Grupo A. 3. alternativa C. Então: y = alternativa B. = 8 6i. 5. alternativa A = i

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1 Grup A. alternatva B ( x ) + ( y 5) ( y + ) + ( x + ) x y + x y 7y y 5 x + x + y 8 y x + y 8 x + 8 x 5 Entã: x y n ( x; y), m ( x; y), q ( x; y), p(x; y) m + n + p + q ( x; y) + (x; y) + (x; y) + ( x; y ) 0. alternatva C 5 u + v + u v 0 ( u v) + ( 5 + v + u) 0 u v 0 v + u 5 5( u + v) 5 u + v u + v 0 + 5u + 5v 5 u + v 5. alternatva B ( z z ) ( + + ) ( + ) alternatva A z Lg, z. Entã, z ( ) ( + x ) + ( ) 0 x ( ) ( + ) ( ) ( ) +

2 7. alternatva E ( a ) ( + ) + 9 8a 6a ( ) ( + ) 6 9 ( + 6a) + ( 9 8a) 5 Para terms um númer real, 9 8a 0. Lg, a alternatva D Seja z x + y. Entã: 5z + z + 6 5x + 5y + x y + 6 6x x 6x + y + 6 y 6 y Prtant, z alternatva A z ( + )( + ) ( + )( + ) ( + )( ) ( ) ( ) z e z 0. alternatva A z ( x ) + ( x + ) x x + + x + 6x x + x + 5 x + x + 5 x + x 0 x + x 6 0 x x Cm x > 0, entã x. Cnsequentemente, z ( ) + ( + ) 5,queéummagnár pur.. alternatva D Cm z, tems uma crcunferênca cm centr na rgem e tda sua regã nterna nclusa n cnjunt sluçã. z x + y x + y Cm relaçã a semplan x + y 0, devems testar um pnt qualquer para descbrrms qual regã é defnda pr ele. Testand ( ; 0), tems , que é verdader. Assm, ( ; 0) pertence a semplan em questã:

3 y z _ x _ x+ y 0. alternatva A z x + y e z x + y. Entã: z z x + y x + y x + ( y ) ( x ) + y x + ( y ) ( x ) + y x + y 6y + 9 x x + + y 6y + 9 x + y x alternatva D Se z x + y é uma das raízes de, entã: ( x + y ) x + xy y x y 0 x y xy x x ± Lg, as raízes sã z + e z.. alternatva A Seja z x + y uma das raízes de +. Lg: ( x + y) x y + x + xy y + xy x y y y y y + y 0 y

4 Send a y, tems: a + a 0 a u a y u y Cm y R, y y ± xy x x. x( ) x Assm, as raízes de + sã z + e z. 5. a) x x 9 x ± 9 x x V {, } b) x x ± 0 ± 6 x x + x V { +, } ± 6 c) ( x ) + x+ ( + ) 0 Δ 6 ( )( + ) 6 ( ) 6 ( 5) x ± ± ± ( ) ( ) I. x + ( ) II. x ( ) + + ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) 5 5 V ( + ), 5 ( 6. z + ) ( + ) ( ) ( ) Se z +, tems: z ( ) + csθ e senθ u

5 csθ e senθ. Prtant, θ π 5 z (cs 5 + sen 5 ) u z cs π π + sen. 7. alternatva E z ( + ) z csθ senθ θ 60 z + ( ) + z csθ senθ θ 0 θz θ+ θ ; z z z 6 8. alternatva B p e θ p 0. Lg: p p ( csθp + senθp ) ( cs 0 + sen 0 ) alternatva A z ( cs + sen 5 ) + ( cs 8 + sen 8 5 ) sen 0 cs 0 cs( 5) + sen ( 5) + cs( 8 5) + sen( 8 5) + cs( 8 5) + sen( 8 5) ( sen 60 ) cs 60 + sen 60 + cs 0 + sen 0 sen 60 sen 0 sen 60 5

6 0. alternatva D Se θ é argument de z, entã z tem argument θ. Lg, ângul frmad pels ds númers cmplexs é θ θ θ. Calculand θ, tems: z ( ) + π csθ senθ θ 6 Lg, θ π. 0. alternatva C ( + ) (( + ) ) ( + + ) ( ) alternatva C y z z (+ ) _ 0 x z ( ) _ z Raízes quartas frmam um quadrad n plan cmplex. Cnsequentemente, as utras duas raízes sã s cnjugads de z e z : z z e z z + 6

7 . alternatva E z + z ( ) + ( ) 6 8 csθ 8 senθ 8 π θ π π Lg, z 8 cs + sen. Entã, umas das raízes cúbcas de z é: z π + π cs sen. a) w + z w w + csθw θ θ sen w 5 w cs π + sen π z z 6 + cs π sen π 6 π π + + π + π cs sen z 6 + cs 9 π 9 sen π z 6 9π π π + π cs sen z 6 7π 7π cs + sen V { z, z, z} π 7

8 b) w z w w 0 + π csθw 0 senθw θw w cs π + sen π π π z cs + sen z ( + ) π π z cs + π + sen + π z ( + ) V { z, z} c) z + ( ) z Δ ( ) ( 5 ) Para cálcul de Δ, seja w x + y uma das raízes de Δ,entã w Δ. ( x + y) 5 8 x y 5 () x y + xy 5 8 xy 8 x y Substtund x em (), tems que y ±. Lg, x ±. Entã w +. z ( ) ± ( + ) z z V { +, } Grup B 5. Tems que z e θ z 50. Send assm: z z (cs θz + senθz ) (cs 50 + sen 50 ) + ( + ) + 6. alternatva A Cm + e sã psts pela rgem, quart vértce é pst a tercer pnt ( + ). Lg z ( + ) +. 8

9 7. alternatva A z + ( x )( + x) + x + x 8 + x ( + 6x) + ( x 8) x x 8 x ± 8. alternatva D z w ( x + y )( u + v ) xu + xv + yu yv xu yv + xv xv yu 0 y u xv v xu + xu + xv u x ( u + v ) u u u + v 9. alternatva A z + u x ( ) + ( ) + z csθ θ0 z θz θ z z z z (cs( θ + θ ) + sen ( θ + θ ) z z z z (cs( ) + sen( ) z z 8 (cs 50 + sen 50 ) 8 + z z + a a + b + ( ) b 0. a) z ( + ) + ( ; ) z ( + ) ( ; ) Lg, pnt méd é + ; (0; 0). 9

10 b) A altura d trângul relatva a vértce z é a dstânca de z até a reta que passa pr z e z. + x + y + x + y 0 x y x + y 0(equaçã da reta que passa pr z e z ) Se z ( ; ): H alternatva A ( + ) ( 8 )( ) 8( ) ( )( + ) Lg, seu cnjugad,, pertence a prmer quadrante.. Seja z x + y z + z x + y + x y x + x x z z ( x + y)( x y) x + y y y ± Lg, z + u z. 5. ( + ) ( α ) ( + )( α ) ( α + ) ( α ) α + α + α + ( α + ) + ( α ) α + α + Para que seja magnár pur, α + 0. Cm α + 0, α + tems α+ 0 α. 0

11 . Seja z x + y. x + y + x + ( y ) + x + y y + y + módul dez a quadrad y Cm x + y 5 x 5 x ±. Lg, 5 z + u z a) z w ( )( ) 6 + z w 7 + w z b) Im(z) _ w _ z Re(z) t é a altura d trângul, prtant 5 ( b + ) 0 b + 8 b H z 9a + 6a 5a 5a, ps a > 0. B Re( z w), lg: z w ( a + a)( + ) a( + )( + ) a( ) a( + ) a + a B a e H 5a BH a 5a 80 A 90 a 9 0 Cm a > 0, a cm. 7. a) Seja w x + y uma raz de +. Send assm, ( x + y) + x y + xy + x y () xy x y

12 9 ( ) x y y 9 y 6y y y + 6y 9 0. Seja a y : a + 6a 9 0 a, ps a > 0. y ± ± x u w + e w. b) w ( ; 0) 0 Cm n tem a, tems: x y () 0 xy 0 x y 00 ( ) x y y 00 y y y y + y Seja b y : b + b 00 0 b Lg, y ±. Para y, x 5; y, x 5. Prtant as duas raízes sã: z 5 + e z a) p + ( + ) b) P(z) 0 z + ( + ) 0 z ( + ) z ± ( + ) Lg, V { +, }. z ( + ) ( + ) + z ( ) ( )

13 9. a) z + z + ( + z) z + + z + z z z z( ) ( + ) z ( ) ( + ) + 5 b) ( ) z + ( z ) z z + + z z + ( z + ) ( + z ) ( z ) + z + z Para que númer seja real, ( z + ) 0. z z Lg, tds s valres de z que satsfazem a cndçã pertencem à crcunferênca de ra, ( z, ) cm exceçã d pnt z. 5π π 0. O argument de zw é dad pr θzw θz + θw +. π u v Lg, tems que csθ zw e senθ zw zw zw u π csθzw u cs θzw zw u cs ( ) zw v senθzw v senθzw zw v 0 5 zw. Seja z x + y, x, y R. Tems z 5 5 x + y 5 5 x + ( y 5) 5 x + ( y 5) 5. z é um pnt d círcul de centr C (0; 5) e ra 5. Seja P pnt desse círcul que representa cmplex z de menr argument. y (0; 5) C M P O N

14 Entã P é pnt em que uma reta, passand pela rgem, tangenca círcul n º quadrante. Na fgura, tems PC 5, CO 5. Cm ΔOCP é retângul em P, tems PO Se N é a abscssa d pnt P, entã ON é a altura de MP relatva à hptenusa d trângul OCP. PC PO 5 0 Lg, ON MP, e a rdenada M CO 5 de P é tal que MO é a medda d catet PN d ΔOPN. Lg, MO PN 0 6. Prtant, cmplex z de menr argument é: z + 6 θ arc cs 5. alternatva D z Seja z z +. z Lg, z e θ θ θ z z + ( ) z + z z z : z cs θz ; senθ z 7π θz 5 csθ z ; senθz θ 60 z θ θ θ z z z 7 π π. a) Na frma trgnmétrca, tems: z + cs π + sen π 6 6 Assm, ( + ) (cs π + sen π) 096.

15 5 b) A sma + z + z z é a sma ds terms de uma PG de razã z e a, cm 6 terms. 5 ( z ) Lg, + z + z z. O "prblema" é calcular z 6. Clquem-l na frma z trgnmétrca: z + cs θ ; senθ θ 5 z cs 5 + sen 5 6 6π z cs( 5 6) + sen( 5 6) cs + sen 6 π 6 z cs π + sen π cs 0 + sen 0 Cnsequentemente: 6 ( z ) ( ) z z 0. alternatva C Cm tems uma ptênca de z, devems clcá-l na frma trgnmétrca e analsar as cndções d módul e d argument. z + z ( ) + cs θ ; senθ θ0 z (cs 0 + sen 0 ) Cm tems z n chegams a: n z n (cs( 0 n ) + sen(0 ) ) Para que z n seja real, sen(0 n ) 0. Lg, menr valr de n para qual sen(0 n ) 0 é 6, ps sen( 0 6) sen(80 )

16 5. alternatva C 6 A sma + w + w w é a sma de uma PG de term ncal a e razã q w, cm 6 elements. Assm ( w ) w + w + w w. Mas w w w + + cs π + sen π. 6 Lg w 6 π 6 π cs + sen π π cs 0 π + + sen 0 π +. 6 Entã w w ( ) ( ) 6. alternatva C Os ds utrs vértces d trângul sã representads pr númers cmplexs de móduletasqueθ v e θ v 0. Assm: v (cs 50 + sen 50 ) + + v (cs 0 + sen 0 ) + + Im v v 0 0 Re v _ 6

17 7. alternatva A Pela fgura tems que módul de z 6 e que seu argument é 5 π. Se z é raz cúbca de z, entã z z: 6 9π 9π z ( ) cs + sen cs π + π + sen π + π cs π + sen π Tems que: I. < z + < < z + < < ( z + )( z + ) < 9 < ( z + )( z + ) < 9 < z z + ( z + z) + < 9 < z + Re( z) + < 9 z < Re( ) < z z II. z z 6 z 6 6 z 6 z Lg de I e II, basta encntrarms as raízes da equaçã dada que satsfazem 7 < Re( z ) < Cm z 6 z (cs π + senπ) + k + k z cs π π + sen π π k 5, s valres pedds sã (bserve que 7 > 7, ): π π z cs + sen ; 5π 5π z cs + sen + ; 6 6 7π 7π z cs + sen e 6 6 π π z cs + sen. 6 7