ELETRICIDADE E MAGNETISMO

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1 PONIFÍCIA UNIVERSIDADE CAÓLICA DE GOIÁS DEPARAMENO DE MAEMÁICA E FÍSICA Prfessres: Edsn Vaz e Renat Medeirs ELERICIDADE E MAGNEISMO NOA DE AULA II Giânia

2 ENERGIA POENCIAL ELÉRICA E POENCIAL ELÉRICO Se a funçã energia ptencial de um crp tiver valr U A, uand crp estiver num pnt A, e valr U B, uand ele está num pnt B, entã, trabalh crp durante deslcament de A para B, é dad pr W U U U U AB A B B A W AB, realizad sbre A energia ptencial de uma partícula carregada, clcada em um camp elétric, depende da intensidade de carga da partícula. O ptencial elétric é uma grandeza escalar representad pela letra V: U V U V Quand um camp elétric realiza um trabalh sbre uma carga de prva, ue se deslca de um pnt A para um pnt B, a diferença de ptencial (u vltagem) V BA é dada pr: W AB U U W V V V W V V B A AB BA B A AB A B Onde: V A é ptencial elétric n pnt A. V B é ptencial elétric n pnt B. 2

3 Unidade de ptencial elétric n SI: 1 jule / culmb = 1 vlt = 1 V O ptencial elétric pde ns parecer uma grandeza abstrata, prém uand pensams na sua unidade (vlt) percebems ue esta grandeza está cnstantemente relacinada a nss ctidian. É cmum citarms ue s aparelhs de nssa residência estã ligads a uma diferença de ptencial (vltagem) de 220 V. VOLAGEM EM UM CAMPO ELÉRICO UNIFORME E A B d A diferença de ptencial entre s pnts A e B é dada pr V A V B W AB, mas, WAB Fd, nde, F E V A V B Ed V V Ed A B Onde: V AB é a ddp entre s pnts A e B. E é camp elétric unifrme. Deve-se bservar, entretant, ue a distância d entre s dis pnts deve ser tmada na direçã paralela a vetr E. OURA UNIDADE DE CAMPO ELÉRICO: vlt /metr ( V / m ) tems ue : 1 V /m = 1 N / C 3

4 CÁLCULO DO POENCIAL A APARIR DO CAMPO ELÉRICO Se vetr camp elétric fr cnhecid em tds s pnts de uma trajetória ue liga dis pnts, é pssível usar camp elétric para calcular a diferença de ptencial entre estes dis pnts. Devems realizar trabalh para a carga ir de i até f. Cm iss tems: dw F. dr E. dr dw E. dr W E. dr W V f V i E. dr POENCIAL ELÉRICO NO CAMPO DE UMA CARGA PONUAL Demnstraçã da expressã usada para calcular ptencial elétric criad pr uma carga pntual. E. ds E csdr V V E. d r E csdr f i 1 V V E cs dr R 0 V R 1 V Edr dr 2 4 r R R r R trcand : R r 1 V 4 r 1 r V dr 1 V 4 R R 4

5 Lembrand ue uma partícula de carga psitiva prduz um ptencial elétric psitiv, já uma partícula de carga negativa, prduz um ptencial elétric negativ. POENCIAL DEVIDO A UM GRUPO DE CARGAS PONUAIS Para calcularms ptencial elétric estabelecid pr várias cargas pntuais em um dad pnt, devems calcular ptencial estabelecid pr cada carga neste pnt e em seguida devems smar algebricamente estes ptenciais. Send r i a distância da carga i até pnt cnsiderad tems ue: V n V 1 i i1 4 i1 n i r i SUPERFÍCIES EQUIPOENCIAIS As superfícies euiptenciais sã sempre perpendiculares às linhas de camp elétric. Esta prpriedade é útil para desenhar as linhas de camp uand tems as superfícies euiptenciais u para desenhar as euiptenciais uand tems as linhas de camp elétric. Nas figuras estã representadas as linhas de camp e as euiptenciais para dis cass, camp unifrme e carga pntual. 5

6 E X E R C Í C I O S 1. Na figura abaix, uand um elétrn se deslca de A até B a lng de uma linha de camp elétric, esse camp realiza um trabalh de 3,94x10-19 J. Quais sã as diferenças de ptencial elétric (a) V A V B ; (b) V C V A ; (c) V C V B. 2. Duas grandes placas cndutras, paralelas entre si e afastadas pr uma distância de 12 cm, têm cargas de mesm valr abslut e de sinais psts nas faces ue se defrntam. Um elétrn clcad em um pnt entre as duas placas sfre uma frça eletrstática de 3, N. Desprezand efeit de brda, u seja, cnsiderand camp unifrme em tds s pnts entre as placas, determine (a) valr d camp elétric n pnt nde se encntra elétrn, e (b) valr da diferença de ptencial entre as placas. R: a) 2,44x10 4 N/C; b) 2,93x10 3 V 3. Cnsidere uma carga puntifrme = + 1,0C e dis pnts B e A ue distam, respectivamente, 1,0 m e 2,0 m da carga. (a) mand tais pnts diametralmente psts, cm mstra a Fig. a abaix. Qual é a diferença de ptencial V a V b? (b) Repita item (a) cnsiderand s pnts A e B lcalizads cm mstra a Fig. b. R: a) V AB = - 4, V b)v AB = - 4, V 4. Na figura abaix, ual ptencial resultante n pnt P devid às uatr cargas pntuais, se V = 0 n infinit? R: 2,5 / 4 d 0 6

7 5. A figura a seguir mstra um arranj retangular de partículas carregadas mantidas fixas n lugar, cm a = 39,0 cm e as cargas indicadas cm múltipls inteirs de 1 = 3,40 pc e 2 = 6,00 pc. Cm V = 0 n infinit, ual é ptencial elétric n centr d retângul? (sugestã: Examinand prblema cm atençã é pssível reduzir cnsideravelmente s cálculs). 6. N retângul da figura abaix, s lads pssuem cmpriments de 5,0 cm e 15 cm, 1 = -5,0μC e 2 = +2,0μC. Cm V = 0 n infinit, uais s ptenciais elétrics (a) n vértice A e (b) n vértice B? (c) Qual trabalh realizad pela frça elétrica para mver uma terceira carga 3 = +3,0μC de B para A a lng de uma diagnal d retângul? Este trabalh é mair, menr u mesm exigid se 3 fr mvida a lng de trajetórias ue estejam (d) dentr d retângul, mas nã sbre uma diagnal, e (e) fra d retângul? R: a) +6,0 x 10 4 V; b) 7,8 x 10 5 V; c) - 2,5 J; d) mesm; e) mesm. 1 A B 2 POENCIAL DE UM CONDUOR ISOLADO Uma carga em excess clcada sbre um cndutr islad se distribuirá sbre a superfície desse cndutr de md ue tds s pnts d cndutr atinjam mesm ptencial. O ptencial elétric a uma distância r d centr de um cndutr esféric de rai R é dad pr: ( ptencial fi cnsiderad nul n infinit) KQ V R, para r R KQ V, para r > R r 7

8 E X E R C Í C I O S 7. Quais sã (a) a carga e (b) a densidade de carga sbre a superfície de uma esfera cndutra de rai 0,15 m, cuj ptencial é de 200 V (cm V = 0 n infinit)? R: a) 3, C; b) 1, C/m 2 8. Dis cndutres esférics, A e B, de rais R A = R e R B = 2R estã islads e distantes um d utr. As cargas das duas esferas sã de mesm sinal e a densidade superficial de carga de A é duas vezes mair d ue a de B. Ligand-se as duas esferas pr mei de um fi cndutr, verifiue se haverá passagem de carga de uma para utra. Expliue. R: V A = V B, nã haverá passagem de carga de um para utr. 9. Cnsidere duas esferas cndutras, 1 e 2 separadas pr uma grande distância, a segunda tend dbr d diâmetr da primeira. A esfera menr pssui inicialmente uma carga psitiva e a mair está inicialmente descarregada. Agra vcê liga as esferas cm um fi fin e lng. (a) Cm estã relacinads s ptenciais finais V 1 e V 2 das esferas? (b) Quais as cargas finais 1 e 2 sbre as esferas, em terms de? (c) Qual a relaçã entre a densidade superficial de carga final da esfera 1 e 2? R: a) V 1 = V 2 ; b) 2 1 = ; 2 = 3 3 c) 1 = Uma gta esférica de água transprtand uma carga de 30 pc tem um ptencial de 500 V em sua superfície (cm V = 0 n infinit). (a) Qual é rai da gta? (b) se duas gtas iguais a esta, cm a mesma carga e mesm rai, juntarem para cnstituir uma única gta esférica, ual será ptencial na superfície da nva gta? R: a) 5, m; b) 793, 7 V. 11. Cnsidere duas esferas cndutras de rais R 1 = 14 cm e R 2 = 16 cm, separadas pr uma distância muit grande. Inicialmente a esfera menr tem uma carga 1 = 7 μc e a esfera mair uma carga 2 = 2 μc. As esferas sã ligadas pr um fi lng e fin. Determine valr da carga final de cada uma das esferas após ser atingid euilíbri eletrstátic. R: 1 = 4,2 μc e 2 = 4,8 μc. ENERGIA POENCIAL ELÉRICA DE UM SISEMA DE CARGAS PONUAIS A energia ptencial elétrica de um sistema de cargas pntuais fixas é igual a trabalh ue deve ser executad pr um agente extern para reunir sistema, trazend cada uma das cargas de uma distância infinita. Para cas de duas cargas pntuais tem: 8

9 W 2V 2 4 r 4 r 2 1 W U 4 r uand s sinais das cargas 1 e 2 frem iguais W 0 uand s sinais das cargas 1 e 2 frem cntráris W 0 E X E R C Í C I O S 12. (a) Qual a energia ptencial elétrica de um sistema frmad pr dis elétrns separads pr uma distância de 2 nm? (b) Se a distância entre s elétrns diminuir, a energia ptencial elétrica d sistema aumente u diminui? 13. Duas cargas = +2,0μC sã mantidas fixas a uma distância d = 2,0 cm uma da utra cnfrme figura abaix. (a) Cm V = 0 n infinit, ual é ptencial elétric n pnt C? (b) Qual é trabalh (realizad pr um agente extern) necessári para deslcar uma terceira carga = +2,0μC d infinit até pnt C? (c) Qual é a energia ptencial U da nva cnfiguraçã? POENCIAL PRODUZIDO POR UMA DISRIBUIÇÃO CONÍNUA DE CARGAS Nestes cass devems esclher um element de carga d, calcular ptencial dv prduzid pr d n pnt cnsiderad e integrar para tda a distribuiçã de cargas. dv 1 d ( 0 0) 4 d u d r Entã: V dv 1 d 4 r Cm exempl cm distribuiçã cntínua de carga, vams determinar ptencial elétric a uma distância z sbre eix central de um disc de plástic de rai R, fin e unifrmemente carregad cm uma densidade superficial de carga σ. Disc carregad. 9

10 ' ' d 2R dr 2 '2 V z R z ' ' 1 d 1 2R dr dv '2 r z R 2 Cálcul d camp elétric a partir d ptencial Para determinarms camp elétric a partir d ptencial usams fat de ue: A cmpnente d vetr camp elétric em ualuer direçã d espaç é negativ da taxa de variaçã d ptencial elétric cm a distância nessa direçã. Em uma ntaçã mais rigrsa usaríams um peradr denminad de gradiente, nã send este bjetiv, vams apenas indicar a relaçã das cmpnentes d camp elétric ns eixs x, y e z cm as derivadas parciais d ptencial elétric para s eixs cnsiderads. E E E x y z V x V V E y s V z 10

11 E X E R C Í C I O S 14. Na figura abaix, uma barra de plástic cm um carga unifrmemente distribuída Q = -25,6 pc tem a frma de um arc de circunferência de rai R = 3,71 cm e ângul central Φ = 120. Cm V = 0 n infinit, ual é ptencial elétric n pnt P, centr de curvatura da barra? 15. Um disc de plástic de rai R = 64,0 cm é carregad na face superir cm uma densidade superficial de cargas unifrme σ = 7,73 fc/m 2 e, em seguida, três uadrantes d disc sã remvids. A figura abaix mstra uadrante remanescente. Cm V = 0 n infinit, ual é ptencial prduzid pel uadrante remanescente n pnt P, ue está sbre eix central d disc riginal a uma distância D = 25,9 cm d centr d disc riginal? CAPACIORES Um capacitr (u cndensadr) é cnstituíd pr dis cndutres separads pr um islante, nde s cndutres sã chamads de armaduras (u placas d capacitr) e islante é dielétric d capacitr. Quand um capacitr está carregad, cada uma das duas placas cntêm cargas de mesm módul e sinais pst (+ e ). Energia pde ser armazenada cm energia ptencial em um camp elétric, e um capacitr é um dispsitiv ue pde ser usad para iss. Cstuma-se dar nme as capacitres de acrd cm a frma de suas placas, cm exempl, tems capacitr plan, capacitr cilíndric, capacitr esféric. 11

12 Símbl d capacitr Capacitância de capacitr A capacitância, C, de um capacitr pde ser definida cm a razã entre a carga de ualuer ds cndutres e módul da diferença de ptencial, V, entre s cndutres. Para um determinad capacitr esta razã permanece cnstante. nde : C VC V C = é a capacitância d capacitr = é a carga de uma das armaduras d capacitr V = é a diferença de ptencial entre as placas d capacitr Unidade de capacitância n S.I. A unidade de capacitância (S.I) é Culmb pr Vlt. Esta unidade é chamada de farad (F), em hmenagem a Físic britânic Michael Faraday culmb / vlt = farad ( F ) Observaçã: O farad é uma unidade muit grande, pr iss usams cnstantemente seus submúltipls: 6 F micrfarad 10 F 9 nf nanfarad 10 F 12 pf picfarad 10 F 12

13 Capacitr de Placas Paralelas O tip mais cmum de capacitr cnsiste em duas placas cndutras e paralelas, separadas pr uma distância peuena em relaçã às dimensões da placa. Se as placas estiverem suficientemente próximas pdems desprezar a defrmaçã d camp elétric próxim às brdas das placas, e camp elétric entre as placas pde ser cnsiderad unifrme. A capacitância de um capacitr de placas paralelas depende diretamente da área das placas e inversamente da distância de separaçã entre elas, send dada pr: A C d d nde : A = é a área da superfície das placas d = é a distância entre as placas N vácu, tems ue: 8,8510 C / Nm Vams demnstrar a expressã da capacitância de um capacitr de placas paralelas. 13

14 Pela Lei de Gauss, tems camp elétric entre as placas cm: E E. da EA A A diferença de ptencial entre as placas é dada pr: V V E. d r f i f Vams tmar caminh da placa negativa para a placa psitiva e adtar V i = 0, entã: i V f Edr Cm V Ed e E A, tems: C V Ed A C d d A E X E R C Í C I O S 16. Um capacitr de placas paralelas pssui placas circulares de rai 8,2 cm e separaçã 1,3 mm. (a) Calcule sua capacitância. (b) Que carga aparecerá sbre as placas se a diferença de ptencial aplicada fr de 120 V? R: a) 1,44x10-10 F ; b) 1,72 x 10-8 C 17. Sejam duas placas metálicas planas, cada uma de área 1,00 m 2, cm as uais desejams cnstruir um capacitr de placas paralelas. Para bterms uma capacitância de 1,00 F, ual deverá ser a separaçã entre as placas? Será pssível cnstruirms tal capacitr? R: 8,85x10-12 m 18. Duas placas paralelas de flha de alumíni têm uma separaçã de 1,0 mm, uma capacitância de 10 pf e estã carregadas a 12 V. (a) Calcule a área da placa. Mantend-se a carga cnstante, diminuíms a separaçã entre as placas de 0,10 mm. (b) Qual é a nva capacitância? (c) De uant varia a diferença de ptencial? R: a) 1,13x10-3 m 2 ; b) 1,11x10-11 F ; c) 1,19 V Assciaçã de capacitres em série Numa assciaçã de capacitres em série, a placa negativa de um capacitr está ligada à placa psitiva d seguinte. Send ue, se uma diferença de ptencial V fr aplicada em uma assciaçã de capacitres em série, a carga armazenada é a mesma em cada capacitr da

15 assciaçã e a sma das diferenças de ptencial aplicada a cada capacitr é igual à diferença de ptencial V aplicada na assciaçã. Para três capacitres em série tems ue: V V V V C C C C série : C C C C ems ue: ds s capacitres estã carregads cm a mesma carga. A diferença de ptencial V AB é igual à sma das vltagens de cada capacitr. Este resultad pde ser generalizad para n capacitres C Assciaçã de capacitres em paralel N 1 1 i1 C Numa assciaçã de capacitres em paralel, tdas as armaduras psitivas estã ligadas a um mesm pnt, assim cm tdas as negativas estã ligadas a utr pnt cmum. i

16 Quand uma diferença de ptencial V é aplicada em uma assciaçã de capacitres em paralel, a diferença de ptencial V é a mesma entre as placas de cada capacitr, e a carga ttal armazenada na assciaçã é a sma das cargas armazenadas em cada capacitr. Para três capacitres em paralel tems ue: C V C V C V C V paralel : V V V V C C C C ems ue: A vltagem é a mesma em tds s capacitres. A carga armazenada n capacitr euivalente é igual à sma das cargas de cada capacitr. Este resultad pde ser generalizad para n capacitres C N i1 Ci Energia ptencial elétrica armazenada pr um capacitr A energia ptencial de um capacitr carregad pde ser cnsiderada armazenada n camp elétric entre suas placas. Vams determinar a expressã para calcular esta energia mems um capacitr cm uma carga inicial ' ' ' V C

17 E uerems clcar mais carga nesse capacitr. Para iss precisams realizar trabalh, u seja, ligar uma bateria, pr exempl, para fazer iss. Entã: U 1 CV 2 2 E X E R C Í C I O S 19. Quants capacitres de 1 μf devem ser ligads em paralel para acumularem uma carga de 1 C na assciaçã? Cnsidere ue a ddp aplicada à assciaçã seja de 110 V. R: Para a assciaçã representada na figura abaix, cnsiderand C 1 = 10,0 F, C 2 = 5,00 F, C 3 = 4,00 F e V = 100 V determine (a) a capacitância euivalente. (b) a carga, (c) a diferença de ptencial e (d) a energia armazenada para cada capacitr. R: (a) 7,33 F; (b) 1 = 2 = 3,33x10-4 C, 3 = 4x10-4 C; (c) V 1 = 33,3V, V 2 =66,7V, V 3 =100V; (d) U 1 = 5,54x10-3 J, U 2 = 1,11x10-2 J, U 3 = 2x10-2 J. 21. Para a assciaçã representada na figura abaix, cnsiderand C 1 = 10,0 F, C 2 = 5,00 F, C 3 = 4,00 F e V = 100 V determine (a) a capacitância euivalente, (b) a carga, (c) a diferença de ptencial e (d) a energia armazenada para cada capacitr. R: (a) 3,16 μf; (b) 1 = 2,11x10-4 C, 2 = 1,05x10-4 C, 3 = 3,16x10-4 C; (c) V 1 = V 2 = 21V, V 3 = 79V; (d) U 1 = 2,2x10-3 J, U 2 = 1,1x10-3 J, U 3 = 1,25x10-2 J. 22. Um capacitr de capacitância C 1 = 6,00 F é ligad em série cm utr de capacitância C 2 = 4,00 F e uma diferença de ptencial de 200 V é aplicada através d par. (a) Calcule a capacitância euivalente da assciaçã. (b) Qual é a carga sbre cada capacitr? (c) Qual é a diferença de ptencial através de cada capacitr? R: a) 2,4F ; b) Q 1 = Q 2 = 4,8x10-4 C ; c) V 1 = 80V e V 2 = 120V 23. Um capacitr de capacitância C 1 = 6,00 F é ligad em paralel cm utr de capacitância C 2 = 4,00 F e uma diferença de ptencial de 200 V é aplicada através d par. (a) Calcule a capacitância euivalente da assciaçã. (b) Qual é a carga sbre cada capacitr? (c) Qual é a diferença de ptencial através de cada capacitr? R: a) 10F ; b) Q 1 = 1,2x10-3 C e Q 2 = 8x10-4 C ; c) V 1 = V 2 = 200V

18 24. Um capacitr de 100 pf é carregad sb uma diferença de ptencial de 50 V e a bateria ue carrega é retirada. O capacitr é, entã, ligad em paralel cm um segund capacitr, inicialmente descarregad. Sabend-se ue a diferença de ptencial da assciaçã passa a ser de 35 V, determine a capacitância deste segund capacitr. R: a) 43 pf 25. A figura abaix mstra dis capacitres em série, cuja seçã central, de cmpriment b, pde ser deslcada verticalmente. Mstre ue a capacitância euivalente dessa cmbinaçã em série é independente da psiçã da seçã central e é dada pr C A 0 a b 26. Dis capacitres, de capacitâncias C 1 = 2 μf e C 2 = 4 μf, sã ligads em paralel através de uma diferença de ptencial de 300 V. Calcular a energia ttal armazenada ns capacitres. R: a) 0,27 J Capacitres cm um Dielétric Se espaç entre as placas de um capacitr fr cmpletamente preenchid cm um material dielétric, a capacitância d capacitr aumenta de um fatr k, chamad de cnstante dielétrica, ue é característica d material. O aument da capacitância cm a intrduçã de um dielétric entre as placas d capacitr fi descbert pr Michey Faraday em Qual a nva capacitância ( C ) devid a us d dielétric entre as placas? O dielétric enfrauece camp (devid a camp induzid n dielétric) e cm iss a capacitância aumenta. A nva capacitância será: Onde: K é a cnstante dielétrica d mei e ' C KC ar C ar a capacitância cm ar u vácu.

19 E X E R C Í C I O S 27. Um capacitr de placas paralelas cm ar entre as placas, pssui uma capacitância de 1,3 pf. A separaçã entre as placas é duplicada e intrduz-se cera entre elas. A nva capacitância é igual a 2,6 pf. Determine a cnstante dielétrica da cera. R: Um capacitr de placas paralelas, preenchid cm ar entre elas, pssui capacitância de 50 pf. (a) Se cada uma de suas placas pssuir uma área de 0,35 m 2, ual a separaçã entre as placas? (b) Se a regiã entre as placas fr agra preenchida cm um material tend k = 5,6, ual a nva capacitância? R: a) 6,2 cm ; b) 280 pf 29. Uma certa substância tem uma cnstante dielétrica de 2,8 e uma rigidez dielétrica de 18 MV/m. Se esta substância fr usada cm dielétric de um capacitr da placas paralelas, ual deverá ser, n mínim, a área das placas d capacitr para ue a capacitância seja 0, 07 μf e capacitr suprte uma diferença de ptencial de 4 kv? R: 0,63 m 2