Halliday & Resnick Fundamentos de Física

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1 Halliday & Resnick Fundaments de Física Mecânica Vlume 1

2 O GEN Grup Editrial Nacinal reúne as editras Guanabara Kgan, Sants, Rca, AC Farmacêutica, LTC, Frense, Métd, EPU, Atlas e Frense Universitária O GEN-IO GEN Infrmaçã Online é repsitóri de material suplementar ds livrs dessas editras

3 Capítul 3 Vetres Cpyright 2014 Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

4 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes

5 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes Objetivs d Aprendizad 3.01 Smar vetres gemetricamente e aplicar as leis cmutativa e assciativa Subtrair um vetr de utr vetr Calcular as cmpnentes de um vetr em um sistema de crdenadas e representá-las em um desenh Dadas as cmpnentes de um vetr, desenhar vetr e determinar seu módul e sua rientaçã Cnverter ânguls de graus para radians, e viceversa Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

6 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes A física lida cm grandezas que têm um valr e uma rientaçã O vetr é um bjet matemátic que tem um valr e uma rientaçã Uma grandeza vetrial é uma grandeza física que pde ser representada pr um vetr Exempls: psiçã, velcidade, aceleraçã As perações cm vetres bedecem a regras diferentes das regras da álgebra Uma grandeza escalar é uma grandeza que pde ser representada pr um númer Exempls: temp, temperatura, energia, massa As perações cm escalares bedecem às regras da álgebra 2014 Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

7 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes O exempl mais simples é vetr deslcament Se uma partícula se deslca d pnt A para pnt B, pdems representar essa mudança de psiçã pr uma reta rientada que liga pnt A a pnt B Em (a), as três retas têm mesm cmpriment e a mesma rientaçã; sã vetres deslcament iguais. Em (b), as três trajetórias crrespndem a mesm vetr deslcament. Figura Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

8 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes A sma vetrial u resultante é resultad da adiçã de vetres representa deslcament ttal prduzid pr dis u mais vetres deslcament Eq. (3-1) Sma gemétrica de vetres: Figura Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

9 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes A sma de vetres é cmutativa pdems smar vetres em qualquer rdem Eq. (3-2) Figura Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

10 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes A sma vetrial é assciativa Pdems agrupar s vetres em qualquer rdem para smá-ls Eq. (3-3) Figura Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

11 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes O sinal negativ inverte a rientaçã de um vetr Pdems usar essa prpriedade para definir a subtraçã de vetres Figura 3-5 Eq. (3-4) Figura Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

12 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes Essas regras se aplicam a tds s vetres, independentemente de representarem deslcament, velcidade u utra grandeza vetrial qualquer Apenas vetres que representam a mesma grandeza pdem ser smads (distância) + (distância) faz sentid (distância) + (velcidade) nã faz sentid Respstas: (a) 3 m + 4 m = 7 m (b) 4 m 3 m = 1 m 2014 Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

13 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes Em vez de usar um métd gráfic, pdems smar vetres pr cmpnentes Cmpnente é a prjeçã d vetr em um eix O prcess de bter as cmpnentes de um vetr é chamad de decmpsiçã d vetr As cmpnentes de um vetr pdem ser psitivas u negativas. As cmpnentes nã mudam quand deslcams um vetr sem mudar a rientaçã. Figura Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

14 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes As cmpnentes em duas dimensões sã dadas pr em que θ é ângul que vetr faz cm semieix x psitiv, e a é cmpriment d vetr O cmpriment e ângul também pdem ser calculads a partir das cmpnentes Eq. (3-5) As cmpnentes definem univcamente um vetr Eq. (3-6) 2014 Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

15 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes N cas tridimensinal, sã necessáris três parâmetrs para especificar um vetr (a,θ,φ) u (a x,a y,a z ) Respsta: s métds mstrads em (c), (d) e (f) 2014 Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

16 3-1 Vetres e Suas Cmpnentes Os ânguls pdem ser medids em graus u radians Uma circunferência cmpleta tem 360 u 2π rad Aqui estã as três funções trignmétricas básicas: Figura Jhn Wiley & Sns, Inc. All rights reserved.

17 3-2 Vetres Unitáris; Sma de Vetres a Partir das Cmpnentes

18 3-2 Vetres Unitáris; Sma de Vetres a Partir das Cmpnentes Objetivs d Aprendizad 3.06 Cnverter um vetr da ntaçã módul-ângul para a ntaçã ds vetres unitáris, e vice-versa Smar e subtrair vetres expresss na ntaçã módul-ângul e na ntaçã ds vetres unitáris. Fundaments de Física Mecânica Vl Saber que a rtaçã d sistema de crdenadas em trn da rigem pde mudar as cmpnentes de um vetr, mas vetr permanece mesm.

19 Um vetr unitári Fundaments de Física Mecânica Vl Vetres Unitáris; Sma de Vetres a Partir das Cmpnentes Tem módul 1 Tem uma rientaçã Nã tem dimensã nem unidade É representad cm um acent circunflex (^) Usams um sistema de crdenadas dextrgir Permanece dextrgir quand sfre uma rtaçã Eq. (3-7) Eq. (3-8) Figura 3-13

20 3-2 Vetres Unitáris; Sma de Vetres a Partir das Cmpnentes As grandezas a x i e a y j sã cmpnentes vetriais Eq. (3-7) Eq. (3-8) As grandezas a x e a y sã cmpnentes escalares u apenas cmpnentes Os vetres pdem ser smads usand cmpnentes Eq. (3-9) Eq. (3-10) Eq. (3-11) Eq. (3-12)

21 3-2 Vetres Unitáris; Sma de Vetres a Partir das Cmpnentes Para subtrair vetres, subtraíms as cmpnentes Eq. (3-13) Unit Vectrs, Adding Vectrs by Cmpnents

22 3-2 Vetres unitáris, Sma de Vetres a Partir das Cmpnentes Os vetres nã dependem d sistema de crdenadas usad para representá-ls Se fazems girar sistema de crdenadas, vetr nã muda Fundaments de Física Mecânica Vl. 1 Eq. (3-14) Eq. (3-15) Tds s sistemas de crdenadas desse tip sã igualmente válids Figura 3-15

23 3-3 Multiplicaçã de Vetres

24 3-3 Multiplicaçã de Vetres Objetivs d Aprendizad 3.09 Multiplicar vetres pr escalares Saber que resultad d prdut de um escalar pr um vetr é um escalar, prdut escalar de dis vetres é um escalar e prdut vetrial de dis vetres é um vetr Calcular prdut escalar de dis vetres Calcular ângul entre dis vetres a partir d prdut escalar Calcular a prjeçã de um vetr na direçã de utr vetr a partir d prdut escalar de dis vetres Calcular prdut vetrial de dis vetres Usar a regra da mã direita para determinar a rientaçã d vetr resultante de um prdut vetrial.

25 3-3 Multiplicaçã de Vetres Multiplicaçã de um vetr z pr um escalar c O resultad é um vetr cuj módul é módul de z vezes c cuja direçã é igual à d vetr z, u psta se c fr negativ cujas cmpnentes sã as cmpnentes de z multiplicadas pr c Para dividir um vetr pr um escalar, multiplicams vetr pr 1/c Exempl Multiplicaçã d vetr z pr 5 z = 3 i + 5 j 5 z = 15 i + 25 j

26 3-3 Multiplicaçã de Vetres Multiplicaçã de vetres: prdut escalar O resultad é um escalar, em que a e b sã s móduls ds vetres e φ é ângul entre as direções ds dis vetres: O prdut escalar bedece à lei cmutativa Eq. (3-20) ( ) e pde ser calculad usand as cmpnentes: Eq. (3-22) Eq. (3-23)

27 3-3 Multiplicaçã de Vetres Fundaments de Física Mecânica Vl. 1 O prdut escalar é prdut d módul de um ds vetres pela prjeçã d utr vetr na direçã d primeir vetr Eq. (3-21) Figura 3-18 Tant faz usar a prjeçã d primeir vetr n segund vetr u a prjeçã d segund vetr n primeir vetr

28 3-3 Multiplicaçã de Vetres Respstas: (a) 90 graus (b) 0 grau (c) 180 graus

29 3-3 Multiplicaçã de Vetres Fundaments de Física Mecânica Vl. 1 Multiplicaçã de vetres: prdut vetrial O resultad é um vetr cuj módul c é dad pr Eq. (3-24) em que a e b sã s móduls ds vetres e φ é ângul entre s vetres e cuja direçã é perpendicular à direçã ds dis vetres. A direçã é determinada pela regra da mã direita.

30 3-3 Multiplicaçã de Vetres (a) O prdut ; (b) prdut Figura 3-19

31 3-3 Multiplicaçã de Vetres O prdut vetrial nã é cmutativ Pde ser calculad usand as cmpnentes: Eq. (3-25) Eq. (3-26) Assim, expandind a Eq. (3-26), Eq. (3-27)

32 3-3 Multiplicaçã de Vetres Respstas: (a) 0 grau (b) 90 graus

33 3 Resum

34 3 Resum Escalares e Vetres Escalares têm um valr Vetres têm um módul e uma rientaçã Ambs têm unidades! Sma de Vetres Obedece às leis cmutativa e assciativa Eq. (3-2) Eq. (3-3) Cmpnentes de um Vetr Dadas pr Relações inversas Eq. (3-5) Eq. (3-6) Vetres Unitáris Pdems escrever vetres em terms de vetres unitáris Eq. (3-7)

35 3 Resum Sma pr Cmpnentes Smand pr cmpnentes, Eqs. (3-10) a (3-12) Prdut Escalar Prduz um escalar Eq. (3-20) Eq. (3-22) Escalar Vezes um Vetr O prdut é um vetr O módul é multiplicad pel escalar O sentid é igual u pst Prdut Vetrial Prduz um vetr perpendicular A direçã é dada pela regra da mã direita Eq. (3-24)