Questão 1. Questão 3. Questão 2. Questão 4. Resposta. Resposta. Resposta

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1 Questã O númer de gls marcads ns 6 jgs da primeira rdada de um campenat de futebl fi 5,,,, 0 e. Na segunda rdada, serã realizads mais 5 jgs. Qual deve ser númer ttal de gls marcads nessa rdada para que a média de gls, nas duas rdadas, seja 0% superir à média btida na primeira rdada? O númer ttal de gls marcads na primeira rdada é = 5. Send n númer ttal de gls marcads na segunda rdada, para que a média de gls nas duas rdadas trne-se 0% mair que a da primeira rdada, devems ter 5 + n 5 =, n = Cm a distância entre P e B é 0 x e entre P e C é 5x 0, tems: 5x 0 = (0 x) 0 x = 50 km A distância que mradr de B deve percrrer é igual à distância entre P e B, u seja, 0 50 = 60 km. Questã Um triângul ABC tem lads de cmpriments AB = 5, BC = e AC =. Sejam M e N s pnts de AB tais que CM é a bissetriz relativa a ângul ACB ecné a altura relativa a lad AB. Determinar cmpriment de MN. Questã Três cidades A, B e C situam-se a lng de uma estrada reta; B situa-se entre A e C e a distância de B a C é igual a dis terçs da distância de A a B. Um encntr fi marcad pr mradres, um de cada cidade, em um pnt P da estrada, lcalizad entre as cidades B e C e à distância de 0 km de A. Sabend-se que P está 0 km mais próxim de C d que de B, determinar a distância que mradr de B deverá percrrer até pnt de encntr. Seja x a distância, em km, entre A e B. Assim, a distância entre B e C é x e a distância entre A ecéx x 5x + =, cnfrme mstra a figura a seguir: Seja AM = x. Pel terema da bissetriz interna, AM BM x 5 x 5 = = x =. AC BC Send m ( CAB ) =α, pela lei ds c-sens aplicada a triângul ABC, + 5 csα= = e 5 0 AN = AC cs α = = Prtant MN = AM AN = = 0 0. Questã Cnsidere a equaçã z = αz + ( α )z, nde α é um númer real e z indica cnjugad d númer cmplex z.

2 matemática a) Determinar s valres de α para s quais a equaçã tem quatr raízes distintas. b) Representar, n plan cmplex, as raízes dessa equaçã quand α = 0. z = + i u z = i u z = 0u z =, cujas representações n plan cmplex estã a seguir: Seja z = a + bi, a, b reais. Assim, z = α z + ( α )z (a + bi) = α(a + bi) + ( α )(a bi) a b + abi = aα a + bi a b = aα a ab = b a b = aα a a = = u b 0 a = = eb α u (b = 0 e a = (α )a) a = = eb α u ( ) (a = 0 e b = 0) u (a = α e b = 0) a) A equaçã admite quatr raízes distintas se, e smente se, a equaçã b = α admite duas raízes reais distintas e α 0, u seja, α >0 e α α< e α. b) Para α=0, a eb = = () u (a = 0 e b = 0) u (a = e b = 0) a eb u a eb = = = = u (a = 0 e b = 0) u (a = e b = 0) Questã 5 O prdut de duas das raízes d plinômi p(x) = x mx + x + é igual a. Determinar a) valr de m. b) as raízes de p. Sejam x e x as raízes cuj prdut é e x a utra raiz. Pelas relações entre ceficientes e d raízes, x x x = ( ) x = a x =. Lg é uma das raízes d plinômi. Aplicand entã algritm de Brit-Ruffini, m m 7 m 6 9 m a) Cm rest da divisã deve ser igual a zer, 6 9 m = 0 m = 7. b) Tems que x e x sã as raízes de Q(x) = x x = 0 x = ±. Prtant as raízes de p sã, +,.

3 matemática Questã 6 Questã 7 A figura abaix representa duas plias circulares C e C de rais R = cmer = cm, apiadas em uma superfície plana em P e P, respectivamente. Uma crreia envlve as plias, sem flga. Sabend-se que a distância entre s pnts P e P é cm, determinar cmpriment da crreia. Na figura a seguir, s pnts A, B e C sã vértices de um triângul retângul, send B ângul ret. Sabend-se que A = (0, 0), B pertence à reta x y = 0 e P = (, ) é centr da circunferência inscrita n triângul ABC, determinar as crdenadas a) d vértice B. b) d vértice C. Observe a figura a seguir, na qual O e O sã s centrs de C e C, respectivamente. N triângul retângul AO O, tgα = = α = 0. Assim, menr arc PQ tem medida angular = 0. Cm m(ao O ) = 90 0 = 60, mair arc QP tem medida angular = 0. Lg a crreia, que é frmada pels segments cngruentes PP e QQ e pels arcs PQ (menr) e QP (mair), tem cmpriment + 0 π π = = 6 + 6π cm. a) O pnt P é incentr de ABC, lg BP é a bissetriz de ABC, de md que m (ABP) = 5 e m (ABQ) = 5.

4 matemática Seja a = tgα ceficiente angular de BP. Cm ceficiente angular de AB : x y = 0 y = x é tg β=, α = β + 5 α β = 5 tg( α β) = tg 5 a tg α tg β = = + tg α tg β + a a =. Lg BP admite cm equaçã y = (x ) x y =. Uma vez que B pertence à reta y = x, B = b; b e, send B um pnt de BP, b b + 5 = 0 b = 6 e B = (6;). b) O rai da circunferência inscrita em ABC é d (P ; AB) = + ( ) = 5. Cm a reta AC passa pela rigem e nã cincide cm AB, admite equaçã y = mx mx y = 0, cm m. Se rai de C é igual a, determinar a) valr de r. b) a área da regiã destacada. a) Pela simetria da figura, s centrs das circunferências externas frmam um quadrad de lad r e diagnal r +. A distância de P a AC é igual a m m + ( ) m = 5, lg = 5 m m + = 0. E assim, C = c ;c. A reta BC, perpendicular a AB, admite equaçã y = (x 6) x + y 5 = 0. Cm C c pertence a essa reta, c + 5 = 0 c = e C = ( ;). Questã 8 Na figura a seguir, cada uma das quatr circunferências externas tem mesm rai r e cada uma delas é tangente a utras duas e à circunferência interna C. Lg r + = r r = +. b) A área da regiã destacada é igual à área d quadrad mens a área de um círcul de rai e a de quatr setres circulares de rai r e ânguls centrais de 90, ist é, ( ( + )) π π ( + ) = = 8 + (6 + 8 )π.

5 matemática 5 Questã 9 Seja m 0um númer real e sejam f e g funções reais definidas pr f(x) = x x + e g(x) = mx + m. a) Esbçar, n plan cartesian representad a seguir, s gráfics de f e de g quand m = e m =. b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quand m =. c) Determinar, em funçã de m, númer de raízes da equaçã f(x) = g(x). b) Para m =, g(x) = x +. Assim f(x) = g(x) x x + = x + x x x = ex 0 u x x + x = ex 0 x = u x = 0 u x = 5 c) Variand m, g(x) = mx + m representa feixe de retas cm ceficiente angular m 0 passand pr ( ; 0). As raízes de f(x) = g(x) sã as abscissas ds pnts nde s gráfics de f e g se crtam. Analisand gráfic esbçad a seguir: a) f(x) = x x x +,se x 0 x + = = x + x +,se x 0 (x ), se x 0 = (x + ), se x 0 Para m =, g(x) = x +. O gráfic de g é, entã, uma reta passand pr 0; e ( ; 0). Para m =, g(x) = x +. O gráfic de g é, entã, uma reta passand pr (0; ) e ( ; 0). Assim, pdems esbçar s gráfics: para m = 0, a equaçã pssui raízes reais, e ; para m =, a equaçã pssui raízes reais, uma delas igual a zer; para 0 < m < reais;, a equaçã pssui raízes para m >, a equaçã pssui raízes reais.

6 matemática 6 Questã 0 N sólid S representad na figura a seguir, a base ABCD é um retângul de lads AB = e AD = ; as faces ABEF e DCEF sã trapézis; as faces ADF e BCE sã triânguls equiláters e segment EF tem cmpriment. Determinar, em funçã de, vlume de S. Sejam G e H pnts sbre s prlngaments d segment EF tais que FG = EH =,demdque s quadriláters ABHG e CDGH sã retânguls. O vlume d sólid S é igual a vlume d prisma ret de base ADG e altura AB mens das duas pirâmides cngruentes FADG e EBCH. Seja M pnt médi de AD. Cm AFD é um triângul eqüiláter, FM =. Lg, aplicand Terema de Pitágras a triângul FGM, GM = = =. Assim vlume de S é dad pr = 5 =.