grau) é de nida por:

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1 CÁLCULO I Prf. Edilsn Neri Júnir Prf. André Almeida : Funções Elementares e Transfrmações n Grác de uma Funçã. Objetivs da Aula Denir perações cm funções; Apresentar algumas funções essenciais; Recnhecer, através d grác, a funçã que ele representa; Recnhecer características de cada funçã. 1 Funções Elementares Existem váris tips de funções que pdem mdelar prblemas e situações d ctidian. Apresentarems, a seguir, algumas funções elementares e que serã muit utilizadas a lng deste curs. 1.1 Funções Plinmiais Deniçã 1 (Funçã Plinmial). Uma funçã f cuja regra é dada pr: f(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 nde n é um númer inteir nã negativ e a n, a n 1, a n 2,..., a 2, a 1, a 0 sã númers reais (u cnstantes) chamads de cecientes d plinômi, é chamada plinmial. O númer inteir n é chamad grau d plinômi. Dependend d grau d plinômi, tems algumas classes funções plinmiais que sã muit cnhecidas e que já fram amplamente discutidas n ensin médi. A seguir, mstrarems algumas dessas funções e seus respectivs grács. Exempl 1 (Funçã Plinmial d 1 Grau u Funçã Am). A funçã plinmial d 1 grau (u simplesmente funçã d 1 grau) é tda funçã que asscia um númer real x a valr numéric d plinômi ax + b, cm a 0. Os númers reais a e b sã chamads, respectivamente, de ceciente angular e ceciente linear. Simblicamente: f : R R x ax + b O grác da funçãf(x) = ax + b é uma reta nã paralela as eixs crdenads. A depender d valr de a, a funçã f(x) pde ser dita crescente (para a > 0) u decrescente (para a < 0). Observe, a seguir, grác da funçã d 1 grau. 1

2 Cálcul I Figura 1: Grá cs da Funçã A m. À esquerda, tems grá c de uma funçã crescente e à direita, grá c de uma funçã decrescente. Exempl 2 (Funçã Plinmial d 2 Grau u Funçã Quadrática). A funçã plinmial d 2 grau (u simplesmente funçã d 2 grau) é de nida pr: f: R R x 7 ax2 + bx + c, cm a 6= 0. O grá c desta funçã é uma parábla, cm eix de simetria paralel a eix y. Se ce ciente de x2 fr psitiv (a > 0), a parábla tem cncavidade vltada para cima, enquant que, se ce ciente de x2 fr negativ (a < 0), a parábla tem cncavidade vltada para baix. Observe, a seguir grá c da funçã d 2 grau: Figura 2: Grá cs da Funçã Quadrática. À esqueda, tems grá c de uma funçã quadrática cm a > 0 e à direita, grá c de uma funçã quadrática cm a < 0. Na funçã quadrática, a interseçã d grá c cm eix de simetria é um pnt chamad vértice. Este pnt pde ser cnsiderad máxim (quand a parábla tem cncavidade vltada para baix) u mínim (quand a parábla tem cncavidade vltada para cima). Exempl 3 (Funçã Plinmial d 3 Grau u Funçã Cúbica). A funçã plinmial d 3 grau (u simplesmente funçã d 3 grau) é de nida pr: f: R R x 7 ax3 + bx2 + cx + d, Prf. Edilsn Neri Prf. André Almeida 2

3 Cálcul I cm a 6= 0. O grá c da funçã cúbica será apresentad a seguir. Figura 3: Grá c da Funçã Cúbica 1.2 Funções Racinais De niçã 2 (Funçã Racinal). Uma funçã racinal f é a razã de dis plinômis: f (x) = P (x), Q(x) em que P e Q sã plinômis. O dmíni cnsiste em tds s valres de x tais que Q(x) 6= 0. Exempl 4. A funçã f (x) = x 1 é uma funçã racinal, cuj dmíni R { 1}. Observe grá c: x+1 Figura 4: Grá c da Funçã f (x) = Prf. Edilsn Neri Prf. André Almeida x 1 x+1 3

4 Cálcul I Exempl 5. A funçã f (x) = grá c: (x2 (x2 4)(x2 + 3x 9) é racinal e seu dmíni é R { 4, 3, 3}. Observe + x 12)((x + 3) Figura 5: Grá c da Funçã f (x) = (x2 + 3x 4)(x2 9) (x2 + x 12)((x + 3) 1.3 Funçã Ptência De niçã 3 (Funçã Ptência). Uma funçã da frma: f (x) = xα, nde α é uma cnstante, é chamada funçã ptência. Se α = 1, 2, 3,..., dizems que a funçã ptência é uma funçã plinmial. Se α = 1/n, cm n psitiv, dizems que a funçã é racinal e se n é negativ, dizems que grá c é da funçã recíprca. Exempl 6. A funçã f (x) = x é uma funçã raiz, nde α = 1/2. Observe grá c: Figura 6: Grá c da Funçã f (x) = x Prf. Edilsn Neri Prf. André Almeida 4

5 Cálcul I Exempl 7. A funçã f (x) = 1 é uma funçã ptência. Entretant, bserve que para td x > 0, x grá c da funçã encntra-se n 1 quadrante d plan cartesian e, pdems cnsiderá-la cm uma funçã raiz. Já para td x < 0, grá c da funçã encntra-se n 3 quadrante d plan cartesian e, pdems cnsiderá-la uma funçã recíprca. Observe: Figura 7: Grá c da Funçã f (x) = 1 x Observaçã 1. Uma funçã f é dita algébrica se puder ser cnstruída pr mei de perações algébricas (sma, multiplicaçã, divisã e extraçã de raízes) envlvend a funçã identidade e funções cnstantes. As funções nã algébricas sã chamadas de transcendentes. Cm exempl de funções transcendentes, pdems citar as funções trignmétricas, expnenciais e lgarítmicas, que serã apresentadas a seguir. 1.4 Funções Trignmétricas Dad um númer real θ, cnsidere ângul rientad, em psiçã padrã, cuja medida em radians é θ e P (x, y) a interseçã d lad terminal deste ângul cm círcul unitári x2 + y 2 = 1. Figura 8: Círcul unitári x2 + y 2 = 1 De nirems a seguir, as funções trignmétricas. Prf. Edilsn Neri Prf. André Almeida 5

6 Cálcul I De niçã 4 (Funçã Sen). A funçã sen é uma funçã f de R em R que asscia cada x R a númer real y = sen x, ist é, f: R R x 7 y = sen x. O dmíni de f (x) = sen x é R e cnjunt imagem é interval [ 1, 1]. Cm esta funçã está de nida n círcul unitári, é pssível ntar que existe um padrã de repetiçã da imagem, para cada x R. Este padrã de repetiçã é denminad de períd e crre a cada 2π. O grá c de f (x) = sen x, denminad de senóide, pde ser visualizad a seguir. Figura 9: Grá c de f (x) = sen x. De niçã 5 (Funçã Cssen). A funçã cssen é uma funçã f de R em R que asscia cada x R a númer real y = cs x, ist é, f: R R x 7 y = cs x. De frma semelhante à funçã sen, dmíni da funçã cssen é R e cnjunt imagem é interval [ 1, 1]. Cm esta funçã também está de nida n círcul unitári, é pssível ntar que existe um padrã de repetiçã da imagem, para cada x R. Este padrã de repetiçã é denminad de períd e crre a cada 2π. O grá c de f (x) = sen x, denminad de cssenóide, pde ser visualizad a seguir. Figura 10: Grá c de f (x) = cs x. As funções tangente, ctangente, secante e cssecante, apresentadas a seguir, serã de nidas em terms sen e cssen. De niçã 6 (Funçã Tangente). Para td númer real x, tal que cs x 6= 0, de nims a funçã tangente (dentada pr tg x) pela regra: f (x) = tg x = sen x cs x. O dmíni da funçã tangente é cnjunt de tds s númers reais x, para s quais cs x 6= 0. Ou seja, para td x na frma π2 + kπ, cm k Z, a funçã tangente nã estará de nida. Gra camente. Prf. Edilsn Neri Prf. André Almeida 6

7 Cálcul I Figura 11: Grá c de f (x) = tg x. 1.5 Funções Trignmétricas Inversas De niçã 7 (Inversa da funçã cssen). A funçã inversa d cssen é a funçã chamada arc-cssen, dentada pr arccs u cs 1, de nida pr: y = arccs(x) x = cs(y) e 0 y π. De niçã 8 (Inversa da funçã sen). A funçã inversa d sen é a funçã chamada arc-sen, dentada pr arcsen u sen 1, de nida pr: y = arcsen(x) x = sen (y) e π π y. 2 2 Prf. Edilsn Neri Prf. André Almeida 7

8 Cálcul I De niçã 9 (Inversa da funçã tangente). A funçã inversa d tangente é a funçã chamada arctangente, dentada pr arctg u tg 1, de nida pr: y = arctg(x) x = tg (y) e π π <y< Funções De nidas pr Partes As funções de nidas pr fórmulas distintas em diferentes partes de seus dmínis sã chamadas funções de nidas pr partes. Vejams alguns exempls. Exempl 8. Seja a funçã de nida pr: f (x) = x2, se, x 1 1 x, se, x < 1 O dmíni desta funçã é R e cm imagem, interval [0, + ). Gra camente: Prf. Edilsn Neri Prf. André Almeida 8

9 Cálcul I Figura 12: Grá c de f (x). O próxim exempl de funçã de nida pr partes é a funçã mdular. Lembre-se que, cm mstrams na Aula Intrdutória, módul de um númer real x é a distância de x até 0, na reta real. Exempl 9 (Funçã Mdular). Seja: f (x) = x = x, se, x 0 x, se, x < 0 O grá c da funçã mdular é: Figura 13: Grá c de f (x) = x. Observe que dmíni da funçã mdular é cnjunt R e a imagem desta funçã é cnjunt R. Exempl 10 (Funçã Heaviside). A Funçã Heaviside, muit utilizada na eletricidade para representar chaves que ligam e desligam, é de nida pr: H(t) = 0, se, t < 0 1, se, t 0 Nte que dmíni desta funçã é R e a imagem é cnjunt {0, 1}, frmad apenas de dis elements. Representams gra camente esta funçã a seguir. Prf. Edilsn Neri Prf. André Almeida 9

10 Cálcul I Figura 14: Grá c de H(t). Exempl 11 (Funçã Mair Inteir u Funçã Escada). A funçã mair inteir dentada entre clchetes e de nida pr: f (x) = [x], x R representa mair inteir que é menr que x. Atribuind alguns valres para x, ela tem cm imagem númers inteirs. Pr exempl: [0, 8] = 0, [1, 5] = 1, [ 1, 75] = 2, [ 0, 4] = 1, [π] = 3, etc. Gra camente, tems: Figura 15: Grá c da Funçã Mair Inteir. 2 Transfrmações n Grá c de uma Funçã Aplicand certas transfrmações as grá cs de uma funçã btems grá c de funções relacinadas. Iss ns capacita a fazer esbç de muitas funções à mã e ns permite também escrever equações para s grá cs dads. De niçã 10 (Deslcaments Verticais e Hrizntais). Supnha c > 0. Para bter grá c de a) y = f (x) + c, deslque grá c de y = f (x) em c unidades para cima; b) y = f (x) c, deslque grá c de y = f (x) em c unidades para baix; c) y = f (x c), deslque grá c de y = f (x) em c unidades para direita; d) y = f (x + c), deslque grá c de y = f (x) em c unidades para esquerda. Prf. Edilsn Neri Prf. André Almeida 10

11 Cálcul I Deniçã 11 (Reexões). Para bter grác de a) y = f(x), reita grác de y = f(x) em trn d eix x; b) y = f( x), reita grác de y = f(x) em trn d eix y. Deniçã 12 (Expansões e Cmpressões Verticais). Supnha c > 1. Para bter grác de a) y = c.f(x), expanda grác de y = f(x) verticalmente pr um fatr de c; b) y = (1/c).f(x), cmprima grác de y = f(x) verticalmente pr um fatr de c; Deniçã 13 (Expansões e Cmpressões Hrizntais). Supnha c > 1. Para bter grác de a) y = f(cx), cmprima grác de y = f(x) hrizntalmente pr um fatr de c; b) y = f(x/c), expanda grác de y = f(x) hrizntalmente pr um fatr de c; Prf. Edilsn Neri Prf. André Almeida 11

12 Cálcul I Exempl 12. Dada uma funçã y = f(x), respnda s itens abaix: a) Cm será grác de y = 2f(x)? b) Cm será grác de y = 2f( 2x)? c) Cm será grác de y = 1 f(x + 3) 3? 2 Resum Faça um resum ds principais resultads vists nesta aula. Aprfundand cnteúd Leia mais sbre cnteúd desta aula n Capítul 1 - Seções 1.2 e 1.3 e Apêndice D d livr text. Dica imprtante Cas vcê queira pltar cmputacinalmente alguns grács, utilize Widget Pltadr de Funções, dispnível em: Sugestã de exercícis Reslva s exercícis 1.2 e 1.3 e s d Apêndice D d livr text. Prf. Edilsn Neri Prf. André Almeida 12