Quadriláteros. a) 30 o e 150 o b) 36 o e 72 o c) 36 o e 144 o d) 45 o e 135 o e) 60 o e 120 o. Nessas condições, a área do paralelogramo EFBG é.

Transcrição

1 1) (OBM) O retângul a lad está dividid em 9 quadrads, A, B, C, D, E, F, G, H e I. O quadrad A tem lad 1 e quadrad B tem lad 9. Qual é lad d quadrad I? Quadriláters b) Cnsidere dis plinômis, f(x) e g(x), tais que grau de f(x) é n + e grau de g(x) é n - 1. Sejam q(x) e r(x) (r(x) 0), respectivamente, quciente e rest da divisã de f(x) pr g(x). O que se pde afirmar a respeit ds graus ds plinômis q(x) e r(x)? B C D A G F E I H ) (UFSCar) A figura mstra um círcul de centr O e rai R = 18 cm. O segment AB é lad de um hexágn regular inscrit e ACE, um triângul eqüiláter inscrit. 4) Cnsidere hexágn ABCDEF da figura abaix. A diagnal AD é paralela as lads BC e EF d hexágn. Se AD =, qual é valr de x? 5) (Unifesp) Em um paralelgram, as medidas de dis ânguls interns cnsecutivs estã na razã 1 :. O ângul menr desse paralelgram mede a) 45. b) 50. c) 55. d) 60. e) 65. 6) (UEL) Embra desenh abaix pareça representar uma figura em três dimensões, ele fi feit n plan, usand-se apenas lsangs cngruentes entre si. Os ânguls interns desses lsangs medem: Nessas cndições, a área d paralelgram EFBG é a) 16 cm b) 180 cm c) 116 cm a) 0 e 150 b) 6 e 7 c) 6 e 144 d) 45 e 15 e) 60 e 10 7) (Fuvest) Na figura abaix, s quadrads ABCD e EFGH têm, ambs, lad a e centr O. Se EP = 1, entã a é: d) 10 e) 108 cm cm ) (FGV) a) Na figura a seguir, ABCD é um retângul e AMCN é um lsang. Determine a medida d segment NB, sabend que AB = AD = 0cm. a) 1 1

2 b) c) d) e) 1 1 8) Na figura, ABC é um triângul equiláter, ABDE é um quadrad e pnt C pertence a segment EF. Qual valr α d ângul CFB? 11) (Fuvest) N quadriláter ABCD, tems AD = BC = e prlngament desses lads frma um ângul de 60. 9) (UFPE) Na(s) questã(ões) a seguir escreva ns parênteses (V) se fr verdadeir u (F) se fr fals. Analise as seguintes afirmações: ( ) Dis triânguls equiláters quaisquer sã semelhantes. ( ) Dis triânguls retânguls sã semelhantes se s catets de um sã prprcinais as catets d utr. ( ) Num triângul qualquer, cada lad é mair que a sma ds utrs dis. ( ) Se as diagnais de um quadriláter se interceptam n seus pnts médis, entã esse quadriláter é um retângul. ( ) Se pel pnt médi d lad AB de um triângul ABC traçarms uma reta paralela a lad BC, entã esta reta interceptará lad AC n seu pnt médi. a) Indicand pr Â, Bˆ, Ĉ e Dˆ, respectivamente, as medidas ds ânguls interns d quadriláter de vértices A, B, C e D, calcule  + Bˆ e Ĉ +Dˆ b) Sejam J pnt médi de DC, M pnt médi de AC e N pnt médi de BD. Calcule JM e JN. c) Calcule a medida d ângul MJN. 10) (Fuvest) N quadriláter ABCD da figura abaix, E é um pnt sbre lad AD tal que ângul ABE mede 60º e s ânguls EBC e BCD sã rets. Sabe-se ainda que AB = CD 1) (Fuvest) N retângul a seguir, valr, em graus, de α + β é: = e BC = 1. Determine a medida de AD. a) 50 b) 90 c) 10 d) 10 e) 0

3 1) Num heptágn, seus ânguls interns medem x, x, x, 4x,... e assim pr diante até últim (e mair) ângul. a) Quant mede esse mair ângul? b) Este heptágn é um plígn côncav u cnvex? Justifique. 14) O perímetr de um lsang é 80cm. Se uma de suas diagnais é tripl da utra, qual a medida da diagnal mair? 15) (Unicamp) O quadriláter frmad unind-se s pnts médis ds lads de um quadrad é também um quadrad. a) Faça uma figura e justifique a afirmaçã acima. b) Supnd que a área d quadrad menr seja de 7 cm, calcule cmpriment d lad d quadrad mair. 16) (OBM) O trapézi ABCD tem bases AB e CD. O lad DA mede x e lad BC mede x. A sma ds ânguls ABC é 10. Determine ângul DAB. DAB e quatr vértices de um quadrad nesta inscrita nã pdem ser tds númers racinais. 1) Qual é menr númer de quadriláters que precisam ser desenhads para que se tenha quadrads, lsangs, retânguls, 4 paralelgrams e 4 trapézis? Faça esses desenhs. ) (UFC) Um paralelgram tem dis lads cnsecutivs medind cm e 4cm. Sabend-se que esses lads frmam um ângul de 10, entã, prdut ds valres numérics das medidas das diagnais d paralelgram é igual a: a) b) c) d) e) ) Um trapézi ABCD fi mntad a partir de trapézis retânguls, ABQP e QCDP, cm mstra a figura. Obtenha cmpriment d segment AP, estand tdas as medidas em cm. 17) (UFMG) Observe a figura Nessa figura, B é pnt médi d segment DE e ABCD é um retângul de lads DC = 1 e AD =. Calcule a medida d segment AE. 18) Obtenha perímetr de um lsang cujas diagnais meçam cm e 4 cm. 19) (PUC-RJ) Os ânguls interns de um quadriláter medem graus. O x 45, x 10, x 15 menr ângul mede: 90º 65º 45º 105º 80º e x 0 0) (Seleçã para Olimpíada d Cne Sul) Prve que as distâncias entre um pnt sbre uma circunferência e s 4) (Unicamp) Um trapézi retângul é um quadriláter cnvex plan que pssui dis ânguls rets, um ângul agud α e um ângul btus β. Supnha que, em um tal trapézi, a medida de β seja igual a cinc vezes a medida de α. a) Calcule a medida de α, em graus. b) Mstre que ângul frmad pelas bissetrizes de α e β é ret. 5) (Fuvest) Um trapézi retângul tem bases 5 e e altura 4. O perímetr desse trapézi é: a) 1 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 6) (VUNESP) Uma certa prpriedade rural tem frmat de um trapézi cm na figura. As bases WZ e XY d trapézi medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e lad YZ margeia um ri.

4 Se ângul XYZ é dbr d ângul XWZ, a medida, em km, d lad YZ que fica à margem d ri é: a) 7,5. b) 5,7. c) 4,7. d) 4,. e),7. 7) Veja as primeiras alternativas desta questã que caiu n vestibular para a U.F.MG, em 199: Sbre figuras planas, é crret afirmar-se que: a) Um quadriláter é um retângul se s lads psts têm cmpriments iguais. b) Um quadriláter que tem suas diagnais perpendiculares é um quadrad. c) Um trapézi que têm ânguls cnsecutivs cngruentes é isósceles. d)... e)... Um alun que marcu alternativa (c) acertu? Justifique. 4

5 Gabarit 1) O quadrad A medida de lad 1cm enquant que quadrad B tem medida de lad 9cm. Daí que as lngitudes ds lads ds quadrads restantes sã: C = 10cm G = 4cm. F = 7cm E = 8cm. D = 14cm. I = 18cm. 15) a) Para prvar que MNPQ é um quadrad, vams mstrar que s seus quatr lads têm mesm cmpriment e s seus ânguls interns sã rets. ) Alternativa: A 5 41 cm ) a) BN = b) gr(q) = e - 1 4) x = 6+8 = 14cm 5) Alternativa: A 6) Alternativa: E 7) Alternativa: E 8) 9) V - V - F - F - V 10) Respsta: 7 11) Seja P pnt de encntr d prlngament ds lads AD e BC. Cnsiderand que ângul de 60 seja ângul intern a triângul ABP em P, entã tems: a) A+B = 10 e C+D = 40 b) JN = JM = 1 c) NJM = 60 Cas ângul de 60 seja extern a triângul ABP em P, entã: a) A+B = 60 e C+D = 00 b) JN = JM = 1 c) NJM = 10 1) Alternativa: D 1) a) 5 b) é côncav, pis tem pel mens um ângul mair que ) Diagnal mair = 6 cm Os triânguls 1,, e 4 sã retânguls, isósceles e cngruentes [dis lads, que sã s catets, e s ânguls cmpreendids entre eles, que sã rets, iguais]. Lg, as hiptenusas, que sã s lads de MNPQ, sã iguais. Os ânguls,,... medem, cada um deles 45. Ou seja, + = 90 de md que ângul N = 90. Analgamente, s utrs ânguls d quadriláter também medem 90. b) L = 1cm. 16) Tracems DM // BC (vide figura abaix). Cm AMD = ABC DAM AMD DAM ABC -se que ADM AD = x e BC = x, send P pnt médi de DM, entã, AD = DP = x e ADP é um triângul equiláter, ist é, AP = a. Prtant APM é um triângul PAM AMP e cm DPA é um ângul extern d triângul APM DPA = PAM AMP AMP ABC. ABC = DAB = - ABC = D A 17) AE = P C 18) Perímetr = 4 19) Alternativa: B 5cm M B 0) N cas d pnt cincidir cm um ds vértices, resultad é trivial. Cas iss nã crra, supnhams, sem perda de generalidade que pnt P esteja entre s vértices C e D d quadrad ABCD inscrit na 5

6 circunferência, chamems ainda, respectivamente, de a, b, c as distâncias de P a A, de P a B e de P a C. Cnsiderand quadriláter ABCP, pel terema de Ptlmeu tems que a(bc) + c(ab) = b(ac), reescrevend btems: a c AC b b AB. Se b fsse racinal, a u c entã teriam de ser irracinais. 1) 4 quadriláters: ) Alternativa: C ) AP = 9cm 4) b) A se traçar as duas bissetrizes mencinadas, tems um (já que s utrs ânguls d e x = 180-5) Alternativa: D Usand Pitágras tems que CD = 5 prtant perímetr é = 16 6) Alternativa: E 7) Nã, pis ele pde ser um trapézi retângul que tem dis ânguls rets cnsecutivs. 6