MATEMÁTICA. Capítulo 1 LIVRO 1. I. Introdução àgeometria II. Ângulo III. Paralelismo. Páginas: 145 à156

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Bárbara Botelho Paixão
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1 MATEMÁTICA LIVRO 1 Capítul 1 I. Intrduçã àgemetria II. Ângul III. Paralelism Páginas: 145 à156

2 I. Intrduçã a Estud da Gemetria Plana Regiã Plignal Cnvexa É uma regiã plignal que nã apresenta reentrâncias n crp da mesma. Exempl Regiã Plignal Nã - Cnvexa É uma regiã plignal que pssui reentrâncias n crp da mesma. Exempl A C B A C D B D Regiã Octgnal Cnvexa Regiã Octgnal Nã - Cnvexa Prpriedade: Td segment de reta cujas extremidades estã cntidas nesta regiã, estará ttalmente cntid na regiã plignal. Prpriedade: Nem tds s segments de reta que pssuem extremidades cntidas nessa regiã estarã ttalmente cntids na regiã plignal.

Também sã utilizadas letras ds alfabets greg e prtuguês.

3 II. Ânguls É uma regiã d plan determinada pr duas semiretas u dis segments de reta rientads a partir de um pnt cmum, denminad vértice. A representaçã de um ângul é feita pr três pnts, indicand seus lads e vértice. Também sã utilizadas letras ds alfabets greg e prtuguês. ângul nã cnvex V A ˆ AVB B ângul cnvex Medidas de Ânguls Uma vlta cmpleta numa circunferência Definiçã de 1 Radian: 360 2π radians 1 radian R R 400 grads Um radian equivale a aprximadamente 57,3

4 Classificaçã ds Ânguls em relaçã as suas medidas Ângul Nul Agud Ret Obtus Ras Característica ângul cuja medida é 0. ângul cuja medida é mair que 0 e menr que 90. ângul cuja medida é 90. ângul cuja medida é mair que 90 e menr que 180. ângul cuja medida é 180. Nul Agud Ret Obtus Ras

5 Subdivisões d Grau Td ângul pde ser escrit, se necessári, utilizand graus e minuts u graus, minuts e segunds: Exempl: 30 = = Exercícis Extras Efetue as perações cm ânguls: a) 34 39' ' b) 11 27'10'' '14'' c) 82 41'39'' '50'' d) 57 33'52'' '12'' e) 91 12'10'' '34'' f) 1 13' x 7 g) 13 70'35'' x 5 h) 72 30' : 3 i) 39 20'8'' : 4

6 Ânguls Adjacentes Cmplementares Suplementares Replementares y x y x y O x O O x + y = 90 x + y = 180 x + y = 360 O cmplement de um ângul de medida x é: (90 - x) O suplement de um ângul de medida x é: (180 - x) O replement de um ângul de medida x é: (360 - x)

7 Terema demnstraçã: se dis ânguls sã psts pel vértice, entã as suas medidas sã iguais β V α x α e β sã ânguls psts pel vértice (OPV) α + x =180 x =180 - α β + x =180 x =180 -β entã : α =180 -β - α = -β prtant : α = β

8 Exercícis [17. P151] (UECE-CE) O ângul igual a 5/4 d seu suplement mede: a) 100 b) 144 c) 36 d) 80 e) 72 resluçã A medida de um ângul descnhecid é representada pr: x O suplement desse ângul x é: (180 - x) 5 x = (180 - x) 4 4x = 900-5x 9x = 900 x =100

9 [19. p151] (UFU-MG) Dis ânguls adjacentes sã cmplementares. Entã ângul frmad pelas bissetrizes desses ânguls mede: a) 20 b) 30 c) 35 d) 40 e) 45 O y y/2 resluçã α x/2 x x + y = 90 O ângul α frmad pelas bissetrizes é: x y α = x + y 9 0 α = α = 2 2 α = 4 5

10 [23. P151] (MACKENZIE-SP) O cmplement e suplement de um ângul de medem, respectivamente, a) e b) e c) e d) e e) e resluçã O cmplement é valr d ângul que falta para 90 : '07" 52 39'53" O suplement é valr d ângul que falta para 180 : '07" '53"

11 [EXTRA] (CFT-SC) Na figura abaix, a semi-reta OP é bissetriz d ângul AÔB. Os valres de x e y sã: a) x = 13 e y = 49. b) x = 15 e y = 35. c) x = 12 e y = 48. d) x = 17 e y = 42. e) x = 10 e y = 50. resluçã Se OP é bissetriz d ângul AOB: x +30 = y = y - x y - x = 40 Os ânguls 2y, y - 10 e x + 30 junts, frmam um ângul ras: 2y + y x +30 =180 3y + x = y + x =160 y - x = 40 3y + x =160 4y = 200 y = 50 x =10

12 [EXTRA] (CFT-CE) O ângul cuj suplement excede de 6 quádrupl d seu cmplement, é: a) 58 b) 60 c) 62 d) 64 e) 68 resluçã O suplement de um ângul x é: (180 - x) O cmplement de um ângul x é: (90 - x) O quádrupl d seu cmplement é: 4.(90 - x) (180 - x) = 6 + 4(90 - x) x = x 3x =186 x = 62

13 [EXTRA] (PUC-PR) Dis ânguls cmplementares A e B, send A < B, têm medidas na razã de 13 para 17. Cnsequentemente, a razã da medida d suplement d ângul A para suplement d ângul B vale: a) 43/47 b) 17/13 c) 13/17 d) 119/48 e) 47/43 A +B = 90 A 13 = B 17 17A =13(90 - A) 17A = A 30A =1170 resluçã B = 90 - A A 13 = 90 - A 17 B = B = 51 A = 39 # O suplement d ângul A é: = 141 # O suplement d ângul B é: = 129 A razã R entre seus suplements é: R = R =

14 III. Paralelism α β δ γ t s r // s α e γ : crrespndentes α e β : psts pel vértice γ e β : alterns interns β e δ : claterais interns "Z" DO ZORRO [sã cngruentes] α β γ [sã suplementares] β + δ = 180º

15 Terema demnstraçã: a + c = b + d a ba b-a c-d c d s a sma ds ânguls cm curvatura para um lad é igual à sma ds ânguls cm curvatura para utr lad d b - a = c - d b + d = a + c r // s

16 Exercícis resluçã [35. p154] (CESGRANRIO-RJ) As retas r e s da figura sã paralelas crtadas pela transversal t. Se ângul B é tripl de A, entã B - A vale: B A B = 3A r s // r a) 90 b) 85 c) 80 d) 75 e) 60 A + B = 180 A + 3A = 180 4A = 180 A = 45 Entã: t B - A = B - A = B - A = 90

17 [36. p154] (FECAPE - MOD ENEM) Duas ruas paralelas d Cndmíni Ri Encantad sã crtadas transversalmente pr utra rua que frma cm as primeiras ânguls claterais interns de tal md que um excede utr em 30. O mair desses ânguls mede: a) 105. b) 110. c) 120. d) 125. e) 150. x x + 30 resluçã x + x + 30 = 180 2x = 150 x = 75 s r // s x

18 [44. p155] (FUVEST - MOD ENEM) Na figura, as retas r e s sã paralelas, ângul 1 mede 45 e ângul 2 mede 55. A medida, em graus, d ângul 3 é: ˆ3 resluçã Observa-se que ângul 3 é a sma ds ânguls 1 e 2, entã: ˆ 3 = ˆ 3 = a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100

19 [47. p155] (FGV-SP) Cnsidere as retas r, s, t e u, tdas num mesm plan, cm r//u. O valr em graus de (2x + 3y) é: resluçã med(x) = med(y) a) 64 b) 500 c) 520 d) 660 e) 580 y = 180 y = 100 prtant: 2x + 3y = = 500

[50. p156] (UNICAMP-SP) Para calcular a circunferência terrestre, sábi Eratóstenes valeu-se da distância cnhecida de 800 km entre as lcalidades de Alexandria e Siena n Egit (A e S, respectivamente),

20 [50. p156] (UNICAMP-SP) Para calcular a circunferência terrestre, sábi Eratóstenes valeu-se da distância cnhecida de 800 km entre as lcalidades de Alexandria e Siena n Egit (A e S, respectivamente), situadas n mesm meridian terrestre. Ele sabia que, quand em Siena s rais slares caíam verticalmente, em Alexandria eles faziam um ângul de 7,2 cm a vertical. Calcule, cm esses dads, a circunferência terrestre, ist é, cmpriment de uma vlta cmpleta em trn da Terra. resluçã 7,2 Os rais slares sã cnsiderads paralels 7,2 800 km 360 x x = km

21 [ EXTRA] (OBM) Três quadrads sã clads pels seus vértices entre si e a dis bastões verticais, cm mstra a figura. resluçã x = 3.90 x = 270 x = 39 A medida d ângul x é: a) 39 b) 41 c) 43 d) 44 e) 46

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