Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial II. TPC nº 8 entregar em

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1 Escla Secundária cm 3º cicl D. Dinis 1º An de Matemática A Tema II Intrduçã a Cálcul Diferencial II TPC nº 8 entregar em Jã é cleccinadr de chávenas de café. Recebeu cm prenda um cnjunt de 10 chávenas, tdas diferentes em que 4 sã duradas e 6 prateadas. Vai clcar as dez chávenas num expsitr, cm é sugerid na figura, que tem a capacidade para dze chávenas, seis em cima e seis em baix. De quantas maneiras diferentes é pssível distribuir as 10 chávenas pels 1 lugares, de md que em cada prateleira fiquem cinc chávenas, send duas duradas.. Numa fábrica de parafuss, estima-se que 3% ds parafuss saem da máquina cm defeit. Numa caixa de 40 parafuss qual é a prbabilidade de:.1. haver 5 parafuss defeituss?.. que estejam tds bns?.3. que nã haja mais que um parafus cm defeit? 3. Sejam as funções f e h, de dmínis ] 1,+ [ e ],[ ( ) = ( ) e h( x) lg ( x) f x lg x 1 =., respetivamente, definidas pr Determine, recrrend a métds exclusivamente analítics, cnjunt sluçã da cndiçã f ( x) 1+ h( x). Apresente resultad sb a frma de interval real. 4. Cnsidere, num referencial rtnrmad xoy, s gráfics das funções f e g, de dmíni [ 0,3 ], x 1 definidas pr f ( x) = ln( x + ) e g( x) e e = (ln designa lgaritm de base e). Determine a área de um triângul [OAB], cm aprximaçã às décimas, recrrend às capacidades gráficas da sua calculadra. Para cnstruir triângul [OAB], percrra s seguintes passs: Visualize as curvas representativas ds gráfics das duas funções, n dmíni indicad; Reprduza, na sua flha de respstas, referencial e as curvas visualizadas na calculadra; Assinale ainda: A rigem O d referencial; Prfessra: Rsa Canelas 1 An Letiv 011/01

2 O pnt A de interseçã d gráfic das duas funções, indicand as suas crdenadas, cm aprximaçã às décimas; O pnt B de interseçã d gráfic de g cm eix Ox. 5. Mstre que é verdadeira a seguinte afirmaçã: Se s valres de uma variável x crescerem em prgressã gemétrica de razã r > 1, cm primeir term u1 > 0, s lgaritms de x, em qualquer base psitiva e diferente de um, crescerã em prgressã aritmética. NOTA: recrde que term geral de uma prgressã gemétrica cuj primeir term é u 1 e razã r se pde escrever na frma u = u r e que term geral da prgressã aritmética se pde escrever na frma ( ) u = u + n 1 r. Prfessra: Rsa Canelas An Letiv 011/01

3 Escla Secundária cm 3º cicl D. Dinis 1º An de Matemática A Tema II Intrduçã a Cálcul Diferencial II TPC nº 8 Prpsta de resluçã 1. Existem 6 C 6 C 4 C 5 A 5 A 6! = maneiras diferentes. 5 5 Cmecems pr esclher de entre s 6 lcais pssíveis (em cada uma das prateleiras) 5 lcais para clcar as chávenas, u seja, existem 6 C5 maneiras pssíveis, cm sã duas prateleiras tems 6 C 6 C. 5 5 Para cada esclha efectuada vams ter de esclher as chávenas duradas para clcar numa das prateleiras. Existem 4 C maneiras de fazer e autmaticamente ficam esclhidas as chávenas duradas para a utra prateleira. Em seguida, para cada prateleira, ds cinc lugares esclhids vams esclher dis para clcar as chávenas duradas, e cm elas sã diferentes existem 5 A 5 A mds diferentes. Finalmente vams clcar as 6 chávenas prateadas ns 6 lugares previamente esclhids. Cm as chávenas sã diferentes tems 6! maneiras pssíveis.. Numa fábrica de parafuss, estima-se que 3% ds parafuss saem da máquina cm defeit. Numa caixa de 40 parafuss a prbabilidade de:.1. haver 5 parafuss defeituss é p( X = 5) = binmpdf ( 40,0.03,5 ) 0, que estejam tds bns é p( X = 0) = binmpdf ( 40,0.03,0 ) 0, que nã haja mais que um parafus cm defeit é p( X 1) = binmcdf ( 40,0.03,1) 0,6615 u seja haver um parafus cm defeit u nã haver nenhum. p( X = 0) + p( X = 1) = binmpdf ( 40,0.03,0 ) + binmpdf ( 40,0.03,1) 0, Sejam as funções f e h, de dmínis ] 1,+ [ e ],[ ( ) = ( ) e h( x) lg ( x) f x lg x 1 =., respetivamente, definidas pr Determinems, recrrend a métds exclusivamente analítics, cnjunt sluçã da cndiçã f ( x) 1+ h( x). Apresentems resultad sb a frma de interval real. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lg x 1 1+ lg x lg x 1 lg + lg x lg x 1 lg x 5 5 x 1 4 x x ] 1, [ 3x 5 x ] 1, [ x x ] 1, [ x, 3 3 Prfessra: Rsa Canelas 3 An Letiv 011/01

4 4. Cnsidere, num referencial rtnrmad xoy, s gráfics das funções f e g, de dmíni [ 0,3 ], x 1 definidas pr f ( x) = ln( x + ) e g( x) e e = (ln designa lgaritm de base e). Determinems a área de um triângul [OAB], cm aprximaçã às décimas, recrrend às capacidades gráficas da calculadra. Para cnstruir triângul [OAB], vams percrrer s seguintes passs: Visualizar as curvas representativas ds gráfics das duas funções, n dmíni indicad; Reprduzir, referencial e as curvas visualizadas na calculadra; Assinalems ainda: A rigem O d referencial; O pnt A de interseçã d gráfic das duas funções, indicand as suas crdenadas, cm aprximaçã às décimas; A (a,b) cm a 1,4 e b 1, O pnt B de interseçã d gráfic de g cm eix Ox. B(,0) A área d triângul é entã 1, A = = 1, 5. Mstrems que é verdadeira a seguinte afirmaçã: Se s valres de uma variável x crescerem em prgressã gemétrica de razã r > 1, cm primeir term u1 > 0, x u r = 1, s lgaritms de x, em qualquer base psitiva e diferente de um, terã a frma ( n 1 ) ( ) ( n lg x lg u r lg u lg r 1 ) lg ( u ) ( ) lg ( r) = = + = + que a a 1 a 1 a a 1 a prva que cnstituem uma prgressã aritmética cm primeir term lga ( u 1) e crescente prque a razã lga ( r) > 0 prque r > 1. Prfessra: Rsa Canelas 4 An Letiv 011/01

5 Escla Secundária cm 3º cicl D. Dinis 1º An de Matemática A Tema II Intrduçã a Cálcul Diferencial II TPC nº 8 Critéris de classificaçã Resluçã da inequaçã 10 Dar a sluçã atendend a dmíni Apresentar gráfic respeitand dmíni 5 Assinalar a rigem Assinalar A indicand as crdenadas cm a aprximaçã pedida 5 Assinalar B 3 Calcular a área d triângul [OAB] Ttal 100 Prfessra: Rsa Canelas 5 An Letiv 011/01