Soma dos ângulos: internos ou externos?

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1 Refrç esclar M ate mática Sma ds ânguls: interns u externs? Dinâmica 5 9º An 4º Bimestre Prfessr DISCIPLINA An CAMPO CONCEITO Matemática 9º d Ensin Fundamental Gemétric. Plígns regulares e áreas de figuras planas DINÂMICA Sma ds Ânguls: Interns u Externs? HABILIDADE Básica Calcular a sma ds ânguls interns de um triângul. HABILIDADE Principal H06 Identificar prpriedades cmuns e diferenças entre figuras bidimensinais pel númer de lads e/u pels tips de ânguls. CURRÍCULO MÍNIMO Calcular s ânguls interns e externs de um plígn regular. 1

2 Prfessr, nesta dinâmica, vcê irá desenvlver as seguintes etapas cm seus aluns: ETAPAS ATIVIDADE TEMPO ORGANIZAÇÃO REGISTRO 1 Cmpartilhar ideias. Dbraduras n triângul. de 15 a 20 min. Dupla de aluns. Individual. 2 Um nv lhar... A sma ds Ânguls Interns. de 15 a 20 min. Dupla de aluns. Individual. 3 Fique pr dentr! A sma ds Ânguls Externs. De 25 a 35 min. Dupla de aluns. Individual. 4 Quiz. Quiz. 10 min Individual Individual. Prfessr 5 Flex Análise das respstas a Quiz. Para Saber + Análise das respstas a Quiz. 15 min Cletiva Individual. Esta é uma seçã de aprfundament, para depis da dinâmica. O alun pde realizar, quand desejar, mas prfessr precisa ler antes da aula. Agra, é cm vcê! Para alun reslver em casa u nutra casiã e cnsultar prfessr se tiver dúvidas. Apresentaçã Esta dinâmica busca identificar as prpriedades ds ânguls interns e externs de um triângul. Assim, na primeira etapa, pretende-se que s aluns, a partir da dbradura de um triângul, experimentem encntrar a sma ds ânguls interns de um triângul que é igual a ⁰. Já na segunda etapa, terã a prtunidade de explrar cálcul ds ânguls interns de um triângul. Finalmente, na terceira etapa, realizam uma atividade envlvend cálcul ds ânguls externs de um triângul. Cm sempre, vcê terá a pssibilidade de fazer algumas esclhas, entre usar mais u mens temp nas atividades aqui prpstas u enfatizar algum pnt que cnsidere mais necessári para s seus aluns. Bm trabalh! 2

3 Primeira Etapa Cmpartilhar ideias Atividade Dbraduras n triângul Objetiv Experimentar valr da sma ds ânguls interns de um triângul. Descriçã da atividade: Nesta etapa, alun é cnvidad a realizar três dbraduras n triângul d anex A. Crte um triângul de uma flha de papel. Matemática Dbre esse triângul a mei, paralel a um ds lads juntand um vértice a lad pst (um jeit de fazer ficar bem paralel é dbrar ns pnts médis ds lads). Agra dbre perpendicular à base, juntand ângul laranja a ângul verde. 3

4 Agra dbre perpendicular à base, juntand ângul rx a ângul verde. Entã s três ânguls ficam junts na base! Prfessr Qual a cnclusã a que vcê chega cm relaçã à sma ds ânguls interns de um triângul? Recurss Necessáris Encarte d alun cm anex A para recrtar. Tesura e transferidr. Prcediments Operacinais A atividade pderá ser feita em dupla de aluns e registr individual. 4

5 Intervençã Pedagógica Prfessr, nesta etapa, bjetiv é que alun chegue à cnclusã de que "a sma das amplitudes ds ânguls interns de um triângul é igual a ⁰". Esta prpriedade ds triânguls é de grande imprtância, uma vez que, cnheciment deste resultad vai ser bastante útil este an e ns próxims. Matemática Prfessr, recrdar a alun que a dbradura deve ser feita de md que, a final, alun btenha um retângul, prtant lad inferir deve ser paralel a superir. Prfessr, seguidamente, s aluns devem dbrar s utrs dis vértices de md a encntrar primeir vértice. Desse md, s três vértices encntram-se num pnt cmum (ver a figura a seguir). 5

6 Prfessr, se bservarms agra a figura a seguir, verificams que s três ânguls interns d triângul inicial se encntram junts, e a sma das suas amplitudes é igual a ⁰, vist que cnstituem um ângul ras. Assim, pr um prcess extremamente simples, fi pssível verificar que A sma ds ânguls interns de um triângul é igual a ⁰. Prfessr Segunda Etapa Um nv lhar... Atividade A sma ds Ânguls Interns Objetiv Calcular ânguls interns de um Plígn Regular Descriçã da atividade Na 1ª etapa, alun pde chegar à cnclusã de que, para td triângul, a sma de seus ânguls interns vale sempre. Sabend diss, nesta 2ª etapa, pdems slicitar a alun que encntre a sma ds ânguls interns de utrs plígns, através de três desafis. Desafi 1: Determinar a sma ds ânguls interns d quadriláter abaix, a partir d simples cnheciment de que a sma ds ânguls interns de um triângul vale. 6

7 Respsta Resultad esperad O quadriláter é frmad pr dis triânguls. Entã, se quiserms saber a sma ds ânguls interns dele basta saberms a sma ds ânguls interns ds dis triânguls que frmam e, cm um triângul pssui de sma ds ânguls interns, entã, dis triânguls vã pssuir 2 = 360, u seja, a medida ds ânguls interns d quadriláter vale 360. Matemática Desafi 2: Determinar a sma ds ânguls interns d pentágn abaix a partir d simples cnheciment de que a sma ds ânguls interns de um triângul vale. Resultad esperad Respsta 7

8 Vams esclher um de seus vértices e, a partir dele, irems traçar retas as utrs vértices que faltam e verems, a final,que esse pentágn pde ser dividid em três triânguls. Para determinar a sma de seus ânguls interns, basta multiplicarms pr 3, pis tems 3 triânguls frmand esse pentágn, entã: 3 = 540. Descbrims que a sma ds ânguls interns de um pentágn vale 540º. Desafi 3: Determinar a sma ds ânguls interns d hexágn abaix, a partir d simples cnheciment de que a sma ds ânguls interns de um triângul vale. Prfessr Resultad esperad Respsta Pdems dividir esse hexágn em quatr triânguls cm aquele mesm prcess de antes, esclhend um de seus vértices e, a partir dele, traçand retas as vértices que faltam. Agra, para saber a sma ds ânguls interns desse hexágn, basta multiplicarms pel númer de triânguls que esse hexágn é frmad. Cm sã 4 triânguls entã tems que: 4 = 720, u seja, a sma das medidas ds ânguls interns de um hexágn vale

9 Recurss Necessáris: Encarte d alun. Prcediments Operacinais A atividade pderá ser feita em dupla de aluns e registr individual. Matemática Intervençã Pedagógica Prfessr, além da demnstraçã realizada cm as dbraduras na 1ª etapa, vams cnsiderar utra frma de demnstrar que a sma ds ânguls interns de um triângul qualquer vale. Verems a seguir. Cnsidere triângul a seguir e seus ânguls interns: Vams desenhar mais dis triânguls, idêntics a anterir: 9

10 Agra, bserve: Girand s triânguls e unind um vértice de cada um, de md que s ânguls α, β e θ trnem-se, dis a dis, adjacentes, tems um ângul ras: Prfessr Assim, a sma ds ânguls interns de um triângul qualquer vale. Prfessr, é imprtante aprveitar para relembrar a alun que, em um plígn, quant mair númer de lads, mair a medida ds ânguls interns. Cnsiderand as diagnais traçadas pr apenas um ds vértices de um plígn, é pssível perceber que elas frmam triânguls. Cnfrme aumentams s lads de um plígn, a quantidade de triânguls aumenta, veja: Em um quadriláter cnseguims frmar 2 triânguls. 10 Cnsiderand que em cada triângul a sma ds ânguls interns iguais é, entã a sma ds ânguls interns de qualquer quadriláter será 2. = 360.

11 Em um plígn de cinc lads (pentágn) frmams 3 triânguls. Dessa frma, tems que a sma ds ânguls interns de um pentágn é. 3. = 540. Em um plígn de seis lads (hexágn), frmams 4 triânguls. Matemática Prtant, a sma ds ânguls interns é dada pr 4. = 720. Prfessr, percebems que a diferença d númer de triânguls frmads e númer de lads ds plígns é sempre 2, entã cncluíms que a sma ds ânguls interns de qualquer plígn será calculada através da expressã: S i = (n 2). Terceira Etapa Fique pr dentr! Atividade A sma ds Ânguls Externs Objetiv Calcular ânguls externs de um Plígn Regular. 11

12 Descriçã da atividade Dand cntinuidade a estud ds ânguls de um plígn. Nesta etapa, pdems slicitar as aluns que encntrem a sma ds ânguls externs de plígns regulares através de três desafis, cnsiderand que ângul extern é ângul frmad pr um lad e prlngament de um lad adjacente. Desafi 1: a. Dad quadriláter abaix, marque s seus ânguls interns e chame -s de ABCD,,, e marque também s ânguls externs d quadriláter. Chame s ânguls externs de abcd.,,, Diga quant vale a sma A+ a, B + b, C + c, D + d. Prfessr Resultad esperad: Respsta A+ a= + B b= + C c= D + d = 12

13 b. Observe resultad btid n item a) e, cnsiderand a sma ds ânguls interns btida na etapa 2, respnda, quant vale cada ângul extern desse quadriláter e dê valr da sma de tds s ânguls externs. Resultad esperad: Respsta A sma ds ânguls interns d quadriláter vale 360. Cada ângul intern vale 360 /4 = 90 e, cm a sma de cada ângul intern cm seu respectiv ângul extern é, tems que cada ângul extern vale 90. Prtant, a sma ds ânguls externs será = 360. Matemática Desafi 2: a. Dad pentágn abaix, marque s seus ânguls interns e chame-s de ABCDE,,,, e marque também s ânguls externs prlngand s lads d pentágn. Chame s ânguls externs de abcde.,,,, Diga quant vale a sma A+ a, B + b, C + c, D + d, E + e. Resultad esperad: Respsta 13

14 A+ a= + B b= + C c= D + d = + E e= b. Agra, respnda quant vale cada ângul extern desse pentágn e dê valr da sma de tds s ânguls externs. Resultad esperad: Respsta Prfessr A sma ds ânguls interns d pentágn vale 540. Cada ângul intern vale 540 / 5 = 108 e, cm a sma de cada ângul intern cm seu respectiv ângul extern é,tems que cada ângul extern vale 72. Prtant, a sma ds ânguls externs será = 360. Desafi 3: a. Dad hexágn abaix, marque s seus ânguls interns e chame-s de ABCDEFe,,,,, marque também s ânguls externs, prlngand s lads d hexágn. Chame s ânguls externs de abcde,,,,, f. Diga quant vale a sma A+ a, B + b, C + c, D + d, E + e, F + f. 14

15 Respsta Resultad esperad: A+ a= + B b= + C c= D + d = + E e= F + f = Matemática b. Observe resultad btid n item a) e, cnsiderand a sma ds ânguls interns btida na etapa 2, respnda quant vale cada ângul extern desse hexágn e dê valr da sma de tds s ânguls externs. Resultad esperad: Respsta A sma ds ânguls interns d hexágn vale 720. Cada ângul intern vale 720 / 6 = 120 e, cm a sma de cada ângul intern cm seu respectiv ângul extern é,tems que cada ângul extern vale 60. Prtant, a sma ds ânguls externs será = 360. Cnsiderand s três exempls acima, cnclua quand vale a sma ds ânguls externs de um plígn regular? Resultad esperad: A sma ds ânguls externs de um plígn regular vale 360. Respsta 15

16 Recurss Necessáris: Encarte d alun. Prcediments Operacinais A atividade pderá ser feita em dupla de aluns e registr individual. Intervençã Pedagógica Prfessr, vams cnsiderar utra frma de demnstrar que a sma ds ânguls externs de qualquer plígn regular vale 360. Primeiramente, será cnsiderad a demnstraçã, utilizand um pentágn e depis a generalizaçã para um plígn de n lads. Prfessr Cnsidere pentágn a seguir, cm seus ânguls interns dads pr ABCDE,,,, e seus respectivs ânguls externs abcde,,,,, cnfrme figura a seguir. Veja que a sma d ângul extern cm seu ângul intern adjacente resulta em um ângul de, u seja, sã ânguls suplementares. Façams a sma de tds s ânguls suplementares desse pentágn. 16 A+ a= + B b= + C c= + D d= + E e= A+ B + C + D + E + a + b + c + d + e = 900 S + S = 900 i e (5 2) + S = 900 S = e S = 360 e e

17 Generalizand, verems que a sma ds ânguls externs será 360 para qualquer plígn cnvex. Sabe-se que a sma ds ânguls interns é dada pela seguinte expressã: Si = ( n 2). Se smarms s ânguls suplementares de um plígn cnvex cm n lads, terems a seguinte expressã: Si + Se= n ( n 2) + Se = n Se = n n S = 360 e Matemática Ou seja, para qualquer que seja plígn cnvex, a sma ds seus ânguls externs será igual a 360. Prfessr, seria imprtante aprveitar e mstrar a alun que, para calcular a medida d ângul extern de um plígn, é precis dividir 360 pel númer de lads da desse plígn. a e 360 = n nde a e é ângul extern e n númer de lads d plígn regular. Quarta Etapa Quiz Questã (Questã 49 da Avaliaçã Diagnóstica C1005 2º bimestre SAERJINHO 2012). A sma ds ânguls interns de um plígn pde ser calculada pela fórmula S i = (n 2)., nde n é númer de lads d plígn e S i é a sma ds ânguls interns. Quants lads tem um plígn cuja sma ds ânguls interns é 3 240? 17

18 a. 7 lads. b. 9 lads. c. 16 lads. d. 18 lads. e. 20 lads. Quinta Etapa Análise das Respstas a Quiz. Atividade A matemática das abelhas. Respsta e. 20 lads. Prfessr S = ( n 2). i 3240 = ( n 2) = n 360 n = n = n = = 20 Distratres O alun que ptu pela alternativa A pde nã ter cnheciment d assunt e esclhid n = 7 cm resultad. O alun que ptu pela alternativa B prvavelmente pde ter se cnfundid para determinar valr de n na equaçã e calculu 360n = Prtant, achu n = 9 cm resultad. O alun que esclheu a pçã C pde ter achad que, cm 18 x = 3240, entã, plígn teria 16 lads e nã prestu atençã que 18 já era resultad de (n - 2). O alun que esclheu a pçã D pde ter achad que,cm 18 x = 3240, entã, plígn teria 18 lads e nã prestu atençã que a fórmula usa valr de (n - 2). 18

19 Etapa Flex Para saber + 1. Ângul d triângul Matemática Ens. Fund. Telecurs Matemática Nesta víde-aula, é apresentada, de uma frma simples e interessante, que triângul é uma das figuras mais imprtantes da Gemetria. Vcê saberá que as prpriedades dele pdem ser utilizadas para fazer uma estante ficar firme e que, até ns jgs de futebl, uve-se falar em triânguls. Além diss, aprenderá a prpriedade mais imprtante: nã imprta tamanh u tip de triângul, a sma ds ânguls dele será sempre graus. Dispnível em: 2. JOGO TRIÂNGULO GP Este é um jg que trabalha a prática d cnceit da sma ds ânguls interns de um triângul, pr mei de uma disputa entre dis carrs de crrida em um circuit na frma de um triângul. Dispnível em: 19

20 Agra, é cm vcê! 1. As medidas ds ânguls de um triângul sã, respectivamente, x, 3x e 5x. Calcule valr de x. x = 20. x+ 3x+ 5x= 9x = x = = 20 9 Respsta 2. Determine valr de x n triângul abaix. Prfessr Respsta x = x = x = 110 x = 70 20

21 3. Quants lads pssui um plígn cuja sma ds ânguls interns é igual a 2340? 15 lads. Si = ( n 2) 2340 = ( n 2) 2340 = n 360 n = n = n = = 15 Respsta Matemática 4. Qual a sma ds ânguls interns de um icságn (plígn de 20 lads)? A sma vale Respsta S S S i i i = ( n 2) = (20 2) = 18 = Quant mede ângul extern d icságn? Respsta Cada ângul extern mede 18. a e a e 360 = n 360 = =

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23 ANEXO A Anex I

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