasceno.ino Matemática
Leia maisAula 11. Considere a função de duas variáveis f(x, y). Escrevemos: lim
Aula 11 Funções de 2 variáveis: Limites e Continuidade Considere a função de duas variáveis f(x, y). Escrevemos: f(x, y) = L (x,y) (a,b) quando temos que, se (x, y) (a, b) então f(x, y) L, isto é, se (x,
Leia maisCálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite
Eercícios de Limite. Eercícios de Fiação Cálculo I (05/) IM UFRJ Lista : Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 30.03.05 Fi.: Considere o gráco de = f() esboçada no gráco
Leia maisLIMITES E CONTINIDADE
MATEMÁTICA I LIMITES E CONTINIDADE Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Parte 2 Limites Infinitos Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função
Leia maisProposta de teste de avaliação
Proposta de teste de avaliação Matemática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: Grupo I Na resposta aos itens deste grupo, selecione a opção correta. Escreva, na olha de respostas, o número
Leia maisUnidade 3. Funções de uma variável
Unidade 3 Funções de uma variável Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de unção. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda.
Leia mais1. Considere a representação gráfica da função f. Determine: 1.1. A variação de f em 2, A variação de f em 0,6.
mata Considere a representação gráica da unção Determine: A variação de em,4 A variação de em 0,6 tmv 0,6 4 Indique um intervalo do domínio onde a taa média de variação é A igura representa um reservatório
Leia mais3 Cálculo Diferencial
Aula 6 26/0/206 (cont.) 3 Cálculo Diferencial Entramos agora num dos tópicos principais desta cadeira: o Cálculo Diferencial. usar derivadas como ferramentas no estudo de funções, em particular, cálculo
Leia maisLIMITES E CONTINUIDADE
LIMITES E CONTINUIDADE Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Leia mais1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL
1 1 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 11 Funções trigonométricas inversas 111 As funções arco-seno e arco-cosseno Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só poderemos definir as suas funções
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Resolução do Eame / Testes de Recuperação I.. (, val.)determine os ites das seguintes sucessões convergentes (i) u n n + n n e n + n, (ii) v n n + π n Resolução: i) A sucessão
Leia maisCálculo diferencial. Motivação - exemplos de aplicações à física
Cálculo diferencial Motivação - eemplos de aplicações à física Considere-se um ponto móvel sobre um eio orientado, cuja posição em relação à origem é dada, em função do tempo, pela função s. st posição
Leia maisUniversidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA
Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Limites Aula 0 208/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática Ideia Intuitiva
Leia mais3.18 EXERCÍCIOS pg. 112
89 8 EXERCÍCIOS pg Investigue continuidde nos pontos indicdos sen, 0 em 0 0, 0 sen 0 0 0 Portnto não é contínu em 0 b em 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Portnto é contínu em 0 8, em, c 8 Portnto, unção é contínu
Leia maisFundamentos de Matem[atica I LIMITES. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques
LIMITES Gil da Costa Marques. O cálculo. Definição de limite. Funções contínuas e descontínuas.4 Limites quando a variável independente cresce indefinidamente em valor absoluto.5 Limites infinitos.6 Limites
Leia maisDerivadas. Capítulo O problema da reta tangente
Capítulo 5 Derivadas Este capítulo é sobre derivada, um conceito fundamental do cálculo que é muito útil em problemas aplicados. Este conceito relaciona-se com o problema de determinar a reta tangente
Leia maisD I F E R E N C I A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 02: Assíntotas
ac C Á L C U L O D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L I 02 Prof. ADRIANO CATTAI Apostila 02: Assíntotas NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática
Leia maisNotas de Aulas 5 - Funções Elementares e Cálculo de Limites - Parte II Prof Carlos A S Soares
Notas de Aulas 5 - Funções Elementares e Cálculo de Limites - Parte II Prof Carlos A S Soares Noção Intuitiva de ites. O Conceito de Limites Através de Gráficos Nesta subseção estaremos apresentando o
Leia maisDisciplina: Cálculo Diferencial e Integral I
Disciplina: Cálculo Dierencial e Integral I Pro. Dr. Frederico de Oliveira Matias Curso de Licenciatura em Matemática UFPBVIRTUAL red@mat.upb.br Curso de Matemática UFPBVIRTUAL Ambiente Virtual de Aprendizagem:
Leia maisCapítulo 5 Derivadas
Departamento de Matemática - ICE - UFJF Disciplina MAT54 - Cálculo Capítulo 5 Derivadas Este capítulo é sobre derivada, um conceito fundamental do cálculo que é muito útil em problemas aplicados. Este
Leia maisTeste de Aferição de Competências
UNIVERSIDADE DE SANTIAGO Departamento de Ciências da Saúde, Ambiente e Tecnologias Teste de Aferição de Competências Matemática Escola Superior de Tecnologias e Gestão Praia Tlf. +38 6 96 50 Fa: +38 6
Leia maisMATEMÁTICA A - 11o Ano
MATEMÁTICA A - 11o Ano Funções racionais Eercícios de eames e testes intermédios 1. Na igura ao lado, está representada, num reerencial o.n., parte da hipérbole que é o gráico de uma unção intersecta o
Leia maisCÁLCULO I. 1 Assíntotas Oblíquas. Objetivos da Aula. Aula n o 19: Grácos.
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 9: Grácos. Objetivos da Aula Denir e determinar as assíntotas oblíquas ao gráco de uma função, Utilizar o Cálculo Diferencial
Leia maisOUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
8 OUTRAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO Gil da Costa Marques 8. Integração por partes 8. Integrais de funções trigonométricas 8.3 Uso de funções trigonométricas 8.4 Integração de Quociente de Polinômios 8.5 Alguns
Leia maisLimites, derivadas e máximos e mínimos
Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,
Leia maisCÁLCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS
Capítulo II CÁLCULO DIFERENCIAL EM CAMPOS ESCALARES E VECTORIAIS Capítulo II Até agora trabalhamos sempre com unções de uma única variável real mas eistem muitas situações nas quais a unção depende de
Leia maismatemática Antes de chegarmos a uma definição precisa deste conceito vamos observar alguns exemplos simples:
Matemática I 1 Limites O conceito de limite é fundamental para o estudo de funções de variável real. Uma das situações em que ele aparece naturalmente é o do estudo do comportamento assintótico de uma
Leia maisConcentração de medicamento no sangue
Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Concentração de medicamento no sangue função Suponha que a concentração de medicamento no sangue de um paciente seja dada pela C(t) = 3t 2t 2
Leia mais1 a data de exame. 17 de Janeiro de 2002 Licenciaturas em Engenharia do Ambiente e Engenharia Aeroespacial. Resolução e alguns comentários
Análise Matemática I a data de eame 7 de Janeiro de 00 Licenciaturas em Engenharia do Ambiente e Engenharia Aeroespacial Resolução e alguns comentários I.. a) Para n N temos a n = log (cos(/n) + ) log
Leia maisCÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 05: Limite e Continuidade
CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 05: Limite e Continuidade Objetivos da Aula Denir ite de funções; Calcular o ite de uma função; Utilizar as propriedades
Leia maisCÁLCULO II Prof. Jerônimo Monteiro
CÁLCULO II Pro. Jerônimo Monteiro Gabarito - Lista Semanal 08 Questão 1. Calcule 2 para (x, y, onde x = r cos θ e y = r sen θ. 2 Solução: Primeiro, calculamos pela regra da cadeia, como segue: = + = (
Leia maiss: damasceno.
Matemática II 6. Pro.: Luiz Gonzaga Damasceno E-mails: damasceno@yahoo.com.br damasceno@interjato.com.br damasceno@hotmail.com http://www.damasceno.ino www.damasceno.ino damasceno.ino - Derivadas Considere
Leia maisCapítulo II. Funções reais de variável real. 2.1 Conceitos Básicos sobre Funções. ( x)
Capítulo II Funções reais de variável real.1 Conceitos Básicos sobre Funções Sejam D e B dois conjuntos. Uma unção deinida em D e tomando valores em B é uma regra que a cada elemento de D az corresponder
Leia maisREVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS
Análise Matemática MIEC /4 REVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS INEQUAÇÕES Uma das propriedades das inequações mais vezes ignorada é a que decorre da multiplicação de ambos os membros por um valor negativo. No
Leia maisLimites. Slides de apoio sobre Limites. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 7 de outubro de 2013
Cálculo 1 ECT1113 Slides de apoio sobre Limites Prof. Ronaldo Carlotto Batista 7 de outubro de 2013 AVISO IMPORTANTE Estes slides foram criados como material de apoio às aulas e não devem ser utilizados
Leia maisUniversidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso
Universidade Federal Fluminense Matemática I Professora Maria Emilia Neves Cardoso Notas de Aula / º semestre de Capítulo : Limite de uma função real O conceito de ite é o ponto de partida para definir
Leia maisLIMITES E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
LIMITES E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO O que estudaremos em: Limites:. Deinição e Notações. Análise de um Limite graicamente. Cálculo de um Limite algebricamente 4. Encontrando Assíntotas através de Limites
Leia maisLimites e Continuidade. Departamento de Matemática
Limites e Continuidade Mariana Dias Júlia Justino Departamento de Matemática Conteúdo Limites. Noção Intuitiva.... Definição... 3.3 PropriedadesdosLimitesFinitos... 5. Limites Laterais... 7.5 Limites Infinitos...
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I - LEIC
INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Departamento de Matemática de Janeiro de Cálculo Diferencial e Integral I - LEIC ō Teste - Versão - Resolução. Indique uma primitiva para a função definida em ], e [ pela epressão
Leia maisCÁLCULO I. 1 Regra de l'hôspital. Objetivos da Aula. Aula n o 14: Regra de L'Hospital. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.
CÁLCULO I Prof Marcos Diniz Prof Edilson Neri Júnior Prof André Almeida Aula n o 4: Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital Regra de l'hôspital A regra de l'hôspital,
Leia maisCálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo
Cálculo I IM UFRJ Lista : Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 7.03.05 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo.
Leia maisInterpolação Polinomial
Cálculo Numérico Interpolação Polinomial Parte I Pro. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univas.edu.br MATERIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG www.dsc.ucg.edu.br/~cnum/ Interpolação
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande do Norte. Métodos Computacionais Marcelo Nogueira
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Métodos Computacionais Marcelo Nogueira Raízes de Equações Algébricas Achar a raiz de uma unção signiica achar um número tal que 0 Algumas unções podem ter suas
Leia maisComecemos por relembrar as propriedades dos limites das sucessões: b n = K e c IR então: lim. lim
.. Limites e Continuidade... Limites em IN Comecemos por relembrar as propriedades dos ites das sucessões: Propriedades dos Limites das Sucessões: Sejam n a n = L e n b n = K e c IR então: n [a n ± b n
Leia maisLimites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real
Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real Carla Montorfano João César Guirado João Roberto Gerônimo Jorge Ferreira Lacerda Rui Marcos de Oliveira Barros Valdeni Soliani Franco Apresentação
Leia maisLIMITE DE UMA FUNÇÃO II
LIMITE DE UMA FUNÇÃO II Nice Maria Americano Costa Pinto LIMITES À ESQUERDA E À DIREITA Se a função f() tende ao ite b, quando tende ao valor a por valores inferiores a a, diz-se que b éo ite à esquerda
Leia maisCÁLCULO I Aula 11: Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de l'hôspital.
Limites s CÁLCULO I Aula 11: Limites s e no... Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará Limites s 1 Limites no 2 Limites s 3 4 5 Limites s Denição Seja f uma função denida
Leia maisBases Matemáticas - Turma A3
Bases Matemáticas - Turma A3 a Avaliação - Resolvida Esta resolução é mais do que um mero gabarito. O objetivo é apresentar a solução de cada problema de modo detalhado, com o propósito de ajudar na compreensão
Leia maisProva 2 - Bases Matemáticas
Prova 2 - Bases Matemáticas Resolução comentada Bases Matemáticas - Turma A3 2 a Avaliação - Resolvida Esta resolução é mais do que um mero gabarito. O objetivo é apresentar a solução de cada problema
Leia mais1. Funções Reais de Variável Real Vamos agora estudar funções definidas em subconjuntos D R com valores em R, i.e. f : D R R
. Funções Reais de Variável Real Vamos agora estudar funções definidas em subconjuntos D R com valores em R, i.e. f : D R R D x f(x). Uma função é uma regra que associa a cada elemento x D um valor f(x)
Leia maisMinicurso de nivelamento de pré-cálculo:
Minicurso de nivelamento de pré-cálculo: 07. Quarta-feira Resolva os eercícios abaio, tomando bastante cuidado na maneira de escrever a resolução dos mesmos. Não use a calculadora, a idéia é que você treine
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I CDI I
Cálculo Diferencial e Integral I CDI I Limites laterais e ites envolvendo o infinito Luiza Amalia Pinto Cantão luiza@sorocaba.unesp.br Limites 1 Limites Laterais a à diretia b à esquerda c Definição precisa
Leia mais