Relações de ordem em IR. Inequações 1

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1 Agrupament de Esclas Antóni Crreia de Oliveira PLANIFICAÇÃO ANUAL DE MATEMÁTICA 9.º ANO ANO LETIVO 2016/17 Relações de rdem em IR. Inequações 1. Dmíni Subdmíni Cnteúds Metas Temps Letivs Númers perações NO9 e Relaçã de rdem em Prpriedades da relaçã de rdem - Mntnia da adiçã. Mntnia parcial da multiplicaçã. Adiçã e prdut de inequações membr a membr. Mntnia d quadrad e d cub. Inequações e passagem a invers. Simplificaçã e rdenaçã de expressões numéricas reais envlvend frações, dízimas u radicais, utilizand as prpriedades da relaçã de rdem em. - Mntnia d quadrad e d cub - Quadrad perfeit e cub perfeit - Raiz quadrada de quadrad perfeit e raiz cúbica de cub perfeit - Prdut e quciente de raízes quadradas e cúbicas. - Representações decimais de raízes quadradas e cúbicas. Relaçã de rdem 1. Recnhecer prpriedades da relaçã de rdem em 1. Recnhecer, dads três númers racinais q, r e s representads em frma de fraçã cm q < r, que se tem q + s < r + s cmparand as frações resultantes e saber que esta prpriedade se estende a tds s númers reais. 2. Recnhecer, dads três númers racinais q, r e s representads em frma de fraçã cm q < r e s > 0, que se tem qs < rs cmparand as frações resultantes e saber que esta prpriedade se estende a tds s númers reais. 3. Recnhecer, dads três númers racinais q, r e s representads em frma de fraçã cm q < r e s < 0, que se tem qs > rs cmparand as frações resultantes e saber que esta prpriedade se estende a tds s númers reais. 4. Prvar que para a, b, c e d númers reais cm a < b e c < d se tem a + c < b + d e, n cas de a, b, c e d serem psitivs, ac < bd. 5. Justificar, dads dis númers reais psitivs a e b, que se a < b entã a 2 < b 2 e a 3 < b 3, bservand que esta última prpriedade se estende a quaisquer dis númers reais. 6. Justificar, dads dis númers reais psitivs a e b, que se a < b entã >. 7. Simplificar e rdenar expressões numéricas reais que envlvam frações, dízimas e radicais utilizand as prpriedades da relaçã de rdem. 25 º P e r í d

2 Númers e perações NO9 Intervals de númers reais Intervals de númers reais. Representaçã de intervals de númers reais na reta numérica. Interseçã e reuniã de intervals. 2. Definir intervals de númers reais 1. Identificar, dads dis númers reais a e b (cm a < b), s intervals nã degenerads, u simplesmente intervals, [a, b], ]a, b[, [a, b[ e ]a, b] cm s cnjunts cnstituíds pels númers reais x tais que, respetivamente, a x b, a < x < b, a x < b e a < x b, designand pr extrems destes intervals s númers e e utilizar crretamente s terms interval fechad, interval abert e amplitude de um interval. 2. Identificar, dad um númer real a, s intervals [a,+ [, ]a, +[, ], a[ e ], a] cm s cnjunts cnstituíds pels númers reais x tais que, respetivamente, x a, x > a, x < a e x a e designar s símbls e + pr, respetivamente, mens infinit e mais infinit. 3. Identificar cnjunt ds númers reais cm interval, representand- pr ], +[. 4. Representar intervals na reta numérica. 5. Determinar interseções e reuniões de intervals de númers reais, representand-as, quand pssível, sb a frma de um interval u, cas cntrári, de uma uniã de intervals disjunts Álgebra ALG9 Inequações - Resluçã de inequações d 1º grau. - Cnjunçã e disjunçã de inequações. Resluçã de prblemas 1Identificar, dadas duas funções numéricas f e g, uma inequaçã cm uma incógnita x cm uma expressã da frma, designar, neste cntext, pr primeir membr da inequaçã, pr segund membr da inequaçã, qualquer a tal que pr sluçã da inequaçã e cnjunt das sluções pr cnjunt-sluçã. 2.Designar uma inequaçã pr impssível quand cnjuntsluçã é vazi e pr pssível n cas cntrári. 3.Identificar duas inequações cm equivalentes quand tiverem mesm cnjunt-sluçã. 4.Recnhecer que se btém uma inequaçã equivalente a uma dada inequaçã adicinand u subtraind um mesm númer a ambs s membrs, multiplicand-s u dividinds pr um mesm númer psitiv u multiplicand-s u dividind-s pr um mesm númer negativ, invertend sentid da desigualdade e designar estas prpriedades pr princípis de equivalência. 5.Designar pr inequaçã d 1.º grau cm uma incógnita u

3 simplesmente inequaçã d 1.º grau qualquer inequaçã tal que f e g sã funções afins de ceficientes distints e simplificar inequações d 1.º grau representand f e g na frma canónica. 6.Simplificar s membrs de uma inequaçã d 1.º grau e aplicar s princípis de equivalência para mstrar que uma dada inequaçã d 1.º grau é equivalente a uma inequaçã em que primeir membr é dad pr uma funçã linear de ceficiente nã nul e segund membr é cnstante (ax < b ). 7.Reslver inequações d 1.º grau apresentand cnjuntsluçã na frma de um interval. 8.Reslver cnjunções e disjunções de inequações d 1.º grau e apresentar cnjunt-sluçã na frma de um interval u cm reuniã de intervals disjunts. 9.Reslver prblemas envlvend inequações d 1.º grau. Númers e perações NO9 Valres aprximads Aprximações da sma e d prdut de númers reais. Aprximações de raízes quadradas e cúbicas. Prblemas envlvend aprximações de medidas de grandezas. 3. Operar cm valres aprximads de númers reais 1. Identificar, dad um númer x e um númer psitiv r, um númer x cm uma aprximaçã de x cm err inferir a r quand x ]x r, x + r[. 2. Recnhecer, dads dis númers reais x e y e aprximações x e y respetivamente de x e y cm err inferir a r, que x + y é uma aprximaçã de x + y cm err inferir a 2r. 3. Aprximar prdut de dis númers reais pel prdut de aprximações ds fatres, majrand pr enquadraments err cmetid. 4. Aprximar raízes quadradas (respetivamente cúbicas) cm err inferir a um dad valr psitiv r, determinand númers racinais cuja distância seja inferir a r e cujs quadrads (respetivamente cubs) enquadrem s númers dads. 4. Reslver prblemas 1. Reslver prblemas envlvend aprximações de medidas de grandezas em cntexts diverss.

4 Funções Dmíni Subdmíni Cnteúds Metas Temps Letivs Funções, sequências e Sucessões FSS9 Funções algébricas Funções de prprcinalidade inversa; referência à hipérble. Prblemas envlvend funções de prprcinalidade inversa. Funções da família f(x) = ax 2, cm a 0. Funções algébricas 1. Definir funções de prprcinalidade inversa 1. Recnhecer, dada uma grandeza inversamente prprcinal a utra, que, fixadas unidades, a funçã de prprcinalidade inversa f que asscia à medida m da segunda a crrespndente medida y = f(m) da primeira satisfaz, para td númer real psitiv x, f(xm) = f(m) (a multiplicar a variável independente m pr um dad númer psitiv, a variável dependente y = f(m) fica multiplicada pel invers desse númer) e, cnsiderand m = 1, que é uma funçã dada pr uma expressã da frma f(x) =, nde a = f(1) e cncluir que é a cnstante de prprcinalidade inversa. 2. Saber, fixad um referencial cartesian n plan, que gráfic de uma funçã de prprcinalidade inversa é uma curva designada pr ram de hipérble cuja reuniã cm a respetiva imagem pela reflexã central relativa à rigem pertence a um cnjunt mais geral de curvas d plan designadas pr hipérbles º P e r í d 2. Reslver prblemas 1. Reslver prblemas envlvend funções de prprcinalidade inversa em diverss cntexts. Prprcinalida de inversa Grandezas inversamente prprcinais; critéri de prprcinalidade inversa. Cnstante de prprcinalidade inversa. Prblemas envlvend grandezas inversamente e diretamente prprcinais. Prprcinalidade inversa 5. Relacinar grandezas inversamente prprcinais 1. Identificar uma grandeza cm inversamente prprcinal a utra quand dela depende de tal frma que, fixadas unidades, a multiplicar a medida da segunda pr um dad númer psitiv, a medida da primeira fica multiplicada pel invers desse númer. 2. Recnhecer que uma grandeza é inversamente

5 prprcinal a utra da qual depende quand, fixadas unidades, prdut da medida da primeira pela medida da segunda é cnstante e utilizar crretamente term cnstante de prprcinalidade inversa. 3. Recnhecer que se uma grandeza é inversamente prprcinal a utra entã a segunda é inversamente prprcinal à primeira e as cnstantes de prprcinalidade inversa sã iguais. 6. Reslver prblemas 1. Reslver prblemas envlvend grandezas inversamente e diretamente prprcinais em cntexts variads. Equações 1. Dmíni Subdmíni Cnteúds Metas Temps Letivs Álgebra ALG9 Funções algébricas Prblemas envlvend funções de prprcinalidade inversa. Funções da família f(x) = ax 2, cm a 0. Cnjunt-sluçã da equaçã de 2.º grau ax 2 + bx + c = 0 cm interseçã da parábla de equaçã y = ax 2 cm a Funções algébricas 3. Interpretar graficamente sluções de equações d segund grau 1. Saber, fixad um referencial cartesian n plan, que º P e r í d reta de equaçã y = bx c. gráfic de uma funçã dada pr uma expressã da frma f(x) = ax (númer real nã nul) é uma curva designada pr parábla de eix vertical e vértice na rigem. 2. Recnhecer que cnjunt-sluçã da equaçã de 2.º grau ax 2 + bx + c = 0 é cnjunt das abcissas ds pnts 10 de interseçã da parábla de equaçã y = ax 2, cm a reta de equaçã y = bx c.

6 Equações d 2.º grau Equações de 2.º grau cmpletas; cmpletament d quadrad. Fórmula reslvente. Prblemas gemétrics e algébrics envlvend equações de 2.º grau. Equações d 2.º grau 3. Cmpletar quadrads e reslver equações d 2.º grau 1. Determinar, dad um plinómi d 2.º grau na variável x, ax 2 + bx + c, uma expressã equivalente da frma a(x + d) 2 + e, nde d e e sã númers reais e designar este prcediment pr cmpletar quadrad. 2. Reslver equações d 2.º grau cmeçand pr cmpletar quadrad e utilizand s cass ntáveis da multiplicaçã. 3. Recnhecer que uma equaçã d segund grau na variável x, ax 2 + bx + c = 0, é equivalente à equaçã = e designar a expressã = b 2 4ac pr binómi discriminante u simplesmente discriminante da equaçã. 4. Recnhecer que uma equaçã d 2.º grau nã tem sluções se respetiv discriminante é negativ, tem uma única sluçã duas sluções se discriminante é nul e tem se discriminante fr psitiv, e designar este resultad pr fórmula reslvente. 5. Saber de memória a fórmula reslvente e aplicá-la à resluçã de equações cmpletas d 2.º grau. 4. Reslver prblemas 1. Reslver prblemas gemétrics e algébrics envlvend equações d 2.º grau.

7 Gemetria 2. Dmíni Subdmíni Cnteúds Metas Temps Letivs Gemetria e Medida GM9 Aximatizaçã das terias Matemáticas Vcabulári d métd aximátic Terias; bjets e relações primitivas; aximas. Aximática de uma teria; definições, teremas e demnstrações. Terias aximatizadas cm mdels da realidade. Cndições necessárias e suficientes; hipótese e tese de um terema; símbl. Lemas e crláris. 1. Utilizar crretamente vcabulári própri d métd aximátic 1. Identificar uma teria cm um dad cnjunt de prpsições cnsideradas verdadeiras, incluind-se também na teria tdas as prpsições que delas frem dedutíveis lgicamente. 2. Recnhecer, n âmbit de uma teria, que para nã se incrrer em racicíni circular u numa cadeia de deduções sem fim, é necessári fixar alguns bjets ( bjets primitivs ), algumas relações entre bjets que nã se º P e r í d definem a partir de utras ( relações primitivas ), e algumas prpsições que se cnsideram verdadeiras sem as deduzir de 10 utras ( aximas ). 3. Designar pr aximática de uma teria um cnjunt de bjets primitivs, relações primitivas e aximas a partir ds quais tds s bjets e relações da teria pssam ser definids e tdas as prpsições verdadeiras demnstradas e utilizar crretamente s terms definiçã, terema e demnstraçã de um terema. 4. Saber que s bjets primitivs, relações primitivas e aximas de algumas terias pdem ter interpretações intuitivas que permitem aplicar s teremas à resluçã de prblemas da vida real e, em cnsequência, testar a validade

8 da teria cm mdel da realidade em determinad cntext. 5. Distinguir cndiçã necessária de cndiçã suficiente e utilizar crretamente s terms hipótese e tese de um terema e símbl. 6. Saber que alguns teremas pdem ser designads pr lemas, quand sã cnsiderads resultads auxiliares para a demnstraçã de um terema cnsiderad mais relevante e utrs pr crláris quand n desenvlviment de uma teria surgem cm cnsequências estreitamente relacinadas cm um terema cnsiderad mais relevante. Aximatizaçã da Gemetria Referência às aximáticas para a Gemetria Euclidiana; aximáticas equivalentes; exempls de bjets e relações primitivas. Aximática de Euclides; referência as Elements e as aximas e pstulads de Euclides; cnfrnt cm a nçã atual de axima. Lugares gemétrics. 2. Identificar facts essenciais da aximatizaçã da Gemetria 1. Saber que para a Gemetria Euclidiana fram apresentadas histricamente diversas aximáticas que fram send aperfeiçadas, e que, dadas duas delas numa frma rigrsa, é pssível definir s terms e relações primitivas de uma através ds terms e relações primitivas da utra e demnstrar s aximas de uma a partir ds aximas da utra, designand-se, pr esse mtiv, pr aximáticas equivalentes e cnduzind as mesms teremas. 2. Saber que, entre utras pssibilidades, existem aximáticas da Gemetria que tmam cm bjets primitivs s pnts, as retas e s plans e utras apenas s pnts, e que a relaçã B está situad entre A e C estabelecida entre pnts de um tri rdenad (A, B, C), assim cm a relaçã s pares de pnts (A, B) e (C, D) sã equidistantes, entre pares de

9 pnts pdem ser tmadas cm relações primitivas da Gemetria. 3. Saber que na frma histórica riginal da Aximática de Euclides se distinguiam pstulads de aximas, de acrd cm que se supunha ser respetiv grau de evidência e dmíni de aplicabilidade, e que nas aximáticas atuais essa distinçã nã é feita, tmand-se term pstulad cm sinónim de axima, e enunciar exempls de pstulads e aximas ds Elements de Euclides. 4. Identificar lugar gemétric cm cnjunt de tds s pnts que satisfazem uma dada prpriedade. Paralelism e perpendicularid ade de retas e plans A Gemetria euclidiana e axima das 5.º Pstulad de Euclides e axima euclidian de paralelism. Referência às Gemetrias nã--euclidianas; Gemetria hiperbólica u de Lbachewski. Demnstrações de prpriedades simples de psições relativas de retas num plan, envlvend axima Paralelism e perpendicularidade de retas e plans 3. Caracterizar a Gemetria Euclidiana através d axima das paralelas. 1. Saber que 5.º pstulad de Euclides, na frma enunciada ns Elements de Euclides, estabelece que se duas retas num plan, intersetadas pr uma terceira, determinam cm esta ânguls interns d mesm lad da secante cuja sma é inferir a um ângul ras entã as duas retas intersetam-se n semiplan determinad pela secante que cntém esses dis ânguls. 2. Saber que axima euclidian de paralelism estabelece que pr um pnt fra de uma reta nã passa mais que uma reta a ela paralela e que é equivalente a 5.º pstulad de Euclides n sentid em que substituind um pel utr se btêm aximáticas equivalentes.

10 paralelas euclidian de paralelism. 3. Saber que é pssível cnstruir terias mdificand determinadas aximáticas da Gemetria Euclidiana que incluam 5.º pstulad de Euclides e substituind- pela respetiva negaçã, designar essas terias pr Gemetrias nã-euclidianas e, n cas de nã haver utras alterações à aximática riginal para além desta substituiçã, saber que se designa a teria resultante pr Gemetria Hiperbólica u de Lbachewski. Paralelism de retas e plans n espaç euclidian Plans cncrrentes; prpriedades. Retas paralelas e secantes a plans; prpriedades. Paralelism de retas n espaç; transitividade. Paralelism de plans: caracterizaçã d paralelism de plans através d paralelism de retas; transitividade; existência e unicidade d plan paralel a um dad plan cntend um pnt exterir a esse plan. 5. Identificar plans paralels, retas paralelas e retas paralelas a plans n espaç euclidian 1. Saber que a interseçã de dis plans nã paralels é uma reta e, nesse cas, designá-ls pr plans cncrrentes. 2. Identificar uma reta cm paralela a um plan quand nã intersetar. 3. Saber que uma reta que nã é paralela a um plan nem está nele cntida interseta- exatamente num pnt, e, nesse cas, designá-la pr reta secante a plan. 4. Saber que se uma reta é secante a um de dis plans paralels entã é também secante a utr. 5. Saber que se um plan é cncrrente cm um de dis plans paralels entã é também cncrrente cm utr e recnhecer que as retas interseçã d primeir cm cada um ds utrs dis sã paralelas.

11 6. Saber que duas retas paralelas a uma terceira (as três nã necessariamente cmplanares) sã paralelas entre si. 7. Saber que é cndiçã necessária e suficiente para que dis plans (distints) sejam paralels que exista um par de retas cncrrentes em cada plan, duas a duas paralelas. 8. Prvar que dis plans paralels a um terceir sã paralels entre si, saber que pr um pnt fra de um plan passa um plan paralel a primeir e prvar que é únic. Perpendicularid ade de retas e plans n espaç euclidian Ângul de dis semiplans cm frnteira cmum. Semiplans e plans perpendiculares. Retas perpendiculares a plans; resultads de existência e unicidade; prjeçã rtgnal de um pnt num plan; reta nrmal a um plan e pé da perpendicular; plan nrmal a uma reta. Paralelism de plans e perpendicularidade entre reta e plan. Critéri de perpendicularidade de plans. Plan mediadr de um segment de reta. 6. Identificar plans perpendiculares e retas perpendiculares a plans n espaç euclidian 1. Recnhecer, dads dis plans e que se intersetam numa reta r, que sã iguais dis quaisquer nguls cnvexs e de vér ces em r e lads perpendiculares a r de frma que s lads 1 1 e 2 2 estã num mesm semiplan determinad pr r em e s lads 1 1 e 2B2 estã num mesm semiplan determinad pr r em, e designar qualquer ds ânguls e a respetiva amplitude cmum pr ngul ds dis semiplans. 2. Designar pr semiplans perpendiculares dis semiplans que frmam um ngul ret e pr plans perpendiculares s respetivs plans suprte. 3. Saber que se uma reta r é perpendicular a duas retas s e t num mesm pnt P, é igualmente perpendicular a tdas as retas cmplanares a s e t que passam pr P e que qualquer reta perpendicular a r que passa pr P está cntida n plan

12 determinad pelas retas s e t. Prblemas Prblemas envlvend psições relativas de retas e plans. 4. Identificar uma reta cm perpendicular a um plan num pnt P quand é perpendicular em P a um par de retas distintas desse plan e justificar que uma reta perpendicular a um plan num pnt P é perpendicular a tdas as retas d plan que passam pr P. 5. Prvar que é cndiçã necessária e suficiente para que dis plans sejam perpendiculares que um deles cntenha uma reta perpendicular a utr. 6. Saber que existe uma reta perpendicular a um plan passand pr um dad pnt, prvar que é única e designar a interseçã da reta cm plan pr pé da perpendicular e pr prjeçã rtgnal d pnt n plan e, n cas em que pnt pertence a plan, a reta pr reta nrmal a plan em. 7. Saber, dada uma reta r e um pnt P, que existe um únic plan perpendicular a r passand pr P, recnhecer que é lugar gemétric ds pnts d espaç que determinam cm P, se pertencer a r, u cm pé da perpendicular traçada de P para r, n cas cntrári, uma reta perpendicular a r e designar esse plan pr plan perpendicular (u nrmal) a r passand pr P e, n cas de P pertencer à reta, pr plan nrmal a r em P. 8. Recnhecer que se uma reta é perpendicular a um de dis plans paralels entã é perpendicular a utr e que dis plans perpendiculares a uma mesma reta sã paralels. 9. Designar pr plan mediadr de um segment de reta

13 [AB] plan nrmal à reta suprte d segment de reta n respetiv pnt médi e recnhecer que é lugar gemétric ds pnts d espaç equidistantes de A e B. 7. Reslver prblemas 1. Reslver prblemas envlvend as psições relativas de retas e plans. Medida Distâncias a um plan de pnts, retas paralelas e plans paralels Distância de um pnt a um plan. Prjeçã rtgnal num plan de uma reta paralela a plan e distância entre a reta e plan. Distância entre plans paralels. Altura da pirâmide, d cne e d prisma. Medida 8. Definir distâncias entre pnts e plans, retas e plans e entre plans paralels 1. Identificar, dad um pnt P e um plan, a distância entre pnt e plan cm a distância de P à respetiva prjeçã rtgnal em e prvar que é inferir à distância de P a qualquer utr pnt d plan. 2. Recnhecer, dada uma reta r paralela a um plan, que plan definid pela reta r e pel pé da perpendicular traçada de um pnt de r para é perpendicular a plan, que s pnts da reta p interseçã ds plans e sã s pés das perpendiculares traçadas ds pnts da reta r para plan, designar pr prjeçã rtgnal da reta r n plan e a distância entre as retas paralelas r e p pr distância entre a reta r e plan, justificand que é menr d que a distância de qualquer pnt de r a um pnt d plan distint da respetiva prjeçã rtgnal. 3. Recnhecer, dads dis plans paralels e, que sã iguais as distâncias entre qualquer pnt de um e a respetiva prjeçã rtgnal n utr, designar esta distância cmum pr distância entre s plans e e justificar que é menr que a distância entre qualquer par de pnts, um em cada um ds plans, que nã sejam prjeçã rtgnal um d utr. 4. Identificar a altura de uma pirâmide u de um cne cm a distância d vértice a plan que cntém a base e a altura de um prisma, relativamente a um par de bases, cm a distância entre s plans que cntêm as bases.

14 Vlumes e áreas de superfícies de sólids Vlume da pirâmide, cne e esfera. Área da superfície de pliedrs, da superfície lateral de cnes rets e da superfície esférica. Prblemas envlvend cálcul de áreas e vlumes de sólids. 9. Cmparar e calcular áreas e vlumes 1. Saber que a decmpsiçã de um prisma triangular ret em três pirâmides cm mesm vlume permite mstrar que a medida, em unidades cúbicas, d vlume de qualquer pirâmide triangular é igual a um terç d prdut da medida, em unidades quadradas, da área de uma base pela medida da altura crrespndente. 2. Recnhecer, pr decmpsiçã em pirâmides triangulares, que a medida, em unidades cúbicas, d vlume de qualquer pirâmide é igual a um terç d prdut da medida, em unidades quadradas, da área da base pela medida da altura. 3. Saber que a medida, em unidades cúbicas, d vlume de um cne é igual a um terç d prdut da medida, em unidades quadradas, da área da base pela medida da altura, pr se pder aprximar pr vlumes de pirâmides de bases inscritas e circunscritas à base d cne e mesm vértice. 4. Saber que a medida, em unidades cúbicas, d vlume de uma esfera é igual a R 3, nde R é rai da esfera. 5. Saber que, numa dada circunferência u em circunferências iguais, cmpriment de um arc de circunferência e a área de um setr circular sã diretamente prprcinais à amplitude d respetiv ângul a centr. 6. Saber que, numa dada circunferência u em circunferências iguais, arcs (respetivamente setres circulares) cm cmpriments (respetivamente áreas) iguais sã gemetricamente iguais. 7. Identificar a área da superfície de um pliedr cm a sma das áreas das respetivas faces. 8. Recnhecer, fixada uma unidade de cmpriment, que a medida, em unidades quadradas, da área (da superfície) lateral de um cne ret é igual a prdut da medida d cmpriment da geratriz pel rai da base multiplicad pr, sabend que pde ser aprximada pelas áreas (das superfícies) laterais de pirâmides cm mesm vértice e bases inscritas u circunscritas à base d cne, u, em alternativa, bservand que a planificaçã da superfície lateral crrespnde a um setr circular de rai igual à geratriz. 9. Saber que a medida, em unidades quadradas, da área de uma superfície esférica é igual a 4R 2, nde R é rai da esfera. 18

15 10. Reslver prblemas 1. Reslver prblemas envlvend cálcul de áreas e vlumes de sólids. Lugares gemétrics envlvend pnts ntáveis de triânguls 13. Identificar lugares gemétrics 1. Prvar que as mediatrizes ds lads de um triângul se intersetam num pnt, designá-l pr circuncentr d triângul e prvar que circuncentr é centr da única circunferência circunscrita a triângul. 2. Prvar que a bissetriz de um ângul cnvex é lugar gemétric ds pnts d ângul que sã equidistantes das retas suprtes ds lads d ângul. 3. Prvar que as bissetrizes ds ânguls interns de um triângul se intersetam num pnt, designá-l pr incentr d triângul e prvar que incentr é centr da circunferência inscrita a triângul. 4. Saber que as retas suprte das três alturas de um triângul sã cncrrentes e designar pnt de interseçã pr rtcentr d triângul. 5. Justificar que a reta que bisseta dis ds lads de um triângul é paralela a terceir e utilizar semelhança de triânguls para mstrar que duas medianas se intersetam num pnt que dista d vértice d cmpriment da respetiva mediana e cncluir que as três medianas de um triângul sã cncrrentes, designand-se pnt de interseçã pr baricentr, centr de massa u centride d triângul. 6. Determinar, pr cnstruçã, incentr, circuncentr, rtcentr e baricentr de um triângul. Lugares gemétrics envlvend pnts ntáveis de triânguls A bissetriz de um ângul cm lugar gemétric. Circuncentr, incentr, rtcentr e baricentr de um triângul; prpriedades e cnstruçã. Prblemas envlvend lugares gemétrics n plan. 14. Reslver prblemas 1. Reslver prblemas envlvend lugares gemétrics n plan. Circunferência 15. Cnhecer prpriedades de ânguls, crdas e arcs definids numa circunferência

16 Prpriedades de ânguls, crdas e arcs definids numa circunferência Arcs de circunferência; extrems de um arc; arc menr e mair. Crdas; arcs subtenss pr uma crda; arc crrespndente a uma crda; prpriedades. Amplitude de um arc. Ângul inscrit num arc; arc capaz; arc cmpreendid entre s lads de um ângul inscrit; prpriedades. 1. Identificar arc de circunferência cm a interseçã de uma dada circunferência cm um ângul a centr e utilizar crretamente term extrems de um arc. 2. Designar, dads dis pnts A e B de uma circunferência de centr O, nã diametralmente psts, pr arc menr AB, u simplesmente arc AB, arc determinad na circunferência pel ângul a centr cnvex AOB. 3. Designar, dads dis pnts A e B de uma circunferência de centr O, nã diametralmente psts, pr arc mair AB, arc determinad na circunferência pel ângul a centr côncav AOB. 4. Representar, dads três pnts A, B e P de uma dada circunferência, pr arc APB arc de extrems A e B que cntém pnt P. 5. Designar, dads dis pnts A e B de uma circunferência, pr crda AB segment de reta [AB], s arcs de extrems A e B pr arcs subtenss pela crda AB, e quand se tratar de um arc menr, designá-l pr arc crrespndente à crda AB. 6. Recnhecer, numa circunferência u em circunferências iguais, que crdas e arcs determinads pr ânguls a centr iguais também sã iguais e vice-versa. 7. Identificar a amplitude de um arc de circunferência APB, cm a amplitude d ângul a centr crrespndente e representá-la pr, u simplesmente pr quand se tratar de um arc menr. 8. Recnhecer que sã iguais arcs (respetivamente crdas) determinads pr duas retas paralelas e entre elas cmpreendids. 9. Demnstrar que qualquer reta que passa pel centr de uma circunferência e é perpendicular a uma crda a bisseta, assim cm as arcs subtenss e as ânguls a centr crrespndentes. 10. Designar pr ângul inscrit num arc de circunferência qualquer ângul de vértice n arc e distint ds extrems e cm lads passand pr eles, arc pr arc capaz d ângul inscrit e utilizar crretamente a expressã arc cmpreendid entre s lads de um ângul inscrit. 11. Demnstrar que a amplitude de um ângul inscrit é igual a metade da amplitude d arc cmpreendid entre s respetivs lads e, cm crláris, que ânguls inscrits n 20

17 Segment de círcul mair e menr. Ângul d segment; ângul ex-inscrit; prpriedades. Ânguls de vértice n exterir u n interir de um círcul e lads intersetand a respetiva circunferência; prpriedades. Demnstraçã das fórmulas para a sma ds ânguls interns e de ânguls externs cm vértices distints de um plígn cnvex; aplicações: demnstraçã da fórmula para a sma ds ânguls psts de um quadriláter inscrit numa circunferência; cnstruçã aprximada de um plígn regular de lads inscrit numa circunferência utilizand transferidr. Prblemas envlvend ânguls e arcs definids numa circunferência e ânguls interns e externs de plígns regulares. mesm arc têm a mesma amplitude e que um ângul inscrit numa semicircunferência é um ângul ret. 12. Designar pr segment de círcul a regiã d círcul cmpreendida entre uma crda e um arc pr ela subtens, dit mair quand arc fr mair e menr quand arc fr menr. 13. Prvar que um ângul de vértice num ds extrems de uma crda, um ds lads cntend a crda e utr tangente à circunferência ( ângul d segment ), tem amplitude igual a metade da amplitude d arc cmpreendid entre s seus lads. 14. Designar pr ângul «ex-inscrit num arc de circunferência» um ângul adjacente a um ângul inscrit e a ele suplementar, e prvar que a amplitude de um ângul exinscrit é igual à semissma das amplitudes ds arcs crrespndentes às crdas que as retas suprte ds lads cntêm. 15. Prvar que a amplitude de um ângul cnvex de vértice n interir de um círcul é igual à semissma das amplitudes ds arcs cmpreendids entre s lads d ângul e s lads d ângul verticalmente pst. 16. Prvar que a amplitude de um ângul de vértice exterir a um círcul e cujs lads intersetam é igual à semidiferença entre a mair e a menr das amplitudes ds arcs cmpreendids entre s respetivs lads. 17. Prvar que a sma das medidas das amplitudes, em graus, ds ânguls interns de um plígn cnvex cm n lads é igual a (n 2)180 e deduzir que a sma de n ânguls externs cm vértices distints é igual a um ângul gir. 18. Prvar que a sma ds ânguls psts de um quadriláter inscrit numa circunferência é igual a um ângul ras.

18 Trignmetria Dmíni Subdmíni Cnteúds Metas Temps Letivs Gemetria e Medida GM9 Trignmetria Sen, cssen e tangente de um ângul agud. Fórmula fundamental da trignmetria. Relaçã entre a tangente de um ângul agud e sen e cssen d mesm ângul. Relaçã entre sen e cssen de ânguls cmplementares. Deduçã ds valres das razões trignmétricas ds ânguls de 45, 30 e 60. Utilizaçã de tabelas e de uma calculadra para a determinaçã de valres aprximads da amplitude de um ângul cnhecida uma razã trignmétrica desse ângul. Prblemas envlvend distâncias e razões trignmétricas. Trignmetria 11. Definir e utilizar razões trignmétricas de ânguls aguds 1. Cnstruir, dad um ângul agud θ, triânguls retânguls ds quais θ é um ds ânguls interns, traçand perpendiculares de um pnt qualquer, distint d vértice, de um ds lads de θ para utr lad, prvar que tds s triânguls que assim se pdem cnstruir sã semelhantes e também semelhantes a qualquer triângul retângul que tenha um ângul intern igual a θ. 2. Designar, dad um ângul agud θ intern a um triângul retângul e uma unidade de cmpriment, pr sen de θ quciente entre as medidas d cmpriment d catet pst a θ e da hiptenusa e representá-l pr sin(θ), sinθ, sen(θ) u senθ. 3. Designar, dad um ângul agud θ intern a um triângul retângul e uma unidade de cmpriment, pr cssen de θ quciente entre as medidas d cmpriment d catet adjacente a θ e da hiptenusa e representá-l pr cs(θ) u csθ. 4. Designar, dad um ângul agud θ intern a um triângul retângul e uma unidade de cmpriment, pr tangente de θ quciente entre as medidas d cmpriment d catet pst a θ e d catet adjacente a θ e representá-l pr tan(θ), tanθ, tg(θ) u tgθ. 5. Designar sen de θ, cssen de θ e tangente de θ pr razões trignmétricas de θ. 6. Recnhecer, fixada uma unidade de cmpriment e dads dis ânguls θ e θ cm a mesma amplitude =, que sen, cssen e tangente de θ sã respetivamente iguais a sen, cssen e tangente de θ e designá-ls também respetivamente pr sen, cssen e tangente de. 7. Justificar que valr de cada uma das razões trignmétricas de um ângul agud θ (e da respetiva amplitude) é independente da unidade de cmpriment fixada. 8. Recnhecer que sen e cssen de um ângul agud sã númers psitivs menres d que Prvar que a sma ds quadrads d sen e d cssen de um 9 3. º P e r í d

19 ângul agud é igual a 1 e designar este resultad pr fórmula fundamental da trignmetria. 10. Prvar que a tangente de um ângul agud é igual à razã entre s respetivs sen e cssen. 11. Prvar que sen de um ângul agud é igual a cssen de um ângul cmplementar. 12. Determinar, utilizand arguments gemétrics, as razões trignmétricas ds ânguls de 45, 30 e Utilizar uma tabela u uma calculadra para determinar valr (exat u aprximad) da amplitude de um ângul agud a partir de uma das suas razões trignmétricas. 12. Reslver prblemas 1. Reslver prblemas envlvend a determinaçã de distâncias utilizand as razões trignmétricas ds ânguls de 45, 30 e Reslver prblemas envlvend a determinaçã de distâncias utilizand ânguls aguds dads e as respetivas razões trignmétricas dadas pr uma máquina de calcular u pr uma tabela. 3. Reslver prblemas envlvend a determinaçã de distâncias a pnts inacessíveis utilizand ânguls aguds e as respetivas razões trignmétricas. Histgrama. Prbabilidade 3 Dmíni Subdmíni Cnteúds Metas Temps Letivs. º

20 Organizaçã e Tratament de Dads OTD9 Histgramas Variáveis estatísticas discretas e cntínuas; classes determinadas pr intervals numérics; agrupament de dads em classes da mesma amplitude. Histgramas; prpriedades. Prblemas envlvend a representaçã de dads em tabelas de frequência e histgramas. Histgramas 1. Organizar e representar dads em histgramas 1. Estender a nçã de variável estatística quantitativa a cas em que cada classe fica determinada pr um interval de númers, fechad à esquerda e abert à direita, send esses intervals disjunts dis a dis e de uniã igual a um interval (e estender também a cas em que se interseta cada um desses intervals cm um cnjunt finit pré-determinad de númers), designand também cada interval pr classe. 2. Identificar uma variável estatística quantitativa cm discreta quand cada classe fica determinada pr um númer u um cnjunt finit de númers e cm cntínua quand se asscia a cada classe um interval. 3. Reagrupar as unidades de uma ppulaçã em classes cm base num cnjunt de dads numérics de md que as classes tenham uma mesma amplitude pré-fixada e designar este prcess pr agrupar s dads em classes da mesma amplitude. 4. Identificar, cnsiderad um cnjunt de dads agrupads em classes, histgrama cm um gráfic de barras retangulares justapstas e tais que a área ds retânguls é diretamente prprcinal à frequência absluta (e prtant também à frequência relativa) de cada classe. 5. Recnhecer que num histgrama frmad pr retânguls de bases iguais, a respetiva altura é diretamente prprcinal à frequência absluta e à frequência relativa de cada classe. 6. Representar, em histgramas, cnjunts de dads agrupads em classes da mesma amplitude. 18 P e r í d 2. Reslver prblemas 1. Reslver prblemas envlvend a representaçã de dads em tabelas de frequência, diagramas de caule-e-flhas e histgramas. Prbabilidade 3. Utilizar crretamente a linguagem da prbabilidade

21 -Experiências deterministas e aleatórias. Univers de resultads. - Acnteciments e cass favráveis. Classificaçã de acnteciments. - Regra de Laplace. -Prpriedades da prbabilidade. - Prbabilidade em experiências cmpstas. -Frequências relativas e prbabilidade. 1. Identificar uma experiência cm um prcess que cnduz a um resultad pertencente a um cnjunt previamente fixad designad pr univers ds resultads u espaç amstral, nã se dispnd de infrmaçã que permita excluir a pssibilidade de crrência de qualquer desses resultads, designar s elements d espaç amstral pr cass pssíveis e a experiência pr determinista quand existe um únic cas pssível e aleatória em cas cntrári. 2. Designar pr acnteciment qualquer subcnjunt d univers ds resultads de uma experiência aleatória e s elements de um acnteciment pr cass favráveis a esse acnteciment e utilizar a expressã acnteciment A crre para significar que resultad da experiência aleatória pertence a cnjunt A. 3. Designar, dada uma experiência aleatória, cnjunt vazi pr acnteciment impssível, univers ds resultads pr acnteciment cert, um acnteciment pr elementar se existir apenas um cas que lhe seja favrável e pr cmpst se existir mais d que um cas que lhe seja favrável. 4. Designar dis acnteciments pr incmpatíveis u disjunts quand a respetiva interseçã fr vazia e pr cmplementares quand frem disjunts e a respetiva reuniã fr igual a espaç amstral. 5. Descrever experiências aleatórias que pssam ser repetidas mantend um mesm univers de resultads e cnstruídas de md a que se espere, num númer significativ de repetições, que cada um ds cass pssíveis crra aprximadamente cm a mesma frequência e designar s acnteciments elementares dessas experiências pr equiprváveis. 6. Designar, dada uma experiência aleatória cujs cass pssíveis sejam em númer finit e equiprváveis, a prbabilidade de um acnteciment cm quciente entre númer de cass favráveis a esse acnteciment e númer de cass pssíveis, designar esta definiçã pr regra de Laplace u definiçã de Laplace de prbabilidade e utilizar crretamente s terms mais prvável, igualmente prvável, pssível, impssível e cert aplicads, neste cntext, a acnteciments. 7. Recnhecer que a prbabilidade de um acnteciment, de

22 entre s que estã assciads a uma experiência aleatória cujs cass pssíveis sejam em númer finit e equiprváveis, é um númer entre 0 e 1 e, nesse cntext, que é igual a 1 a sma das prbabilidades de acnteciments cmplementares. 8. Justificar que se e frem acnteciments disjunts se tem P(A B) = = P(A) + P(B). 9. Identificar e dar exempls de acnteciments pssíveis, impssíveis, elementares, cmpsts, cmplementares, incmpatíveis e assciads a uma dada experiência aleatória. 10. Utilizar tabelas de dupla entrada e diagramas em árvre na resluçã de prblemas envlvend a nçã de prbabilidade e a cmparaçã das prbabilidades de diferentes acnteciments cmpsts. 11. Realizar experiências envlvend a cmparaçã das frequências relativas cm as respetivas prbabilidades de acnteciments em experiências repetíveis (aleatórias), em cass em que se presume equiprbabilidade ds cass pssíveis

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