C 01. Introdução. Cada cateto recebe o complemento de oposto ou adjacente dependendo do ângulo de referência da seguinte forma: Apostila ITA.

Transcrição

1 IME ITA

2 Apstila ITA Intrduçã C 0 A trignmetria é um assunt que vei se desenvlvend a lng da história, nã tend uma rigem precisa. A palavra trignmetria fi criada em 595 pel matemátic alemã arthlmaus Pitiscus e tem rigem ns terms gregs tri (que significa três), gn (que significa ângul) e metrn (que significa medida), u seja, em sua rigem a palavra trignmetria significa: estud das medidas de um triângul. N sécul II a.c. astrônm Hiparc fez um tratad de dze livrs ns quais estava presente a cnstruçã d que se pde chamar de tabela trignmétrica. A tabela de Hiparc cnsistia em relacinar ângul α, da figura a seguir, cm a razã entre a semi-crda e rai da circunferência. A r α Semi-crda A Este assunt fi send desenvlvid pr pvs distints a lng da história, lg, sfreu várias traduções até se chegar a term sinus (palavra d latim que significa dbra u baía ). O term sinus, d latim, deu rigem a term sen, d prtuguês, prtant sen de um ângul α é a razã entre a semi-crda e rai. A partir d cnceit de sen a trignmetria se desenvlve, surgind utras funções trignmétricas. Para um estud intrdutóri das funções trignmétricas triângul retângul se mstru uma ferramenta aprpriada. Triângul retângul Triângul retângul é td triângul que pssui um ângul ret. Neste triângul lad pst a ângul ret é chamad de hiptenusa e s demais lads sã chamads de catets, bserve a figura: Catet Hiptenusa Catet Cada catet recebe cmplement de pst u adjacente dependend d ângul de referência da seguinte frma:

3 Matemática Catet pst a α Hiptenusa Catet adjacente a α α Catet adjacente a α α Hiptenusa Catet pst a α Em triânguls retânguls vale a relaçã: a sma ds quadrads ds catets é igual a quadrad da hiptenusa, que é cnhecida cm terema de Pitágras. Em terms simbólics tem-se:. a c b a = b + c Exempl: Qual é a expressã da altura h de um triângul equiláter, em funçã d lad l. Resluçã: A altura de um triângul equiláter divide lad pst em duas partes iguais, cm ist, tem-se a figura: l h l/ Aplicand terema de Pitágras: l l l l l = + h h = l h = h =. 4 4

4 Apstila ITA Razões trignmétricas n triângul retângul Para entendiment das razões trignmétricas em um triângul retângul é necessári ntar que tds s triânguls que apresentam s ânguls interns cm as mesmas medidas sã semelhantes. A imprtância da semelhança pde ser verificada quand se analisa a metade d triângul equiláter. A bservar exempl anterir nta-se que a razã entre catet pst a ângul de 0 e a hiptenusa é cnstante: 0 l h 60 l/ catet pst à 0 l = =, cm td triângul retângul cm um ângul de 0 é hiptenusa l semelhante a este, a razã catet pst à 0 hiptenusa As principais razões trignmétricas sã: sempre será igual a. Sen de um ângul: Cssen de um ângul: Tangente de ângul: catet pst à α sen α= hiptenusa catet adjacente à α cs α= hiptenusa catet pst à α tg α= catet adjacente à α Exempl: Uma figura muit utilizada é triângul pitagóric a seguir:

5 Matemática β 5 Para ele têm-se as seguintes razões trignmétricas: 4 4 sen α= cs α = tg α= sen β = α 4 csβ = 5 4 tgβ= Quand a sma de dis ânguls é igual a 90 eles sã dits cmplementares, lg s ânguls aguds de um triângul retângul sã cmplementares. Cm ist verifica-se que sen de um ângul agud é cssen de seu cmplementar, u viceversa. sen cs 90 cs α = sen 90 α α= ( α ) u ( ) Relações fundamentais A partir das definições das razões trignmétricas e d terema de Pitágras, btêm-se as seguintes relações: sen α tg α= cs α sen α+ cs α=, prtant, se fr cnhecida uma razã trignmétrica tdas as utras pdem ser calculadas. Exempl: 5 Send α um ângul agud e sen α =, determine: a) cs α b) tg α Resluçã: a) 5 44 sen α+ cs α= + cs α= cs α= cs α= 69 b) 5 sen α 5 tg α= tg α= tg α= cs α 4

6 Apstila ITA Tabela de valres trignmétrics Devid à facilidade da btençã das razões trignmétricas de alguns ânguls, estes sã cnhecids cm ânguls ntáveis. Sã eles 0, 45 e 60 e sua tabela de razões trignmétricas é: sen cs tg A btençã de tal tabela se dá a partir das figuras: l 0 h l 45 l 60 sen 0 sen 0 l/ l = l = l sen 60 = l sen 60 = l tg0 = l tg0 = cs0 cs0 cs 60 cs 60 tg 60 l = l = l = l = l = l tg 60 = 45 l l sen 45 = l sen 45 = l cs 45 = l cs 45 = l tg 45 = l tg 45 = 5

7 6 Matemática A btençã ds sens, cssens e tangentes de utrs ânguls nã ntáveis pde ser um puc cmplicada, pr iss será apenas frnecida sem a cnstruçã devida. ÂNGULO α sen α cs α tgα º 0,08,000 0,08 º 0,05 0,999 0,05 º 0,05 0,999 0,05 4º 0,070 0,998 0,070 5º 0,087 0,996 0,088 6º 0,05 0,995 0,05 7º 0, 0,99 0, 8º 0,9 0,990 0,4 9º 0,56 0,988 0,58 0º 0,74 0,985 0,76 º 0,9 0,98 0,94 º 0,08 0,978 0, º 0,5 0,974 0, 4º 0,4 0,970 0,49 5º 0,59 0,966 0,68 6º 0,76 0,96 0,87 7º 0,9 0,956 0,06 8º 0,09 0,95 0,5 9º 0,6 0,946 0,44 0º 0,4 0,940 0,64 º 0,58 0,94 0,84 º 0,75 0,97 0,404 º 0,9 0,9 0,45 4º 0,407 0,94 0,445 5º 0,4 0,906 0,466 6º 0,48 0,899 0,488 7º 0,454 0,89 0,50 8º 0,470 0,88 0,5 9º 0,485 0,875 0,554 0º 0,500 0,866 0,577 º 0,55 0,857 0,60 º 0,50 0,848 0,65 º 0,545 0,89 0,649 4º 0,559 0,89 0,675 5º 0,574 0,89 0,700 6º 0,588 0,809 0,77 7º 0,60 0,799 0,754

8 Apstila ITA Exempl: 00 8º 0,66 0,788 0,78 9º 0,69 0,777 0,80 40º 0,64 0,766 0,89 4º 0,656 0,755 0,869 4º 0,669 0,74 0,900 4º 0,68 0,7 0,9 44º 0,695 0,79 0,966 45º 0,707 0,707,000 Determine valr de x na figura abaix: x Resluçã: x x sen 6 = 0,588 = x = 58, Exercícis 0. (UFP P) N triângul retângul desenhad a lad, calcule tgc. A C 0. (Unificad/RJ) Uma escada de m de cmpriment está apiada n chã e em uma parede vertical. Se a escada faz 0 cm a hrizntal, a distância d tp da escada a chã é de: a) 0,5m b) m c), 5 m d), 7 m e) m 7

9 Matemática 0. (Uniube/MG) N quadriláter ACD, representad na figura, s ânguls interns A e C sã rets, s ânguls CD ˆ e AD ˆ medem, respectivamente, 45 e 0 e lad CD mede cm. Os lads AD e A medem, respectivamente A C D a) 5cm e cm b) 5cm e cm c) 6cm e 5cm d) 6cm e cm e) 6cm e cm 04. (UEL PR) Cm respeit as pnts A,, C, D e E, representads na figura abaix, sabe-se que CD = C e que a distância de D a E é m. Entã, a distância de A a C, em metrs, é: A 60º C 0º D a) 6 b) 4 c) d) e) E 05. (PUC Campinas) Em uma rua plana, uma trre AT é vista pr dis bservadres X e Y sb ânguls de 0 e 60 cm a hrizntal, cm mstra a figura abaix: Se a distância entre s bservadres é de 40m, qual T é aprximadamente a altura da trre? (Se necessári, utilize =, 4 e =, 7 ). a) 0m b) m 60º 0º c) 4 m A X Y d) 6 m e) 8m 8

10 Apstila ITA 06. (Un/DF/Julh) Um bservadr, estand a L metrs da base de uma trre, vê seu tp sb um ângul de 60. Afastand-se 00 m em linha reta, passa a vê-l sb um ângul de 0. Determine 4 h nde h é a altura da trre. 07. (Mackenzie SP) Na figura abaix determinar valr A. A (Unifr/CE/Julh) Na figura abaix CD // A, CD = m e A = 48m. A 0 C D A medida d segment AD, em metrs, é aprximadamente igual a a) 78 b) 74 c) 7 d) 68 e) Send ACD um quadrad de lad cm, M pnt médi d segment A e DCE um triângul equiláter, respnda que se pede: a) Qual é a altura d triângul DEC? b) Qual é cmpriment d segment EM? c) Qual é cmpriment d segment E? d) Quant mede ângul ME ˆ? e) Calcule sen e cssen d ângul ME ˆ. 9

11 Matemática C 0 Graus e Radians A parte da circunferência cmpreendida entre dis pnts é chamada de arc. As medidas mais tradicinais de um arc sã grau e radian. O arc de um grau é a trecentésima sexagésima parte de uma circunferência, enquant que radian é a razã entre cmpriment d arc e rai da circunferência. Arc de 90 r l A A la A = radian r Observaçã: O term radian pde ser suprimid quand nã huver dúvida que arc em questã está em radian. O númer π A cnstante π é a razã entre cmpriment de uma circunferência e seu l ttal l ttal diâmetr, u seja, π= r. Cm ist = r π, u seja, a medida d arc de uma circunferência em radians é igual a π. Uma cnsequência d resultad anterir é que uma circunferência é um arc de 60, u π radians. Exempl: Resluçã: O arc de 60 é equivalente a quant em radians: Cm π radians e equivalente a 60, têm-se a prprçã: x π π π = x =, u seja, arc de 60 é equivalente a arc de radians

12 Apstila ITA Orientaçã Um bjet gemétric é rientad quand se esclhe um sentid para ser psitiv e sentid pst é negativ. Em uma reta se representa sentid psitiv através de uma seta, cm na figura a seguir: A nesta situaçã, se segment A tiver 5cm de cmpriment, entã A = 5cm e A = 5cm, u seja, d pnt A para pnt a distância é de cinc centímetrs n sentid psitiv, enquant que d pnt para pnt A a distância é de cinc centímetrs n sentid negativ. Cm s pnteirs ds relógis, tradicinalmente, se mvimentam em um únic sentid, este ficu cnhecid cm sentid hrári. O sentid cntrári a hrári é cnhecid cm sentid anti-hrári. Estes terms sã usads para rientar a circunferência. A figura a seguir exemplifica que acntece quand sentid esclhid cm psitiv é anti-hrári: 60 A A = 60 e A = 60 neste cas para se percrrer arc d pnt A para pnt ter-se-ia percrrid um arc de 60 n sentid anti-hrári, enquant que para se percrrer arc d pnt para pnt A teria sid usad sentid hrári, pr iss sinal negativ. Cicl trignmétric Em uma reta rientada na qual se fixa um pnt para ser a rigem, faz cm que tds s pnts sejam assciads a um númer real da seguinte frma: pnt O é assciad a númer 0 ; um pnt X, qualquer, é assciad a númer real OX, na unidade de cmpriment adequada; cm ist esta reta passa a ser chamada de eix e númer real a qual cada pnt é assciand é a crdenada d pnt

13 Matemática Cm a medida de um arc em radians é a razã entre cmpriment d arc e rai da circunferência, se rai da circunferência fr igual a uma unidade de cmpriment, entã a medida d arc é numericamente igual a seu cmpriment. Desta frma, tme uma circunferência qualquer, use seu rai cm unidade de cmpriment e cnstrua um eix, depis enrle eix sbre a circunferência dand infinitas vltas. Cm ist, cada númer real será assciad a um pnt sbre a circunferência e este númer será a crdenada, em radians, deste pnt Nesta situaçã, cada pnt é assciad a mais de uma crdenada, más cada crdenada é assciada a um únic pnt, lg a assciaçã entre númer real e pnt sbre a circunferência é uma funçã. Quand prcediment descrit anterirmente é feit em uma circunferência cm centr na rigem d plan cartesian, tal que arc de 0 radian cincida cm pnt ( 0, ) e a circunferência fique rientada n sentid anti-hrári, têm-se cicl trignmétric. Cicl trignmétric é uma circunferência de rai unitári, cm centr na rigem d plan cartesian, rientada n sentid anti-hrári e cm arc de 0 radian cincidind cm pnt ( 0, ). y Sentid psitiv - x 0 radian -

14 Apstila ITA Arcs côngrus Dis arcs sã côngrus quand representam mesm pnt n cicl trignmétric. Desta frma, a diferença entre dis arcs côngrus é alguma quantidade inteira de vltas, u seja, se α e β sã côngrus ( α β ), entã α β=π k β α., em que k é algum númer inteir. A primeira determinaçã psitiva de um arc α é um arc β, tal que β [ 0, [ Exempl: Qual é a primeira determinaçã psitiva de 5 π? Resluçã: 5 4 Cm π π π 8 π 5π π π 5π, lg, a primeira determinaçã psitiva de 5 π é. π y π = + = π+ = 4 ( π ), u seja, [ 0, [ π e π e π 5π - x - Desta frma um arc pertence a: primeir quadrante, se sua primeira determinaçã psitiva pertencer a π interval 0, ;

15 Matemática segund quadrante, se sua primeira determinaçã psitiva pertencer a π interval, π ; terceir quadrante, se sua primeira determinaçã psitiva pertencer a π interval π, ; quart quadrante, se sua primeira determinaçã psitiva pertencer a π interval, π. Sen, cssen e tangente Sen, cssen e tangente cm razões trignmétricas existem apenas para ânguls aguds, mas cm auxíli d cicl trignmétric estas funções sfrem uma π redefiniçã que incrpra a anterir e a expande para arcs fra d interval 0,. N cicl trignmétric cada númer real t é assciad a um pnt d cicl, acntece que n plan cartesian um pnt é par rdenad, u seja, cada t é x t, y t. assciad à ( ( ) ( )) y y () t t - x () t x - A partir daí, define-se cst = x( t) e sen t y( t) cssen de t e a rdenada de t é sen de t. 4 =, u seja, a abscissa d arc t é

16 Apstila ITA De acrd cm a nva definiçã, têm-se: y π/ π 0 - x - π/ Arc em radians Arc em graus 0 0 ( ) π Pnt Sen Cssen, ( 0, ) 0 π 80 (, 0) π 0 70 ( 0, ) 0 π 60 ( ), 0 0 De acrd cm a definiçã e bservand a figura têm-se também: y x

17 Matemática Arc em graus Arc em radians Cssen Sen π 6 5 π 6 7 π 6 π 6 Para a definiçã da tangente pel cicl trignmétric é necessári usar um eix auxiliar que tangencia cicl trignmétric n pnt (, 0 ), cm na figura a seguir: y tg( t) t - x - A tangente de um arc t é btida traçand uma reta que passa pela rigem d sistema de crdenadas, pel arc t e cruza cm eix auxiliar, a crdenada d pnt de cruzament é a tangente d arc t. 6

18 Apstila ITA A bservar a figura, têm-se: y x Arc em graus Arc em radians Tangente 60 π 0 π 40 4π 00 5π π π Nte que as tangentes ds arcs côngrus à e a nã estã definidas, pis uma reta que passa pel rigem d sistema de eixs e pr qualquer um destes arcs é paralela a eix auxiliar que determina as tangentes. Observaçã: Nte que cntinuam valend as relações fundamentais sen α sen α+ cs α= e tg α= cs α. 7

19 Matemática Exercícis 0. Transfrmar para radians. a) 0 b) 45 c) 60 d) Transfrmar em radians. 0. Em cada figura abaix calcule β,γ e θ, cm π < β<π, π π<γ< e a) π < θ<π, para: π α= 6 b) π α= 4 8

20 Apstila ITA c) π α= 04. O ângul agud frmad pels pnteirs de um relógi à hra e minuts é: a) 7 b) 0 c) 6 d) 4 e) (U.F.PA) Qual a menr determinaçã psitiva de um arc de 000? a) 70 b) 80 c) 90 d) 00 e) Marcar, n cicl trignmétric as extremidades ds arcs de medidas: a) k x =.π, nde k Z b) π π x = + k 4, nde k Z 07. (FUVEST) Qual ds númers é mair? Justifique. a) sen80º u sen95º. b) cs( 55º ) u cs90º. 9

21 Matemática π π π 08. (UFJF/MG) Escrevend s númers reais x = sen, y = sen, z = cs e w = π cs em rdem crescente, btêm-se: 7 a) x, y, w, z b) y, x, z, w c) y, x, w, z d) w, z, x, y e) z, w, y, y 09. (UEM/PR) Cnsidere um pnt P( x, y ) sbre a circunferência trignmétrica e que nã esteja sbre nenhum ds eixs crdenads. Seja α ângul determinad pel eix OX e pela semi-reta OP, nde O é a rigem d sistema. Nessas cndições, assinale que fr crret. 0. A abscissa de P é menr d que cs( α ). π 0. A rdenada de P é igual a sen α A tangente de α é determinada pela razã entre a rdenada e a abscissa de P. 08. As crdenadas de P satisfazem à equaçã x + y =. 6. Se x = y, entã tg( α ) =. π. α = é menr arc psitiv para qual a equaçã 4 π π cs ( α + π) + sen ( α + ) = cs ( α + ) + sen ( α + π) é satisfeita. sen α = y. 64. ( ) 0. Calcule a sma: sen º sen º... sen 88º sen 89º

22 Apstila ITA C 0 Lei ds cssens Em um triângul AC qualquer, vale a relaçã a = b + c bc cs A, em que a, b e c sã s lads d triângul e A é ângul pst a lad a. Demnstraçã: Na figura têm-se: c h a A  m ( ) a = h + b m a c = b bm a = c + b bm c = h + m m Cm cs  = m = c cs Â, basta substituir na relaçã anterir, daí: c a = b + c bc csâ. Exempl: Determine valr de X na figura. b C X 5 60º Resluçã: Pela lei ds Cssens: X = + 5 5cs60 X = X = 9 X = 9.

23 Matemática Exercícis 0. Calcule valr de x nas figuras abaix: a) b) c) 0. Deseja-se medir a distância entre duas cidades e C sbre um mapa, sem escala. Sabe-se que A = 80km e AC = 0km, nde A é uma cidade cnhecida, cm mstra a figura abaix. Lg, a distância entre e C, em km, é: a) menr que 90 b) mair que 90 e menr que 00 c) mair que 00 e menr que 0 d) mair que 0 e menr que 0 C e) mair que 0 A 60º 0. N quadriláter abaix, C = CD = cm, A = cm, ADC ˆ = 60º e AC ˆ = 90º. A medida, em cm, d perímetr d quadriláter é: a) b) c) d) 4 e) 5

24 Apstila ITA 04. Na figura abaix tem-se triângul AC inscrit em uma circunferência de centr D. Se A = 6 cm e AC = 9 cm, perímetr d triângul AC, em centímetrs, é aprximadamente igual a a) 8,4 b) 9,8 c) 0,6 d),4 e),9 05. O mstradr d relógi de uma trre é dividid em partes iguais (hras), cada uma das quais é subdividida em utras 5 partes iguais (minuts). Se pnteir das hras ( O ) mede 70cm e pnteir ds minuts ( OA ) mede m, qual será a distância A, em funçã d ângul entre s pnteirs, quand relógi marcar hras e minuts? 06. Os lads de um triângul frmam uma PA de razã. Send 0º a medida d ângul pst a lad de menr medida, calcule valr das medidas ds lads. 07. O triângul AC é equiláter de lad 4, AM MC = =, AP = e P =. O perímetr d triângul APM é:

25 Matemática a) 5+ 7 b) 5+ 0 c) 5+ 9 d) 5+ 6 e) Na figura abaix, AD = cm, A = cm, a medida d ângul ÂC é 0º e D = DC, nde D é pnt d lad AC. A medida d lad C, em cm, é A D C a) b) c) 5 d) 6 e) 7 C 04 4

26 Apstila ITA Lei ds sens Dad um triângul AC, a razã entre a medida de um lad d triângul e sen d ângul pst a esse lad é igual a dbr da medida d rai da circunferência circunscrita a triângul. A c ^ ^ A O a b ^ C R C a b c = = = R sen A sen sen C Demnstraçã: Cm td triângul é inscritível, inscreva triângul AC em uma circunferência e trace um diâmetr partid de um ds vértices d triângul, cm na figura a lad: Pel fat de P ser um diâmetr, segue que CP = 90º. Usand sen cm uma razã trignmétrica n triângul retângul, têm-se: a a sen A = R R sen A = resultad cmplet segue pr analgia. A Â Â P C Exempl: Determine valr de x na figura. Resluçã: x 4 Pela lei ds sens, tems: 4 sen 45º = x sen 60º = x x=. 4 sen60º = x sen45º 60º 45º 5

27 Matemática Exercícis 0. Três ilhas A, e C aparecem num mapa, em escala :0 000, cm na figura. Das alternativas, a que melhr aprxima a distância entre as ilhas A e é: a),km b),km c), 9 km d),4 km e), 7 km 0. Cnsidere triângul retângul abaix. C α D A Sabend-se que α = 0º, A = AC = cm, entã AD é igual a 6 a) b) c) d) cm cm cm cm

28 Apstila ITA 0. Uma circunferência de rai 4cm circunscreve um triângul AC. Calcule a medida d lad A, sabend-se que triângul AC nã é retângul e que ângul AC mede 0º. 04. Um bservadr, situad n pnt A, distante 0m d pnt, vê um edifíci sb um ângul de 0º, cnfrme a figura abaix. asead ns dads da figura, determine a altura d edifíci em metrs e divida resultad pr. Dads: A = 0 m ; ACD = 0º ; CÂ = 75º ; AC = 60º ; DCA = 90º. D C O triângul AC está inscrit em um círcul de rai R. Se cmpriment d lad C é: a) R /5 b) R /5 c) 4 R /5 d) 6 R /5 e) 8 R /5 A 75 0m senâ =, Sejam A,, C e N quatr pnts em um mesm plan, cnfrme mstra a figura a lad. 7

29 Matemática a) Calcule rai da circunferência que passa pels pnts A, e N. b) Calcule cmpriment d segment N. 07. Em um triângul AC lad A mede 4 e ângul C, pst a lad A, mede 45º. Determine rai da circunferência que circunscreve triângul. 08. Cnsidere a circunferência de centr O e rai R e s triânguls inscrits AC e CD, cnfrme a figura abaix: a) Escreva uma relaçã entre as medidas ds ânguls AC ˆ e DC ˆ. b) Mstre que C = R sen( AC ˆ ). 09. Para medir rai de um pequen lag circular, uma pessa usa seguinte prcediment: traça um ângul AO de 0º, send que s pnts A, O e estã sbre a margem d lag, e, em seguida, mede a distância de A a, cnfrme a figura. Justifique pr que a medida d segment A crrespnde a rai d lag. 8

30 IME ITA