Como Z constitui-se claramente a hipotenusa de um triângulo retângulo, tem-se

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAIBA CENTRO DE TENOLOGIA DEPARTAMENTO DE TECNLOGIA MECÂNICA PROF. ANTONIO SERGIO NUMEROS COMPLEXOS Os númers cmplexs representam uma imprtante ferramenta em matemática. Um númer cmplex tem duas cmpnentes: uma real e utra imaginária. Assim send, pdems representar um numer cmplex na frma: Z = A + jb () nde Z é um numer cmplex qualquer, A é sua parte real e B a sua parte imaginária, send que B =. Os númers cmplexs representam cnjunt de númers mais abrangente. Os númers reais sã um sub-cnjunt ds númers reais. Os númers reais é um numer cmplex cm a parte imaginária igual a zer. Em circuits elétrics s númers cmplexs sã muit imprtantes pis permite analisar circuits reativs, ist é, circuits que cntem resistres, capacitres e indutres. Também, cm fi vist, tesões e crrentes alternadas senidais também pdem ser representadas pr númers cmplexs. Ist facilita muit analise de circuits alternads em regime permanente. Um numer cmplex pde ser representad em duas frmas: retangular e plar. A frma retangular fi mstrada acima na Eq (). Na frma plar, numer cmplex é representad pr seu módul e ângul. Assim, tem-se para numer cmplex acima: Z = Z φ () que: Ande Z = A + B e φ = tg - (B/A) (3.a) Cm Z cnstitui-se claramente a hiptenusa de um triângul retângul, tem-se A = Z.cs( φ ) e B = Z.sen( φ ) (3.b) A transfrmaçã de retangular para plar tem que levar em cnta quadrante em que está numer cmplex. Exempl Transfrmar de retangular para plar s seguintes númers cmplexs: a) 3 + j4 (b) 3 j4 (c) 3 + j4 (d) -3 j4

2 Sluçã: Para cas (a) tems Z = = 5 e φ = tg - (4/3) = 53,3 0 N cas (a) vê-se claramente que numer cmplex se encntra n quadrante d plan cmplex: cas a cas b Para cas (b) módul é mesm, prém ângul é φ = tg - (-4/3) = -53,3 0. O que leva a cnclusã fácil que este numer cmplex está n 4 quadrante d plan cmplex. N cas (c), n entant, pde-se ser traíd pela calculadra. O módul ainda é 5, cm se nta facilmente. Quant a ângul tem-se: 3 φ = tg = 53,3 4 O resultad acima pde levar errneamente à cnclusã que numer cmplex d cas (c) também está n 4 quadrante. N entant, ist nã é verdade. Se lcams numer cmplex n plan cmplex cm se vê abaix, tem-se: cas c cas d Assim, numer cmplex de (c) está de fat n quadrante. Para ver iss, fazems: j4 = -(3 j4) = 5 (-53,3 ± 80 ) = 5 6,87 N resultad acima cnsidera-se que se Z = Z φ, -Z = Z = ( φ ± 80 De frma mais direta, pdems dizer, cnfrme a figura acima que ângul é simplesmente: φ = 80 53,3 = 6,87 0 O últim cas, (d), pde levar à mesma cnclusã d cas (a), ist é, estaria também n quadrante, pis pela calculadra tem-se: que

3 Z = 5 e φ = tg - (-4/-3) = tg - (4/3) = N entant, examinand-se, diretamente numer cmplex em questã, vê-se que tant a parte real cm a imaginária, sã negativas, que leva à cnclusã que de fat este numer cmplex está n 3 quadrante, cnfrme mstra a ultima figura acima. Cmplex cnjugad que: Seja Z um numer cmplex qualquer. Z * será seu cmplex cnjugad de maneira Z = A + jb Z * = A -jb & Z = Z φ Z * = Z φ (4) Operações cm númers cmplexs. a) Sma e subtraçã. Para smar e subtrair ds númers cmplexs, sma-se u subtrai-se suas crrespndentes partes reais e imaginárias. Exempl : Smar s númers cmplexs -3 + j4 e 5 + j6 Sluçã: A sma ds númers cmplexs será: (-3 + 5) + j(4 + 6) = + j0 Uma peraçã trivial, prtant. Uma aplicaçã direta em circuits alternads está na sma/subtraçã de tesões/ crrentes alternadas senidais. Seja v (t) = V m.sen(ω.t + φ ) e v (t) = V m.sen(ω.t + φ ). Cm seria v (t) + v (t)? Para respnder a esta pergunta, devems ter em mente que: A sma/subtraçã de duas u mais funções senidais quaisquer da mesma freqüência tem cm resultad uma utra funçã senidal da mesma freqüência das funções iniciais. A sma/subtraçã de duas u mais funções senidais diretamente, sb a frma tempral, nã é prcediment matemátic trivial. N entant, expressand-se cada uma destas funções na frma cmplexa, prcediment fica simples, cm se verá. Assim, seja: v (t) = V m.sen(ω.t + φ ) V = V φ = A + jb v (t) = V m.sen(ω.t + φ ) V = V φ = C + je Vm V = & Vm V = : valres eficazes V + V = (A + C) + j (B + E) B + E V + V = (A + C) + (B + E) & φ T = tg- A + C Assim send, tem-se: (5.a) v (t) + v (t) = V mt. sen(ω.t + φ T ) 3

4 ande V mt = V + V x (5.b) Exempl 3: Duas tensões v (t) = 00.sen(00.t + 80 ) e v (t) = 4.sen(00t +50 ) sã aplicadas em série a um resistr de 30 Ω, cnfrme figura abaix. Determinar a ptência ttal dissipada pel resistr: Sluçã: Antes de mais nada, precisa-se smar as duas tensões. Para iss, de acrd cm (), (3.a) e (3.b), tma-se s seus númers cmplexs crrespndentes V = =,8 + j69,65 & V = 4 80 = 64,8 + j76.6 De acrd cm (5.a), tem-se: V = (,8 + 64,8) + (69,65 76,60) V = (8,93) (46,5) V + + = V + + = 67,64 : valr eficaz φ T = tg - 46,6 = 60,74 8, 93 v (t) + v (t) = x 67,64.sen(00t + 60,74 ) A ptência ttal dissipada n resistr é dada pr: 67,64 P = = 936, 8 watts 30 b) Multiplicaçã e divisã. Para a multiplicaçã e divisã deve-se perar na frma plar. Seja Z = A + jb Z = C + jd. Antes cnverte-se cada um destes númers para a frma plar: Z = Z φ e Z = Z φ 4

5 Na multiplicaçã de dis númers cmplexs, multiplica-se s móduls e smase s ânguls. Assim, Z T = Z x Z = x Z ( φ + φ ) Z Exempl 4: Multiplicar s númers cmplexs Z = 3 + j4 e Z = + j Sluçã: Z = = 5 φ = tg - (4/3) = 53,3 Z = + =, 3 φ = tg - (/) = 6,57 Z T = Z x Z = 5x,3 (53,3 + 6,57 ) =,5 79,7 Pr utr lad, pde-se multiplicar diretamente s dis númers cmplexs usand-se prduts ntáveis: Z T = Z x Z = (3 + j4)x( + j) = 3x + 3xj + j4x + j.j.4x = j8 + j3 = + j : cnsiderand que j.j = j = - Transfrmand na frma plar resultad acima, tem-se: + j7 + tg ( / ) =,8 79,7 O que cincide cm resultad btid acima usand-se a ntaçã plar. Para se dividir usa-se um prcediment análg.a da multiplicaçã. Usa-se a frma plar: divide-se s móduls e subtrai-se s ânguls. Assim, Z Z T = φ Z = ( φ ) Z φ Z φ Exempl 5: Em relaçã as númers cmplexs acima, dividir primeir pel segund. Sluçã Z T = 5 53,3,3 6,57 =,4 6,57 Pr utr lad, pde-se dividir diretamente em crdenadas retangulares: Z T = 3 + j4 + j Antes de se cntinuar a peraçã acima, multiplicams numeradr e denminadr pel cnjugad d numer cmplex d denminadr. A 5

6 multiplicaçã de um numer cmplex pel seu cnjugad dá, cm vims seu módul a quadrad: (3 + j4)x( j) 0 + j5 Z T = = = + j ( + j)x( j) 5 Cnvertend resultad acima para a frma plar chega-se a,4 6,57, mesm resultad acima. Cncluind, pde-se dizer que frma plar é mais direta e simples de usar para a multiplicaçã e divisã que a frma retangular e implica em mens engans e errs. 6

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