Capítulo II. Funções reais de variável real. 2.1 Conceitos Básicos sobre Funções. ( x)

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1 Capítulo II Funções reais de variável real.1 Conceitos Básicos sobre Funções Sejam D e B dois conjuntos. Uma unção deinida em D e tomando valores em B é uma regra que a cada elemento de D az corresponder um único elemento de B. Escreve-se D Ao conjunto D chama-se o domínio de, a B conjunto de chegada e a ( ) imagem do elemento Nota A. ( ) uma vez que representa uma unção e ( ) elemento pela unção. B ( ) representa a imagem do Seja D B uma unção. Deinições Chama-se imagem (ou contradomínio) de ao subconjunto de B ormado por todos os elementos que são imagem de algum elemento de D. Escreve-se Im ( ) ( CD ) y B y ( ) { para algum D} Eemplo Im( ) (note-se que o quadrado de um número é sempre não negativo) 7

2 Capítulo II Funções Reais de Variável Real 8 diz-se uma unção real de variável real se D, B. O gráico de ( ( ) ) é o conjunto de pontos P, e representa-se por { } ( ) (, y) D y ( ) Gr Pergunta Dado um gráico, como poderemos saber se representa o gráico de uma unção? Resposta Note-se que na deinição de uma unção oi eigido que a cada elemento do domínio correspondesse um único elemento do conjunto de chegada, ou seja, cada recta vertical do plano pode intersectar o gráico no máimo uma vez. não representa uma unção representa uma unção Deinições Uma unção D B diz-se Crescente se ( ) ( y) y D < y, Estritamente crescente se ( ) < ( y) y D < y,

3 Capítulo II Funções Reais de Variável Real 9 < y y, y D Decrescente se ( ) ( ) < y > y, y D Estritamente decrescente se ( ) ( ) Monótona se é (sempre) crescente ou (sempre) decrescente. Estritamente monótona se é (sempre) estritamente crescente ou (sempre) estritamente decrescente. Deinições Seja D B. diz-se sobrejectiva se Im ( ) B, isto é, se o conjunto de chegada coincide com a imagem de Eemplos ( ) y y B D ) ) Função Imagem Sobrejectividade Im ( ) Im( ) Im ( ) é sobrejectiva pois a imagem coincide com o conjunto de chegada. não é sobrejectiva pois a imagem ( ) é dierente do conjunto de chegada. não é sobrejectiva. 4) Im( ) é sobrejectiva. diz-se injectiva se a pontos dierentes do domínio corresponderem imagens distintas i.e.,

4 Capítulo II Funções Reais de Variável Real 1 Eemplos y ( ) ( y), y D ( ( ) ( y) y, y ) D Função y ( ) ( y) Injectividade y y ( ) ( y) é injectiva ) ( ) ( y) y y ( y)( y) y y não é injectiva ) ( ) ( y) y é injectiva y ( y)( y) y y (note-se que o caso y não pode ocorrer) 4) ( ) ( y) y y y é injectiva Nota Graicamente, veriica-se que uma unção é injectiva se qualquer recta horizontal intersecta o gráico, no máimo, uma vez. diz-se bijectiva se é injectiva e sobrejectiva. Eemplos Função Bijectividade é bijectiva.

5 Capítulo II Funções Reais de Variável Real 11 ) não é bijectiva porque não é sobrejectiva nem injectiva. ) é bijectiva pois é sobrejectiva e injectiva. Deinições Uma unção D diz-se D par se ( ) ( ) Eemplo Nota Qualquer unção par é simétrica em relação ao eio dos yy s impar se ( ) ( ) D Eemplo Nota Qualquer unção ímpar é simétrica em relação à origem. periódica se eistir > ) T tal que ( T ) ( ) D. (T diz-se o período de

6 Capítulo II Funções Reais de Variável Real 1 Eemplos ( ) sen( ) é uma unção periódica de período π. ) ( ) tg( ) ( π ) sen( ) sen g é uma unção periódica de período π. ) ( ) tg( ) tg ( π ) tg( ) h também é uma unção periódica de período π. tg ( π ) tg( ) Nota Se uma unção é periódica de período T, o gráico de repete-se de T em T unidades. limitada se a imagem de or um conjunto limitado, i.e., L > ( ) L D Eemplo Função Imagem Limitada ) ( ) [, [ Im conjunto não limitado Im( ) [ 1,1 ] sen( ) conjunto limitado é ilimitada é limitada Nota Se uma unção é limitada, o todo gráico de está entre duas rectas horizontais, por eemplo, entre y L e y L. Deinições Dada uma unção D diz-se que ( c) é um máimo de se ( ) ( c) D. ( c) é um mínimo de se ( c) ( ) D. tem um etremo se possui algum máimo ou mínimo.