POLÍGONOS UM ESTUDO DIDÁTICO

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA GRADUAÇÃO EM LICENCIATURA MATEMÁTICA POLÍGONOS UM ESTUDO DIDÁTICO MORGANA SCHOTTEN FLORIANÓPOLIS, JULHO DE 005

2 MORGANA SCHOTTEN POLÍGONOS UM ESTUDO DIDÁTICO Trabalh de Cnclusã de Curs apresentad a Curs de Matemática Habilitaçã Licenciatura Departament de Matemática Centr de Ciências Físicas e Matemáticas Universidade Federal de Santa Catarina Orientadra: Dra. Neri Terezinha Bth Carvalh FLORIANÓPOLIS, JULHO DE 005

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4 Após a batalha, a cnquista. A cnquista desta etapa, ns trna vitriss de nssas lutas. O que ntem snhávams almejar, hje transfrmu-se em realidade e felicidade. E, amanhã... esper e acredit cm perseverança n sucess incessante que estará pr vir! Mrgana Schtten

5 DEDICATÓRIA Dedic a vitória desta etapa de minha vida as meus pais, Albert e Janete, às minhas irmãs, Patrícia, Camila e Gabriela, a meu sbrinh, Alan, a meu niv Jaksn e à tds s amigs e familiares, que diretamente u indiretamente, cnfiaram e acreditaram em meu esfrç e dedicaçã, buscand sempre ferecer melhr, pel amr incndicinal, presente em tdas as hras e, send assim, sã merecedres de td meu afet, amr e gratidã.

6 AGRADECIMENTOS A DEUS pr ter me cncedid a vida, a plenitude da sabedria e pr nunca ter me desamparad em tdas as hras e principalmente ns mments difíceis. As meus pais Albert e Janete, às minhas irmãs, Patrícia, Camila e Gabriela, a meu sbrinh, Alan, que apesar da distância e saudades sempre me apiaram e deram frças para que eu cntinuasse e finalizasse minha caminhada. A meu niv Jaksn, que também apesar da distância e saudade sempre esteve a meu lad, dand-me frça, cragem e muit amr. À Prfessra Neri, pr ter me rientad a lng de dis semestres, pr sua atençã, paciência e dedicaçã. As Prfessr Nereu e à Prfessra Márcia, que fizeram parte da banca, pela dispnibilidade e cntribuiçã. As meus amigs e clegas Luise, Taciana, Piersandra, Lisi, Alex, Lauri e muits utrs, pel cmpanheirism e pels mments cmpartilhads a lng de tda a trajetória. Enfim, a tds aqueles que participaram da minha frmaçã, ferecend-me auxíli, incentiv, cragem e persistência.

7 SUMÁRIO Intrduçã... 8 Capítul Estud ds Plígns n Ensin Fundamental, segund s Parâmetrs Curriculares Nacinais, a Prpsta Curricular de Santa Catarina e s Planejaments Anuais das Esclas Parâmetrs Curriculares Nacinais Prpsta Curricular de Santa Catarina Estud ds Plígns ns Planejaments Anuais de Esclas nas Classes de 7 ª e 8 ª Séries Capítul Um Saber Acadêmic Cm Saber a Ensinar: Estud d livr Gemetria Plana ; Vl. 9 da Cleçã Fundaments de Matemática Elementar Estud d Capítul IX Plígns A Abrdagem Estud ds Exercícis Estud d Capítul XVI Plígns Regulares A Abrdagem Estud ds Exercícis Cnclusã... 59

8 Capítul Estud ds Livrs Didátics de 7 ª e 8 ª Séries Estud d Livr Didátic Matemática Pensar e Descbrir 7 ª Série A Abrdagem Estud ds Exercícis Estud d Livr Didátic Matemática Pensar e Descbrir 8 ª Série A Abrdagem Estud ds Exercícis Cnclusã Estud d Livr Matemática para Tds 7 ª Série A Abrdagem Estud ds Exercícis Estud d Livr Matemática para Tds 8 ª Série A Abrdagem Estud ds Exercícis Cnclusã Cnclusã Referências Bibligráficas Anexs Anex Anex Anex

9 8 INTRODUÇÃO Neste trabalh, buscams cnhecer cm vive bjet Plígns, cm saber matemátic na frmaçã de prfessres e relativ às classes de 7 ª e 8 ª séries. Buscams cm referência a Teria Antrplógica d Saber de Yves Chevallard, que trata da rganizaçã matemática e da rganizaçã didática. Segund Chevallard, tda atividade humana cnsiste em realizar uma tarefa. Pr exempl: vestir uma rupa, tmar banh, etc. Para executar uma tarefa tems determinadas técnicas, que sã s mds u maneiras de executá-las. Assim, tems um blc cmpst pr tarefas e técnicas, que na rganizaçã matemática cnsiste n blc saber-fazer. É precis realizar a açã (fazer us da técnica) para executar a tarefa, mas cm sabems, s cnteúds sã rganizads e trabalhads n cntext de diferentes terias: Gemetria, Álgebra, Aritmética, etc. Estas terias sã cmpstas pr teremas, definições, etc. Os elements da teria que justificam e garantem que uma determinada técnica acnteça, Chevallard chama de tecnlgia. A estudarms as técnicas, identificams s saberes matemátics que sã manipulads, tais cm definições e teremas, que justificam a técnica. Pr exempl: Calcule a sma ds ânguls interns de um eneágn. A técnica utilizada neste exempl envlve a fórmula da sma ds ânguls interns de um plígn cnvex, u seja, a tecnlgia é que garante que a técnica funcina. Assim, a cnjunt das tarefas relativas a um cnteúd de matemática, das técnicas que pdem ser usadas para executar a tarefa, da tecnlgia que garante funcinament da técnica e da teria nde se está trabalhand, é dit uma rganizaçã matemática. Já as respstas à pergunta: Cm ensinar um bjet matemátic?, em nss estud, s plígns, vã cnstituir a rganizaçã didática. Esta rganizaçã diz respeit a cm fazer para prpiciar a alun a aprendizagem e pr ist a rganizaçã didática é uma tarefa atribuída a prfessr. Em nss estud, buscams explicitar elements da rganizaçã matemática e da rganizaçã didática, em livrs de dis níveis de ensin. N livr Gemetria Plana; vl 9 da cleçã Fundaments de Matemática Elementar, destinad à frmaçã de prfessres e ns

10 9 livrs didátics de 7 ª e 8 ª séries d Ensin Fundamental, pis cnstatams ns planejaments anuais de esclas d ensin fundamental, que cnteúd Plígn é realmente abrdad nestas séries. N capítul 1, estudams s Parâmetrs Curriculares Nacinais, a Prpsta Curricular de Santa Catarina e s Planejaments Anuais de esclas nas classes de 7 ª e 8 ª séries. O bjetiv deste capítul, é explicitar cm e quand bjet Plígns deve ser estudad n Ensin Fundamental, segund uma rientaçã ficial. N capítul, estudams a abrdagem e s exercícis ds capítuls IX e XVI d livr Gemetria Plana vl. 9. Buscams saber cm livr prpõe e que prpõe sbre plígns cm um saber a ensinar, uma vez que este livr fi elabrad visand a frmaçã de prfessres. N capítul 3, apresentams estud da abrdagem sbre plígns ns livrs didátics e em seus exercícis. Utilizams cm referência a tiplgia de tarefas identificadas n livr Gemetria Plana vl. 9.

11 10 CAPÍTULO 1 1 Estud ds Plígns n Ensin Fundamental, segund s Parâmetrs Curriculares Nacinais, a Prpsta Curricular de Santa Catarina e s Planejaments Anuais das Esclas. Neste primeir capítul, buscams identificar elements sbre saber Estud ds Plígns n âmbit nacinal e estadual, apresentads ns Parâmetrs Curriculares Nacinais (1998), a Prpsta Curricular de Santa Catarina (1998) e ns Planejaments Anuais das Esclas. Nss bjetiv é explicitar cm e quand estud ds plígns deve ser realizad n ensin fundamental, segund uma rientaçã ficial. 1.1 Parâmetrs Curriculares Nacinais O ensin e aprendizagem de Matemática ns Parâmetrs Curriculares Nacinais (PCN) d Ensin Fundamental faz referência a quatr cicls, send que primeir cicl refere-se a 1a e a séries; cicl a 3a e 4a séries; 3 cicl a 5a e 6a séries; e 4 cicl a 7a e 8a séries. Analisams que é prpst para s 3 e 4 cicls d Ensin Fundamental, pis sã nestes cicls que está inserid estud ds plígns. Relativ a 3 cicl: Ns PCN encntrams bjetivs e premissas n que diz respeit a ensin da Matemática em relaçã a gemetria, em especial, as estuds ds plígns.

12 11 ds Plígns tems: Ns bjetivs d ensin da Matemática definids pel PCN, em relaçã a Estud Neste cicl, ensin de Matemática deve visar a desenvlviment: [...] D pensament gemétric, pr mei da explraçã de situações de aprendizagem que levem alun a: [...] Estabelecer relações entre figuras espaciais e suas representações planas, envlvend a bservaçã das figuras sb diferentes pnts de vista, cnstruind e interpretand suas representações. (PCN, p.p ) Na rubrica Cnteúds Prpsts para Ensin de Matemática, relativ as cnceits e prcediments n camp Espaç e Frma, identificams princípis estabelecids pels PCN de figuras n espaç: [...] Classificaçã de figuras tridimensinais e bidimensinais, segund critéris diverss, cm: crps rednds e pliedrs; pliedrs regulares e nã-regulares; prismas, pirâmides e utrs pliedrs; círculs, plígns e utras figuras; númers de lads ds plígns; eixs de simetria de um plígn; paralelism de lads, medidas de ânguls e de lads. (PCN, p.73) [...] Relativ a 4. cicl: Ns bjetivs d ensin da matemática em relaçã a este cicl, n que se refere a pensament gemétric, tems: [...] Ampliar e aprfundar nções gemétricas cm incidência, paralelism, perpendicularism e ângul para estabelecer relações, inclusive as métricas, em figuras bidimensinais e tridimensinais. (p. 8) Sb a rubrica Espaç e Frma relativ a Estud ds Plígns, identificams particularidades da abrdagem prpsta pels PCN: [...] Determinaçã da sma ds ânguls interns de um plígn cnvex qualquer; Verificaçã da validade da sma ds ânguls interns de um plígn cnvex para s plígns nã-cnvexs; Identificaçã de ânguls cngruentes, cmplementares e suplementares em feixes de retas transversais. (PCN, p.88) [...]

13 1 Cnvém salientar que, além destas particularidades prpstas pels PCN, é prpst também que alun desenvlva um tip de pensament que faça cm que ele cmpreenda mund em que vive de frma rganizada. Tems entã que, tant n Cnteúd cm nas rientações didáticas, s PCN fazem referência a estud ds plígns explicitamente, u seja, s plígns sã bjets de estud n Ensin Fundamental n 3º e 4º cicls.

14 13 1. Prpsta Curricular de Santa Catarina A Prpsta Curricular de Santa Catarina (PCSC) é rganizada n ensin da Matemática em quatr camps de cnheciment: Camp Numéric, Camp Algébric, Camp Gemétric, Estatística e Prbabilidades. O PCSC apresenta um quadr de crngramas para cada camp de cnheciment. Explicitams aqui apenas camp gemétric: A mudança da cr branca para a cr preta, em cada cnteúd, crrespnde a uma gradativa passagem, nde s cnteúds pderã ser inicialmente trabalhads de frma infrmal nas séries iniciais, u seja, pde ser intrduzid cnceit sem estar definind que realmente é. N entant, esta prpsta apresenta um caráter dinâmic e prcessual. Ist significa dizer que ela nã será definitiva, estand sempre aberta para as nvas cntribuições e refrmulações riundas d cletiv de prfessres. (PCSC, p.106) Relativ a Camp Gemétric, a PCSC faz uma abrdagem quant a rientaçã pedagógica que pauta alguns princípis para estud da gemetria, cm pr exempl: [...]N que diz respeit a ensin ds Camps Gemétrics é precis primeir refletir sbre as pssíveis características e habilidades que cnstituem pensament gemétric. (PCSC, p.111)

15 14 nss estud: Dentre essas características e habilidades, pdems citar algumas referente a [...] Visualizaçã e representaçã das frmas gemétricas; Denminaçã e recnheciment das frmas, segund suas características; Classificaçã de bjets segund suas frmas; Cnstruçã e justificaçã de relações e prpsições tend cm base racicíni hiptétic dedutiv. (PCSC, p. 11) [...] Em relaçã a estud ds Plígns, cnvém salientar que a PCSC nã abrda de frma bjetiva cm trabalhar cm este cnteúd, apenas apresenta uma visã geral relativ a ensin da gemetria. Ist ns leva a supr que a decisã de abrdar u nã Plígns é deixad a carg d prfessr, quand na elabraçã d planejament anual. Entretant, s PCN prpõem estud de plígns n 3º cicl e de frma mais abrangente n 4º. cicl, u seja, nas 7ª e 8ª séries. A PCSC nã apresenta exigências explícitas quant à frma de trabalharms cm este cnteúd. Cnsiderand que prpõem s PCN, nss trabalh ficará restrit às classes de 7ª. e 8ª. séries d Ensin Fundamental.

16 Estud ds Plígns ns Planejaments Anuais de Esclas nas Classes de 7 ª e 8 ª Séries Em relaçã a este estud, fram analisads, n segund semestre de 004, planejaments anuais de três esclas da Grande Flrianóplis relativs as classes de 7 ª e 8 ª séries. Dentre s planejaments anuais estudads, designarems de planejament A, planejament B e planejament C. Relativ a classe de 7 ª série, s planejaments anuais dã lugar a estud de plígns, cnfrme segue: Planejament A: Unidade XII. Plígns, plignais e plígns, regiã cnvexa e nã cnvexa (côncava), perímetr, plígns cnvexs, nmenclatura, diagnais. Planejament B: Unidade XI. Plígns, elements, diagnais, perímetr, ânguls de um plígn cnvex (sma ds ânguls interns e externs), ânguls de um plígn regular. Planejament C: Unidade IV. Plígns, nçã, elements (vértice, lad e ângul), tips de plígns, classificaçã e cálcul d númer de diagnais de um plígn. Em relaçã a classe de 8 ª. série, s planejaments anuais estudads prpõem: Planejament A: Unidade XII. Plígns regulares, intrduçã e definições e prpriedades. Planejament B: Unidade IX. Plígns regulares, elements, cálcul d lad, d rai, d apótema, d ângul central e d ângul intern ds plígns inscrits: quadrad, triângul e hexágn regular. Planejament C: Neste planejament nada cnsta sbre estud ds plígns. Percebems que ns Planejaments Anuais de 7ª e 8ª séries, cm exceçã d Planejament C da classe de 8ª. série, estud em questã apresenta-se explicitamente, pssuind seu lugar assegurad n ensin. Segund s plans, na 7 ª série estuda-se plígn num cntext mais geral, enquant na 8 ª série estud é particularizad para estud de plígn regular.

17 16 O Planejament C da classe de 8ª. série nada apresenta sbre cnteúd Plígns. Ist pde ser explicad pela liberdade atribuída a prfessr pela PCSC quant à elabraçã d planejament. Cncluíms que estud ds Plígns ns Planejaments Anuais é bjet de estud na 7ª e na 8ª séries.

18 17 CAPÍTULO Um Saber Acadêmic Cm Saber a Ensinar: Estud d livr Gemetria Plana 1 ; Vl. 9 da Cleçã Fundaments de Matemática Elementar Tratarems livr da Cleçã Fundaments de Matemática Elementar cm um livr que prpõem saber a ensinar, pis mesm é dirigid para prfessres. O livr cntém um ttal de XIX capítuls, nde cada um deles se subdivide em tópics. Uma breve análise deste livr ns leva a fazer uma restriçã d nss estud a dis capítuls, nde tema Plígns está inserid: Capítul IX Plígns e Capítul XVI Plígns Regulares. O cnteúd desenvlvid nestes capítuls serã nssa referência cm um saber acadêmic a ensinar, uma vez que este livr fi elabrad visand a frmaçã de prfessres. Cm mencinad na intrduçã, estudarems a abrdagem, ist é, cm livr prpõem e que prpõe sbre plígn. Referente a rganizaçã matemática, estudarems s exercícis nde identificams tips de tarefas e técnicas de resluçã. Na rganizaçã deste livr identificams estud de plígns em dis mments: primeir, n Capítul IX, nde estud é feit a partir de suas definições, elements, diagnais, ânguls interns e ânguls externs de um plígn qualquer. Em segund mment, n Capítul XVI, a partir de seus cnceits e prpriedades de um plígn regular. Uma primeira dificuldade surge quand ns dis capítuls ns defrntams cm a seguinte questã: Cm ensinar plígns?. N capítul IX, surge a palavra definiçã, e n capítul XVI a palavra cnceit. Uma utra questã se clca: Qual a diferença de tratament u de cncepçã, é dada em funçã d us da definiçã de plígns e d cnceit de plígns?. Sã cncepções distintas, u é simplesmente um prblema de semântica? Em nss estud nã entrarems n mérit destas questões. 1 Osvald Dlce e Jsé Niclau Pmpe, editra Atual, 1993.

19 18.1 ESTUDO DO CAPÍTULO IX POLÍGONOS.1.1 A Abrdagem Neste capítul, faz-se uma abrdagem clássica. O autr intrduz estud d bjet Plígns através da definiçã, indicand sua representaçã, seguid de exempls diverss. A definiçã dada é a seguinte: Dada uma seqüência de pnts de um plan A, A,..., A ) cm n 3, tds ( 1 n distints, nde três pnts cnsecutivs nã sã clineares, cnsiderand-se cnsecutivs A, A e A n 1 n 1, assim cm A n, A1 e A,chama-se plígn à reuniã ds segments: A1 A, A A3,..., An 1An, An A1. (p. 13) A Diferentes sã as frmas de representaçã: Plígn A1 A A3... A n 1An u, simplesmente, A A A3 A n 1An A A3... An 1An = A1 A A A3... An 1An An A1. (p. 13) Exempls: E 1 E E 3 E 4 E 5 e F 1 F F 3 F 4 F 5 nã sã plígns.

20 19 Na seqüência, s elements de um plígn sã listads, dentre eles: vértices, lads, ânguls, lads e ânguls cnsecutivs e nã cnsecutivs e perímetr. Vejams cm estes elements sã apresentads: Cnsiderand plígn A1 A A3... A n 1An, tems: Vértices: Sã s pnts A, 1, A, A3,..., A n 1 An de um plígn qualquer; Lads: Sã s segments A1 A, A A3,..., A 1An, An A1 n ; Ânguls: Sã representads da seguinte maneira: Aˆ 1 = A Aˆ A, Aˆ = A Aˆ A,..., Aˆ = A Aˆ A ; n n n 1 Lads cnsecutivs: Sã dis lads que pssuem um vértice cmum u uma extremidade cmum; Lads nã-cnsecutivs: Sã dis lads que nã pssuem vértice u extremidade cmum; Ânguls cnsecutivs: Dis ânguls sã cnsecutivs se pssuem um lad d plígn cmum; Perímetr: É a sma ds lads e é representad da seguinte maneira: A 1 A A3... An 1An = A1 A + A A An 1An + An A1. (p. 133) n 1 A seguir, sã apresentadas definições de: a) Plígn Simples: Um plígn é simples se, e smente se, a interseçã de quaisquer dis lads nã cnsecutivs é vazia. (p. 133) Ds plígns ilustrads n exempl da página anterir, tems:

21 0 A A A A A C C C C C D D D D D e B B B B B sã plígns simples; nã é plígn simples ( é cmplex) e nã é plígn simples ( é cmplex e ainda entrelaçad). p.(133). b) Plígn Cnvex e Plígn Côncav: Um plígn simples é um plígn cnvex se, e smente se, a reta determinada pr dis vértices cnsecutivs quaisquer deixa tds s demais (n ) vértices num mesm semiplan ds dis que ela determina. Se um plígn nã é plígn cnvex, direms que ele é um plígn côncav. (p. 134) Vejams s exempls: c) Interir e Exterir de um Plígn: Dad um plígn simples e um pnt nã pertencente a ele, se cnduzirms uma semi-reta cm rigem n pnt e que nã passe pr nenhum vértice, mas intercepte plígn, se númer de pnts de interseçã: a) Fr ímpar, entã pnt é intern a plígn; b) Fr par, pnt é extern a plígn. O cnjunt ds pnts interns de um plígn é seu interir e cnjunt ds pnts externs a plígn é seu exterir. O interir de um plígn cnvex é uma regiã cnvexa. O interir de um plígn côncav é uma regiã côncava. (p. 134)

22 1 d) Superfície Plignal: A reuniã de um plígn cm seu interir é uma regiã plignal u superfície plignal. (p.134) Superfície plignal (cnvexa) Superfície plignal (côncava) e) Tips de Plígns: A classificaçã ds plígns quant a númer n de lads, é apresentada em uma lista, cnfrme segue: n = 3 Triângul u n = 4 Quadrângul triláter u quadriláter lads lads n = 5 Pentágn 5 lads n = 6 Hexágn 6 lads n = 7 Heptágn 7 lads n = 8 Octógn 8 lads n = 9 Eneágn 9 lads n = 10 Decágn 10 lads n = 11 Undecágn 11 lads n = 1 Ddecágn 1 lads n = 15 Pentadecágn 15 lads n = 0 I cs ágn 0 lads 3 4 Ntems que nã é realizada nenhuma justificativa quant a rigem das palavras que designam s plígns. Há infrmaçã de que, se um plígn pssui n lads para (n 3) é denminad de n- láter.

23 f) Plígn Regular: A definiçã de plígn regular é apresentada cm ilustraçã. Ela será retmada n capítul XVI. Este fat ns mtivu a questinar: Será que tems aqui uma abrdagem em espiral d cnteúd de plígns n cntext d própri livr? Vejams a definiçã de plígn regular: Um plígn que pssui s lads cngruentes é equiláter. Se pssui s ânguls cngruentes, é equiângul. Um plígn cnvex é regular se, e smente se, tem tds s lads cngruentes (é equiláter) e tds s ânguls cngruentes (é equiângul). (p.p ) Ntems que esta definiçã carrega as definições de: plígn eqüiláter, plígn eqüiângul e plígn regular. O cnceit de cngruência é cnsiderad saber dispnível. A ilustraçã dada permite-ns supr que s plígns utilizads cm exempl serviram para explicar quand um plígn é eqüiláter e quand é eqüiângul, para entã chegar na definiçã de plígn regular. Vejams alguns exempls: O triângul regular é triângul eqüiláter O quadriláter regular é quadrad.

24 3 g) Diagnais: Quant a númer de diagnais d, de um plígn de n lads (n 3) é dad pr: n.(n 3) d = send que, a definiçã de diagnal é apresentada da seguinte maneira: É um segment cujas extremidades sã vértices nã cnsecutivs d plígn. (p. 136) Exempls: ABCD é um quadriláter cnvex AC e BD sã suas diagnais ABCD é um quadriláter côncav AC e BD sã suas diagnais Na seqüência, autr apresenta a deduçã da fórmula, usand cm api um plígn de n lads, para determinar númer de diagnais. h) Sma ds Ânguls Interns de um Plígn Cnvex: Cm base na definiçã de diagnal e na cnstruçã de triânguls criads a partir delas, a deduçã 3 da fórmula da sma S i ds ânguls interns de um plígn cnvex de n lads (n 3) é dada pr: S 180 i = ( n ).. i) Sma ds Ânguls Externs de um Plígn Cnvex: Devems ressaltar que antes de ser apresentada a fórmula da sma ds ânguls externs de um plígn cnvex S e, autr abrda cnceit de ângul extern de um plígn cnvex: Ângul extern é um ângul suplementar adjacente a um ângul intern d plígn. (p. 138) Anex 1 (p. 109) 3 Anex (p. 110)

25 4 Cm api d cnceit de ângul extern de um plígn cnvex, e sabend-se que este ângul é suplementar a ângul intern, pdems chegar na deduçã 4 da fórmula: S e = 360. j) Expressões d Ângul Intern (a i ) e d Ângul Extern (a e ): Sabend-se que num plígn regular a sma ds ânguls interns S i e a sma ds ânguls externs S e, dependem respectivamente d númer de ânguls cngruentes interns e externs, pdems chegar nas expressões d ângul intern (a i ) e d ângul extern (a e ) de um plígn regular. Vejams: Os ânguls interns de um plígn regular sã cngruentes. ( n ). 180 n. ai = Si n. ai = ( n ).180 ai = n Os ânguls externs de um plígn regular sã cngruentes. 360 n. ae = S e n. ae = 360 ae = n E ainda: a i + a e = 180 º. (p. 139) Cm pdems cnstatar, s elements ds plígns sã caracterizads de frma generalizada e apresentads detalhadamente em cada cnceit u definiçã dada. Tems assim que as definições de um plígn qualquer, seus elements, plígn simples, plígn cnvex e côncav, interir e exterir de um plígn e superfície plignal sã apresentadas apiadas em figuras ilustrativas, dand a entender assim que, segund autr, a leitura da definiçã acmpanhada de um desenh leva a frmulaçã d cnceit. 4 Anex 3 (p. 111)

26 5.1. ESTUDO DOS EXERCÍCIOS Para a realizaçã deste trabalh reslvems tds s exercícis, classificams em tips de tarefas, cntams quants exercícis sã prpsts de cada tarefa e explicitams a técnica de resluçã. O bjetiv deste estud é de cnhecer que tips de exercícis sã prpsts n Capítul IX d livr Gemetria Plana, um livr dirigid a frmaçã de prfessres. Cnsiderams imprtante cnheciment deste livr, pis supms que é um livr referência para s prfessres, que pde influenciar as esclhas ds mesms n seu ensin. O estud ds exercícis d capítul IX d livr Gemetria Plana, ns permitiu identificar 10 tips de tarefas envlvend plígns. Apresentarems a seguir um exempl de cada tip de tarefa, s quais fram reslvids pr nós, para identificarms a técnica de resluçã e a tiplgia de tarefas que encntrams envlvend plígns. Explicitarems um exempl relativ a cada tarefa e as técnicas de resluçã encntradas em tds s exercícis relacinadas aquela tarefa. Tip 1 Determinar a sma das medidas ds ânguls interns de um plígn cnvex. Cndições da situaçã-prblema: Reslver sem a utilizaçã da fórmula; A partir de um plígn entrelaçad; A partir de plígns cnvexs dads. Exempl: Calcule a sma ds ânguls interns de um eneágn. (Ex. 99. p. 14) Resluçã: Sabend que um eneágn pssui 9 lads, tems: S i = ( n ).180 S i = (9 ).180 S i = S i = 160 ânguls interns de um eneágn mede Prtant, a sma ds Técnica Estud da cnfiguraçã, aplicaçã da relaçã entre ânguls interns e externs, cnceit de ânguls suplementares e fórmula da sma ds ânguls interns de um plígn cnvex. Quantidade: 7

27 6 Tip Calcular valr de um ângul em um plígn: a) Cnvex Cndições da situaçã-prblema: A partir de plígns cnvexs dads; Sabend que existem segments que sã bissetrizes; Sabend que existem segments que sã bissetrizes e segments paralels. Exempl: Ns cass abaix, determine x, sabend que s segments AP, BP, CP e DP nas figuras em que aparecem sã bissetrizes. (Ex. 94-a, p. 141) Resluçã: a) Quadriláter ABCD: ˆ ˆ ˆ ˆ = A + B + C + D = x = 360 x 110 Técnica Estud da cnfiguraçã, aplicaçã de α i (α i ângul intern) de um plígn cnvex, fórmula da sma ds ânguls interns, cnceit de paralelism, bissetriz e ânguls suplementares. n i= 1 b) Regular Cnvex Cndições da situaçã-prblema: A partir de plígns regulares dads; Sabend que ângul prcurad é frmad pels prlngaments de dis lads nã cnsecutivs.

28 7 Exempl: Determine a medida d ângul frmad pels prlngaments ds lads AB e CD de um plígn regular ABCD... de 0 lads. (Ex. 31, p. 144) Resluçã: n = 0 a ΔPBC Pˆ = 180 i = 16 a 18 e = Pˆ = 144 Técnica Estud da cnfiguraçã, aplicaçã d α i (α i ângul intern) de um plígn cnvex, fórmula da sma ds ânguls interns, ânguls suplementares, cngruência de triânguls e fórmula d ângul intern de um plígn regular. Quantidade: 16 n i= 1 Tip 3 Determinar a medida d ângul intern de um plígn regular cnvex. Cndições da situaçã-prblema: Sabend que existem n diagnais que nã passam pel seu centr; A partir de plígns regulares dads. Exempl: Um plígn regular pssui 30 diagnais que nã passam pel seu centr. Quant mede cada ângul intern dele? (Ex. 33, p. 145) Resluçã: Um plígn regular só tem diagnais passand pel centr se númer n de lads fr par e númer de diagnais que passam pel centr fr n. Neste prblema tems que cnsiderar dis cass: 1.) n é ímpar Nã há diagnal passand pel centr. Neste cas númer ttal de diagnais é d = 30. Vams calcular númer de lads: n( n 3) n( n 3) d = 30 = n 3n 60 = 0. As raízes da equaçã nã sã númers naturais ( Δ = 49). Lg, nã existe plígn cm 30 diagnais e cm númer ímpar de lads..) n é par Há n diagnais passand pel centr. Neste cas númer ttal de diagnais é d = n + 30.

29 8 n( n 3) n n( n 3) d = + 30 = n 4n 60 = 0. A raiz da equaçã que é númer natural é n = 10. O plígn é decágn regular. Cálcul d ângul intern: ai = 180 ae = 180 ai = 144 Técnica Aplicaçã da fórmula d ângul intern (a i ), deduçã d númer de diagnais que passam pel centr de um plígn regular cm númer de lads pares, fórmula d númer de diagnais. Quantidade: 6 Tip 4 Determinar a medida d ângul extern de um plígn regular cnvex. Exempl: Um plígn regular pssui a partir de um de seus vértices tantas diagnais quantas sã as diagnais de um hexágn. Ache: c) [...] a medida de cada ângul extern. (Ex. 309-c, p. 143) Resluçã: Primeiramente devems encntrar númer de lads d referid plígn: n( n 3) 6(6 3) d = d = d = 9. Sabems que, de cada vértice partem (n 3) diagnais: n 3 = 9 n = 1. Prtant, extern mede 30. S 30 e = n. ae 360 = 1. ae ae =. Prtant, cada ângul Técnica Aplicaçã da fórmula d ângul extern (a e ). Quantidade: 5 Tip 5 Determinar plígn. Cndições da situaçã-prblema: Cnvex: A partir da sma ds ânguls interns; A partir d númer de diagnais que é dad cm um múltipl d númer de lads; A partir d númer de diagnais; Sabend que a sma ds ânguls interns é igual a n, nde n = x.y, em que x é númer de diagnais e y é a medida de um ângul dad;

30 9 n Sabend que este pssui diagnais passand pel seu centr; A partir de três plígns cnvexs: plígn que pssui mair númer de diagnais, send que a sma de suas diagnais é dada e númer de lads é express pr númers inteirs cnsecutivs. Exempl: Qual é plígn cuja sma ds ânguls interns vale 1800? (Ex. 30, p. 14) Resluçã: Sabend que S 1800 i =, tems: S i = ( n ) = 180. n n = 160 n = 1. Prtant, plígn encntrad é ddecágn. Técnica Aplicaçã da fórmula da sma ds ânguls interns, nmenclatura, fórmula d númer de diagnais, fórmula da sma ds ânguls interns, deduçã de que num plígn n regular e númer de diagnais que passam pel centr é. Quantidade: 8 Tip 6 Determinar númer de diagnais de um plígn: a) Cnvex Cndições da situaçã-prblema: A partir de plígns cnvexs dads; A partir de um ds vértices, cnhecend númer de lads; Cnhecend uma relaçã entre númer de lads e númer de diagnais; A partir de três plígns cnvexs, cm númer de lads múltipls, cnhecend a sma ds ânguls interns; Sabend que há uma relaçã entre númer de lads e númer de diagnais. Exempl: Calcule númer de diagnais de um decágn? (Ex. 303, p. 14) Resluçã: Sabend que decágn pssui 10 lads, tems: n( n 3) 10(10 3) d = d = d = 35. Prtant, decágn pssui 35 diagnais.

31 30 Técnica Aplicaçã da fórmula d númer de diagnais de um plígn cnvex, hipótese de que, a partir de um ds vértices de um plígn cnvex, pdems traçar (n 3) diagnais e sma ds ânguls interns de um plígn cnvex. b) Regular Cnvex Cndições da situaçã-prblema: Sabend valr d ângul extern; Cnhecend a sma ds ânguls interns cm s ânguls externs; Sabend que as mediatrizes de dis lads cnsecutivs frmam um ângul que mede φ ; Diagnais que passam pel centr, dad númer ttal de diagnais; Diagnais que passam pel centr, cnhecend a medida d ângul intern. Exempl: Determine númer de diagnais de um plígn regular cnvex cuj ângul extern vale 4. (Ex. 314, p. 143) Resluçã: Sabems que a 4 n( n 3) 15(15 3) d 90 e = S e = n. ae 360 = n.4 n = 15. Prtant: = d = d =. Assim, númer de diagnais é igual a 9. Técnica Fórmula d númer de diagnais de um plígn cnvex, fórmula d ângul extern (a e ) e d ângul intern (a i ), sma ds ânguls interns de um plígn cnvex, fórmula d númer de diagnais, sabend-se que númer de diagnais que passam pel n centr é. Quantidade: 1 Tip 7 Determinar númer de lads de um plígn: a) Cnvex Cndições da situaçã-prblema: Cnhecend númer de diagnais que partem de um só vértice; Sabend que há uma relaçã entre númer de lads e númer de diagnais; A partir de três plígns cnvexs cm númer de lads cnsecutivs, sabend a sma ds ânguls interns.

32 31 Exempl: Determine númer de lads de um plígn cnvex, sabend que de um de seus vértices partem 5 diagnais. (Ex. 311, p. 143) Resluçã: De cada vértice partem n 3 diagnais. Lg, n 3 = 5 e, entã, n = 8. Prtant, plígn pssui 8 lads. Técnica Aplicaçã da fórmula d númer de diagnais de um plígn cnvex, fórmula da sma ds ânguls interns, hipótese de que a partir de um ds vértices d plígn, pdems traçar (n 3) diagnais. b) Regular Cnvex Cndições da situaçã-prblema: Cnhecend a razã entre s ânguls interns e s ânguls externs; Cnhecend uma relaçã entre as bissetrizes ds ânguls e ângul intern; Sabend que há uma relaçã entre númer de lads e s ânguls interns. Exempl: Determine númer de lads de um plígn regular ABCDE..., sabend que as bissetrizes AP e CP ds ânguls  e Ĉ frmam um ângul que vale 9 d seu ângul intern. (Ex. 30, p. 144) Resluçã: Seja x ângul intern. Quadriláter ABCP x + x + x +.x = x = 81 ai = 16 ae = 18 = 18 n = 0. Prtant, plígn tem 0 n lads. Técnica Fórmula d ângul intern (a i ) e d ângul extern (a e ), definiçã de bissetriz. Quantidade: 9 Tip 8 Determinar mair ângul de um plígn cnvex. Cndiçã da situaçã prblema: Os lads interns estã entre uma razã de prprcinalidade. Exempl: Determine mair ângul de um pentágn cujs ânguls interns estã na razã 3 : 3 : 3 : 4 : 5. (Ex. 308, p. 14) Resluçã: Sabend que pentágn pssui 5 lads, tems:

33 3 i = ( n ).180 Si = (5 ).180 Si =. Dividind a sma ds ânguls interns em S 540 partes prprcinais à razã dada, tems: 3 = x + 3x + 3x + 4x + 5x = x = 540 x 30 Verificand quais ds cinc ânguls, é mair: Prtant, mair ângul d pentágn mede x = x = x = 5.30 = 90 = 10 = 150 mair ângul Técnica Aplicaçã da fórmula da sma ds ânguls interns e prprcinalidade. Quantidade: 1 Tip 9 Determinar a sma ds ânguls externs em um plígn regular cnvex. Exempl: Um plígn regular pssui a partir de um de seus vértices tantas diagnais quantas sã as diagnais de um hexágn. Ache: d) A sma ds ânguls externs. (Ex. 309-d, p. 143) Resluçã: A sma ds ânguls externs de qualquer plígn mede 360. Prtant, S 360 e =. Técnica Fórmula da sma ds ânguls externs de um plígn cnvex. Quantidade: 1 Tip 10 Verificar quand um ângul intern e um extern de um plígn cnvex sã cngruentes. Exempl: Pdem s ânguls interns e externs de um plígn regular apresentar medidas iguais? Em que cas iss crre? (Ex. 313, p. 143) ( n ).180 Resluçã: Sabems que, ai = e n a e 360 =. Prtant, devems igualar essas n ( n ) expressões: a = ae = = n = 70 n = 4 n n i. Lg, s ânguls interns e externs cincidem-se em um quadrad. Técnica Aplicaçã da fórmula d ângul intern (a i ) e d ângul extern (a e ). Quantidade: 1

34 33 LISTAGEM DAS TAREFAS, COM A RESPECTIVA QUANTIDADE DE EXERCÍCIOS DE CADA UMA DELAS: TIPOLOGIA QUANTIDADE Tip 1 Determinar a sma das medidas ds ânguls interns de um plígn cnvex. 7 Tip Calcular valr de um ângul em um plígn: a) Cnvex; b) Regular Cnvex. 16 Tip 3 Determinar a medida d ângul intern de um plígn regular cnvex. 6 Tip 4 Determinar a medida d ângul extern de um plígn regular cnvex. 5 Tip 5 Determinar plígn cnvex. 8 Tip 6 Determinar númer de diagnais de um plígn: a) Cnvex; b) Regular Cnvex. Tip 7 Determinar númer de lads de um plígn: a) Cnvex; b) Regular Cnvex Tip 8 Determinar mair ângul de um plígn cnvex. 1 Tip 9 Determinar a sma ds ânguls externs em um plígn regular cnvex. Tip 10 Verificar quand um ângul intern e um extern de um plígn cnvex sã cngruentes. 1 1 TOTAL 69 Cm pdems ntar neste capítul, s exercícis estudads mstram uma certa ênfase n estud de ânguls de um plígn, pis em 16 de 69 (Tip ) é slicitad cálcul de um ângul de um plígn.

35 34 Também se destaca estud de situações-prblema envlvend diagnais, nde 15 de 69 sã d tip 6-a e b. Outr pnt imprtante n estud deste capítul é relativ a ângul intern, pis 13 (Tips 1 e 3) de 69 cntemplam este tema. Ainda destacams que 8 (Tip 5) d ttal, sã situações-prblema para determinar plígn cnvex, e 9 (Tip 7) de 69 envlvem na prblemática s lads de um plígn. Assim, s dads da tabela dã um indicativ de que a ênfase neste capítul é dada n estud de: ânguls, ânguls interns, diagnais, lads e determinaçã de plígns cnvexs pr mei da utilizaçã de sua nmenclatura.

36 35. ESTUDO DO CAPÍTULO XVI POLÍGONOS REGULARES Neste livr, capítul XVI Plígns Regulares, tem pr bjetiv a abrdagem detalhada de Plígns Regulares...1 A Abrdagem A abrdagem é realizada pr mei da apresentaçã de cnceits e prpriedades, ilustrads pr figuras, seguids de exempls cmplementares e demnstrações. A definiçã de plígn regular, já dada n capítul IX, é reapresentada em nva versã, usand a terminlgia cngruentes para lads e ânguls, n lugar de caracterizá-ls cm plígns eqüiláters e eqüiânguls. Esta mudança de terminlgia se justifica pel fat de que cngruências e semelhanças de triânguls sã bjet de estud n capítul IV e XIII deste livr. Vejams a definiçã dada: Um plígn cnvex é regular se, e smente se, tem tds s lads cngruentes e tds s seus ânguls interns cngruentes. (p. 68) Exempls: Em seguida, sã apresentadas as prpriedades cm as respectivas demnstrações. Irems, neste estud, detalhar as demnstrações dadas n livr. Prpriedades: Dividind-se uma circunferência em n (n 3) arcs cngruentes, tems: a) Tdas as crdas determinadas pr dis pnts de divisã cnsecutivs, reunidas, frmam um plígn regular de n lads inscrit na circunferência; b) As tangentes traçadas pels pnts de divisã determinam um plígn regular de n lads circunscrit à circunferência. (p. 68)

37 36 A demnstraçã é desenvlvida para um plígn de n lads, mas é exemplificada para um melhr entendiment em um plígn de cinc lads (pentágn). Os cnteúds utilizads nas demnstrações (cngruência, arcs, crdas, ângul inscrit, tangentes e ânguls de segment u semi-inscrit) sã cnsiderads cm saber dispnível. Vejams a demnstraçã da parte a) da prpriedade dada: Sejam A, B, C, D,..., M e N s n pnts de divisã da circunferência λ. O plígn ABCD...MN é de n lads e é inscrit, pis tds s vértices pertencem à circunferência λ. Send s arcs: AB BC CD DE... MN NA cngruentes, entã s ânguls centrais ( φ e α ) sã cngruentes, pis a medida de um arc de circunferência é igual à medida d ângul central crrespndente. Os lads u crdas: AB BC CD DE... MN NA (1) também sã cngruentes, pis numa mesma circunferência, arcs cngruentes subentendem crdas cngruentes. Também pela cngruência de triânguls, cas LAL, s triânguls COB e BOA sã cngruentes, cnseqüentemente s lads mencinads acima também sã. Os ânguls Aˆ, Bˆ, Cˆ, Dˆ,..., Mˆ e Nˆ sã ânguls inscrits cngruentes (), pis cada um deles tem medida metade da sma de (n ) ds arcs cngruentes u d ângul central crrespndente, em que λ ficu dividida. N pentágn da ilustraçã acima, pdems θ perceber que: ϕ = (Send ϕ, ângul inscrit (Â) e θ, ângul central). Prtant, n cas d pentágn, tems que:

38 37 ˆ BC+ CD + DE ˆ CD + DE + EA ˆ DE + EA + AB A =, B =, C =, ˆ EA + AB + BC, ˆ AB + BC + CD D = E =. Lg, Aˆ Bˆ Cˆ Dˆ Eˆ. Prtant, cncluíms que, de 1) e ) ABCD...MN é um plígn de n lads inscrit na circunferência λ. Vejams a demnstraçã da parte b) da prpriedade dada: Pels pnts de divisã A, B, C, D,..., M e N cnduzims tangentes a λ (circunferência), btend plígn A ' B' C' D',..., M ' N' de n lads e circunscrit a λ, pis tds s seus lads sã tangentes à circunferência. Ntems que, s triânguls A ' AB, B' BC, C' CD, D' DE,..., M ' MN e N' NA sã triânguls isósceles, pis cada um ds ânguls A ˆ, Bˆ, Cˆ, Dˆ,..., Mˆ e Nˆ destes triânguls sã ânguls de segment u semi-inscrit, u seja, sã ânguls que tem medida metade da medida d ângul central u arc crrespndente, n cas, s arcs: AB, BC, CD, DE,..., MN, NA, em que fi dividida a circunferência. Prtant, s lads A ' B e AA' sã cngruentes. Os triânguls mencinads sã cngruentes pel cas de cngruência (ALA), vist que send ABCD... MN um plígn regular, s lads AB, BC, CD,..., MN, NA sã cngruentes. Assim, da cngruência de triânguls decrre que: A ˆ ' Bˆ' Cˆ' Dˆ '... Mˆ ' Nˆ ' (1) E, s lads d plígn circunscrit também sã cngruentes:

39 38 A ' B', B' C', C' D',..., M ' N', N' A'. Assim, de (1) e (), cncluíms que ABCD... MN é um plígn regular de n lads circunscrit à circunferência λ. Plígn Regular é Inscritível Td plígn regular é inscritível numa circunferência. u Dad um plígn regular, existe uma única circunferência que passa pels seus vértices. (p. 70) Seja ABCD... MN plígn regular: Pels pnts A, B e C tracems a circunferência λ e seja O seu centr. Devems prvar que λ passa pels demais vértices D, E,..., M e N d plígn. Cmecems prvand que D λ. Cnsiderems s triânguls OBA e OCD. Estes triânguls pel cas de cngruência (LAL) sã cngruentes, pis: circunferência) e ânguls da base AB CD (lads d plígn regular), OB OC (rais da OAB ˆ OBA ˆ e ODC ˆ OCˆ D. Cnsiderand triângul isósceles BOC, em relaçã as utrs dis triânguls em questã, tems OBA ˆ OBC ˆ e OCD ˆ OCB ˆ OBA ˆ OCD ˆ (ânguls da base cngruentes). Prtant, pela cngruência de triânguls, s ânguls Prtant, Bˆ e Cˆ d plígn sã cngruentes. ΔOBA ΔOCD OA OD D λ De md análg, tems que E λ (cnsiderand s triânguls: OCB e ODE)... M λ e N λ, e plígn ABCD... MN é inscrit na circunferência λ. C, D,..., M, N. Da unicidade da circunferência que passa pr A, B e C sai a unicidade de λ pr A, B,

40 39 Plígn Regular é Circunscritível Td plígn regular é circunscritível a uma circunferência. u Dad um plígn regular, existe uma única circunferência inscrita n plígn. (p. 71) Seja ABCD... MN plígn regular: Em relaçã a terema anterir, ele é inscrit numa circunferência λ. Os lads AB, BC, CD,..., MN, NA sã crdas cngruentes de λ, pr iss distam igualmente d centr O. Send A ', B', C', D',..., M ' e N' s respectivs pnts médis ds lads AB, BC, CD,..., MN, NA, tems: OA' OB' OC' OD'... OM ' ON'. A partir diss, se cnclui que O é centr de uma circunferência λ que passa pels pnts A ', B', C', D',..., M ' e N'. E, ainda sabems que plígn regular ABCD... MN tem lads tangentes a λ : OA' AB, OB' BC, OC' CD, OD' DE,..., OM ' MN, ON' NA. Assim, plígn ABCD... MN é circunscrit à circunferência λ. A unicidade da λ, crreria se existisse utra circunferência inscrita n plígn ABCD... MN passand pels pnts A ', B', C', D',..., M ' e N', send assim, cincidente cm λ. Estas duas últimas prpriedades designam uma caracterizaçã própria, justificand sua regularidade.

41 40 Elements Ntáveis Os elements ntáveis de um plígn regular sã apresentads perante uma figura ilustrativa n qual sã especificads e caracterizads. Vejams: a) Centr de um plígn regular (O): É centr cmum das circunferências circunscrita e inscrita; b) Apótema de um plígn regular: É segment cm uma extremidade n centr e a utra n pnt médi de um lad; c) Ângul central (a c ): É ângul cm vértices n centr e lads passand pr vértices cnsecutivs d plígn. Ntems aqui que utrs elements sã retmads perante a figura tmada cm ilustraçã, ist é, já sã cnsiderads cnhecids s cnceits de: ângul intern, ângul extern e rai da circunferência. Expressã d Ângul Cêntric Tds s ânguls cêntrics de um plígn regular (vértices n centr e lads passand pr vértices cnsecutivs d plígn) sã cngruentes; entã a medida de cada um deles é dada pr: a (p. 7) c 360 = u n 4 rets a c =. n Diagnais pel Centr: Se um plígn regular pssui um númer par de lads, ele pssui diagnais passand pel seu centr: que as unem vértices psts. Se ele pssui um númer ímpar de lads, nã há diagnais passand pel centr. (p. 7)

42 41 Cálcul d Lad e Apótema ds Plígns Regulares O lad e apótema ds plígns regulares sã calculads a partir d estud de figuras. Os plígns estudads sã: quadrad, hexágn regular, triângul eqüiláter, decágn regular, pentágn regular e busca a partir destes, deduzir a fórmula geral d apótema (a n ) e d lad (l n ) d plígn regular de n lads inscrit numa circunferência, em funçã d rai. Vejams estud prpst: 1.) Vams calcular lad (l 4 ) e apótema (a 4 ) d quadrad, dad rai (R) d círcul circunscrit. Observand a figura, tems: 4 4 R Δ AOB l = R + R l = (Lad d quadrad inscrit numa circunferência) 1 R a 4 = l4 a4 = (Apótema d quadrad inscrit numa circunferência).) Vams calcular lad (l 6 ) e apótema (a 6 ) d hexágn regular, dad rai (R) d círcul circunscrit. Observand a figura, tems:

43 4 360 ΔAOB, tems : AOB ˆ = 6 OA OB Â = Bˆ = 60 Oˆ = Aˆ = Bˆ = 60 ΔAOB é equiláter l6 = R ( Lad d Hexágn Re gular Inscrit numa circunferência) a 6 é a altura d triângul eqüiláter de lad R inscrit numa circunferência). R 3 a 6 = (Apótema d hexágn regular 3.) Vams calcular lad (l 3 ) e apótema (a 3 ) d triângul eqüiláter regular, dad rai (R) d círcul circunscrit. Observand a figura, tems: Nte que, send BC = l 3, entã CD = l 6 = R e AD é diâmetr., 3 3 R Δ ACD retângul em C l = (R) R l = 3 (Lad d triângul eqüiláter inscrit numa circunferência) N Δ ABC, O é baricentr numa circunferência) R. a 3 = R a = (Apótema d triângul eqüiláter inscrit 3

44 43 4.) Vams calcular lad (l 10 ) d decágn regular, dad rai (R) d círcul circunscrit. Send AB = l 10, entã AOB ˆ 1 ˆ ˆ 7 10 = =.360 = 36 A = B. Traçand BC, bissetriz de Bˆ, tems: Δ BAC é isósceles ˆ ( Â = C = 7 ) BC = l10 e Δ COB é isósceles ˆ ˆ ( O = B = 36 ) OC = BC = l. 10 bissetriz n Sabend-se que s triânguls: Δ AOB, tems: Δ ABC e ΔAOB sã semelhantes, e que tems: BC l R l = l10 = R( R l10) l10 + Rl10 R = 0 l R l R ± = R + 4 R R ± R = 5 Desprezand a sluçã negativa que nã cnvém, tems que lad d decágn 5 1 regular é: R.

45 44 Segment Áure: Definiçã: X é a medida d segment áure de um segment de medida a se, e smente se, x a a x x =. A razã é dita áurea e x é também a medida d x a segment mair da secçã áurea d segment de medida a, u apenas segment áure de a. De btém-se l R x a a x =, btems x + ax a = 0. Reslvend a equaçã, x 5 1 x =. a. Em vista da definiçã e da deduçã d prblema anterir, em que se tem R l l =, cncluíms que l 10 é segment áure d rai. (p. 79) 10 Esta definiçã servirá para encntrarms lad d pentágn regular. 5.) Vams calcular lad (l 5 ) d pentágn regular, dad rai (R) d círcul circunscrit. Primeiramente, querems prvar a seguinte prpriedade: O l 5 é hiptenusa de um triângul retângul cujs catets sã l 10 e l 6 (l 5, l 6, l 10 relativs a um mesm rai R). Seja AB = l 10 e na reta AB um pnt C tal que AC = R.

46 45 Cnsiderand a circunferência de centr A e rai R, ângul central  = 7 faz crrespnder OC = l 5 basta prvar que 1 7 = Cnduzind pr C a tangente CD à circunferência λ de centr O e rai R, tems que, aplicand a definiçã de ptência de pnt n vértice C em relaçã a λ : ( CD ) = ( CA) x( CB) ( CD) = R( R l 10 ) CD = l 10, nde, CA = R e CB = R l 10. Prtant, prvems que, a tangente CD é lad d decágn. Agra, cnsiderand triângul ODC, retângul em D, tems: OC = l 5 (hiptenusa), CD = l 10 (catet) e OD = R = l 6 (catet). Aplicand terema de Pitágras, para calcularms l 5, tems: 5 1 R R l 5 = l6 + l10 l5 = R +. R l5 = (10 5) l5 = 10 4 Prtant, tems que lad d pentágn regular: l 5 = R Deduçã da Fórmula Geral d Apótema Dads R e l n, calcular a n : Analisand Δ AMO retângul em M a n = R n l 4 a n = 1 4R l n Prtant, a fórmula geral d apótema é: a 1 n = 4R l n

47 46 Deduçã da Fórmula Geral d l n (Lad d Plígn Regular de n lads) Querems encntrar uma expressã que ns leve a l n e em funçã de l n e de R (rai da circunferência circunscrita). Vejams: Se l n é l 4, l n é l 8. Se l n é l 6, l n é l 1, e assim pr diante. De md geral, num plígn regular inscrit numa circunferência de n lads, tems: Pel Δ ABC, retângul em B, pdems aplicar uma das relações métricas em um n n triângul retângul. Assim, l = R( R a ). Substituind a n pel valr já encntrad anterirmente: l R 1 1 R 4 R l n, tems: n 4R ln ln = R R 4R ln ln = R(R 4R ln ) l Prtant, a medida d lad d Plígn Regular, de n lads é: n n = R(R 4R l ). Assim, sabend valr de l n pdems encntrar valr de l n. Verificams que, neste cntext, as demnstrações das prpriedades ds plígns regulares sã caracterizadas pr ilustrações, nde autr utiliza cm api um cas particular (pentágn) para um melhr entendiment, deixand a lad um plígn de n lads para que se pssa fazer desenvlviment das demnstrações para um cas genéric.

48 47 Sã feitas deduções d cálcul d lad e apótema em funçã d rai da circunferência para s cass: quadrad, hexágn regular, triângul eqüiláter e apenas cálcul d lad para decágn e pentágn, ambs regulares. Também, a partir d lad d decágn regular, pdems encntrar lad d pentágn regular, utilizand cm ferramenta segment áure. Sã apresentadas também as deduções da fórmula geral d apótema e da fórmula geral d lad d plígn regular de n lads. Devems ressaltar que nestas deduções Terema de Pitágras é um cnceit chave para cálcul d lad e apótema em funçã d rai. Em td estud referente a estes dis capítuls d livr Gemetria Plana, as ilustrações sã utilizadas cm api para a frmulaçã d cnceit.

49 48.. ESTUDO DOS EXERCÍCIOS Para estud destes exercícis cnsiderams a tiplgia das tarefas já explicitada n capítul IX, apresentada na sessã anterir. N estud deste capítul, estarems ampliand a tiplgia cas existam nvas tarefas prpstas. Estarems exemplificand smente s cass de uma nva tarefa e também inserind nvas cndições das situações-prblema quand fr cas. Apresentarems a seguir s tips de tarefas identificadas neste estud. Tips de tarefas identificadas d capítul IX: Tip -a Determinar valr de um ângul em um plígn cnvex. Cndições da situaçã-prblema: A partir d lad de um plígn regular inscrit numa circunferência. Determinar: - Ângul sen; - Ângul cssen; - Ângul sen e cssen, sabend que, sen( 90 α) = csα, s dis ânguls sen e cssen sã cmplementares, u seja, ângul sen de um ângul é igual a ângul cssen d utr, e vice-versa. Em funçã d utr, em um triângul isósceles. Exempl: Usand resultad d prblema (Ex. 718), determine sen18º. (Ex. 719, p. 84) Resluçã: N l10 Δ OAB tems: OM bissetriz AB = l10, OB = R, MB = sen18 = MB OB = l10 R = 5 1. R sen18 R = Técnica Estud da cnfiguraçã, aplicaçã de relações trignmétricas (sen e cssen), definiçã de bissetriz e lei ds cssens. Quantidade: 9

50 49 Tip -b Calcular valr de um ângul em um plígn regular cnvex. Cndições da situaçã-prblema: A partir de um plígn regular inscrit numa circunferência; Sabend que ângul prcurad é frmad pels prlngaments de dis lads nã cnsecutivs. Quantidade: 5 Tip 6-b Determinar númer de diagnais de um plígn regular cnvex. Cndições da situaçã-prblema: Onde estas nã passam pel centr, cnhecend a medida de um ds lads; Onde estas passam pel centr, sabend-se que as mediatrizes de quaisquer dis lads cnsecutivs frmam um ângul φ que cntém estes lads; Sabend-se que as retas que cntém dis lads nã cnsecutivs, frmam um ângul que cntém s vértices que estã entre s referids lads e é um múltipl d ângul extern. Quantidade: 3 Tip 7-b Determinar númer de lads de um plígn regular cnvex. Cndições da situaçã-prblema: Cnhecend valr de cada ângul intern; Sabend que há uma relaçã entre númer de lads e s ânguls interns; A partir de dis plígns regulares, cnhecend a diferença entre númer de lads e entre s seus ânguls externs. Quantidade: 3 neste capítul. A seguir, apresentarems nvs tips de tarefas, que fram identificadas smente

51 50 Outrs tips de tarefas: Tip 11 Determinar númer de medidas, duas a duas diferentes, das diagnais de um plígn regular dad. Cndições da situaçã-prblema: A partir de plígns regulares dads; Sabend que as mediatrizes de dis lads de um plígn regular frmam um ângul que cntém as extremidades e pnt médi ds respectivs lads, e excede ângul extern em φ. Exempl: As mediatrizes ds lads AB e DE de um plígn regular ABCDE... frmam um ângul, que cntém B, C e D e excede ângul extern desse plígn em 0 º. Quantas medidas, duas a duas diferentes, btems a medir as diagnais desse plígn? (Ex. 697, p. 74) Resluçã: Sma ds ânguls interns d plígn MBCDNP é igual a 70. Entã: (180 ae) ae + 0 = 70 ae = 10 = 10 n = 36. n Prtant, plígn ABCDE... pssui 36 lads, u seja, pssui um númer par de lads. Prtant, n 36 esse plígn pssui: = = 17 medidas duas a duas diferentes. Técnica Estud da cnfiguraçã, aplicaçã de α i (α i ângul intern) de um plígn regular cnvex, fórmula da sma ds ânguls interns e fórmula d ângul extern. Quantidade: 9 n i= 1

52 51 Tip 1 Determinar a sma ds ânguls interns de um plígn regular cnvex. Cndições da situaçã-prblema: Sabend que a medir as diagnais de um plígn regular fram encntradas n medidas, duas a duas diferentes; Cnhecend a medida de um ds ânguls de um plígn regular; Sabend que as bissetrizes de dis ânguls interns sã perpendiculares. Exempl: A medir as diagnais de um plígn regular fram encntradas 6 medidas, duas a duas diferentes. Determine a sma ds ânguls interns desse plígn. (Ex. 69, p. 74) Resluçã: Tems: n n 3 = 6 u = 6 n = 14 u n = 15 S i = ( n ) u S i = ( n ) Prtant a sma ds ânguls interns desse plígn mede 340 u 160. Técnica Estud da cnfiguraçã, verificaçã quant as medidas, duas a duas diferentes, quand medims as diagnais de um plígn regular cm númer par u ímpar de lads; aplicaçã da fórmula da sma ds ânguls interns e fórmula d ângul intern. Quantidade: 3 Tip 13 Determinar a medida ds elements (altura, lad, rai R da circunferência circunscrita, rai r da circunferência inscrita, apótema, diagnal mair, diagnal menr e diagnal), de plígns regulares cnvexs, segund uma cnfiguraçã dada. Sabend que num triângul eqüiláter, rtcentr, baricentr, incentr e circuncentr sã cincidentes, e que baricentr divide a mediana em duas partes que 1 medem e desta, e cnhecend a medida d lad, determinar s respectivs 3 3 elements em um triângul que está inscrit e circunscrit numa circunferência; Sabend que num quadrad a diagnal passa pel centr, cnhecend a medida d lad; Sabend que num hexágn regular as diagnais maires passam pel centr e determinam nele seis triânguls eqüiláters, cnhecend a medida d lad. Quadrad; Hexágn regular; Triângul eqüiláter;