Matemática E Extensivo V. 2

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1 Matemática E Etensiv V. Eercícis 0) a) d) n 8!! 8...!! 8.. (n )!! n n b) 0 0) A 0! 9! 0. 9! 9! 0 c) 00! 00 d) 9! ! !!...!.. 0) a) ( + )! ( + )( )! +!! b) n 0 nn ( )( n )! ( n )! ( n )! 0 n n n 0 0 n Observe que n implica ( )! ( )!, que nã está definid. Prtant, n é descartad. c) u ( )! Nte que 0!!! 0!! ( n+ )!( n )! ( n+ )!( n )! ( n+ )( n+ )!. ( n )! ( n+ )!( n ). ( n )! n + n n + n n n 0) E 0) B n! nn ( +)! nn ( +) n! nn ( + ) + ( n )! nn ( )! + ( n )! ( n )!( n+ ) ( n + )! ( n+ )( n)( n )! ( n+ )( n)( n )! n 0) E 0) C ( n+ )! ( n+ ) n( n )! n( n )! ( n ) + ( n )! + n( n )! ( n )!(( n+ ) n n) nn ( + ) n ( n )!( + n) + n + n m! + ( m )! ( m+ )! m! mm ( )! + ( m )! ( m+ )!( m)( m )! m( m )! ( m )!( m+ ) ( m )!(( m+ ) m m) Matemática E

2 m + mm ( + ) m + m m + m m m 0 m m u 08) E m + + m m Prtant, m ( n+ )! ( n+ )( ) n!(( n + ) ) ( n+ )! + ( n+ )( )! + (( n+ ) + ) 09) Prvar que n ( n )! n n + ) C ) D a n n n!( ) ( n ) n ( n )( n ) ( n + )! ( n+ ). n + + n ( n + ) Assim, a n n Prtant, a ( + )! + ( + )! ( + ). ( + ).! ( + ).! Nte que: 0!!!!! Lg, s únics valres de que satisfazem! sã: Assim, + + Tmand lad esquerd da igualdade, mstrarems que é igual a lad direit. MMC n n ( n )! ( n )! n( n )! nn ( )! OK Ou tmand lad direit da igualdade, mstrarems que é igual a esquerd. n n n n n n nn n n OK!!! ( )!! ( )! 0) E (n + )! + (n + )! (n + )! (n + )(n + ) (n + )! + (n + )(n + )! (n + )! ( n + )! ((n + )(n + ) + (n + )) ( n + )! (n + )(n + ) + (n + ) (n + )((n + ) + ) (n + )(n + ) n + 8n + n + 8n 0 Assim, n 8 e n 0. Nte que n 8 é descartad, pis substituind n 8 teríams ( 8 + )!... ( )!..., que nã está definid. Prtant, n 0. ) E!. 8!.! !!... (. 8).. (. )..!. (. ). (. ).!...!...!! ) B ) D ( k!) [( k )!] k (k )! [ kk ( )!] [( k )!] n (n )![(n + )! ] (n )![((n + ) ] (n )![. n] n. (n )!.. () k [( k )!] [( k )!] k ( k )! Matemática E

3 ) E [(m + )! (m + )!]. m! [(m + ). (m + )! (m + )!]. m! Clcand (m + )! em evidência: (m + )![(m + ) ]. m! (m + )! ( m + ). m! (m + )! (m + )! [(m + )!] ) 0 maneiras A refeiçã deverá ser mntada em três etapas: p p carne acmpanhament bebida Pel P.F.C. ttal de maneiras de se pedir a refeiçã é ) 0 trajets Para fazer trajet, mtrista deve realizar duas esclhas: Estrada de A a B e estrada de B a C p Ttal de trajetórias pssíveis:. 0 9) númers 0) E Númers de três algarisms pares: p p p.. númers par Para clrir s círculs devems efetuar cinc esclhas, uma para cada tub. Cmeçarems d primeir e, a seguir, respeitarems a cndiçã de que tubs adjacentes nã tenham a mesma cr. p p p p p O ttal de maneiras de pintarms s tubs é: ) A Cmeçarems pr um ds tanques e, a seguir, respeitarems a cndiçã de que tanques cm vértice cmum nã pderã cnter mesm tip de ácid: p Ttal de maneiras: ) 8 90 ) D ) D ) B Para respnder à prva, candidat deve realizar it esclhas, uma respsta para cada questã: p p p p p p p p O ttal de maneiras é 8 90 Na sua viagem, passageir efetuará quatr esclhas: p A a B B a C p C a B p B aa IDA VOLTA Nte que na vlta reduzims em uma pssibilidade pel fat de nã pderms repetir a linha. Ttal de maneiras:... Devems efetuar cinc esclhas, uma para cada regiã. Cm há uma restriçã para a regiã Sul cmeçarems as esclhas pr essa regiã. p SUL p p SUDESTE NORTE NORDESTE Ttal de maneiras: Blusa {B; Vm; An; Vd; Az} Saia {B; Az; Vi; C} p CENTRO-OESTE Ttal de maneiras: p. 0 trajes blusa saia Prém, ela nã pde usar blusa e saia de mesma cr. Devems entã descntar esses cass. N entant, s trajes que nã sã de nss interesse sã apenas dis: branc e azul. Trajes de interesse: 0 8. Matemática E

4 ) D : Qualquer um ds. : Três hmens u três mulheres. ) D 8) A 9) C 0) B {,,,,, } Vams dividir em cass: fi p p. 8 pssibilidades pares p p.. pssibilidades, pares Ttal: 8 + pssibilidades Para sintetizar fragment cientista deve efetuar dez esclhas. O primeir par pde ser qualquer um ds quatr pares. Para casa seguinte nã se pde repetir par nem usar seu simétric. p p p p p p p p p Ttal de maneiras: Cnjunt ds ímpares distints: 8p Nã pde um ímpar já esclhid nem zer. 8p p ímpares Pdems retirar n máim meias distintas. A quarta meia a ser retirada será azul, preta u branca, frmand, assim, um par. Lg, mínim que devems retirar é. ) I. O númer ttal de senhas é.... II. O númer de senha em que aparece é: u u ) C ) A III. A senha fi cntada entre as d tip e as d tip, u seja, fi cntada duas vezes, precisams descntar vez. IV. O númer de senhas pssíveis é: ( ). I. Ttal de telefnes celulares, cm númers de 8 algarisms e primeir algarism 9: II. Ttal de telefnes celulares cm númer de 9 algarisms e primeir algarism 9: Lg, aument na quantidade de númers telefônics será de: (0 ) 9. 0 dígits: 0p. 0p. 0p. 0p. 0p. 0p Sem dígit : 9p. 9p. 9p. 9p. 9p. 9p Prtant, para s códigs de abertura cm mens um dígit será ) a) (Ré, Mi, Ré, Mi), (Fá, Sl, Lá, Si), (Dó, Ré, Dó, Mi) e (Lá, Fá, Si, Dó) ) 0 (Dó, Sl, Fá, Mi) (Si, Sl, Si, Ré) (Fá, Lá, Dó, Mi) (Dó, Sl, Dó, Sl) (Mi, Lá, Ré, Sl) b) Tems pssibilidades para esclher a primeira nta. Cm nã se pde repetir a nta usada na primeira, tems pssibilidades de esclha para segunda. Para esclher a terceira, sem repetir a nta usada na segunda e pdend repetir a nta usada na primeira, tems pssibilidades. Seguind esse racicíni, na quarta também tems pssibilidades. p. p. p. p Se ele tem M paletós e N calças, entã M. N. Cm,.. 8.., segue que númer de peças pde ser u + 0 Assim, númer mínim de peças é 0. Matemática E

5 ) 0. Verdadeir. 0. Verdaderi. P! Fals.. P. (... ) 08. Verdadeir. 0. P 0. (.. ) 0 ) a) 8 Se P e S frem clridas cm cres distintas, eistem: maneiras de esclher a cr de P; maneiras de esclher a cr de S; maneiras de esclher a cr de Q; maneiras de esclher a cr de R. b) 8) 00 Prtant,... 8 maneiras Se P e S frem clrids cm a mesma cr, eistem: maneiras de esclher a cr de P e S; maneiras de esclher a cr de Q; maneiras de esclher a cr de R. Prtant,.. maneiras de clrir mapa. A!...! ( )!! )! 0..! ( )! 0! A 0) 80 A 0. 0! ! ( )!! ) Tems 0 algarisms e letras, prtant: 0! 0 A0. A ( 0 )!.!! ( )!!.!! ) D ) E!...! A.. 0 ( )!! 0! ! ( 0 )!! A 0 ) 9 ) D ) B ) B p Nã pde zer. p p Tems cm primeir algarism e estand em qualquer psiçã restante. Para s dis algarisms que faltam, tems: 8! 8! 8..! A 8 8. ( 8 )!!! Além diss, pde estar em uma das três psições, u seja:. 8 Ds algarisms apresentads, pderems usar três deles n algarism das centenas, pis iniciar cm seria menr que 00 e iniciar cm 9 seria mair que 800. N segund algarism pdems utilizar tds mens usad n algarism das centenas, u seja, pssibilidades. N algarism das unidades, tds mens s já utilizads, u seja, pssibilidades. p.. p..!.. 0!. ( )! 0! A Matemática E

6 8) 0!..! ( )!! A. 0. A.!.! ( )! 0! ) D 9) A!.....! A ( )!! ) B ) C 00! ! ( )! 98! A 00 Querems frmar númers maires que 00 e cm algarisms distints. Vams cnsiderar ttal de cass A, mens s cass que irmã I é presidente e irmã II é vice, u irmã II é presidente e I é vice. Lg: A!..! ( )!!. 0 8 ) C ) A ) D 9p Nã pde ser zer. 9p 8p Dispms de 8 algarisms: {0,,,,,,, 9}. Querems frmar númers maires que 000 e cm algarisms distints... A (usads e, restam para "casas").. A.. A 9.. A... A (usand, restam para "casas") 9... A Assim, ttal será:. A + A Cm querems númers menres que 0 000, na primeira "casa" só pdems ter u. Cm iss ainda tems algarisms para as "casas" restantes. p ) E ) C 8) C 9) C 0) B ) C. A (usads e, restam para "casas").. A (usad, restam para "casas").. A Ttal: A +. A +. + Nã pde zer. p p... 9! C!..!!( )!!!!!. 8! 8 8 C !!( )!..!!. 8! 8 8 C !!( )!..!!. 0! !!( )!.. 0!!. C 0 O tabuleir de adrez pssui "casas". C!..!!( )!. 0!! A Matemática E

7 ) 0 Se F sempre está presente, entã devems esclher membrs num grup de pessas.! C!...!!( )!!!.. 0!!. ) C ) D Vams encntrar ttal de cmbinações e descntar s cass em que gegrafia e história nã aparecem. Ttal! C 9!!... Se história e gegrafia nã aparecem, entã devems selecinar disciplinas entre 0 fertadas. 0! C 0!!... C C Dentre s jgadres, devems esclher levantadr entre dis pssíveis e utrs jgadres entre s 0 restantes. ) 8 ) A C. C 0. 0 Vams encntrar ttal de cmbinações pssíveis e descntar s cass em que marid e espsa estã junts. Ttal C 0 0 Agra, se marid e espsa já fram esclhids, restam duas vagas para 8 pessas. C 8 8 C 0 C ( ) + ( + ).( + ) ( ) + ( + ).( + ) ) C Se casal participar de grup, entã tems rapazes entre 9 pssíveis e mças entre pssíveis. C 8) B 9) A 9. C. C. C. C C 0) C ) D ) B ) B n n n n nn n n n.( ).( )! ( )!( )!!( n )! Vams encntrar a quantidade ttal de triânguls fazend cmbinaçã cm s pnts e descntand s cass em que pegams pnts de uma mesma reta. C C C 0 C n Send P psitiv e N negativ, tems que prdut de fatres será psitiv: P. P. P C + N. N. P C. C. Send númer de times, tems: C + C +! + ( + )!!( )!!!.( ).( )! +!( )! ( + ).( + ).!!! N cas ds gleirs, tems uma vaga e dis jgadres, n cas ds utrs jgadres, tems vagas e jgadres. C. C. 0 Matemática E

8 ) E C C n n 0 C C n n!( n )!!( n )!.! (n )!! (n )!.! (n ). ( n )!.! ( n )! (n ) n n 0 n ) 0 ) D ) A Nte que tems 0 pssibilidades para carg de síndic. Send essa vaga cupada, tems 9 pssibilidades para síndic. Cm essas duas vagas fram cupadas, restam 8 pessas para cuparem as vagas restantes. 0p. 9p. C Vams fazer a cmbinaçã cm s 8 pnts e descntar s cass em que pegams três pnts de uma mesma reta. C C C 0 8 A, C.!!! ( )! ( )![( ( )]!.!!! ( )!! ( )!! ( )! ( )!!. ( )!!! ( )! ( )!..!! ( ). ( )!. 8) a) 9) D 80) B Tems mulheres e hmens C. C. b) 0 Seja M mulheres e H hmens. Vams separar s cass pssíveis. 0M e H C M e H C M e H C M e H C. C. 0. C C. Ttal: Jã esclheu númers, mas s cartões sã cmpsts pr númers, lg, númer de cartões frmads é: C Cm cada cartã custa R$,00, tems.,00 Cada jg é cmpst pr númers. Cnsiderand s jgs em que Jã acertu a quadra, verificams que ds seis númers, quatr sã fis. Prtant, cm ele marcu númers, tems para serem esclhids entre númers restantes. C Jã acertu quadras, u seja, R$9,9. 8 Matemática E