Álgebra. Trigonometria. 8. Na figura abaixo, calcule x e y. 2. Um dos catetos de um triângulo retângulo

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1 Trignmetria. Um ds catets de um triângul retângul mede 0cm, e utr é igual a d primeir. Calcule a medida da hiptenusa.. Um ds catets de um triângul retângul mede m e a sua prjeçã sbre a hiptenusa é igual a,m. Calcule a medida da hiptenusa.. Dad triângul da figura abai, calcule s valres de m e n. b = C a = Álgebra. Na figura abai, calcule e y Calcule a área d triângul da figura abai: 0º º º 0º y A n c =. O triângul ABC da figura abai é retângul em B e BD AC. Sabend que r = cm e = cm, calcule h, y e s. B H m B 0. Calcule valr de, indicad na figura abai. A r D. A hiptenusa de um triângul mede m e a razã ds catets é. Calcule a medida da prjeçã d menr catet sbre a hiptenusa.. Dad triângul ABC da figura abai, calcule a medida da prjeçã de a sbre b. a = 0cm a b = 00cm c c = 0cm C h. O pilt de um aviã cmeçu a acinar sistema de travagem à altura de 00m da pista. Sabend que a direçã da linha de rum d aviã, na descida para a pista, faz um ângul de 0º cm sl, calcule a distância d percrrida pel aviã desde iníci da travagem até chegar a sl. y b s A C B Determine valr de AB, indicad na figura abai. A B. Dad triângul retângul ABC, calcule senα e csα C B A α Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne:

2 . Calcule lad AB d triângul abai. B A. Os lads de um triângul medem, e +. Determine ângul pst a lad que mede.. Num triângul de vértices A, B, e C, BC = a, AC = b, Â = º e Bˆ = 0º. Send a + b = +, calcule a e b.. Determine a medida d ângul α indicad na figura abai.. Num triângul ABC s ânguls Bˆ e Ĉ sã aguds. Se a hiptenusa mede cm e sen Ĉ = senbˆ, calcule as medidas ds catets.. Calcule lad de um triângul eqüiláter de cm de altura. 9. Qual perímetr d quadrad que tem a diagnal igual a m? 0. Calcule csen d ângul α, assinalad na figura abai. α C. Um triângul retângul tem a hiptenusa e um ds catets medind, respectivamente, cm e cm. Calcule a medida d ângul pst a catet dad.. Calcule valr de na figura abai Qual é valr de na figura abai? 0 0. Cnsiderand um triângul eqüiláter de vértices A, B e C, nde s lads medem e a altura mede h, determinar sen0 0, cs 0º e tg0º.. Cm s dads d eercíci anterir, cnstruir uma tabela que frneça sen, csen e a tangente ds ânguls de 0º, º e 0º.. Determine s valres de e y nas figuras abai: a) 0 X 0 0 Y. Uma escada apiada em uma parede, num pnt que dista m d sl, frma, cm essa parede, um ângul de 0º. Calcule a distância da parede a "pé" da escada, em metrs.. Um arame de m de cmpriment é esticad d nível d sl (supst hrizntal) a tp de um pste vertical. Sabend-se que ângul frmad pel a- rame cm sl é de 0º, calcule a altura d pste. α B y 0 9. Obtenha na figura abai. y 0 Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne:

3 0. Um bservadr vê uma trre vertical de 00m de altura, sb um ângul de 0º. Qual a distância aprimada que separa dessa trre?. Obter valr de na figura abai O pilt de um aviã lcaliza, pr mei de seu radar, um bjet na Terra que frma 0º cm a hrizntal. Passads, segunds, aviadr nta que este ângul passa a ter º. Determinar a que altura (cnstante) está aviã, sabend que sua velcidade (cnstante) é de 0km/h (00m/s).. Send α a medida de um ângul agud e senα =, calcular csα e tgα.. Se tgα =, calcular senα e csα.. Send α a medida de um ângul agud e csα =, calcule senα e tgα.. Send α a medida de um ângul agud e tgα =, calcule senα e csα.. Sabend que senα + csα =, calcule senα.csα.. Epresse em rad: a) 0º 0º g) º j) º 0º e)º h)0º k) 0º 0º f) º i) º l) 0º 9. Epresse em graus: 0 a) rad rad rad 9 0 rad g) rad e) rad h) rad j) rad k) rad l) rad m) rad 0. Calcule cmpriment de uma circunferência de rai 0cm. ( =,) f) i) rad rad. Sabend que uma pessa dá vltas em trn de um canteir circular de, m de rai, calcule a distância percrrida pela pessa.. Sabend que cmpriment de uma circunferência é de cm, calcule seu diâmetr.. As rdas de um autmóvel têm 0cm de diâmetr. Qual númer de vltas e- fetuadas pelas rdas quand autmóvel percrre 9,9km. ( =,). Em cada cas a seguir, sã dads cmpriment l d arc AB e rai r da circunferência. Calcule a medida d arc em radians. a) l = 0,m, r = 0,m l = cm, r = 0,0cm l = cm, r = cm l = 0,0cm, r = 0,cm. Qual rai de uma circunferência na qual arc de rad mede cm?. Qual é cmpriment de um arc que subtende um ângul central de º numa circunferência de rai r = 0cm. Adte =,.. Num círcul de rai r = 0cm, um arc cuj cmpriment é cm subtende um ângul central cuja medida é α. Determine α (em ra.. Sabe-se que, em um segund, um pnt situad na periferia de uma plia descreve um arc que subtende um ângul central de rad. Se rai dessa plia é,m, qual será a distância percrrida pr esse pnt em um segund? 9. O pnteir ds minuts de um relógi mede cm. Qual é a distância que sua etremidade percrre durante minuts? 0. Uma curva, numa linha férrea, deve ser traçada em círcul. Qual a medida r d rai deste círcul para que s trilhs mudem º de direçã numa distância de 0m?. Admitind ser a Terra uma esfera de rai r = km, determine a distância d equadr a um pnt situad a uma latitude 0º N. Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne:

4 . Cnsidere um heágn regular inscrit numa circunferência. Determine em radians a medida D a) d menr arc AB C E O d mair arc BF d arc AD. Determine menr ângul frmad pels pnteirs de um relógi quand este marca hmin.. Determine menr ângul frmad pels pnteirs de um relógi quand este marcar hmin.. Qual é menr ângul frmad pels pnteirs de um relógi às 9 hras e 0 minuts?. Determine mair ângul frmad pels pnteirs de um relógi às: a) hmin h0min. Determine a que quadrante pertencem s arcs: a) 00º 0º 0º 0º e) f) g) h). Epresse tds s arcs que têm etremidades cincidentes em: a) 00º e) 00º f) 90º e 00º g) 0º e º h) e 9. Calcule a a determinaçã psitiva e escreva a epressã geral ds arcs côngrus a: a) 0º 90º -º -90º g) rad B F e) rad 9 h) rad A f) rad 0. Verifique se sã côngrus s seguintes pares de arcs: a) 90 0 e rad e - rad rad e rad. Determine s arcs psitivs: a) menres que 900º e côngrus a 0º menres que e côngrus a rad. Em qual quadrante está a etremidade d arc de: 9 a) 0º rad -00º. Um arc côngru de rad é: a) rad rad rad rad e) rad. Determine valr d sen e d csen ds seguintes arcs: a) º e) 0º i) -0º m) -0º q) 0º 0º f) º j) -0º n) -90º r) 00º 0º g)-0º k) -º ) 0º s) 00º h) -0º l) -º p)º t) u) v) - cs sen. Calcule númer A = sen cs. Determine valr de B na epressã cs00 + sen( ) dada pr B = sen0 cs. Determine valr de: sen 0º, cs 0º e tg 0º.. Determine: sen, cs e tg 9. Determine valr de: sen(-0º), cs(-0º) e tg(-0º).. Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne:

5 cs cs + cs 0. Calcule: cs.cs. Calcule valr da ctgº, secº e csecº.. Calcule valr de: ctg, sec e csec.. Determine: ctg990º, sec990º e csec990º.. Calcule valr de ctg(-0º).. Qual valr de sec e csec.. Se = 0º, calcule valr de: csec sen y = sen. Calcule cs + cs + cs, sa- bend que =.. Determine valr de epressã: sen + cs + sen cs 9. Calcule A, send: A = sen + cs - tg, para =. 0. Determine valr da epressã: 9 y = cs - tg + sen. Determine períd da funçã: f() = tg. Se, y R, + y = e - y =, sen + seny calcule valr de t =. cs csy. Que valres m pde assumir, para que eista arc satisfazend a igualdade sen = m -?. Determine s valres reais de m para que eista um númer real que satisfaça as igualdades: a) sen = m - 0 sen = m + sen + m = 9 Determine K, de md que se verifique a igualdade sen =. K -. Determine s valres reais que m pde assumir para que eista um númer real que satisfaça as igualdades: a) cs = - m cs = m + cs + m =. Determine K, de md que se verifique a igualdade cs =. K +. Para que valres de m as equações a seguir têm cnjunt-sluçã nã-vazi? m + a) cs = - + m cs = cs = m - cs m 0 = 9. O períd de y = sen + é: 90. Determine períd das funções: a) y = sen y = sen y = sen0 y = sen + 9. Determine períd das funções: a) y = cs y = + cs y = cs y = cs + 9. Determine períd de cada uma das funções: a) y = + cs + y=+cs f() = cs + e) y = + cs f() = - cs f) y = cs + 9. Determine períd das funções : a) y = tg y = tg y = tg + y = tg Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne:

6 9. Determine dmíni de cada uma das funções: a) y = ctg() y = sec y = - csec + y = ctg + 9. Determine dmíni de cada uma das funções: a) y = tg y = tg + y =.tg y = + tg 9. Cnstrua gráfic e determine dmíni e cnjunt-imagem das funções, n interval (0, ): a) y = + sen f() = - + sen y = -sen y = - - sen e) y = - sen f) y = + sen 9. Cnstrua gráfic e determine períd das funções: a) y = sen y = + sen y sen y = - sen 9. Cnstrua gráfic das seguintes funções, n interval (0, ), dand dmíni, a imagem e períd: a) y = sen y = - sen y = sen y = sen 99. Esbce, em um períd, gráfic das seguintes funções: a) y = cs y = - cs y = cs y = + cs e) y = cs 00. Simplifique as epressões: a) sena.tga.cseca csa.ctga.seca tg.ctg.cs.csec sec.cs csec.sen 0. Demnstre as seguintes identidades trignmétricas: a) sen.csec= cs.tg=sen tg + ctg = tg.csec² ( + tg²)( - sen²) = e) + tg² = tg². csec² cs sen f) + = sec cs ec g) tg² + cs² = sec² - sen² 0. Epresse sen em funçã de ctg. 0. Epresse cs em funçã de ctg. 0. Se cs² = e cs² = - tg + sen², epresse sen em funçã de tg. 0. Determine valr de csa para: a) sena = e a IIQ sena = sena = e a IVQ e a IIIQ sena = e a IQ e) sena = e a IVQ f) sena = e a IIQ 0. Determine valr d sena para: a) csa = e a IVQ csa = e a IIIQ csa = e a IQ csa = e) csa = f) csa = e a IIQ e a IVQ e a IIIQ 0. Sabend que cs = valr de y = ct g. cs ec sec, calcule 0. Se sen =, calcule valr da epressã y = sec cs. tg + ct g Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne:

7 09. Send sen =, cm 0, sen.cs tag calcule valr de y =. cs ec 0. Dad cs =, calcule valr de: sec y = sec.cs ec ct g. Calcule as demais funções em cada cas: a) cs =, IQ sec =, IVQ tg =, IQ cs =, IVQ. Dad cs = -, cm < <, calcule valr de sen.. Send sen = a e cs = a -, determine a.. Send sen =, cm 0 < <, calcule cs e tg.. Os valres de a para que se tenha, simultaneamente, sen = a e cs = a sã:. Calcule: a) sen, send << e sec = -. tg, se << e csc = -. sec, se < < e sen = -. csec, se < < e tg =. e) csec, send tg= e sen>0. f) sec, se sen = e IQ. g) ctg, se sen = e IQ.. Dad cs =, < <, calcule sen, tg e ctg.. Se sen =, 0 < <, determine ctg. 9. Se ctg =, cm 0 < <, calcule sen e csec. 0. Calcule valr das epressões: ct g a) y = 9.cs² + csec +, sa- bend que sen = e º Q. cs ec y=, send cs = e (tg sec ) y = º Q. sen + tg ct g º Q. y = cs + tg cs ec + sen = e º Q, send cs = e, sabend que ct g + sen e) y =, se tg = e cs ºQ.. Calcule valr de: a) m, se sec = m e cs = a, se csec = a e sec = m. a m, se tg = m + e ctg = m. a, se sen = e) a, se sen = f) m, se sen = a e tg = a. a + a m + e tg = a +. e cs =. Simplifique as epressões: m. a) sen( - ) cs( - ) sen( - ) cs( + ) e) tg( + ) f) tg( - ) Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne:

8 . Calcule valr das seguintes epressões: a) sen0 + tg0 ct g( ) + cs 0 cs sec( 0 ) + cs ec0 + sen ct g.sec0 sen.cs sen.tg.ct g cs 0.sec 0.cs ec00 sen90 cs0 + sen0 cs0 e) cs 0 + cs 90 sen0 + sen0 sen0 + cs f) tg( ) + sec0 sen cs g) cs + sen sen + sen h) sen + sen i) sen + sen. Calcule y em cada cas: cs + a) y =, send =. sec + sec y = y = sen + cs, send = + tg sen cs, send = tg. Simplifique as seguintes epressões: sen( ).cs( ).sen + a) sen.sen +.sen sen( ).cs ec( ) cs( ).sec( ) sen( ).cs( + ) tg.ct g + ( ) ( ) sen.sen sen ( + ) ( ).cs( ) e) f) sen +.cs sen sen cs.tg ( ).cs( + ) ( ).tg( + ).cs( ) ( ). Simplifique cada uma das epressões, sabend que, cm k Z: k sen( ).cs( + ) a) sen +.sen ( + ) sen( ) + cs cs( ) cs( ) cs cs + sen sen( ) + cs sen ( ). Calcule: a) senº csº cs0º csº e) tgº f) º. Dads sen=, seny=, 0<< e < y <. Calcule: a) sen( + y) cs( + y) tg( + y) cs( - y) 9. Sabend-se que tg = e tg y =, determine: a) tg( + y) tg( - y) 0. Aplicand as fórmulas da adiçã, calcule: a) cs0º tgº sen. Usand as frmulas da adiçã, mstre que: a) cs = sen sen = cs sen( + ) = - sen cs( - ) = - cs e) cs( - ) = cs Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne:

9 . Simplifique a epressã: y = sen(º + ) + sen(º - ). Eprima em funçã de sen e cs as epressões: a) sen( + ) cs( + ) sen( - ) sen( - ) e) cs f) sen +. Se tga= e tgb=, ache tg(a - B).. Se tg( + y) = e tg =, calcule tgy.. Se tg =.tgy, epresse tg( + y) em funçã de tgy.. Simplifique a epressã definida cs.cs( ) pr y =? sen. cs. Simplifique a epressã: sen( + ).cs y =. cs( + ).sen 9. Qual valr de tg de md que tg(º+)+tg(-º)=, cm 0 < <? 0. Sã dads sen0º = 0,0, cs0º = 0,99 e tg0º = 0,0. Determine: a) sen0º cs0º tg0º. Sabend que cs0º=0,0, sen0º=0, e tg0º = 0,9, calcule cs0º, sen0º e tg0º.. Se < < e sen = -, determine: a) sen cs tg. Sabend que csy =, sen = e < y < e < <, determine: a) seny cs tg e tgy tg e tgy. Sabe-se que sen²a + cs²a =. Determine, entã: a) csa em funçã de csa. csa em funçã de sena. Aplicand as fórmulas que fram btidas n prblema anterir, reslva: a) se csa =, cm 0 < a <, calcule valr de csa. Dad sena =, cm 0 < a <, determine csa. Reslva s prblemas: a) Se tg =, calcule tg e ctg. Se tga =, calcule tga.. Calcule sen, se sen = e é um arc d º quadrante.. Se cs =, cm 0 < <, calcule sen e cs. 9. Demnstre as identidades trignmétricas: a) tga.sena = sen a sen.ctg = cs + + tga.tga = seca 0. Sabend que tga =, calcule tga e ctga.. Calcule sen, sabend que tg + ctg =. Transfrme em prdut: a) cs + cs sen + sen seny seny seny + seny + seny + seny. Simplifique as epressões: cs + cs a) y = cs 0 + cn0 sen0 sen0 y =.cs sen + seny y = cs + cs y y = cs cs y sen + seny 9 Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne:

10 . Transfrme em prduts as epressões: a) senº - senº senº - senº cs0º + cs 0º csº - csº. Transfrme em prdut as epressões: a) sen + sen sen - sen sen + sen sen - sen e) cs + sen0 sen0. Simplifique y = sen0 + sen0. Usand as fórmulas de fatraçã, cs + cs y simplifique a epressã: y =. cs cs y cs 0 + cs 0. Simplifique y =. sen0 sen0 9. Transfrme as seguintes epressões em prdut: a) - cs0º sen + + sen cs + cs + sen0º e) + cs0º f) sena + sena +.sena 0. Transfrme em sma s seguintes prduts: a) sen.sen cs.cs cs.sen cs( + 0º).cs( - 0º) e) cs( - 90º).sen( + 90º). Simplifique: y =. Calcule y = sen( + 0 ) + sen( 0 ) cs( + 0 ) cs( 0 ) que valr da ctg é. sen + sen, sabend cs cs. Reslva para [0, [: 0 a) sen = - sen = cs = cs = e) sen = - f) cs = 0 g) cs = - h) sen = i) cs = j) sen = - l) cs = m) sen = - n) cs =. Reslva cs =, para R.. Reslva, para qualquer R: a) cs = - cs = sen = sen = e) cs = - f) sen = cs. Reslva as seguintes equações trignmétricas n interval 0. a) sen = 0 sen = - sen = sen = e) sen = - f) sen = - g) sen = 0 h) sen = - i) sen = j) sen =. Reslva as seguintes equações trignmétricas n interval 0. a) cs = cs = - cs = cs = 0 e) cs = - f) sen = g) cs = - h) cs = - i) cs = 0 j) cs =. Determine a sluçã das equações trignmétricas n interval 0 : a) csec = - Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne:

11 sec = cs + cs = 0 sen = sen e) sen + cs = f) cs + cs - = 0 g) cs = - sen h) sen + sen = 0 i) cs - cs = 0 9. Cnsiderand 0, reslva as equações: a) sen = cs cs + sen = 0 cs = - sen cs + = cs 0. Reslva para 0 < : a) c + cs = 0 cs - cs = 0 sen - sen = 0. Reslva para [0, [: a) sen > cs - e) sen f) cs > - g) sen < h) cs. Reslva as seguintes inequações trignmétricas n interval 0 : a) sen - cs tg > cs > e) sen f) tg < - g) cs > - h) cs <.. Reslva, n interval 0, as seguintes inequações: a) sen - sen 0 cs < tg < sen > 0 cs < 0. cm. a = 0m. m =, e n =,. h = cm, y = cm e s = cm.,m. 0,cm. 00m. = e y = 9-9. ( + ) senα = e csα = a = e b =. 0. e m sen0 0 =, cs0 0 = RESPOSTAS e tg0 0 = s c t. a) = e y = = e y = = 0 e y = ( +). 000m. csα=. senα= e tgα= e csα=. senα= e tgα= 0.senα= 0 e csα= a) e) f) 90 g) h) i) j) k) l) 9. a) e) 0 0 f) 0 0 g) 0 h) 00 0 i) 0 0 j) 0 0 k) 0 l) 0 0 m) 0 0.,0cm.,m. cm. 00vltas. a) 0 0, Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne:

12 . cm.,. rad. 9,0m 9. 0,9cm 0.,m.,km. a) a) a) III I III III e) I f) III g) III h) III. a) +k +k 0 0 +k.0 0 +k e) k.0 0 f) +k g) + k h) + k Obs: k Z 9. a) α 0 =0 0 α = k.0 α 0 = 0 0 α = k.0 α 0 = 0 α = 0 + k.0 α 0 = 0 0 α = k.0 e) α 0 = α = +k f) α 0 = α = + k g) α 0 = α = + k h) α 0 = α = + k 0. a) S N N. a) 0 0 e e a) IVQ IQ IIIQ. e. a), -, - -, -, e) -, f) -, - g) -, - h) -, - i), - j), k), - l) -, m) -, n), 0 ), p), q), 0 r), - s) 0, - t), u), - v) -, , -, 0.,, 9.,, 0. -.,,.,,. 0, nã eiste, -...., u - -. m 9. a) {m R/ m } {m R/ - m -} {m R / m }. - k. a) {m R/0 m } {m R / - m -} {m R / m }. - k. a) m m - m - m a) a) / 9. a) Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne:

13 9. a) 9. a) k e) f) + k k + + k 9. a) + k k k + k + 9. a) D = R, Im = [0, ], p = D = R, Im = [-, 0], p = D = R, Im = [-, ], p = D = R, Im = [-, ], p = e) D = R, Im = [0, ], p = f) D = R, Im = [, ], p = 9. a) 9. a) D = R, Im = [-, ], p = D = R, Im = [, ], p = D =R, Im = [-, ], p = D=R, Im = [-, ], p = 99. sluçã d alun 00. a) tg ctg ctg 0. demnstraçã 0. sen = + ct g 0. cs ctg = + ctg 0. sen = 0. a) - - e) a) e) - + tg tag f) - - f) sen cs tag a) ctg sec cssec a) a =. cs = e tg =. ±/. a) - - f) - - g) e)., -, a) 9-0, e). a) m = ± nã eiste m = - a = e) a = u a = f) m = u m = -. a) cs sen -cs -cs e) tg f) -tg. a) f) e) - h) i) 0. a) - g) - -. a) -tg -sen.cs - e) - f) -sec. a) sen cs 0 -. a). a) + u tg.sen Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne: e) + f) a) - 0. a) -. demnstraçã

14 . cs. a) sen -cs -sen sen e) -sen f) cs.. 0. tgy tg y. ctg. tg a) 0, 0,9999 0,9. cs0 0 = 0,, sen0 0 = 0,9 e tg0 0 =,9. a) -. a) -, , 9. a) cs - sen. a) - -. a) tg = e ctg = tga = ±. sen = -. sen = e cs = - 9. demnstraçã 0. e.. a) cs.cs sen.cs seny.csy csy.seny.csy. a) cs cs0 sen y tg y tg. a) cs0 0 sen0 0.cs 0 cs 0 sen 0.sen0 0. a) sen.cs sen.cs sen.cs sen.cs e) cs² cs. y = - cs.-ctg + y.ctg y. y = ctg 0 9. a) sen -cs.cs sen 0.cs 0 e) cs² 0 f) sena.cs²a 0. a) (cs - cs) (cs + cs) (sen + sen) cs - e) sen. -. ctg. a),,,, e) f), g) h) i) 0, j), l) Ø m) Ø n) Ø. = + k u =. a) = + k + k Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne: u = + k = k = + k = + k u = + k e) = + k f) = + k. a) {0, },, e), f), g) {0, } h) i) j),. a),, {0, }, e) {} f), g), h) i), j),. a),,

15 e 0,, e e) 0,, e f) 0, g) 0, e h) 0,, e i) 0, 9. a),, e,, e k + e 0. a),, e 0,, 0,, e. a) 0 u 0 < < < < e) f) 0 < < u < < g) 0 < < u. a) 0 u 0 u < < u < < 0 < < u < < e) 0 u f), e, g) h) 0 < < u < <. a) S={ R/ } R / < < u < < R / 0 < < u < < h) 0 u Rua Barnesa, 0 - sala 0 - Praça Seca Telefne: