MATEMÁTICA. Capítulo 4 LIVRO 1. Segmentos Proporcionais Semelhança de Triângulos. Páginas: 180 à189

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1 MTEMÁTIC LIVRO 1 Capítulo 4 Segmentos Proporcionais Semelhança de Triângulos Páginas: 180 à189

2 Teorema de Tales transversais: u e v D s B E r feixe de paralelas C F t u "a razão entre dois segmentos obtidos de uma mesma transversal é igual a razão dos segmentos correspondentes na outra transversal" v B BC DE EF B+BC DE+EF

3 [17. p182] (UNIRIO - Modelo ENEM) No desenho abaixo apresentado, as frentes para a rua dos quarteirões I e II medem, respectivamente, 250 m e 200 m, e a frente do quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do que a frente do quarteirão II para a mesma rua. 250 x x Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, da frente do menor dos dois quarteirões para a rua B é: a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240 x x 200 x+40 5 x 4 4(x+40)5x 4x+1605x x160 m

4 [16. p182] (UNICMP-SP) figura seguinte mostra um segmento D dividido em três partes: B 2 cm, BC cm e CD 5 cm. O segmento D mede 1 cm e as retas BB e CC são paralelas a DD. Determine os comprimentos dos segmentos B, B C e C D x y z x 1 10 y 1 9 y z 1 x 26 x z 65 z

5 [EXTR 1] (UNESP-SP) Considere retas coplanares paralelas, r, s e t, cortadas por 2 outras retas, conforme a figura. x x Os valores dos segmentos identificados por x e y são, respectivamente, a) /20 e /40. b) 6 e 11. c) 9 e 1. d) 11 e 6. e) 20/ e 40/. x 5 y 10 2xy 20 y2 40 y

6 [EXTR 2] (UFSM-RS) crise energética tem levado as médias e grandes empresas a buscar alternativas na geração de energia elétrica para a manutenção do maquinário. Uma alternativa emcontrada por uma fábrica foi a de construir uma pequena hidroelétrica, aproveitando a correnteza de um rio que passa próximo às suas instalações. Observamos a figura e admitindo que as linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que a barreira mede x x x x x+2 40 x8 m 2 a) m b) 8 m c) 4 m d) 48 m e) 5 m

7 Teorema da Bissetriz Interna // // C D B "Num triângulo qualquer, a bissetriz interna de um ângulo divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes" C CD B BD

8 [20. p18] (CESGRNRIO-RJ) No triângulo BC da figura, CD é a bissetriz do ângulo interno de vértice C. Se D cm, DB 2 cm e C 4 cm, então o lado BC mede, em centímetros: a). b) 5/2. c) 7/2. d) 8/. e) 4. 4 x x 4 2 x 8 2

9 [21. p18] (FEI-SP) O perímetro de um triângulo BC é 100 m. bissetriz interna do ângulo divide o lado oposto BC em dois segmentos de 16 m e 24 m. Determinar os lados desse triângulo. y // // x 2y +y60 2y x 2.6 x x24 m 2y+y180 5y 180 y6 m 24 x y x 2y 16 x+y x+y 60 Resposta: Os lados do triângulo são: B 24 m, C 6 m e BC 60 m.

10 Semelhança de Triângulos Dois triângulos são considerados semelhantes se: - os ângulos de um deles forem congruentes aos correspondentes ângulos do outro; - os lados de um deles forem igualmente proporcionais aos correspondentes lados do outro (lados homólogos); M b c ~ k.b k.c C a B P k.a N

11 CRITÉRIOS DE SEMELHNÇ (CSOS DE SEMELHNÇ) Exemplo Exemplo Exemplo se 2 triângulos possuem 2 ângulos correspondentes congruentes N k.a P b c ~ C k.c k.b B 60 a se 2 triângulos possuem os lados correspondentes proporcionais 12 5 χ C α 7 6 β B ~ N se 2 triângulos possuem 1 ângulo correspondente congruente entre 2 lados correspondentes proporcionais N 6 P 2 c ~ β α β C 2.c 4 B α β M α χ M M P

12 [2. p186] (MCKENZIE-SP) Na figura abaixo, a medida x vale: a) 12,75 b) 12,25 c) 11,75 d) 11,25 e) 1100 x 15 x x 20 x11,25

13 [4. p186] (FUVEST-SP) Na figura, o triângulo BC é retângulo em, DEF é um quadrado, B 1 e C. Quanto mede o lado do quadrado? a) 0,70 b) 0,75 c) 0,80 d) 0,85 e) 0, L L 1 L L 1 1-L L 1 -L L 4L L 4 L0,75

14 [7. p187] (UFSE - SE) Na figura abaixo, são dados C 8 cm e CD 4 cm. medida de BD é, em centímetros, a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16 8 x Ĉ x x x 16 8 Ĉ 4

15 [41. p187] (UNICMP-SP - MOD ENEM) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta, Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que, após caminhar 12, metros sobre a rampa, está a 1,5 metro de altura em relação ao solo. a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita. b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. a) 12, m x 1,5 m 4 m b) Por semelhançade triângulos: 12, 12,+x 1, ,+x ,+x ,+x 5 4 2,8 12,+x x20,5 m

16 [42. p187] (FUVEST - SP) Na figura abaixo, as distâncias dos pontos e B à reta r valem 2 e 4. s projeções ortogonais de e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊ DÊB? a). b) 4. c) 5. d) 6. e) 7. α x 9 α 9 - x x 9 - x 2 4 x 9 - x 1 2 2x 9 - x x 9 x

17 [4. p187] (UNESP - SP) Na figura, B é um ponto do segmento de reta C e os ângulos DB, DBE e BCE são retos. Se D 6 dm, C 11 dm e EC dm, as medidas possíveis de B, em dm, são: a) 4,5 e 6,5. b) 7,5 e,5. c) 18 e. d) 7 e 4. e) 9 e α x x x.(11- x) x - x 18 2 x -11x x 2 ou x 9 α α 90 - α x x

18 [46. p188] (MOD ENEM) Em uma cidade do interior, à noite, surgiu um objeto voador não identificado, em forma de disco, que estacionou a aproximadamente 50 metros do solo. Um helicóptero do Exército, situado a aproximadamente 0 metros acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura seguinte. sombra projetada pelo disco no solo tinha em torno de 16 metros de diâmetro r r r m Sendo assim, pode-se concluir que a medida, em metros, do raio desse disco-voador é aproximadamente: a). b) 4. c) 5. d) 6. e) 7.

19 [49. p188] (ETEC - SP) Leia o texto a seguir: Tales, o grande matemático do século VI a.c., foi também um próspero comerciante. Certa vez, visitou o Egito em viagem de negócios. Nessa ocasião, ele assombrou o faraó e toda a corte egípcia, medindo a altura da pirâmide de Ouéops, cuja base é um quadrado de 20 metros de lado. Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou verticalmente no solo uma estaca que ficou com altura de 1 metro acima do solo. s medidas dos comprimentos da sombra da pirâmide e da sombra da estaca são, respectivamente, 255 metros e 2,5 metros. (daptado de: Jakubovic, J., Centurion, M. e Lelliss, MC. Matemática na Medida certa. Volume 1 - SP - Scipione) Com base nas informações do texto, é válido afirmar que a altura da pirâmide, em metros, é a) 14,80. b) 92,50. c) 148. d) 925. e) H ,5 H ,5 H 148 m

20 [52. p189] (FUVEST - SP) Na figura, o lado de cada quadrado da malha quadriculada mede 1 unidade de comprimento Calcule a razão DE/BC. D (D) 4 +2 D D B DE BC E 2 6 D 2 5 B (B) 6 + B 45 B 5 D DE B BC DE 2 5 BC 5 DE 2 BC C

21 [5. p189] (FUVEST - SP) figura representa um retângulo BCD, com B 5 e D. O ponto E está no segmento CD de maneira que CE 1, F é o ponto de intersecção da diagonal C com segmento BE. Então a área do triângulo BCF vale a) 6/5. b) 5/4. c) 4/. d) 7/5. e) / x x 5 - x 5x - x 6x x 1 1 x 2 5 BCF BCE - CEF BCF BCF BCF 4