1 a QUESTÃO: (2,0 pontos) Avaliador Revisor

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1 ( MATEMÁTICA - Gabarit Grups I e J a QUESTÃO: (,0 pnts) Avaliadr Revisr A figura abaix exibe gráfic de uma funçã y = f (x) definida n interval [-6,+6]. O gráfic de f passa pels pnts seguintes: (-6,-),(-4,0), (-,),(-,0),(,),(,4),(4,),(5,) e (6,-). Excet n interval [-4,-], gráfic de f é frmad pr segments de retas. ( 9 a) Calcule f. b) Determine a imagem de f. c) Quantas sluções distintas pssui a equaçã f(x) =? E a equaçã f (x) =? Justifique as suas respstas. d) A funçã f é crescente n cnjunt C = [ 4, ] [,]? Justifique a sua respsta. a) Cm 9 pertence a interval[4,5], gráfic ns mstra que f 9. = b) Imagem de f = [,4]. c) A equaçã f( x ) = tem quatr sluções distintas, pis a reta y = intercepta gráfic de f em quatr pnts diferentes. A equaçã f( x ) = tem infinitas sluções, pis a reta y = intercepta gráfic de f em infinits pnts. d) Nã, pis e sã elements de C, < e f( ) > f().

2 MATEMÁTICA - Gabarit Grups I e J a QUESTÃO: (,0 pnts) Avaliadr Revisr Seja r a reta y = x. Pede-se: a) as crdenadas d pnt P que está n segund quadrante, sbre a reta r e cuja distância a pnt (0, ) é unidades; b) as crdenadas d pnt Q, sbre a reta r, que está mais próxim d pnt (0, ). a) As crdenadas d pnt P sã da frma P = ( x, x ). Prtant querems que x + ( x +) = 0. Ou ainda, 5x 4x 9 = 0. Cm P está n segund quadrante, x= e P = (, ). b) Seja s a reta rtgnal à reta y = x e que passa pel pnt (0, ). A equaçã de s é y = +. x 4 O pnt de r mais próxim de (0, ) é pnt de interseçã das retas s e r : (, ). 5 5

3 Matemática - Gabarit Grups I e J a QUESTÃO: (,0 pnts) Avaliadr Revisr Calcule vlume de um tetraedr regular cujs vértices fram esclhids dentre s vértices de um cub de m de vlume. Qualquer aresta d tetraedr cnstruíd é uma diagnal de uma face d cub. Assim, vlume d tetraedr ACFH é igual a vlume d cub (m ) mens a sma ds vlumes ds tetraedrs AEFH, FABC, CFGH e HACD. Cm vlume de um tetraedr é igual a d prdut da área de sua base pela sua altura, segue-se que vlume de cada um desses tetraedrs é = m 6. Assim, vlume d tetraedr regular ACFH é igual a 4 = m 6. Outra sluçã: A medida da diagnal de uma face d cub é igual a triângul eqüiláter CFH é m. m. Dessa maneira, a área d Send P centr d triângul equiláter CFH, sabe-se que PH = 6 m. Usand Terema de Pitágras n triângul retângul APH, cnclui-se que a altura d tetraedr é dada pr ( ) 6 = m. Lg, seu vlume é = m.

4 MATEMÁTICA - Gabarit Grups I e J 4 a QUESTÃO: (,0 pnts) Avaliadr Revisr A entrar na sala de aula, um prfessr de matemática encntru as seguintes afirmações escritas n quadr: I) Se x é um númer real, entã x = x. b II) Se a e b sã númers reais, a 0 e a x > b, entã x >. a n III) ( ). = = n=0 IV) Se p e q sã númers reais tais que lg p = lg q, entã p = q. Diga se cada uma das afirmações acima é verdadeira u falsa. Justifique as suas respstas. I) Falsa! Pr exempl, para x =, ( ) = II) Falsa! Pr exempl, as esclhas a =, x = e b = ilustram a falsidade da afirmaçã. III) Verdadeira! n = n= é a sma ds primeirs terms de uma PG de razã e primeir term igual a. Tal sma é igual a : =. IV) Falsa! Pr exempl, e lg[( ) ] = lg[() ].

5 MATEMÁTICA - Gabarit Grups I e J 5 a QUESTÃO: (,0 pnts) Avaliadr Revisr Ptlmeu (gravura d sécul XVI) A trignmetria desenvlveu-se cm resultad de uma interaçã cntínua e fecunda entre md de pensar matemátic e a arte de bservar céu. O fams text Almagest, d astrônm Ptlmeu, é, cm efeit, um marc dessa relaçã. Nele, há uma tabela da funçã crda que pde ser definida cm segue: Dad um círcul de rai unitári e um ângul central θ (0 θ 60 ο ), definims a crd(θ) (lê-se a crda de θ) pela medida d segment de reta que une as extremidades d arc AB subtendid pel ângul θ, cnfrme figura abaix. a) Determine crd ( 60 ) e ( 90 ) a) Seja O centr d círcul. crd. b) Determine uma expressã para cmpriment d segment de reta AB em funçã d ângul central θ, 0 < è < 80. Se è = 60, triângul AOB é eqüiláter e entã AB é igual à medida d rai d círcul. Prtant, ( ) crd 60 =. Se è = 90, usand Terema de Pitágras, tem-se: ( AB ) = +. Neste cas, ( ) b) Pela lei ds c-sens tem-se: ( ) AB = csè. crd 90 =. AB = + cs θ = csθ. Cm AB > 0,