Capacitância e Capacitores

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1 Nessa prática, farems um estud sbre capacitres. erá intrduzid cnceit de capacitância e estudarems as leis de carga e descarga de capacitres, bem cm as regras de assciaçã desses elements de circuit. empre que surgir uma dúvida quant à utilizaçã de um instrument u cmpnente, alun deverá cnsultar prfessr para esclareciments. uand usar um capacitr, verifique se ele pssui plaridade; se pssuir, cnfira a plaridade antes de ligar circuit. Ns capacitres dispníveis n labratóri, uma seta apnta para pól negativ. Verifique também a máxima tensã que pde ser aplicada n capacitr. I. apacitr de placas paralelas e capacitância upnhams cas de duas placas cndutras idênticas, paralelas entre si, separadas pr uma distância e cm área A, tal cm mstrad na figura. Uma das placas está carregada cm uma carga e a utra cm uma carga.,φ -, Φ A A Figura apacitr de Placas Paralelas Uma aprximaçã que vams fazer é descnsiderar chamad efeit de brda, ist é, vams calcular camp gerad pr cada placa cm se ela fsse infinita. O camp gerad pr uma placa infinita unifrmemente carregada pde ser calculad pela lei de Gauss send dad pr:

2 r σ () E = = ε Aε Onde σ e a densidade superficial de carga, A é a área da placa e a carga armazenada e ε é a permissividade elétrica d vácu. Nte que se trata de um camp cnstante. A direçã desse camp é perpendicular a placa e sentid saind da placa se é psitiv e entrand na placa se é negativ. O capacitr esquematizad na figura pde ser aprximad cnsiderands duas placas infinitas carregadas cm cargas e e separadas pr uma distância s. Assim, na regiã fra das placas s camps gerads pr cada placa apntam em sentids psts e se cancelam. Entre as placas eles se smam e geram um camp elétric de módul: r () E = Aε O sentid deste camp é da placa psitiva para a placa negativa. A tensã entre as placas é dada pr: V r (3) = E = Aε Vems entã que a tensã entre as placas é prprcinal à carga nelas armazenada. Pdems definir uma grandeza que expressa a capacidade de armazenar carga. Tal grandeza é denminada capacitância (), e é definida cm: = V (4) Para cas das placas paralelas: = A ε (5)

3 Nte que a capacitância nã depende da carga nem da diferença de ptencial entre as placas, u seja, é uma prpriedade d intrínseca d capacitr. e huver um mei dielétric entre as placas, camp elétric gerad será reduzid (na regiã nde dielétric está presente) pr um fatr κ (a cnstante dielétrica d mei). Iss crre prque aparecerã cargas de plarizaçã n dielétric, negativas na interface cm a placa psitiva e psitivas na interface cm a placa negativa, cm na figura. Há um cancelament parcial da carga que está na placa cm a carga de plarizaçã, que faz cm que a densidade superficial de carga na interface seja menr. σ f σ b σ b σ f Figura cargas de plarizaçã n dielétric. σ b é a densidade de cargas de plarizaçã n dielétric, e σ f é a densiade de cargas livres nas placas metálicas. e camp elétric é menr pr um fatr κ, a tensã entre as placas é menr pr um fatr κ, e a capacitância aumenta pr um fatr κ: κa = ε (6) O capacitr tem funções variadas, mas uma das principais é de armazenar energia elétrica. A energia armazenada num capacitr pde ser calculada pel trabalh necessári para carregá-l. A diferença de ptencial entre as placas é V = q /, nde q é a carga que está sbre as placas. O trabalh necessári é: q dw = Vdq = dq (7) 3

4 Para calcular a energia armazenada, basta integrar a equaçã (7) acima de 0 a : U (8) = qdq = 0 Lembrand que = V: V U = (9) Essa energia pde ser recuperada quand capacitr é descarregad, e pr iss é dit que ela fica armazenada n capacitr u, mais precisamente, n camp elétric entre as placas. O capacitr pde entã armazenar energia, para frnecê-la a circuit em mments de pics de cnsum u quand há uma falha da fnte. A máxima tensã que pde ser aplicada a um capacitr é limitada pel fenômen da ruptura dielétrica. uand camp elétric atinge um valr limite, dielétric se trna cndutr. O valr de camp elétric que causa a ruptura depende d dielétric, e é geralmente da rdem de MV/m. Os capacitres de capacitância até µf em geral usam dielétrics istrópics, e seus dis terminais sã equivalentes, cm acntece cm s resistres. Entretant, s capacitres de mair capacitância (chamads capacitres eletrlítics) apresentam dielétric que têm cmprtament diferente de acrd cm sentid d camp elétric. Pr iss, esses capacitres geralmente apresentam plaridade, ist é, pssuem um terminal psitiv e um terminal negativ. Essa plaridade deve ser sempre respeitada a cnectar-se capacitr a um circuit elétric. II. apacitr cilíndric nsidere duas cascas cilíndricas caxiais, cm rais a e b (cm b>a), e cmpriment L (cm na figura 3). Esse arranj é cnhecid cm capacitr cilíndric. As cargas em cada placa cntinuam iguais, mas a área de cada uma delas é diferente, e a densidade de cargas também será. 4

5 Vams assumir que uma carga está na superfície interna, e uma carga na superfície externa. Pela lei de Gauss, camp elétric só é nã-nul na regiã entre as placas. Pela simetria, camp deve ser radial e depender apenas da distância a eix. Tmams cm superfície gaussiana a de um cilindr ttalmente cntid na regiã entre as placas, de rai r (cm a < r < b), e altura h (cm h < L). O flux sbre as tampas é nul prque camp elétric é perpendicular à superfície; sbre a parte lateral, camp é cnstante (em módul) e sempre apnta para fra. As cnfigurações da carga e d camp estã mstradas na figura 3b. (a) (b) - - b - r a b h L - a r - Figura 3 apacitr cilíndric: (a) vista lateral, mstrand capacitr e a superfície gaussiana; (b) vista pr cima, mstrand a distribuiçã de carga e as linhas d camp elétric A carga cntida nesse cilindr é uma fraçã h / L da carga da superfície interna. Entã, pela lei de Gauss:. π. r. h. E( r) = ε h L (0) Prtant: E( r) =. π. ε. L r. () O camp elétric cai cm invers da distância a eix. A diferença de ptencial é btida a integrar camp elétric de a a b: 5

6 V b b E( r). dr = ln. π. ε. L = a a () A capacitância é: = V. π. L = ε ln( b / a) (3) Um cas imprtante é quand s placas estã muit próximas, u seja, a diferença d = b - a é muit pequena em cmparaçã cm a. Nesse cas, pdems usar a aprximaçã ln( b / a) = ln( d / a) d / a :. π.. a. L (4) = ε d Observand a fórmula acima, vems que πal é a área de cada placa (as duas placas têm aprximadamente a mesma área), e d é a separaçã entre elas. Recuperams, prtant, a fórmula para capacitr de placas paralelas. De fat muits capacitres cmerciais sã cilíndrics frmads pr um par de flhas cndutras enrladas em espiral. Ist lhe cnfere uma mair relaçã área das placas/vlume, u seja, uma mair capacitância pr vlume. O cálcul da capacitância deste tip de capacitr pde ser feit de frma aprximada cnsiderand N (númer de vltas da espiral) capacitres cilíndrics assciads em paralel. Verems a seguir cm fazer essa assciaçã. III. Assciaçã de capacitres m n cas ds resistres, s capacitres pdem ser assciads em série u em paralel, cm na figura 4. uand cnectads em série, as cargas em tds sã iguais. Para justificar essa afirmaçã, cnsidere a placa direita d capacitr e a placa esquerda de (figura 4a). Essas placas estã ligadas entre si e isladas de td rest. Inicialmente, elas tinham carga nula, entã a sma das cargas deve permanecer nula. e uma carga - se acumular na placa direita de, uma carga deve se acumular na placa direita de. 6

7 Dessa frma, a carga sbre s dis capacitres é a mesma. Esse argument pde ser usad para quants frem s capacitres ligads em série. (a) (b) V V V n V n V V n 3 Figura 4 Assciaçã de apacitres. (a) em série; (b) em paralel. A tensã sbre cnjunt ds capacitres é a sma das tensões sbre cada capacitr (iss é um fat geral sbre cmpnentes ligads em série): V = V V L V n (5) m a carga em tds é igual: V = L n (6) A capacitância equivalente é eq = / V. Prtant V = = L eq n (7) Na assciaçã em paralel, s capacitres estã em um mesm ptencial (um fat geral sbre cmpnentes em paralel), mas acumulam cargas diferentes (figura 4b). A carga ttal é a sma das cargas acumuladas em cada capacitr. = L n (8) Dividind a equaçã anterir pr V, btems a capacitância equivalente: 7

8 = = L V eq n (9) As fórmulas para assciaçã de capacitres sã análgas às de assciaçã de resistres, mas há uma imprtante diferença. Resistências se smam quand cnectadas em série, enquant capacitâncias se smam quand cnectadas em paralel. A sma ds inverss crre quand resistências se ligam em paralel, u quand capacitres se ligam em série. IV. arga e descarga de capacitres nsidere circuit mstrad na figura 5, nde um capacitr carregad cm carga está ligad em série a um resistr através de uma chave. Inicialmente, cm a chave aberta e a tensã ns terminais d capacitr é V = /. 0-0 R Figura 5 Descarga de um capacitr. N mment em que a chave é ligada, capacitr passa a funcinar cm uma fnte e estabelece uma crrente variável que flui através d resistr. Aplicand a lei da malhas de Kirchff a circuit btems: V = RI (0) m a tensã ns terminais d capacitr é V = / e a crrente é decresce n temp ( capacitr é um reservatóri finit de cargas) a crrente n circuit deve ser escrita cm I = -d/dt. Assim, d R = 0 dt () Essa é uma equaçã diferencial de primeira rdem, linear e hmgênea. A cndiçã inicial é (0) =, e a sluçã que a satisfaz (deduza essa expressã) é: 8

9 ( t) e t / R = () 0 A tensã sbre capacitr é: ( t) V ( t) = = e t / R = V e t /τ (3) A carga e a tensã decaem expnencialmente, cm cnstante temp igual a τ = R. Iss significa que, após decrrid um temp τ, a tensã decai a / e d valr inicial. Vams agra estudar carregament de um capacitr. Para iss, é necessári inserir uma bateria (em série) n circuit, cm na figura 6. IAplicand a lei de malhas de Kirchff a circuit, btem-se: d R = dt V (4) V 0 R Figura 6 circuit para carregar um capacitr A cndiçã inicial é (0) = 0. Pr causa d term V, tems agra uma equaçã nã-hmgênea, cuja sluçã (deduza essa expressã) é: t / R ( t) = V.( e ) (4) A tensã sbre capacitr é: t / R V ( t) = V.( e ) (5) A tensã se aprxima de frma assintótica da tensã da fnte V. 9

10 A figura 7 mstra s gráfics típics de carga e descarga de um capacitr:.0 V / V Descarga arga 0,63 0, t / R Figura 7 urvas de arga e descarga de um capacitr. Existe um instrument chamad capacímetr que é prjetad para medir capacitâncias. Alguns mdels de multímetrs digitais também já apresentam uma funçã para medir capacitâncias. N entant, quand nã se dispõe deste instrument é cmum se analisar as curvas de carga e descarga de capacitres, utilizand um resistr de valr cnhecid, cm fim de determinar a capacitância. Iss é feit através da determinaçã da cnstante de temp de carga u descarga. Uma aplicaçã imprtante ds circuits R é utiliza-l cm base de temp para circuits temprizadres. Uma lâmpada de crredr, pr exempl, pde ser prgramada para ficar acesa pr um temp determinad. Utiliza-se um capacitr que é carregad quand a lâmpada é ligada e a partir daí se descarrega em uma resistência. Um circuit eletrônic mnitra a tensã na resistência e faz cm que a lâmpada se desligue quand essa tensã atingir um limiar. O temp necessári para que iss crra depende da cnstante de temp d circuit, que permite regular quant temp a lâmpada permanece acessa. Em geral, esse tip de circuit R é cnstituíd pr um capacitr fix e um restat, que permite ajuste da cnstante de temp para qualquer valr. 0

11 Experiments Atençã: Nesta prática vcê utilizará capacitres eletrlítics que devem ser cnectads a circuit bedecend a plaridade indicada n mesm. Verifique sempre a plaridade d capacitr antes de cnectá-l a circuit (psitiv da fnte ligad a psitiv d capacitr). A inversã desta situaçã pde acarretar na explsã d capacitr.. Descarga de um capacitr a) Mnte circuit indicad na figura 8, utilizand um multímetr analógic Minipa e um capacitr de 00 µf. Use- na escala de 5V e ante sua resistência interna para esta escala. Vltímetr Vb R v G Figura 8 Descarga de um capacitr pela resistência interna de um vltímetr b) Ajuste a tensã da fnte para 5 V (verifique cm vltímetr). c) arregue capacitr de 00 µf ligand interruptr. Desligue interruptr e bserve a descarga d capacitr sbre a resistência interna d multímetr. Meça temp necessári para que capacitr atinja as seguintes tensões: 4, 3,,, 0, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3 V. Após cada tensã ser atingida, carregue nvamente capacitr. Resultads da medida das tensões durante a descarga de um capacitr Tensã (V) Temp (s) Tensã (V) Temp (s) R (resistência interna d multímetr) = nstante de temp (R) = apacitância () =

12 d) Faça um gráfic de tensã pr temp em papel mnlg e determine a cnstante de temp τ. A partir dela, determine a capacitância.. arga de um capacitr a) Mnte circuit mstrad na figura 9, utilizand um resistr de 00 kω em série cm a bateria (cm na figura 9). Descnecte capacitr e ante valr da tensã indicada pel vltímetr. Essa será a máxima tensã n capacitr V 0. Figura 9 arga de um capacitr b) necte capacitr, e meça temp que capacitr leva para se carregar até alguns níveis predeterminads de tensã. empre cmece cm capacitr descarregad. c) Deduza a expressã da cnstante de temp d carregament desse circuit. d) Faça um gráfic desses pnts em papel milimetrad. e) Faça um gráfic, em papel mnlg, de V 0 V, nde V 0 é valr que vcê mediu n item a. A partir desse gráfic, calcule a cnstante de temp e a capacitância. Resultads da medida das tensões durante a carga de um capacitr Tensã (V) Temp (s) Tensã (V) Temp (s) R (resistência interna d multímetr) = nstante de temp (R) = apacitância () =

13 3. Assciaçã de um capacitr carregad cm um descarregad a) Mnte circuit da figura 0 usand capacitres eletrlítics (verifique a plaridade ds mesms). Ajuste a fnte para V i = 5 V, mantenha a chave aberta e feche a chave para carregar capacitr de 000 µf e meça a tensã V i ns terminais d capacitr. b) Em seguida, descnecte a fnte (abra a chave ) e feche a chave para ligar capacitr descarregad de 00 µf em paralel cm capacitr já carregad ( ). c) Meça a tensã de equilíbri da assciaçã, V f. Imprtante: Antes de repetir experiment lembre-se de descarregar capacitr para evitar que sbre qualquer carga armazenada entre suas placas. d) alcule a energia ttal armazenada pels capacitres antes e depis d cntat. V i V Figura 0 ircuit para estudar a cnservaçã da energia eletrstática em capacitres apacitância de Resultads da medida da energia eletrstática em capacitres apacitância de Tensã inicial em Tensã final Energia inicial Energia final e) Analise s resultads btids tem em vista a lei de cnservaçã da energia. 3