ANÁLISE DE DESEMPENHO DOS GRAFICOS DE x E R.

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1 ANÁLISE DE DESEMPENHO DOS GAFICOS DE E. Vims cm cnstruir e utilizar s gráfics de cntrle. Agra vams estudar sua capacidade de detectar perturbações n prcess. GÁFICO de Em um julgament, veredict final será : ÉU INOCENTE u ÉU CULPADO Infelizmente, pde-se cmeter injustiças: ÉU INOCENTE VAI PAA A CADEIA u ÉU CULPADO FICA EM LIBEDADE Dispnd a questã em frma de teste de hipóteses tems 2 hipóteses mutuamente ecludentes, H e H 1 : H : ÉU INOCENTE H 1 : ÉU CULPADO

2 Se a hipótese H fr verdadeira (ÉU INOCENTE), nã estams livres d risc de cmeter err de cndená-l: EO d TIPO I, e risc de cmetê-l é chamad de α. Se a hipótese H 1 fr verdadeira (ÉU CULPADO), eiste risc de incentá-l indevidamente. Esse err é chamad de EO d TIPO II e a prbabilidade de incrrer neste tip de err é β. O mesm vale para mnitrament de prcesss

3 A cada 15 minuts retira-se uma amstra (5 saquinhs) d prcess, calcula-se que é pltad n gráfic de cntrle. Tems na realidade uma seqüência de testes de hipóteses, nde a cada 15 minuts testams as mesmas hipóteses: H : Prcess em cntrle, ajustad, livres de causas especiais, H : µ = µ H 1 : Prcess fra de cntrle, desajustad, sb influência de causas especiais, H : µ µ A hipótese H é aceita cm verdadeira tdas as vezes que valr de cair dentr ds limites de cntrle (equivalente a julgar réu incente). A hipótese H 1 é aceita cm verdadeira tdas as vezes que valr de cair fra ds limites de cntrle (equivalente a cndenar réu).

4 Quais as cnseqüências assciadas as errs d tip I e d tip II? ALAME FALSO: intervir n prcess na hra errada. NÃO DETECÇÃO: nã intervir quand ele está sb influencia de causas especiais. α = β = P[ P[LIC LSC u LSC µ LIC µ ] µ = µ ]

5 ALAME FALSO NO GÁFICO DE µ Quand a hipótese H é válida (LM = = µ ), ideal é que tds s pnts caiam dentr ds limites de cntrle d gráfic. Cntud, pr tratar-se de um teste estatístic, eiste risc α de que um deles caia fra ds limites quand há um alarme fals. A Figura abai retrata a crrência de um alarme fals. A hipótese é verdadeira pis LM = µ = µ Para calcular risc α, é necessári cnhecer a distribuiçã da variável aleatória Graças a Terema d Limite Central, para uma grande variedade de distribuições de X, a distribuiçã de tenderá cm ba precisã para uma distribuiçã nrmal, mesm para n pequen.

6 Lembrand que µ = µ e = n A figura abai mstra uma variável aleatória que nã tem distribuiçã nrmal cntud pde-se admitir, sem cmeter errs grsseirs, que a distribuiçã de é nrmal Definind a variável aleatória Z, Z = µ esta terá uma distribuiçã nrmal cm média µ z = 0 e desvi-padrã z = 1

7 Para um prcess em cntrle, a prbabilidade de um pnt cair fra ds limites é dada pr α = P[ α = P[ Z LSC Z 3 ] = LIC P[ Z Os valres de prbabilidade,α / 2, encntram-se tabelads para Z entre 1,0 e 4,0. α é a sma das áreas das caudas (a / 2). ] 3] Para Z = 3, risc α é a área das caudas: 0, ,00135 = 0,0027. Há uma prbabilidade de 0,27% de valr de cair na regiã de açã d gráfic (acima de LSC u abai de LIC), enquant prcess permanece ajustad. 0,27% é a prbabilidade de gerar um alarme fals. Cm limite 3-sigma, terems em média 1 alarme em cada 370,4 pnts pltads.

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10 Cas se cnsidere que essa freqüência de alarmes falss seja inaceitável, a alternativa cnsiste em aumentar s limites de cntrle, pr eempl de k = 3 para k = 3,1, nde k é fatr de abertura ds limites: LSC = ˆ µ + k ˆ n LIC k ˆ = ˆ µ n Cm k = 3,1 O risc de alarme fals diminui α = P[ Z 3,1 + Z 3,1] = P[ Z 3,1 ] A área da cauda é neste cas (valr tabelad de a / 2 para Z = 3,1) 0, α = 0, A prbabilidade de sair um alarme fals é 0,194%, Ist crrespnde em média a um alarme fals a cada 516 amstras. Se temp de retirada das amstras é de 15 minuts, este valr acima crrespnde a um alarme fals a cada 129 hras de prduçã. Nte que risc a é funçã apenas d fatr de abertura ds limites de cntrle k. α = P [ Z k] Esta epressã é válida para qualquer tamanh de amstra. Pr utr lad, tamanh da amstra tem uma influência grande n risc de crrência d err d tip II.

11 PODE DO GÁFICO DE Quand a hipótese H 1 é verdadeira, ideal é que primeir pnt já caísse fra ds limites de cntrle, especialmente se deslcament da média fr pequen (δ pequen). µ 1 = µ + δ δ = (µ 1 - µ )/ Em geral para δ 1,5 rapidamente um valr de cairá fra ds limites de cntrle. O sinal só crre quand 5º valr de é pltad. A hipótese H1 é verdadeira pis LM nã cincide cm µ = µ 1

12 CÁLCULO de Pd Pd é a prbabilidade de um valr de cair acima d limite superir + a prbabilidade dele cair abai d limite inferir. Pd = P[ > LSC] + P[ < LIC] P[ > LSC] = P[Z > Z LSC ] nde Z LSC Z LSC = LSC µ = + k nδ e = k nδ Z LIC Pd = P[Z > + k nδ ] + P[Z < k nδ ] para k = 3; n = 4; e δ = 1,0 Z LSC = 1,0 e Z LIC = 5,0 Pd = P[Z > 1,0] + P[Z < 5,0] = 0,1587 0,0 = 0,1587 (área da cauda) 1/0,1587 = 6,3 é númer médi de amstras que antecede a alarme fals. Sã necessárias em média 6,3 amstras de tamanh 4 detectar um deslcament de 1 desvi-padrã na média. O que acntece quand n aumenta? O que acntece cm temp de detecçã?

13 O interval entre as amstras é cnstante, prtant, temp médi até a detecçã também se reduz. A Tabela abai apresenta valres de Pd para diferentes cmbinações de n e δ. Curvas de Pd versus deslcament da média para diferentes valres de n.

14 A medida de eficiência mais usual é NMA NÚMEO MÉDIO DE AMOSTAS até sinal. NMA = 1/Pd Sã necessárias, em média, 10 amstras de tamanh 3 para gráfic sinalizar um deslcament na média d prcess de 1 desvi-padrã (δ = 1,0)

15 MEDINDO A APIDEZ DE DETECÇÃO DE DESCONTOLES O númer de amstras até sinal (até sar alarme), NMA, segue uma distribuiçã gemétrica de parâmetr p, independentemente de se tratar de alarme fals u verdadeir. P[númer de amstras até sinal = m] = p(1-p) m-1 Se a hipótese H fr aceita (µ = µ ), entã p = α. Se a hipótese H 1 fr aceita (µ µ ), entã p = Pd A média da distribuiçã gemétrica de parâmetr p é igual a 1/p; prtant, sb a hipótese H NMA = 1/α. sb a hipótese H 1 NMA = 1/Pd A figura abai apresenta uma curva de prbabilidade de nã detecçã a prbabilidade ds i primeirs valres de após desajuste caírem dentr ds limites de cntrle. tamanh da amstra n = 4 velcidades de detecçã de 2 diferentes deslcaments da média 1,0 e 1,5 desvis-padrã

16 Prbabilidade de NÃO detecçã tamanh da amstra n = 4 30% Funçã de prbabilidade de distribuiçã acumulada d númer de amstras até um alarme verdadeir para n = 4 e δ = 1,0 Para este tamanh de amstra Um deslcament da média de 1,5 (δ = 1,5) terá sid detectad cm certeza até a 7 a amstra Um deslcament de δ = 1,0 tem a prbabilidade de passar desapercebid após a retirada da 7 a amstra. Há 30% de chance de que s sete valres de caiam dentr ds limites de cntrle (30% de chance de passar desapercebid após a retirada da 7 a amstra) Supnd que M seja númer de amstras até sinal: P[M = m] = p(1-p) m-1 Pela tabela acima, para δ = 1,0 P[M = 1] = 0,159 (valr de Pd). Para m = 2, 3, 4... esta prbabilidade é P[M = m] = p(1-p) m-1 p = 0,159 e (1-p) =0,841

17 O gráfic a seguir é bem semelhante a anterir, só que agra deslcament δ é fi (δ = 1,0) e tamanh da amstra varia 100*(1-0,159) δ = 1,0 50% A eficiência ds gráfics de cntrle cm n = 4 é cmparada cm a de n = 9 Para M = 1 tem-se para n = 4 P = 0,159 e para n = 9 P = 0,5 Para amstras grandes (n = 9), s gráfic de cntrle de sã ágeis na detecçã de deslcaments mderads da média (δ em trn de 1,0); prém sã lents n cas de amstras pequenas (n = 4)

18 GÁFICO DE : ANÁLISE DE DESEMPENHO H : Prcess em cntrle, ajustad, livre de causas especiais, H : = H 1 : Prcess fra de cntrle, desajustad, sb influência de causas especiais, H 1 : Hipótese H é verdadeira : eiste um risc α de um valr de cair fra ds limites de cntrle, sinalizand errneamente falta de cntrle d prcess: ALAME FALSO. Hipótese H 1 é verdadeira: β representa risc de um valr de cair dentr ds limites de cntrle, nã sinalizand a falta de cntrle d prcess: NÃO DETECÇÃO α = 1 β = P[LIC P[LIC LSC LSC = ] ]

19 A DISTIBUIÇÃO DA VAIÁVEL ALEATÓIA NÃO É NOMAL Distribuiçã da amplitude d d d d d ˆ 3 ˆ LIC ˆ LM ˆ 3 ˆ LSC = = = + = A amplitude nã pde ser negativa, e quand necessári, LIC é zerad. Nte a frma assimétrica

20 Distribuiçã de e s limites 3-sigma O risc de alarme fals é diferente de 0,0027 cm na distribuiçã nrmal (K = 3) A distribuiçã amstral de depende d desvi padrã ds valres de X que cmpõe as amstras. O cálcul da prbabilidade de ser menr que um determinad valr nã é simples. A alternativa é tabelar tais prbabilidades, cm fi feit para cálcul das prbabilidades de variáveis cm distribuiçã nrmal. Tdavia teríams que cnstruir infinitas tabelas, uma para cada valr de. Vams definir uma variável W depende apenas d tamanh da amstra (nã de ) W = = amplitude relativa A variável também fi padrnizada para evitar a cnstruçã de infinitas tabelas

21 A prbabilidade P[W w n = n ] é tabelada para diferentes valres de w e n P[ ] = P[W /] A Tabela ns dá P[W /] ] 3 ) 3 [ma(0, 1 ] LSC [LIC e n n d d d d P e n n P α α = = + = = = = Para calcular a prbabilidade, vams à tabela da distribuiçã acumulada de amplitude relativa e btems (1 α). A prbabilidade é cmplement da área smbreada Tend risc α, pdems bter calcular NMAF e pder Pd d gráfic da amplitude [ ] e n n d d LSC P Pd NMAF α 2 ) 3 ( ; = = + = > = = ( ) ( 2 )

22 Supnha que desvi padrã d prcess dbre, passand de para 1 = 2 ο d + d Pd P W > n = 2 = n Valr tabelad P[W < W ] P[W > 2,46] = 1-0,586 = 0,414 Generalizand: quand desvi padrã de um prcess sfre aument de um fatr de λ, ind de ο para 1 = λ ο, pder d gráfic é dad pr d + d Pd P W > 2 3 n = λ3 = n

23 Valres de Pd para diverss valres n, versus λ Para λ = 2,0 ( 1 = 2 ο ) e n = 5 valr de Pd = 0,41 Cm uma amstra menr, valr de Pd cai Para n = 2, Pd caiu 50% Gráfic de NMA = 1/Pd versus λ Sã necessárias 5 amstras de tamanh 2 u 3 amstras de tamanh 4 para detectar um aument de 100% n desvi-padrã d prcess (λ = 2,0)

24 GÁFICO DE CONTOLE DE COM EGAS SUPLEMENTAES A mairia das regras suplementares tem prpósit de acelerar a detecçã de alterações n prcess. Usand muitas regras suplementares, gráfic de cntrle passa a prduzir muits alarmes falss e perde-se a credibilidade nesse dispsitiv estatístic Um sinal crre sempre que dentre s últims m pnts, a mens L deles estejam entre µ + a e µ + b m = 3; L = 2; a = 2 e b =

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