Lista de exercícios Trigonometria Problemas Gerais. Parte 1 : Tangente da soma e da diferença de arcos e tangente do dobro de um arco

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1 Lista de eercícios Trigonometria Problemas Gerais Prof ºFernandinho Parte 1 : Tangente da soma e da diferença de arcos e tangente do dobro de um arco 01.(Fuvest) Se é um ângulo tal que 0 < < 90 e sen =, calcule o valor de tg ( - ). 0.(Mack) Na figura, calcule o valor de tg. 0.(Fuvest) No triângulo ABC, os catetos AB e AC medem + e 1, respectivamente. Seja D um ponto de AB, tal que AD = AC. Calcule tg ( + ) onde e são, respectivamente, as medidas de A DC e A BC. 0.(PUC) Se tg = 1, calcular tg. 05.(PUC) Se tg ( + y) = e tg =, determine o valor de tg y. 0.(Unesp) Se o ângulo pertence ao primeiro quadrante e tg =, calcule o valor de tg. 07.(Unesp) O seno do ângulo da base de um triângulo isósceles é igual a 1. Determine o valor da tangente do ângulo do vértice desse triângulo. 08.(Mack) Se sec =, com 0 <, então quanto vale tg? 09.(GV) Na figura, ACB é um ângulo reto, A BD D BC =, AD =, DC = 1 e BC =. Com as informações dadas, determine o valor de. 10.(Unifesp) Um observador, em P, energa uma circunferência de centro O e raio 1 metro sob um ângulo, conforme mostra a figura abaio. Calcule tg, dado que a distância de P a O vale metros.

2 11.(Unesp) Um farol localizado a m acima do nível do mar é avistado por um barco a uma distância da base do farol, a partir de um ângulo, conforme a figura. a ) Admitindo-se que sen = 5, calcule a distância. b ) Assumindo-se que o barco se aproimou do farol e que uma nova observação foi realizada, na qual o ângulo passou eatamente para, calcule a nova distância a que o barco se encontrará da base do farol. Parte : Fatoração da soma e da diferença de senos e cossenos (Transformação em produto) 1.(Mack) Resolva em a equação : sen + sen - = 1.(Ufscar) Calcule o valor da epressão E = cos 80 + cos 0 - cos 0. 1.(ITA) Resolver em a equação sen + sen = (Fuvest) Considere a função f() = sen 5 + sen. a ) Determine as constantes k, m e n tais que f() = k.sen (m.).cos (n.). b ) Determine os valores de, 0. 1.(Ufscar) Resolver em a equação : sen + sen + sen = (Unicamp) Resolver em a equação : sen + sen =.sen. 18.(Fuvest) A medida, em radiano, de um ângulo satisfaz sen + sen + sen = 0. Assim, e verifica a seguinte equação : a ) determine. b ) calcule cos + cos + cos. 19.(ITA) Qual é a soma de todas as soluções distintas da equação cos + cos + cos 9 = 0, que estão no intervalo 0? 0.(Unicamp) Achar os três menores valores positivos da variável tal que sen = sen ( - ). 1.(Unesp) Determine o valor de,, na equação sen + sen y = 1, sabendo-se que + y =..(Fuvest) Resolva a equação : sen.cos 1.(sen 5 sen ) = 0 no intervalo 0,.

3 .(Fuvest) Os números sen 15, sen a e sen 75 formam, nesta ordem, uma P.A. Determine o valor de sen a..(ita) Qual é o conjunto solução da equação sen 5 = cos, resolvida em? Parte : Funções Trigonométricas. 5.(Ufscar) O número de turistas de uma cidade pode ser modelado pela função f () =,1 + 1,.sen, onde representa o mês do ano (1 para janeiro, para fevereiro, para março, e assim por diante) e f () o número de turistas no mês (em milhares). a ) Determine quais são os meses em que a cidade recebe um total de 100 turistas. b ) Construa o gráfico da função f, para real, tal que 1, 1, e determine a diferença entre o maior e o menor número de turistas da cidade em um ano..(unesp) Uma equipe de mergulhadores, dentre eles um estudante de ciências eatas, observou o fenômeno das marés em determinado ponto da costa brasileira e concluiu que o mesmo era periódico e podia ser aproimado 1 5 pela epressão P (t) = +.cos.t, onde t é o tempo (em horas) decorrido após o início da observação (t = 0) e P (t) é a profundidade da água (em metros) no instante t. a ) Resolva a equação cos.t 5 = 1. b ) Determine quantas horas após o início da observação ocorreu a primeira maré alta. 7.(Unicamp) Um supermercado, que fica aberto horas por dia, faz a contagem do número de clientes na loja a cada hora. Com base nos dados observados, estima-se que o número de clientes possa ser calculado pela função. trigonométrica f () = sen, onde f () é o número de clientes e, a hora da observação ( é um 1 inteiro tal que 0 ). Utilizando essa função, esboce seu gráfico e determine qual é a diferença entre o número máimo e o número mínimo de clientes, dentro do supermercado, em um dia completo. 8.(Unesp) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em C) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às horas da manhã do primeiro dia (t = 0) e terminou 7 horas depois (t = 7). Os dados puderam ser aproimados pela função trigonométrica H (t) = sen.t, onde t indica o tempo (em horas) decorrido após o início da 1 observação e H (t) a temperatura (em C) no instante t. a ) Resolva a equação sen.t 1 = 1, para t 0,. b ) Determine a temperatura máima atingida e o horário em que essa temperatura ocorreu no primeiro dia de observação.

4 9.(Unesp) No hemocentro de um hospital, o número de doações de sangue tem variado periodicamente. Admita que, neste hospital, no ano de 007, este número, de janeiro (t = 0) a dezembro (t = 11), seja dado, t -1. aproimadamente, pela epressão S (t) = cos com uma constante positiva, S (t) em milhares e t em meses, 0 t 11. Determine : a ) A constante, sabendo que no mês de fevereiro houve mil doações de sangue. b ) Em quais meses houve mil doações de sangue? 0.(Unesp) Do solo, você observa um amigo numa roda gigante. A altura h em metros de seu amigo em relação ao solo é dada pela epressão h (t) = 11, sen. t - 1 angular em radianos., onde o tempo t é dado em segundos e a medida a ) Determine a altura em que seu amigo estava quando a roda começou a girar (t = 0). b ) Determine as alturas mínima e máima que seu amigo alcança e o tempo gasto em uma volta completa (período). 1.(Unesp) Uma máquina produz diariamente dezenas de certo tipo de peça. Sabe-se que o custo de produção C() e o valor de venda V() são dados, aproimadamente, em milhares de reais, respectivamente, pelas funções C() = cos e V() = +.sen, 0 1. Com base nessas informações, esboce num mesmo sistema cartesiano os dois gráficos e obtenha o lucro, em reais, resultante da produção de dezenas de peças..(unesp) A temperatura, em graus Celsius ( C), de uma câmara frigorífica, durante um dia completo, das 0 hora t t às horas, é dada aproimadamente pela função : f(t) = cos cos, 0 t, com t em horas. 1 Determine a temperatura da câmara frigorífica às horas e às 9 horas. (Use = 1, e = 1,7)..(Unesp) A figura abaio mostra a órbita elíptica de um satélite S em torno do planeta Terra. Na elipse estão assinalados dois pontos : o ponto A (apogeu), que é o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra, e o ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais próimo do centro da Terra. O ponto O indica o centro da Terra e o ângulo P OS tem medida, com 0 0. A altura h, em km, do satélite à superfície da Terra, dependendo do 7980 ângulo, é dada aproimadamente pele função : h = Determine : 100 5cos a ) A altura h do satélite quando este se encontra no perigeu e também quando se encontra no apogeu. b ) Os valores de, quando a altura h do satélite é de 1580 km.

5 .(GV) Suponha que a temperatura (em F) de uma cidade localizada em um país de latitude elevada do hemisfério norte, em um ano bisseto, seja modelada pela equação : T = 50.cos d + 5, no qual d é dado em dias e d = 1 corresponde a 1 o.de janeiro. a ) Esboce o gráfico T versus d para 0 d. b ) Use o gráfico para prever qual será o dia mais quente do ano. c ) Baseado na função, determine em quais dias a temperatura será 0 F. 5.(Unesp) Podemos supor que um atleta, enquanto corre, balança cada um de seus braços ritmicamente (para 8 frente e para trás) segundo a equação y =.sen. t -, onde y é o ângulo compreendido entre a posição do 9 braço e o eio vertical - y e t é o tempo medido em segundos, t 0. Com base nessa equação, determine 9 9 quantas oscilações completas (para frente e para trás) o atleta faz com o braço em segundos..(unesp) A relação y = A + 0,.sen. t - 7 eprime a profundidade y do mar, em metros, em uma doca, às t horas do dia, 0 t, na qual o ângulo é epresso em radianos. a ) Dado que na maré alta a profundidade do mar na doca é, m, obtenha o valor de A. b ) Considerando que o período das marés é de 1 horas, obtenha o valor de. 7.(Unesp) Em uma pequena cidade, um matemático modelou a quantidade de lio doméstico total (orgânico e reciclável) produzida pela população, mês a mês, durante um ano, através da função f() = 00 + ( + 50). cos. -, onde f() indica a quantidade de lio, em toneladas, produzida na cidade no mês, com 1 1, inteiro e positivo. Sabendo que f(), nesse período, atinge seu valor máimo em um dos valores de no qual a função cos. - atinge seu máimo, determine o mês para o qual a produção de lio foi máima e quantas toneladas de lio foram produzidas pela população nesse mês. 8.(Unesp) Há famílias que sobrevivem trabalhando na coleta de material para reciclagem, principalmente em cidades turísticas. Numa tal cidade, uma família trabalha diariamente na coleta de latas de alumínio. A quantidade (em quilogramas) que essa família coleta por dia varia, aumentando em finais de semana e feriados. Um matemático observou a quantidade de alumínio coletada por essa família durante dez dias consecutivos e modelou essa situação através da função f() = 10 + ( + 1). cos. -, onde f() indica a quantidade de alumínio, em quilogramas, coletada pela família no dia, com 1 10, inteiro e positivo. Sabendo que f(), nesse período, atinge seu valor máimo em um dos valores de no qual a função cos. - atinge seu máimo, determine o valor de para o qual a quantidade coletada nesse período foi máima e quantos quilos de alumínio foram coletados pela família nesse dia. 9.(Unifesp) Considere a função y = f() = 1 + sen a ) Dê o período e o conjunto imagem da função f().. -, definida para todo real. b ) Obtenha todos os valores de no intervalo 0, 1, tais que y = 1.

6 0.(GV) No mês de abril o mercado financeiro viveu uma certa instabilidade, e o preço de determinada ação oscilou de tal forma que ele poderia ser descrito pela função periódica : f() =,50 + sen (.), em que f() é o preço da ação, = 0 representa o 1º.dia útil de abril, = 1, o º.dia útil, = 1, o º.dia útil, e assim por diante. a ) Esboce o gráfico da função f() correspondente aos primeiros 5 dias úteis de abril. b ) Considerando que o dia 1º.de abril foi segunda-feira, determine em que dias da 1ª.semana útil de abril o preço dessa ação atingiu o maior e o menor valor. c ) Quais foram o maior e o menor valor dessa ação na 1ª.semana útil de abril? Gabarito : a ) 8 m b ) 10,5 m 1. = k. k ou k. 15. a ) k, m e n b ) 0,,,,, k 1. ou k. 17. k. a ) 18. b ) ,, 1. = k ,,,,, k. ou k. 1 a ) Julho e Novembro 5. b ) 00 turistas. a ) t - 7,5 b ),5 horas 1.k clientes 8. a ) t 1 b ) 0 C e 15 horas 9. a ) b ) Maio e Novembro 0. b ) Má a ),5 metros 1,5 m e Min Período s 1,5 m reais. 0,5ºC e 0,7ºC. a ) 100 km e 000 km b ) 90 e 70. b ) 1 de julho c ) 1 de março e 1 de outubro 5. 8 oscilações. a ) A b ) 7. = 10 e 0 toneladas 8. = 8 e 9 quilogramas 9. a ) p 1 e Im 1 b ) e 0, 0. b ) Terça e Quinta - feira c ) 5,5 e,5

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