As várias interpretações dos Números Racionais

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1 As várias interpretações ds Númers Racinais (Algumas das tarefas apresentadas a seguir fram retiradas u adaptadas da Tese de Dutrament de Maria Jsé Ferreira da Silva, cuj text se encntra n seguinte endereç: 1. Cncepçã de parte de Neste cas, td recebe também nme de inteir, ist é, representa númer de partes iguais em que td fi dividid na fracçã a/b em que a é númer de partes que estã a ser cnsideradas. As tarefas que envlvem a parte de pdem ser de 4 tips: a) Identificar númer fraccinári que crrespnde a uma parte da figura apresentada. mdel cntínu: 5 cm 2 cm 3 cm 2 cm mdel discret: Que parte ds círculs estã pintads? Que parte das figuras crrespnde as quadrads? 1

2 b) Identificar um númer fraccinári dad numa figura. Pintar metade da figura (mdel cntínu): Pintar um terç da figura (mdel cntínu): Pintar dis quints ds círculs da figura (mdel discret): c) Cmpr inteirs e determinar fraccináris. mdel cntínu: Cnstrua uma figura cm as peças d Tangram e determine a fracçã dessa figura que crrespnde a: - paralelgram; - triângul mair. mdel discret: 2

3 O Jã, Pedr e Marc sã adepts d jg d berlinde. O Jã tem cinc berlindes, Pedr sete e Marc seis. Que parte ds berlindes tem cada um? Explique racicíni. d) Recnstituiçã d inteir. Se a figura abaix é um terç d inteir, desenhe inteir (mdel cntínu). Se a figura abaix é um quart d inteir, desenhe inteir (mdel cntínu). Se 7 2 ds berlindes d Sérgi sã verdes e ele tem 12 berlindes verdes, qual ttal de berlindes d Sérgi? (mdel discret). 3

4 2. Cncepçã de medida Para tarefas assciadas à cncepçã de medida, pr exempl a medida de cmpriment, tems de cnsiderar três tips de bjects: (a) a unidade de suprte (a recta numérica u utr esquema de medida), (b) a subunidade de medida que crrespnde à fracçã 1/b em que b é númer de partes em que se divide a unidade de md a permitir a mediçã e (c) númer fraccinári a/b que representa resultad da mediçã a realizar. Sã prpstas as seguintes tarefas que envlvem a cncepçã de medida ns númers racinais: a) Determinar medidas em segments dividids em partes iguais: Qual a distância entre 0 e A? 0 A 1 Qual a distância entre B e C? 0 B C 1 Qual a distância entre D e E? 0 1 D 2 E 3 b) Determinar medidas em segments nã dividids em partes de mesma medida. Qual a distância entre 0 e F? F 0 1 Qual é a distância entre G e H? 0 G H 1 c) Recnstituiçã da unidade Se a distância entre 0 e J representa 4 3 da unidade, qual é a unidade? 0 J 4

5 3. Cncepçã de quciente a/b significa que a fi distribuíd em b partes iguais. a) Distribuir igualmente a bjects pr um númer b de partes. Que parte de chclate receberá cada pessa se distribuirms igualmente 3 chclates pr 5 pessas? Que parte de chclate receberá cada pessa se distribuirms igualmente 5 chclates pr 4 pessas? b) Distribuir igualmente a bjects de acrd cm uma quantidade dada. Quantas crianças receberã bmbns, se distribuirms igualmente 105 bmbns, de tal frma que cada criança receba 15? (mdel discret) Quantas crianças receberã chclate, se frem distribuíds igualmente 5 chclates, de tal frma que cada uma receba 5/6? (mdel cntínu) 4. Cncepçã de razã Permite cmparar medidas de duas grandezas u duas medidas da mesma grandeza. Neste sentid, a/b u a : b deve ler-se: a está para b, send a antecedente e b cnsequente, cm terms da razã. Determinar a razã entre açúcar e farinha numa receita de bl que utiliza duas chávenas de açúcar para três chávena de farinha. Se para fazer uma jarra de refresc utilizams 3 cps de sum cncentrad para 12 cps de água, qual a razã de sum cncentrad para água? N café d sr. Justin refresc de grselha é feit na razã de 1 medida de grselha para 3 de água. N café d sr. Albert mesm refresc é feit na razã de 2 dessas medidas de grselha para 5 de água. a) Sabend que Jã é muit guls e apreciadr de refresc de grselha frte, qual deverá ser café esclhid pr ele? b) Pr sua vez, Misés acha que qualquer ds refrescs é demasiad frte para seu gst. O que deverã fazer s dns ds respectivs cafés para servirem um refresc de grselha que seja d agrad d Misés? c) Os amigs da Mónica frequentam habitualmente café d sr. Justin, mas a Mónica acha que refresc de grselha é muit frac. O que deve fazer Sr. Justin para agradar à Mónica? 5

6 5. Cncepçã de peradr Quand fraccinári a/b actua sbre uma quantidade, mdificand-a e prduzind uma nva quantidade, cnsidera-se fraccinári a/b cm peradr. a) Transfrmar uma grandeza pela acçã de um peradr fraccinári: Cnstruir um quadrad cuj lad é 3 2 d lad de um quadrad que tem 9 unidades de lad (mdel cntínu) Calcula númer de crms da Sílvia sabend que tem 5 3 d númer de crms da clecçã d Jsué, que tem 150 crms (mdel discret) Se a capacidade de 7 6 de um recipiente é 42 litrs, qual é a capacidade d recipiente? 6

7 Material Cuisenaire (cnjunt de tarefas prpstas pela equipa de frmadres da ESE de Lisba) Cmparar barras Tarefa 1 Cnsidera cm unidade a barra verde escura. Que fracçã da barra verde escura é representada pela barra verde clara? E a barra branca? E a barra vermelha? Tarefa 2 Cnsidera agra a barra laranja cm send a unidade. Que fracçã da barra laranja representa a barra amarela? E a barra branca? E a castanha? Qual é a barra que representa 0,9? Qual é a barra que representa 1 5? Tarefa 3 Esclhe cm s elements d teu grup uma barra para ser a unidade. Cnsegues uma barra que seja 1 2 da barra que esclheste? Tarefa 4 Se a barra verde clara representa 3 4 qual é a barra que representa a unidade? Tarefa 5 Se a barra vermelha representa 1 5 qual é a barra que representa a unidade? E qual é a barra que representa 1 2? 7

8 Invers de um númer Uma das prpriedades da multiplicaçã de númers racinais é a d element invers: Para td q=a/b em Q, q diferente de zer, existe q -1 =b/a em Q, tal que q x q -1 = 1 Esta última prpriedade pde ser escrita cm: a b b a 1 Situações prblemáticas: a) O sr. Albert, prdutr de azeite, distribuiu uma bilha de 10 litrs de azeite pr recipientes cm capacidade de 1/10 da capacidade da bilha. Cm quants litrs ficu cada recipiente? b) Um caracl, que está n fund de um pç cm 5 metrs de prfundidade, sbe pr dia 1/5 desta distância. Qual a distância percrrida pr dia? c) O Jaquim estuda sempre duas hras pr dia. Cm tem dificuldades em Matemática, esta é a disciplina em que investe mais temp de estud. Assim, estuda sempre ½ d temp ttal de estud. Quant temp estuda Matemática pr dia? d) O Manuel cmpru duas tabletes de chclate e cmeu 2/3 de uma. Lg, ainda ficu cm 1/3 desta e utra tablete inteira, ist é, ficu cm 4/3 de chclate. Na hra d lanche cmeu algum d chclate que tinha e a irmã disse-lhe: - Já reparaste que cmeste ¾ d chclate que tinhas? Que quantidade de chclate cmeu Manuel a lanche? Cnclusã: O prdut de quaisquer dis númers inverss é sempre 1. 8

9 Operações cm Númers Decimais (Algumas das tarefas apresentadas a seguir fram retiradas u adaptadas d seguinte livr: Center, J.(1988). Númers Decimales. Pr qué? Para qué? Madrid: Síntesis) Númer Decimal Os númers racinais representads pr dízimas finitas da frma a 0, a 1, a 2, a k = a 0, a 1, a 2, a k x 10 -k (k finit) sã vulgarmente designads pr númers decimais (Reis e Fnseca, 2000, p. 143). Adiçã e Subtracçã cm Númers Decimais: Exempl para se cmpreender a adiçã de númers decimais: 2, ,59 = 2347 / / 100 = 2347 / / 1000 = 2937 / 1000 = 2,937 Regras: 1 Escrever númer decimal de frma que as vírgulas cincidam em cluna. 2 Acrescentar s zers necessáris para que tds s númers tenham mesm númer de algarisms depis da vírgula. 3 Adicinar u subtrair seguind as regras da adiçã u subtracçã de númers naturais. 4 Clcar a vírgula n resultad, em cluna cm a ds terms da adiçã (u subtracçã), de frma que a sma (u a diferença) tenha mesm númer de algarisms depis da vírgula que cada um ds terms da adiçã (u subtracçã). Exempl: 2,347 2, ,59 + 0,590 2,937 9

10 Multiplicaçã cm Númers Decimais: Esta peraçã exige mair atençã que a adiçã e subtracçã, prque cstumam surgir algumas dificuldades. A realizar, pr exempl, as seguintes perações: = 8 0,6 + 0,2 = 0,8 0,6 x 0,2 = 0, = 9 0,7 + 0,2 = 0,9 0,7 x 0,2 = 0,14 Cnstata-se que a na adiçã u subtracçã de decimais se aplicam as mesmas regras que se cnhecem para a adiçã u subtracçã cm inteirs. Cntud, quand se trata de multiplicar, prdut já nã tem mesm númer de casas decimais que s factres. A extensã da multiplicaçã ds naturais as decimais nã é imediata. Pr utr lad, mdel de multiplicaçã que se aprendeu para s naturais, que cnsiste em bter um númer mair quand se multiplica pr utr, já nã se aplica e é precis cnstruir uma nva multiplicaçã que tenha em cnta utrs númers, além ds naturais e em particular s númers inferires à unidade. Exempl para se cmpreender a multiplicaçã de númers decimais: 8,79 x 27,3 = ( / 100) x ( / 10) = (879 / 100) x ( 273 / 10) = ( 879 x 273 / 1000) = / 1000 = 239,967 Regras: 1 Multiplicar s númers cm se fssem inteirs. 2 Clcar a vírgula tend em cnta que haja tantas casas decimais n resultad cm a sma das casas decimais ds factres. 10

11 Divisã cm Númers Decimais Observems, em primeir lugar, que quciente de dis decimais nã é sempre um númer decimal; prtant, cnjunt ds númers decimais nã é fechad para a divisã. Pr exempl, 1 / 2 : 3 / 4 = 2 / 3; 1 / 2 e 3 / 4 sã númers decimais, mas 2 / 3 nã é um númer decimal. Nã existe nenhum númer decimal que multiplicad pr 3 / 4 dê 1 / 2. Na escrita decimal: númer 0,5 : 0,75 nã é um númer decimal. Em segund lugar, vejams que md de divisã válid para s númers naturais também nã se pde aplicar as númers decimais. De fact, quand se divide um númer natural (dividend) pr utr númer natural (divisr) btém-se sempre um númer mais pequen (quciente) que dividend. Cntud, quand se divide um númer decimal pr utr númer decimal, é pssível bter cm quciente um númer mair que dividend. Pr exempl, 0,7 : 0,2 = 3,5. A pergunta a fazer-se será: Qual númer que multiplicad pr 0,2 rigina 0,7? Regras: 1 N divisr deslca-se a vírgula para a direita tantas casas quantas as necessárias para que tenhams um númer inteir, e n dividend deslca-se a vírgula tantas casas para a direita quantas as necessárias cm tenha sid necessári fazer n divisr. 2 Realiza-se a divisã utilizand algritm habitual ds númers inteirs, tend em cnta que quciente deverá ter mesm númer de casas decimais que nv dividend. Exempl para se cmpreender a divisã de númers decimais: 0,00045 : 0,005 = 0,00045 / 0,005 = 0,00045 x 1000 / 0,005 x 1000 = 0,45 : 5 = 0,09. 11