Conversão Grau Radiano 180 o rad Onde 3,14

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1 RESUMO TEÓRICO Intrduçã à Trignmetria Relações Trignmétricas n Triângul Retângul Catet Opst a α sen α Hiptenusa Hiptenusa a Catet Adjacente a Catet Opst a Catet Adjacente a α cs α Hiptenusa Catet Opst a α tg α Catet Adjacente Unidades de Medida ds Ânguls: Grau ( ) Radian ( rad ) 0 da circunferência 0 a radian rad A A' O Rai a Rai Rai Medims um ângul em radians, usand a relaçã: A R a R l B medida d arc AB l a rad rad Rai R Cnversã Grau Radian 80 rad Onde, a sen a cs a tg a Ânguls Ntáveis 0 0

2 RESUMO TEÓRICO Círcul Trignmétric Cicl Trignmétric: circunferência rientada de rai unitári. Quadrantes _ + _ Origem ds Arcs = 0 Relações trignmétricas n cicl trignmétric. sen sen tg tg - cs cs - Limites de Variaçã: sen a e cs a Relaçã Fundamental: sen a + cs a = Outras Relações (respeitadas as cndições de eistência): tg α sen cs α α sec α cs α cssec α sen α ctg α cs sen α α tg α

3 Reduçã a Quadrante: a sen sen sen a a a cs a cs cs a sen(80 a) = sen a sen(80 + a) = sen a sen(0 a) = sen a cs(80 a) = cs a cs(80 + a) = cs a cs(0 a) = cs a Adiçã e Subtraçã de Arcs: Arc Dbr: sen( α b ) sen α csb senb csα cs( α b ) cs α csb sen α senb tg α tg b tg( α b ) tg α tg b sen α senα csα cs α cs α sen α cs α sen cs α cs α α tg α tg( α) tg α

4 RESUMO TEÓRICO Funções Trignmétricas Gráfics das Funções Sen, Cssen e Tangente Sistema de crdenadas ; ângul, (em radians, na circunferência trignmétrica) cm imagem P sbre ela; Sen e cssen de cm as crdenadas d pnt P Cnsiderams psitiv se é tmad n sentid anti-hrári a partir d pnt. Funçã sen Para cada real definims a funçã sen pr que é periódica cm períd e limitada cm imagem. Gráfic cm um períd cmplet ressaltad: Funçã cssen Para cada real definims a funçã cssen pr que é periódica cm períd Gráfic cm um períd cmplet ressaltad: e limitada cm imagem

5 Funçã tangente Para cada real tal que definims a funçã tangente, em terms de sen e cssen, pr Essa funçã é periódica cm períd e seu dmíni é PRINCIPAIS TRANSFORMAÇÕES GRÁFICAS Deslcaments Verticais e Hrizntais Supnha c > 0 y = f () + c, deslca gráfic de y = f () em c unidades para cima y = f () - c, deslca gráfic de y = f () em c unidades para bai y = f ( - c), deslca gráfic de y = f () em c unidades para a direita y = f ( + c), deslca gráfic de y = f () em c unidades para a esquerda Refleões y = - f (), reflete gráfic de y = f () em trn d ei y = f(- ), reflete gráfic de y = f () em trn d ei y Epansões/Cntrações Hrizntais e Verticais Supnha c > l y = c f (), epande gráfic de y = f () verticalmente pr um fatr de c y = f (c), cntrai gráfic de y = f () hrizntalmente pr um fatr de c Supnha 0 < c < y = c f (), cntrai gráfic de y = f () verticalmente pr um fatr de c y = f (c), epande gráfic de y = f () hrizntalmente pr um fatr de c

6 PARTE A ) Para círcul trignmétric a seguir, dividid em arcs cngruentes, cmplete a tabela seguinte cm s ânguls em graus e radians. ) Para círcul trignmétric a seguir, dividid em 8 arcs cngruentes, cmplete a tabela seguinte cm s ânguls em graus e radians. A B C D E F G H I J K L Ângul Graus Radians Ângul Graus Radians A G B 0 O H C I D J E K F L Ângul Graus Radians A B O C D E F G H A B C D E F G H

7 ) Ns círculs trignmétrics a seguir, BFHL e CEIK sã retânguls. E C F B H L I K a) Se pnt B representa ângul 8 rad determine em graus e radians s ânguls 0 crrespndentes as pnts F, H e L. b) Se pnt C representa ângul 7 rad determine em graus e radians s ânguls crrespndentes as pnts E, I e K. ) Sabend que rad 7, qual valr aprimad, em graus, de: a) rad b), rad ) Determine, a medida em radians, ds ânguls α, β e θ, sabend que pnt O é centr da circunferência de rai 0 cm e que s arcs menres AB, BC e CD medem, respectivamente, 0cm, 0cm e cm. C B b O a A D PARTE B ) N círcul trignmétric a seguir, BFHL é retângul. Se pnt B representa ângul α, escreva em funçã de α, em graus e radians, pssíveis epressões ds ânguls crrespndentes as pnts F, H e L. F B H L 7

8 7) N círcul trignmétric a seguir s pnts ABCDEF representam vértices de um heágn regular. Sabend que pnt A representa arc de medida represente em graus as medidas ds arcs crrespndentes as demais pnts. B C A D E F 8) Qual a medida, em radians, d ângul central que um arc de cm determina em uma circunferência de 0cm de diâmetr? 9) Determine s valres de, y e α cnfrme a figura. a 8cm 8cm cm y cm 0) Transfrme para graus u radians, cnfrme cas. a) rad 7 b) rad 0 c) rad d) 8 e) f) PARTE C ) Qual a medida, em radians, d ângul central que um arc de cm determina em uma circunferência de 8cm de cmpriment? ) Tmand para a aprimaçã,, se um arc de circunferência mede,7cm e diâmetr da mesma 8cm entã quant mede ângul crrespndente a esse arc? ) Sbre uma circunferência de rai 0cm marca-se um arc AB tal que a crda AB mede 0cm. Calcule a medida d arc em radians. PARTE D ) Marque n círcul trignmétric s pnts que representam ânguls dads pela epressã k nde 0 k, cm k Z e em seguida calcule a área d plígn determinad pels pnts cnsecutivs. (Lembre-se que rai d círcul trignmétric mede ). ) Determine cnjunt de tds s valres de, para que ângul π rad quadrante. pertença a 8

9 PARTE A ) Para círcul trignmétric a seguir, dividid em arcs cngruentes, cmplete a tabela seguinte cm s ânguls em graus, radians e cm respectivs valres d sen e d cssen (Siga eempl). Arc Graus Rad Sen Csensen Arc Graus Rad Sen C- D E C A G G F B A B 0 O C H I H L D J I J K E F K L 7) Para círcul trignmétric a seguir, dividid em 8 arcs cngruentes, cmplete a tabela seguinte cm s ânguls em graus, radians e cm respectivs valres d sen e d cssen (Siga eempl). D C B Arc Graus Rad Sen Csen A Arc Graus Rad Sen Csen E E A B O C F G F H D H G 8) Determine valr da epressã sen sen sen sen 8 sen 0 para 9) Determine valr de cs dad que sen e que. 0) Reslva a equaçã cs 0 para 0.. 9

10 ) Determine valr de sen dad que PARTE B cs e que.. ) Obtenha k que satisfaça simultaneamente sen k e cs k. ) Reslva a equaçã sen 0 para 0. ) Clque em rdem crescente: e F cs. A cs, B cs, PARTE C C cs, D cs, E cs 8 ) Para quais valres reais de k tem-se sen k para R. ) Reslva a equaçã cs cs 0 para 0. 7) Reslva a equaçã sen sen 0 para 0. 8) Para 0 a mair raiz da equaçã cs cs 0 também é raiz da sen equaçã m 0. Determine valr de m. 9) Determine para quais valres de 0 tems cs. 0) Send 0 PARTE D calcule valr da epressã y sen cs cs sen. ) Sabend que sen cs calcule valr de sen cs. ) Qual dmíni da funçã y? cs 0

11 PARTE A ) Dad que sen e que determine: a) cs b) tg c) sec d) csec e) ctg ) Dad que tg e que determine valr de sec csec A. ctg ) Dad que ctg e que btenha sec e csec. ) Send tg e, calcule sen e cs. sec csec 7) Obtenha valr numéric de A ctg tg. csec sec PARTE B 8) Dad que sec e que determine: a) sen b) cs c) tg d) csec e) ctg 9) Obtenha a funçã trignmétrica elementar que representa determinante 0) Calcule m de md que se tenha tg m e m ctg. sec y. 0 csec ) Obtenha valr numéric de y sec tg sec tg csec ctg csec ctg. ) Reslva a equaçã trignmétrica ctg 0, para 0. PARTE C ) Reslva a equaçã trignmétrica sec 0, para. ) Send sen 8 a, determine, em funçã de y sen 8 cs. sec csec8

12 e e tg ) Se e y sã númers reais, tais que y, entã: sec tg sec a) y e b) y e tg c) e y d) cs e y e) sec e y csec PARTE D ) Se R denta cnjunt ds númers reais e a, b interval abert R a b, seja f : 0, R definida pr f ( ) sec csec. Se 0, a a é tal que tg a, entã f (a ) b é igual a: a b a b a b a) b) a b c) d) e) a b ab ab 7) Supnd verificadas as cndições de eistência, demnstre a identidade: ctg ctg csec 8) Supnd verificadas as cndições de eistência, demnstre a identidade: cs csec ctg cs 9) Calcule: a) sen b) 0) Calcule: a) tg b) sen 7 c) tg 7 ) Simplifique as epressões: a) A sen80 cs0 sen0 cs80 b) B cs80 cs0 sen80 sen0 c) C sen80 cs0 sen0 cs80 d) D cs80 cs0 sen80 sen0 PARTE A cs b) cs 7 ) Desenvlva a) sen b) sen c) cs d) cs

13 ) Simplifique a epressã A sen cs. ) Utilizand as fórmulas da adiçã de arcs btenha as fórmulas para a) sen b) cs c) tg ) Dads sen e cs, calcule: a) sen b) cs PARTE B ) Dads sen a e csb, cm a e b n quadrante, btenha: a b tg a b a) sen a b b) 7) Calcule: a) sen 0 b) 8) Calcule tg. cs c) cs 0 c) tg 0 9) Calcule valr de y cs sen. PARTE A 0) Escreva a epressã geral ds arcs que têm, na figura, cm rigem pnt A e cm etremidade: a) pnt E; b) pnt B; c) pnt C; d) pnt D; e) pnt E.

14 ) Escreva arcs côngrus e escreva a epressã geral ds arcs que cuja primeira determinaçã psitiva é: a) b) c) d) e) f) ) Reslva as equações a seguir para R. a) cs 0 b) cs 0 c) sen 0 d) tg 0 e) tg 0 f) sen 0 g) cs 0 h) cs cs 0 i) sen sen 0 ) Cnsidere a funçã y 0 cs(). PARTE B a) Qual é sua amplitude? b) Qual é seu períd? c) Esbce seu gráfic. ) Esbce gráfic de cada funçã dada a seguir. a) y 0sen b) y 0cs c) y cs d) y sen e) y 0 cs f) y 00 0sen g) y 00 0sen h) y 000 0cs i) y 00 0sen j) y sen( ) k) y cs m) sen y n) y 0 cs ( ) g) l) y 000 0sen00 ) A vltagem V, de um pnt de luz residencial, é dada em funçã d temp t (em segunds), pr V V 0 cs(0 t). a) O que V representa em terms de vltagem? 0 b) Qual períd dessa funçã? c) Quantas scilações sã cmpletadas em segund? d) Esbce gráfic da vltagem. ) Encntre uma pssível fórmula para cada gráfic abai. a) b) c) y y y

15 d) e) f) y y y ) Uma ppulaçã de animais scila de frma senidal entre um mínim de 800 em de janeir e um máim de.00 em de julh. a) Faça gráfic da ppulaçã em funçã d temp. b) Encntre uma fórmula para a ppulaçã cm funçã d temp t em meses desde iníci d an. c) Estime a ppulaçã n dia de agst. 8) (IFSP 0) Cnsidere uma circunferência de centr O e rai cm. Send A e B pnts distints dessa circunferência, sabe-se que cmpriment de um arc AB é π cm. A medida d ângul central ˆ AOB, crrespndente a arc AB cnsiderad, é a) 0. b) 0. c) 80. d) 0. e) 0. 9) (G - IFAL 0) Cnsiderand-se arc trignmétric a) α 80. b) α dá três vltas e para n quadrante. c) sen α sen 0. d) cs α cs 0. e) α dá três vltas e para n quadrante. π α rad, assinale a alternativa falsa. 70) (INSPER 0) Na figura abai, em que quadrad PQRS está inscrit na circunferência trignmétrica, s arcs AP e AQ têm medidas iguais a α e β, respectivamente, cm 0 α β π. Sabend que cs α 0,8, pde-se cncluir que valr de cs β é a) 0, 8. b) 0, 8. c) 0,. d) 0,. e) 0,.

16 7) (IFCE 0) O valr de cs (80 ) é a). b). c). d). e). 7) (CFTMG 0) A figura abai representa uma circunferência trignmétrica em que MN é diâmetr e ângul α mede π radians. A razã entre as medidas ds segments AB e AC é a). b). c). d). 7) (INSPER 0) O prfessr de Matemática de Artur e Bia pediu as aluns que clcassem suas π calculadras científicas n md radians e calculassem valr de sen. Tmand um valr aprimad, Artur digitu em sua calculadra númer, e, em seguida, calculu seu sen, π encntrand valr A. Já Bia calculu sen de,, btend valr B. Cnsiderand que vale π aprimadamente,708, assinale a alternativa que traz a crreta rdenaçã ds valres A, B e sen. π π π π π a) sen A B. b) A sen B. c) A B sen. d) B sen A. e) B A sen. 7) (IFSC 0) Se cs, e (º quadrante), entã é CORRETO afirmar que valr de tg é: a) /. b) /. c) /. d) /. e) 0,. 7) (UFSJ 0) Cnsiderand s valres de θ, para s quais a epressã sen θ cs θ é definida, é csc θ secθ CORRETO afirmar que ela está sempre igual a a). b). c) sen θ. d) cs θ. 7) (IFSUL 0) Sabend-se que sen 90º α.tanα y é: sec 80º α a) b) senα e que α º quadrante, valr da epressã c) d)

17 77) (UFRGS 0) Dentre as pções a seguir, a que pde representar gráfic da funçã definida pr f sen cs sen cs é a) b) c) d) e) 78) (UNEMAT 00) Quant a arc, é crret afirmar. a) Pertence a segund quadrante e tem cm côngru ângul de b) Pertence a primeir quadrante e tem cm côngru ângul de 7 c) Pertence a terceir quadrante e tem cm côngru ângul de 9 d) Pertence a quart quadrante e tem cm côngru ângul de e) Pertence a terceir quadrante e tem cm côngru ângul de 9 7

18 79) (PUCRS 00) Para representar s harmônics emitids pels sns ds instruments da rquestra, usam-se funções trignmétricas. A epressã sen + cs π envlve estas funções e, para π, seu valr de é: a) 7 b) c) d) π e) π π 80) (MACKENZIE 0) Seja g csβ sen β. Se g 0 e β, entã vale a) smente b) smente c) u 0 d) u e) u 0 8) (G - IFCE 0) Se sen(), cs()sen( ) é a). 9 b). 7 c). d) 9. e) ) (ACAFE 0) Cm bjetiv de auiliar s maricultres a aumentar a prduçã de stras e meilhões, um engenheir de aquicultura fez um estud sbre a temperatura da água na regiã d sul da ilha, em Flrianóplis. Para iss, efetuu medições durante três dias cnsecutivs, em intervals de hra. As medições iniciaram às hras da manhã d primeir dia (t = 0) e s dads fram πt π representads pela funçã periódica T(t) cs, em que t indica temp (em hras) decrrid após iníci da mediçã e T(t), a temperatura (em C) n instante t. O períd da funçã, valr da temperatura máima e hrári em que crreu essa temperatura n primeir dia de bservaçã valem, respectivamente: a) h,, C e 0h. b) h, 7 C e 0h. c) h, 7 C e h. d) h,, C e h. sen 8) (UECE 0) Se f : R R é a funçã definida pr f(), entã prdut d mair valr pel menr valr que f assume é igual a a),. b),0. c),. d) 0. 8) (UCS 0) Supnha que, em determinad lugar, a temperatura média diária T, em C, pssa ser epressa, em funçã d temp t, em dias decrrids desde iníci d an, pr π(t 0) T(t) sen. Segund esse mdel matemátic, a temperatura média máima nesse lugar, crre, n mês de a) julh. b) setembr. c) junh. d) dezembr. e) març. 8

19 8) (UFSM 0) Para melhrar as cndições de acessibilidade a uma clínica médica, fi cnstruída uma rampa cnfrme indicad na figura. O cmpriment hrizntal c da rampa, em metrs, pde ser epress pr a). b) 8. c) 8. d). e) 8. 8) (UFPR 0) O pistã de um mtr se mvimenta para cima e para bai dentr de um cilindr, cm ilustra a figura. Supnha que em um instante t, em segunds, a altura h(t) d pistã, em centímetrs, pssa ser descrita pela epressã: πt ht sen. 0,0 a) Determine a altura máima e mínima que pistã atinge. b) Quants cicls cmplets esse pistã realiza, funcinand durante um minut? π 7π 87) (UEPB 0) Send f() cs cs, valr de f é: a) b) c) d) e) 88) (UERN 0) A razã entre mair e menr númer inteir que pertencem a cnjunt imagem π da funçã trignmétrica y cs é a). b). c). d). 9

20 89) (ESPCEX (AMAN) 0) Os pnts P e Q representads n círcul trignmétric abai crrespndem às etremidades de dis arcs, ambs cm rigem em (,0), denminads respectivamente α e β, medids n sentid psitiv. O valr de tgα β é a) b) c) d) e) 90) (UCS 0) Supnha que deslcament de uma partícula sbre uma crda vibrante seja dad pela equaçã st 0 sen0 πt, em que t é temp, em segunds, após iniciad mviment, e s, medid em centímetrs, indica a psiçã. Mei segund após iniciad mviment da crda, qual é, em cm, afastament da partícula da psiçã de repus? a) 0 b) 0, c) 0, d) 0 e) 0, 9) (UFRGS 0) O númer de interseções da funçã f() = sen cm ei das abscissas n interval [ π,π ] é a) 0. b). c). d). e) 7. 9) (UESPI 0) Quantas sluções a equaçã sen = Abai, estã esbçads s gráfics de sen e /0. 0 admite n cnjunt ds númers reais? a) b) c) 7 d) 8 e) 9 0

21 9) (FGVRJ 0) A previsã mensal da venda de srvetes para 0, em uma srveteria, é dada pr P cs, em que P é númer de unidades vendidas n mês ; = 0 representa janeir de 0, = representa fevereir de 0, = representa març de 0 e assim pr diante. Se essas previsões se verificarem, em julh haverá uma queda na quantidade vendida, em relaçã a març, de aprimadamente: a) 9,% b) 8,% c) 7,% d),% e),% 0 9) (MACKENZIE 0) O mair valr que númer real pde assumir é sen a) 0 b) 7 c) 0 d) e) 0 7 9) (UFPR 0) Supnha que, durante cert períd d an, a temperatura T, em graus Celsius, na π superfície de um lag pssa ser descrita pela funçã F(t) cs t, send t temp em hras medid a partir das 0h00 da manhã. a) Qual a variaçã de temperatura num períd de hras? b) A que hras d dia a temperatura atingirá ºC? 9) (UFPB 0) Um especialista, a estudar a influência da variaçã da altura das marés na vida de várias espécies em cert manguezal, cncluiu que a altura A das marés, dada em metrs, em um espaç de temp nã muit grande, pderia ser mdelada de acrd cm a funçã: A(t),, sen t Nessa funçã, a variável t representa temp decrrid, em hras, a partir da meia-nite de cert dia. Nesse cntet, cnclui-se que a funçã A, n interval [0,], está representada pel gráfic: a) b) c)

22 d) e) π 97) (UFRGS 00) O períd da funçã definida pr f() = sen é π a). b) π. c) π. d) π. e) π. 98) (UFT 00) Se sen e,, entã valr de tg( ) é: a) b) 0 c) d) e) 99) (MACKENZIE 009) Na figura, tg b é igual a: a) 8 b) 8 7 c) 9 d) e)

23 00) (UFPA 008) O gráfic da funçã f dada pr f(t) = cs t π n interval [0, ] é 0) (UFRGS 008) Se cs sen =, entã sen () é igual a a) 0,. b) 0,. c) 0,. d) 0,7. e). 0) (G - CFTCE 007) Se sen = e é um arc d º quadrante, entã valr de sen() é: a) 9 b) 7 c) 7 8 d) 7 e) 7 8 0) (UNIFESP 00) A epressã sen ( - y) cs y + cs( - y) sen y é equivalente a a) sen ( + y). b) cs (). c) sen. d) sen (). e) cs ( + y).

24 RESPOSTAS ) Arc Graus Rad Arc Graus Rad ) A 0 O 0 G 80 O B 0 O H 0 O 7 C 0 O I 0 O D 90 O J 70 O Arc Graus Rad Arc Graus Rad A 0 O 0 E 80 O B O F O C 90 O G 70 O D O H O ) a) F rad, H 98 rad, L rad b) E 08 rad, I rad, K 88 rad ) a), b) 8 ) α, rad, β rad e θ,rad ) F 80 α π α, H 80 α π α e L 0 α π α 7) E 0 O K 00 O F 0 O L 0 O B 7, C, D 9, E, F. 8) 0,8rad 9), cm, y 8cm e α 0,7rad 0) a) b) c) 7, d) rad 0 ) rad ), u 0. ) rad 7 e) rad f) rad 80 ) A figura representa um ddecágn regular cm um ds vértices n pnt ( ; 0 ) e área. ) R / 0.

25 RESPOSTAS ) Arc Graus Rad Sen C-sen Arc Graus Rad Sen C-sen A 0 O 0 0 G 80 O 0 B 0 O C 0 O H 0O 7 I 0 O D 90 O 0 J 70 O 0 E 0 O F 0 O K 00 O L 0 O 7) Arc Graus Rad Sen Csensen Arc Graus Rad Sen C- A 0 O 0 0 E 80 O 0 B O F O C 90 O 0 G 70 O 0 D O H O 7 7 8) 9) cs 0) ) sen ) k u k ) 7 S ; ) D < C < B < E < F < A ) Para k cm k R. ) 7 S ; ; ; ; ; 7) S ; ; ; 7 S ; 8) m

26 9) Para R tal que u 9 ) sen cs ) 7. 0) y 0 k D R / cm K Z 8 RESPOSTAS ) a) cs b) tg c) sec d) csec e) ctg ) A ) sec e csec ) 0 sen 0 e 0 cs 0 7) A 8)a) sen b) cs c) tg d) csec e) ctg 9) y tg 0) m u m ) y ) 7 S ; ; ; ) S ; ) y a ) c) e y ) d) cs a b ab 7) Sugestã: Desenvlva s quadrads... 8) Sugestã: Desenvlva da direita para a esquerda, aplique as definições de csec e a relaçã fundamental... ctg e use OBSERVAÇÕES: Questã ) MACK Adaptada. Questã ) FATEC Adaptada [criada a alternativa e) e y que anterirmente era e) n.d.a.]. csec Questã ) ITA Adaptada [criada a alternativa e) a b que anterirmente era e) n.d.a.].

27 RESPOSTAS PARTE B ) a) sen a b b) csa b c) tg a b 7) a) sen0 b) cs0 c) tg0 8) tg 9) y 8) Alternativa B. Sluçã: Medida d arc em rad: π rad. 9) Alternativa E. π π Sluçã: α π π 80 [A] Verdadeira, pis α 80. [B] Verdadeira, pis π π α π. [C] Verdadeira, pis sen α sen 0. π rad 0. [D] Verdadeira, pis cs α cs 0. [E] Falsa, pis dá três vltas e para n º quadrante. 70) Alternativa C. Sluçã: Seja O a rigem d sistema de crdenadas cartesianas. Cm POQ β α 90, segue-se que β α 90. Além diss, sabend que cs( α 90 ) sen α, sen α cs α e csα 0,8, cm 0 α β 80, tems 7

28 7) Alternativa A. Sluçã: 80 = Lg, cs ( 80 ) = cs 0 =. csβ cs( α 90 ) senα 0,. 7) Alternativa B. Sluçã: AB = π cs AC = π sen Prtant: AB AC. 7) Alternativa E Sluçã: De acrd cm a figura a seguir, cncluíms que: Circunferência trignmétrica sen, < sen, <. π Lg, B A sen. 8

29 7) Alternativa D. Sluçã: N terceir quadrante sens e cssens sã negativs. Utilizand a relaçã fundamental, tems: sen () + cs () = sen () sen () sen() sen(). 9 9 Cm arc tem etremidade n terceir quadrante, tems: sen(). Calculad a tangente de. 7) Alternativa A. Sluçã: 7) Alternativa B. Sluçã: O valr da epressã é dad pr sen() tg(). cs() senθ csθ sen θ cs θ. csc θ secθ sena csa sen(90 a) tga y csa sec(80 a) csa sena csa sena sen a. 77) Alternativa B. Sluçã: Desenvlvend s quadrads, btems f() (sen cs ) (sen cs ) sen cs sen cs sen cs sen cs. Prtant, cm f é cnstante, segue que a alternativa B é a que apresenta um pssível gráfic de f. 9

30 78) Alternativa E. Sluçã: Dividind pr 0 btems quciente e rest Cncluíms, entã que arc tem etremidade n terceir quadrante. Dividind 9 pr 0 btems quciente e rest Cncluíms, entã que é côngru de 9 Lg a respsta E é a crreta. 79) Alternativa B. Sluçã: sen + cs - =.(sen + cs ) =. = - 80) Alternativa D. Sluçã: π π Sabend que cs 0 e sen, vem 8) Alternativa B. π π cs sen 0 0. Sluçã: Sabend que sen( ) sen e cs( ) sen, btems 8) Alternativa C. cs()sen( ) ( sen ) ( sen ) Sluçã: O períd da funçã é dad pr π h. π A temperatura máima crre quand πt π cs πt π cs Lg, tem-se que resultad é Tmá 7 C. atinge seu valr máim, u seja, quand πt π Querems calcular menr valr psitiv de t para qual se tem cs. Assim, ( k Z ) Tmand k, segue-se que t 0 h. πt π πt π cs cs cs0 πt π 0 kπ t k, k. 0

31 8) Alternativa A. Sluçã: Se sen, entã f() (mair valr). Se sen, entã f() (menr valr). Lg, prdut pedid será 9,. 8) Alternativa A. Sluçã: A temperatura média máima crre quand π(t 0) π(t 0) π sen sen sen π(t 0) π kπ t 0 9 k t 9 k, k. ( k Z ) Assim, tmand k 0, cncluíms que a temperatura média máima crre 9 dias após iníci d an, u seja, n mês de julh. 8) Alternativa E. Calculand cs através da fórmula d arc dupl, tems: N triângul da figura, tems: 8) Sluçã: cs0 cs sen cs ( cs ) cs cs cs cs cs c cs c cs c c 8 m. πt a) A altura máima crre quand valr d sen é máim, u seja, sen. 0,0 hmáima 8cm. b) Determinand períd P da funçã, tems: P π π 0,0s. 0,0 cicl se realiza em 0,0; em 0s terems 0/0,0 = 00 cicls cmplets.

32 87) Alternativa C. Sabend que cs( ) cs, tems 7π 9π 7π f sen cs π π sen cs π sen. 88) Alternativa B. Sluçã: Supnd que a funçã esteja definida de em, segue-se que a sua imagem é Im [ ( ), ] [, ]. Prtant, resultad é igual a 89) Alternativa D.. Sluçã: Cm P pertence a segund quadrante e sen, segue que α 90. Pr utr lad, sabend que Q é d terceir quadrante e cs 0, vem β Prtant, tgα β tg( 0 ) tg(0 ) tg tg( 0 ) tg tg0 tg tg0 ( ) 9 ( ). ( ) ( ) 90) Alternativa A. O afastament vertical da partícula, em relaçã à psiçã inicial, após mei segund, é s s(0) 0 sen0π 0 sen(0π 0) 0 sen( π) 0 sen0 0. 9) Alternativa C. π f() sen() Períd. Ttal: intersecções cm ei.

33 9) Alternativa C. Sluçã: Cm s gráfics das funções y sen e que a equaçã sen admite 7 sluções reais. 0 y apresentam 7 pnts de interseçã, segue 0 9) Alternativa A. Sluçã: π Mês de Març: P cs 700 π Mês de Julh: P cs 00 Queda da quantia vendida em prcentagem: ,% 700 9) Alternativa D. 0 Sluçã: O númer sen sen. Prtant, resultad pedid é 9) Sluçã: a) assume seu mair valr quand sen fr máim, u seja, quand sen π valr máim crre para cs t F(má) ( ) π F(t) cs t π valr mínim crre para cs t F(má) ( ) 7 Prtant, a temperatura varia de 7 C a C na superfície d lag. b) Para t? tems F(t). Lg: π π π F(t) cs t cs t cs t π cs t Lg : π π π π t u t t 8h u t h Prém, temp em hras fi medid a partir das 0h da manhã, que ns permite afirmar que a temperatura de C fi atingida às:

34 9) Alternativa A. Sluçã: Se t = 0, tems A(0) =,,.sen0 =,; π Se t =, tems A() =,,.sen = 0,; Se t =, tems A() =,,.sen π =,; Se t = 9 tems, A(9) =,,.sen. π =,0. Prtant, gráfic da alternativa [A] é crret. t h 8h h e t h h h 97) Alternativa B. Sluçã: P = 98) Alternativa B. Sluçã: cs = sen cs = cs = 9 cs= (segund quadrante) cs = tg = sen cs.. tg tg tg 99) Alternativa A. 00) Alternativa D ) Alternativa D. Sluçã: (cs sen ) cs sen sen cs sen sen 0,7 0) Alternativa D. 0) Alternativa C.