MATEMÁTICA. 248 = 800 mg de cálcio k2. k k2

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2 (9) O ELITE RESOLVE A UNICAMP 005 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA MATEMÁTICA ATENÇÃO: Escreva a resluçã COMPLETA de cada questã n espaç a ela reservad. Nã basta escrever apenas resultad final: é necessári mstrar s cálculs u racicíni utiliad.. Sã cnhecids s valres calórics ds seguintes aliments: uma fatia de pã integral, 55 kcal; um litr de leite, 550 kcal; 00 g de manteiga,.00 kcal; kg de queij, 3.00 kcal; uma banana, 80 kcal. a) Qual valr calóric de uma refeiçã cmpsta pr duas fatias de pã integral, um cp de 00 ml de leite, 0 g de manteiga, fatias de queij, de 0 g cada uma, e duas bananas? b) Um cp de leite integral cntém 8 mg de cálci, que representa 3% d valr diári de cálci recmendad. Qual é esse valr recmendad? a) duas fatias de pã integral:.55 0 kcal 00 um cp de 00 ml de leite: kcal g de manteiga: kcal g de queij: kcal 000 duas bananas: kcal b) Se, em um dia de trabalh, um taista arrecadu R$ 75,00 em 0 crridas, quants quilômetrs seu carr percrreu naquele dia? a) Seja a distancia percrrida e C() cust dessa crrida, entã C()Q +.D. Para 3,6, tems:c(3,6)8,5q +3,6.D () Para,8, tems:c(,8)7,5q +,8.D () Subtraind () de (), tems: 0,8.D D,5; Substituind esse valr em, tems: 8,5 Q +,5 Q 3,75. b) Adaptand-se a equaçã dada para cas de 0 crridas tem-se: 75 3,75.0 +,5. 30 km. Sejam A, B, C e D s vértices de um quadrad cujs lads medem 0 cm cada. Supnha que a circunferência C passe pels pnts C e D, que frmam lad CD d quadrad, e que seja tangente, n pnt M, a lad pst AB. a) Calcule a área d triângul cujs vértices sã C, D e M. b) Calcule rai da circunferência C. a) D enunciad frmams a figura abai. 0 cm Assim, a refeiçã cnterá: kcal b) Cm 8 mg de cálci crrespndem a 3% da quantidade diária necessária, pdems escrever: 8 mg de cálci 0,3., send valr diári de cálci recmendad. Prtant: mg de cálci. A M B 0 cm 0,3. A quantia de R$.80,00 deverá ser dividida entre 3 pessas. Quant receberá cada uma, se: a) A divisã fr feita em partes diretamente prprcinais a 8, 5 e 7? b) A divisã fr feita em partes inversamente prprcinais a 5, e 0? a) Send k a cnstante de prprcinalidade, as partes serã 8k, 5k e 7k. Assim, tems: 8k + 5k + 7k 80 0k 80 k 6 Lg, as partes serã: ; e Respsta: R$ 5,00, R$ 30,00 e R$ 8,00 b) Send k a nva cnstante de prprcinalidade, as partes serã: k k k, e 5 0 Assim, tems: k k k k + 5k + k k k 600 Lg, as partes sã: k 600 k 600 k , 800 e Respsta: R$ 30,00, R$ 800,00 e R$ 60,00 3. O cust de uma crrida de tái é cnstituíd pr um valr inicial Q 0, fi, mais um valr que varia prprcinalmente à distância D percrrida nessa crrida. Sabe-se que, em uma crrida na qual fram percrrids 3,6 km, a quantia cbrada fi de R$ 8,5, e que em utra crrida, de,8 km, a quantia cbrada fi de R$ 7,5. a) Calcule valr inicial Q 0. Da figura, send A CDM a área d triângul CDM e tmand CD cm a base d triângul, tems: 0.0 A CDM 50 cm. A área d triângul CDM é 50 cm. b) Analisand a figura abai, e utiliand terema de Pitágras: R (0-R) + 5 R 00-0R+R + 5 0R 5 R 6,5 cm 5. Dis navis partiram a mesm temp, de um mesm prt, em direções perpendiculares e a velcidades cnstantes. Trinta minuts após a partida, a distância entre s dis navis era de 5 km e, após mais 5 minuts, um ds navis estava,5 km mais lnge d prt que utr. a) Quais as velcidades ds dis navis, em km/h? b) Qual a distância de cada um ds navis até prt de saída, 70 minuts após a partida? D A D 0 cm R 0 - R M 5 5 R C B C 0 cm

3 (9) O ELITE RESOLVE A UNICAMP 005 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA a) Seja v km/h e v y km/h. Após 30 minuts (/ hra), as psições ds dis navis serã, / km e y/ km. Já em 5 minuts (3/ hra), as psições serã (3/)km e (3y/) km. 3 3y +,5 5 km y 3y Prtant, de acrd cm a figura, tems: y y 900 () 3 3y +,5 3 3y + 8 y + 6 () Substituind () em (): (y+6) + y 900 y + y y + 6y 3 0 y 8 u y - (nã cnvém) Assim, se y 8, de acrd cm a equaçã (), y Ou seja, as velcidades sã 8km/h e km/h. b) Após 70 minuts,5 hras, as distâncias serã: d.,5 08 km e d 8.,5 8 km 6. Sejam A, B, C e N quatr pnts em um mesm plan, cnfrme mstra a figura a lad. a) Calcule rai da circunferência que passa pels pnts A, B e N. b) Calcule cmpriment d segment NB. AB a) Aplicand a Lei ds Sens, tems: R R km. sen30 b) Aplicand a Lei ds Sens n triangul BCN, tems: NB NB sen. sen sen90 Aplicand a Lei ds Sens n triangul ABN, tems: NB NB sen(90 ). sen(90 - ) sen30 NB Cm sen(90º-) cs sen cs. Sabend que sen + cs (NB), tems: ; lg, NB km 7. Um capital de R$.000,00 é aplicad a uma taa anual de 8%, cm jurs capitaliads anualmente. Cnsiderand que nã fram feitas nvas aplicações u retiradas, encntre: a) O capital acumulad após ans. b) O númer inteir mínim de ans necessáris para que capital acumulad seja mair que dbr d capital inicial. [Se necessári, use lg 0,30 e lg 3 0,77]. a) Lembrand que, para calcularms um acréscim de 8% em, é necessári multiplicar pr,08, entã: Primeir an:,08.( 000) Segund an:,08.(,08.000), ,80 O capital acumulad após ans será de R$ 3996,80. b) Generaliand racicíni d item acima, N-ésim an:,08 n.000 Querems que,08 n.000 > 000,08 n > lg,08 n > lg lg lg n.lg,08 > lg n > n > lg,08 08 lg 00 lg n >, usand lg 0,30 e lg 3 0,77, e tend lg08 lg que lg 08 lg.3 3.lg + 3.lg 3,033, entã 0,30 n > n > 9,... 0,033 Assim, menr n que satisfa a inequaçã é 0. Sã necessáris, n mínim, 0 ans para que capital acumulad seja dbrad. 8. A funçã y a + b + c, cm a 0, é chamada funçã quadrática. a) Encntre a funçã quadrática cuj gráfic passa pels pnts A(0,), B(,) e C(,).,, C,, mstre que, se b) Dads s pnts A ( ), B ( ) e ( ) 0 y 0 y y < <, e se s pnts A, B e C nã pertencem a uma mesma reta, entã eiste uma única funçã quadrática cuj gráfic passa pels pnts A, B e C. a) Cm a funçã y a + b + c passa pels pnts A(0, ), B(-, ) e C(, ), tems que: a.0 + b.0 + c c c c a.( ) + b.( ) + c a b + c a b a a.() + b.+ c a + b + c a + b b 0 Assim, a funçã pedida é dada pr y - +. b) se a funçã y a + b + c passa pels pnts A( 0, y 0 ), B(, y ) e C(, y ), entã tems que: y0 a0 + b0 + c y a + b + c y a + b + c Esse sistema, nas variáveis a, b e c admite sluçã única se e smente se: D Calculand valr de D, pr Vandermnde, tems que D ( 0 )( )( 0 - ), que é diferente de er, já que > > 0 (u seja, 0 ). Assim, sistema tem sluçã única, lg, eiste uma única funçã quadrática passand pels pnts A, B e C. 9. Cm as letras, y, e w pdems frmar mnômis de grau k, ist é, epressões d tip s r q p w y, nde p, q, r e s sã inteirs nã-negativs, tais que p + q + r + s k. Quand um u mais desses epentes é igual a er, diems que mnômi é frmad pelas demais letras. Pr eempl, y 3 é um mnômi de grau 7 frmad pelas letras y e [nesse cas, p s 0]. a) Quants mnômis de grau pdem ser frmads cm, n máim, letras?

4 (9) O ELITE RESOLVE A UNICAMP 005 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA b) Esclhend-se a acas um desses mnômis d item (a), qual a prbabilidade dele ser frmad pr eatamente duas das letras? a) O númer de pssibilidades para cada mnômi de grau é feit da seguinte frma: (numer de frmas da sma ser ). (númer de esclhas das letras); Assim, tems: I) grau cm letra: p + q + r + s, cm 3 letras iguais a 0 e esclher das letras ; lg, tems:. ; II) grau cm letras: p + q + r + s, cm letras iguais a 0 e esclher das letras ; lg, tems: ; III) grau cm 3 letras: p + q + r + s, cm letra igual a 0 e esclher 3 das letras ; lg, tems: 3. ; IV) grau cm letras: p + q + r + s, prtant p q r s e esclher das letras ; lg, tems:. ; Lg, tems mnômis de grau. 8 b) D item (a), tems, P( letras ) Um númer cmple + iy, 0, pde ser escrit na. cs θ + i. senθ, nde frma trignmétrica: ( ) y, + cs θ e sen θ y. Essa frma de representar s númers cmples nã-nuls é muit cnveniente, especialmente para cálcul de ptências inteiras de númers cmples, em virtude da fórmula de Mivre: k k [. ( cs θ + i.senθ) ].( cskθ + isenkθ) Que é válida para td k Z. Use essas infrmações para: a) Calcular ( 3 + i) b) Send + i, calcular valr de a) Se 3 + i, entã 3 e y, assim ( 3 ) () + y +. 3 Também cs θ / > cs θ e sen θ y / sen θ, Pdend cncluir que θ 30º. ( 3 + i) [ ( cs30 )] + isen ( 3 + i) ( ) 6.(cs 360º + i sen 360º) b) Da sma ds n primeirs terms da PG, tems: Se + i 6 ( + i) ( + i) ( + i) 6 () 6 (+i) 6 [(+i) ] 8 [(+i+i )] 8 (i) 8 8.i 8 8. (3) Substituind (3) em (), vem: 6. (). ( ) 6 Entã, de () e () Respsta: (). A figura a lad apresenta um prisma ret cujas bases sã heágns regulares. Os lads ds heágns medem 5 cm cada um e a altura d prisma mede 0 cm. a) Calcule vlume d prisma. b) Encntre a área da secçã desse prisma pel plan que passa pels pnts A, C e A. a) A base d prisma é um heágn regular de 5cm de lad, e sua altura é igual a 0cm. Lg, seu vlume é dad pr: V Ab h cm b) A secçã é retângul A ACC, cuja altura é A A 0cm, e a base AC é uma das diagnais d heágn regular. Calculams através d triângul ABC, utiliand a lei ds c-sens ( ângul intern de C um heágn regular é igual a 0 0 ): AC cs0 0 AC (-/) AC Assim, a área da secçã é dada pr: A cm. Para reslver equações d tip + a 3 + b + a + 0, pdems prceder d seguinte md: cm 0 nã é uma rai, divide-se a equaçã pr e, após faer a mudança de variáveis u +, reslve-se a equaçã btida [na variável u]. Observe que, se R e > 0, entã u. a) Ache as raíes da equaçã b) Encntre s valres de b R para s quais a equaçã b tem pel mens uma rai real psitiva. a) Usand a dica d eercíci, tems a seguinte equaçã: Agrupand, tems: Chamand + u + u. Substituind na equaçã, tems: u 3u + 0 u u u. 0. 3

5 Para u, tems: + 3i 3i + + 0, ; Para u, tems: ; + 3i 3i Lg, S,,,. b) Para que pel mens uma rai da equaçã seja psitiva, é necessári que > 0 ; Da bservaçã d enunciad, se > 0, entã u. Usand mesm artifíci d item a, a equaçã a ser analisada é: u 3u + b 0. 3 ± 7 - b Reslvend essa equaçã, tems: u. Cm esse u, devems ter: 3 ± 7 - b 3 ± 7 b ± 7 - b 7 b b. Assim, para que pel mens uma rai seja psitiva, tems b. (9) O ELITE RESOLVE A UNICAMP 005 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA