MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES

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1 CAPÍTUL MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES Prvavelmente prblema mais imprtante em matemática é reslver um sistema de equações lineares. Mais de 75% de tds s prblemas matemátics encntrads em aplicações científicas e industriais envlvem a resluçã de um sistema linear em alguma etapa. Usand s métds da matemática mderna, muitas vezes é pssível reduzir um prblema sfisticad a um únic sistema de equações lineares. Sistemas lineares aparecem em aplicações em áreas cm administraçã, ecnmia, scilgia, eclgia, demgrafia, genética, eletrônica, engenharia e física. Parece, prtant, aprpriad cmeçar este livr cm uma seçã sbre sistemas lineares. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Uma equaçã linear em n incógnitas é uma equaçã da frma aix, + a2x2 + + anxn = b nde a,, a2, an e b sã númers reais e x,, x2,..., xn sã as variáveis. Um sistema linear de m equações em n incógnitas é, entã, um sistema da frma ailxi + al2x2 + + ainxn = bi anxi + a22x2 + + a2nxn = b2 amixi 4- an,2x2 amnxn = 4, nde s au e s bi sã númers reais. Vams ns referir a sistemas da frma () cm sistemas lineares m X n. Dams, a seguir, alguns exempls de sistemas lineares: (a) x, + 2x2 = 5 (b) x, x2 ± x3 = 2 (c) x, ± x2 = 2 2x, ± 3x2 = 8 2x, + x2 X3 = 4 x, X2 = XI = 4 sistema (a) é um sistema 2 x 2, (b) é um sistema 2 x 3 e (c) é um sistema 3 X 2. Entendems pr sluçã de um sistema m X n uma n-upla rdenada de númers (x,, x2,..., xn) que satisfaz tdas as equações d sistema. Pr exempl, par rdenad (, 2) é uma sluçã d sistema (a), já que

2 2 Álgebra Linear cm Aplicações () -I- 2 (2) = 5 2 () -I- 3 (2) = 8 A tripla rdenada (2,, ) é uma sluçã d sistema (b), pis (2) (0) + (0) = 2 2 (2) + (0) (0) = 4 De fat, sistema (b) tem muitas sluções. Se a é um númer real qualquer, é fácil ver que a tripla rdenada (2, a, a) é uma sluçã. Entretant, sistema (c) nã tem nenhuma sluçã. A partir da terceira equaçã, vems que a primeira crdenada de qualquer sluçã tem que ser 4. Usand x, = 4 nas duas primeiras equações, vems que a segunda crdenada tem que satisfazer 4 + x2 = 2 4 x2 = Cm nã existe númer real satisfazend ambas as equações, sistema nã tem sluçã. Se um sistema linear nã tem sluçã, dizems que ele é incmpatível u impssível. Lg, sistema (c) é incmpatível, enquant s sistemas (a) e (b) sã ambs pssíveis (cmpatíveis). cnjunt de tdas as sluções de um sistema linear é chamad de cnjunt sluçã d sistema. Se um sistema é impssível, seu cnjunt sluçã é vazi. Um sistema cmpatível vai ter um cnjunt sluçã nã-vazi. Para reslver um sistema pssível, é precis encntrar seu cnjunt sluçã. SISTEMAS 2 x 2 Vams examinar, d pnt de vista gemétric, um sistema da frma anxi 4- ai2x2 = /PI anxi 4- a22x2 = b2 Cada uma dessas equações pde ser representada graficamente pr uma reta n plan. par rdenad (x,, x2) vai ser uma sluçã d sistema se e smente se pertencer a ambas as retas. Pr exempl, cnsidere s três sistemas a seguir: (i) xi + x2 = 2 (ii) xi + x2 = 2 (iii) x, + x2 = 2 XI - X2 = 2 XI -I- X2 = xl x2 = 2 FIG... (i)

3 Matrizes e Sistemas de Equações 3 As duas retas n sistema (i) se interceptam n pnt (2, ). Lg, (2, 0)} é cnjunt sluçã de (i). N sistema (ii), as duas retas sã paralelas, lg, sistema é incmpatível e seu cnjunt sluçã é vazi. As duas equações n sistema (iii) representam a mesma reta; qualquer pnt nessa reta vai ser uma sluçã d sistema (ver Fig...). Em geral, existem três pssibilidades: as retas se interceptam em um pnt, sã paralelas, u ambas as equações representam a mesma reta. Entã, cnjunt sluçã cntém, respectivamente, um zer u um númer infinit de pnts. A situaçã é semelhante para sistemas m x n. Um sistema m X n pde u nã ser cmpatível. Se fr cmpatível, ele tem que ter exatamente uma sluçã u um númer infinit de sluções. Essas sã as únicas pssibilidades. Vams ver pr que iss é assim na Seçã 2, quand estudarms a frma escada. De interesse mais imediat é encntrar tdas as sluções de um dad sistema. Para atacar esse prblema, vams definir a nçã de sistemas equivalentes. SISTEMAS EQUIVALENTES Cnsidere s dis sistemas (a) 3x + 2x2 x3 = 2 (b) 3xi + 2x2 x3 = 2 X2 3 3xi x2 + x3 = 5 2x3 = 4 3xi + 2x2 + x3 = 2 sistema (a) é fácil de reslver, já que é clar, das duas últimas equações, que x2 = 3 e x3 = 2. Usand esses valres na primeira equaçã, btems 3xi = 2 xl = 2 Lg, a sluçã d sistema é (-2, 3, 2). sistema (b) parece ser mais difícil de reslver. De fat, sistema (b) tem a mesma sluçã que sistema (a). Para ver ist, sme as duas primeiras equações d sistema: 3xi + 2x2 x3 = 2 3xi x2 + x3 = 5 x2 = 3 Se (xl, x2, x3) é uma sluçã arbitrária de (b), ela tem que satisfazer tdas as equações d sistema, lg, tem que satisfazer qualquer equaçã btida smand-se duas de suas equações. Prtant, x2 tem que ser igual a 3. Analgamente, (xi, x2, x3) tem que satisfazer a nva equaçã btida subtraind-se a primeira equaçã da terceira: 3xi + 2x2 + x3 = 2 3xi + 2x2 x3 = 2 2x3 = 4 Entã, qualquer sluçã d sistema (b) tem, também, que ser uma sluçã d sistema (a). Pr um argument análg, pde-se mstrar que qualquer sluçã de (a) é, também, uma sluçã de (b). Iss pde ser feit subtraind-se a primeira equaçã da segunda: X2 3 3xi + 2x2 x3 = 2 3xi x2 + x3 = 5

4 4 Álgebra Linear cm Aplicações e smand-se a primeira e terceira equações: 3x + 2x2 x3 = 2 2x3 = 4 3x + 2x2 + x3 = 2 Lg, (xl, x2, x3) é uma sluçã d sistema (b) se e smente se é uma sluçã d sistema (a). Prtant, ambs s sistemas têm mesm cnjunt sluçã, (-2, 3, 2)]. Definiçã. Dis sistemas de equações envlvend as mesmas variáveis sã dits equivalentes se têm mesm cnjunt sluçã. É clar que, se trcarms a rdem em que escrevems duas equações de um sistema, iss nã vai afetar cnjunt sluçã. sistema rerdenad será equivalente a sistema riginal. Pr exempl, s sistemas xi + 2x2 = 4 4xi x2 = 6 3x x2 = 2 e 3x x2 = 2 4xi + x2 = 6 xi + 2x2 = 4 envlvem, ambs, as mesmas equações e, prtant, têm que ter mesm cnjunt sluçã. Se uma das equações de um sistema é multiplicada pr um númer real nã-nul, iss nã afetará cnjunt sluçã, e nv sistema será equivalente a sistema riginal. Pr exempl, s sistemas xi + x2 -I- x3 = 3 2xl 2x2 2x3 = 6 e x2 + 4x3 = x2 + 4x3 = sã equivalentes. Se um múltipl de uma equaçã é smad a utra equaçã, nv sistema será equivalente a sistema riginal. Iss acntece prque a n-upla (x,, x2,..., x ) satisfaz as duas equações aiixi + + ainxn bi se e smente se satisfaz as equações a/x' + + ainx = bi aiixi + + ainxn = bi + aaii)xi + + (ain + aai )xn = + abi Resumind, existem três perações que pdem ser efetuadas em um sistema para se bter um sistema equivalente: (a) A rdem em que duas equações sã escritas pde ser trcada. (b) s dis lads de uma equaçã pdem ser multiplicads pel mesm númer real diferente de zer. (c) Um múltipl de uma equaçã pde ser smad a utr. Dad um sistema de equações, pdems usar essas perações para bter um sistema equivalente que seja mais fácil de reslver. SISTEMAS n x n Vams ns restringir a sistemas n X n até final desta seçã. Vams mstrar que, se um sistema n x n tem exatamente uma sluçã, entã as perações (a) e (c) pdem ser usadas para se bter um sistema equivalente "triangular".

5 Matrizes e Sistemas de Equações 5 Definiçã. Um sistema está em frma triangular se, na k-ésima equaçã, s ceficientes das k primeiras variáveis sã tds nuls e ceficiente de x, é diferente de zer (k =, n). EXEMPL. sistema 3xi + 2x2 + x3 = X2 - X3 = 2 2x3 = 4 está em frma triangular, já que, na segunda equaçã, s ceficientes sã,,, respectivamente, e na terceira s ceficientes sã,, 2, respectivamente. Devid à sua frma triangular, sistema é fácil de reslver. Da terceira equaçã, tems que x3 = 2. Usand esse valr na segunda equaçã, btems x2 2 = 2 u x2 = 4 Usand x, = 4 e x, = 2 na primeira equaçã, terminams cm 3xi = Lg, a sluçã d sistema é (-3, 4, 2). xi = 3 E Qualquer sistema triangular n X n pde ser reslvid da mesma maneira que exempl anterir. Primeir, reslve-se a n-ésima equaçã para xn. Esse valr é usad na (n )-ésima equaçã para encntrar xn_,. s valres de xn e xn_i sã usads na (n 2)-ésima equaçã para encntrar xn_2, e assim pr diante. Vams ns referir a esse métd de reslver um sistema triangular cm substituiçã de baix para cima u, simplesmente, substituiçã. EXEMPL 2. Reslva sistema 2x x2 3x 2x4 = X2-2X3 4-3X4 = 2 4x3 + 3x4 = 3 SLUÇÃ. Usand substituiçã, btems 4x4 = 4 Lg, a sluçã é (,,, ). 4x4 = 4 x4 = 4x3 + 3 = 3 X3 = X = 2 x2 = 2xi --- (-) = xi Se sistema de equações nã fr triangular, usarems as perações (a) e (c) para tentar bter um sistema equivalente em frma triangular. EXEMPL 3. Reslva sistema X -f- 2X2 -I- X3 = 3 3xi x2 3x3 = 2xi + 3x2 + x3 = 4

6 6 Álgebra Linear cm Aplicações SLUÇÃ. Subtraind 3 vezes a primeira linha da segunda, btems 7x2 6x3 0 Subtraind 2 vezes a primeira linha da terceira, btems x2 X3 = 2 Se trcams as segunda e terceira equações de nss sistema, respectivamente, pr essas nvas equações, btems sistema equivalente X 2X2 + X3 = 3 7X2 6x3 0 x2 x3 = 2 Se a terceira equaçã desse sistema é trcada pr sua sma cm /7 da segunda, acabams cm seguinte sistema triangular: Usand substituiçã, btems Xi 2X2 ± X3 = 3 7x2 6x3 = = x3 = 4, x2 = 2, xi = 3 : Vams lhar de nv, para sistema de equações n últim exempl. Pdems assciar àquele sistema um arranj 3 X 3 de númers cujs elements sã s ceficientes das incógnitas xi. ( 2 ) Vams ns referir a esse arranj cm a matriz de ceficientes d sistema. term matriz significa, simplesmente, um arranj retangular de númers. Uma matriz cm m linhas e n clunas é uma matriz m X n. Se agregams à matriz de ceficientes uma cluna adicinal cujs elements sã s númers que aparecem d lad direit ds sinais de igualdade n sistema, bterems a nva matriz ( 2 3 ) Essa nva matriz será chamada de matriz aumentada. Em geral, quand uma matriz Bm X ré agregada a uma matriz A m X n, a matriz btida é dentada pr (AIB). Pr exempl, se A = an (lu an a22 ) (bil '2 b2 b22 B =. bir b2r ami am2 a. bmi bm2 bmr entã all (AIB) = a. am. bit. bir bmi bmr A cada sistema de equações pdems assciar uma matriz aumentada da frma )

7 Matrizes e Sistemas de Equações 7 an aln b ) pivô elements a serem eliminads ami C, sistema pde ser reslvid efetuand-se as perações na matriz aumentada. s nmes das variáveis, xi, pdem ser mitids até final ds cálculs. As perações a seguir, efetuadas nas linhas da matriz aumentada, crrespndem às três perações usadas para se bter um sistema equivalente. anin perações Elementares sbre as Linhas I. Trcar duas linhas. II. Multiplicar uma linha pr um númer real nã-nul. III. Substituir uma linha pr sua sma cm um múltipl de utra linha. Vltand a exempl, vems que a primeira linha é usada para anular s elements na primeira cluna das linhas restantes. Vams ns referir a essa primeira linha cm linha d pivô,* e a element cm um círcul em vlta na primeira linha cm pivô., 2 3 linha d pivô Usand a peraçã elementar III, subtraíms 3 vezes a segunda linha da primeira e subtraíms 2 vezes a primeira linha da segunda. A final, btems a matriz ( ) 4-- linha d pivô Vams esclher agra a segunda linha cm nssa nva linha d pivô e aplicar a peraçã elementar III para eliminar últim element da segunda cluna. Terminams cm a matriz ( Essa é a matriz aumentada de um sistema triangular equivalente a sistema riginal. EXEMPL 4. Reslva sistema 7 ) X2 X3 -I- X4 = XI ± X2 + X3 ± X4 = 6 2x 4-4x2 ± x3 2x4 = 3x x2 2x3 2x4 = 3 SLUÇÃ. A matriz aumentada desse sistema é *Essa terminlgia nã é padrã. (N. T.)

8 8 Álgebra Linear cm Aplicações Cm nã é pssível anular qualquer element usand cm pivô, vams usar a peraçã elementar I para trcar as duas primeiras linhas da matriz aumentada. A nva primeira linha será a linha d pivô e element pivô será. element pivô 0 6 linha d pivô Agra usams duas vezes a peraçã elementar III para anular s dis elements nã-nuls indicads na primeira cluna. 5 ( A seguir, a segunda linha é usada cm linha d pivô para anular s elements na segunda cluna abaix d element pivô. 6 ) 3 5 ) Finalmente, a terceira linha é usada cm linha d pivô para anular últim element na terceira cluna. ( ) 3 2 Essa matriz aumentada representa um sistema triangular. Reslvend pr substituiçã, btems a sluçã (2,, 3, 2). Em geral, se um sistema linear n X n puder ser reduzid a uma frma triangular, entã ele terá uma única sluçã que pde ser btida pr substituiçã. Pdems pensar n prcess de reduçã cm um algritm envlvend n passs. N primeir pass, esclhems um element pivô entre s elements nã-nuls da primeira cluna da matriz. A linha que cntém element pivô é a linha d pivô. Trcams linhas (se necessári) de md que a linha d pivô seja a primeira linha. Subtraíms, entã, múltipls da linha d pivô de cada uma das n linhas restantes de md a bter nas psições (2, ), (n, ). N segund pass, esclhems um element pivô entre s elements nã-nuls da segunda cluna nas linhas de 2 a n da matriz. A linha cntend pivô é, entã, trcada cm a segunda linha da matriz e usada cm nva linha d pivô. Subtraíms, entã, múltipls da linha d pivô das n 2 linhas restantes de md a anular tds s elements da segunda cluna abaix d pivô. Repetims mesm prcediment para as clunas de 3 a n. bserve que, n segund pass, a linha e a cluna nã sã mdificadas, n segund pass as duas primeiras linhas e as duas primeiras clunas nã sã mdificadas e assim pr diante. Em cada etapa, as dimensões glbais d sistema sã reduzidas de (ver Fig...2). Se prcess de reduçã puder ser feit cm descrit acima, chegarems a um sistema equivalente triangular superir após n passs. N entant, prcediment nã funcina se, em qualquer etapa, tdas as esclhas pssíveis para um element pivô frem iguais a. Quand iss acntecer, vams ter que reduzir sistema a um tip particular de frma escada. Essas frmas serã estudadas na próxima seçã. Elas também serã usadas para sistemas m X n, nde m n.

9 Matrizes e Sistemas de Equações 9 n=4 Pass X X X X X X X X X X X X X X [ X X X X x x x X X X X X X xl Pass 2 x X X X X X X X X X X X xl X X X X X X X X X x x Pass 3 '-x x X... I x X x x x X x X.. X X X X x x x X X EXERCÍCIS. Use substituiçã para reslver cada um ds sistemas de equações a seguir. (a) xi 3x2 = 2 (b) xi + x2 + x3 = 8 2x2 = 6 2x2 + x3 = 5 3x3 = 9 (c) xi + 2x2 + 2x3 + x4 = 5 (d) xi + x2 + X3 4- X4 4- X5 = 5 3x2 + x3 2x4 = 2x2 + X3-2X4 4- X5 = -X3 -I- 2X4 = - 4X3 ± X4-2X5 = = 4 X4 3X5 = 2X5 = 2 2. Escreva a matriz ds ceficientes de cada um ds sistemas n Exercíci. 3. Para cada um ds sistemas a seguir, interprete cada equaçã cm uma reta n plan, faça gráfic dessas retas e determine gemetricamente númer de sluções. (a) x + x2 = 4 (b) xi + 2x2 = 4 xi x2 = 2 2xi 4x2 = 4 (c) 2xi x2 = 3 (d) xi ± x2 = 4xi 2x2 = 6 xi X2 = -Xi 3x2 = 3 4. Escreva a matriz aumentada de cada um ds sistemas n Exercíci Escreva pr extens sistema de equações que crrespnde a cada uma das matrizes aumentadas a seguir. ta\ ( ) ( 5 2 (b)

10 0 Álgebra Linear cm Aplicações 2 4 (c) ( Reslva cada um ds sistemas a seguir. (a) xi 2x2 = 5 3xi + X2 = (c) 4xi + 3x2 = X 4X2 = 3 (e) 2x + x2 + 3x3 = 4x 3x2 + 5x3 = 6xi + 5x2 -F 5x3 = 3 (d) (b) 2xi + x2 = 8 4xi 3x2 = 6 (d) xi 2x2 (f) 2xi x2 + X3 = X3 = 3 xi 2x2 + 3x3 = 7 3xi 2x2 -F x3 = 2xi + x2 x3 = 2 2x x2 + 2x3 = 7. s dis sistemas (g) lxi X2 + 2X3 = X' 2x2 + 2-x3 = - 2 X 2X2 MX3 = Tõ (h) X2 X3 X4 = 3X 3X3 4x4 = 7 X + X2 + X3 + 2X4 = 6 2X 4-3X2 X3 3x4 = 6 (a) 2xi + x2 = 3 (b) 2xi + x2 = 4xi + 3x2 = 5 4xi + 3x2 = têm a mesma matriz de ceficientes, mas númers diferentes à direita ds sinais de igualdade. Reslva ambs s sistemas simultaneamente anuland element (2, ) da matriz aumentada ) e depis usand substituiçã para cada uma das clunas crrespndentes as númers à direita ds sinais de igualdade. 8. Reslva s dis sistemas (a) xi + 2x2 2x3 = (b) xi 2x2 2x3 = 9 2x 5x2 + x3 = 9 2xi 5x2 + x3 = 9 xi + 3x2 4x3 = 9 xi 3x2 + 4x3 = 2 usand perações elementares em uma matriz aumentada 3 X 5 e depis usand substituiçã. 9. Cnsidere um sistema da frma mixi + x2 = M2X "+" X2 = b2

11 Matrizes e Sistemas de Equações nde mi, m2, bi e b2 sã cnstantes. (a) Mstre que sistema tem uma única sluçã se mi m2. (b) Se mi = m2, mstre que sistema só é cmpatível se bi = b2. (c) Interprete gemetricamente s itens (a) e (b). 0. Cnsidere um sistema da frma C) 2 anxi + ai2x2 = azixi + a22x2 = nde aii, a,,, a2, e a22 sã cnstantes. Explique pr que um sistema dessa frma tem que ser cmpatível.. Dê uma interpretaçã gemétrica de uma equaçã linear em três incógnitas. Descreva gemetricamente tds s pssíveis cnjunts sluçã para um sistema linear 3 X 3. 5 FRMA ESCADA Na Seçã aprendems um métd para reduzir um sistema linear nx na uma frma triangular. N entant, esse métd falha se, em qualquer etapa d prcess de reduçã, tdas as esclhas pssíveis para element pivô em uma dada cluna sã nulas. EXEMPL. Cnsidere sistema representad pela matriz aumentada < linha d pivô Se a peraçã elementar III fr usada para anular s últims quatr elements da primeira cluna, bterems a matriz ( C) ) 3 < linha d pivô Nesse estági a reduçã a uma frma triangular nã pde cntinuar. Tdas as esclhas pssíveis para element pivô na segunda cluna sã iguais a. Cm cntinuar? Cm nss bjetiv é simplificar sistema a máxim, parece natural passar para a terceira cluna e anular s três últims elements Na quarta cluna tdas as esclhas pssíveis para pivô sã iguais a zer; lg, nvamente passams para a próxima cluna. Usand a terceira linha cm linha d pivô, anulams s dis últims elements da quinta cluna. ( :43)

12 2 Álgebra Linear cm Aplicações As equações representadas pelas duas últimas linhas sã xi x2 x3 4- x4 4- xs = 4 xi + x2 + x3 + x4 + x5 = 3 Cm nã existem quíntuplas que pssam satisfazer essas equações, sistema é que terminams cm uma matriz de ceficientes que nã está em frma triangular; escada. impssível. Nte ela está em frma Supnha, agra, que mdificams s númers à direita d sinal de igualdade de md a bter um sistema cmpatível. Pr exempl, se cmeçarms cm ( entã prcess de reduçã vai resultar na matriz aumentada ( As duas últimas equações d sistema reduzid sã satisfeitas pr qualquer quíntupla. Lg, cnjunt sluçã é cnjunt de tdas as quíntuplas que satisfazem as três primeiras equações. l 3 xi X2 X3 -I- X4 -I- X5 = () X3 X4 -I- 2xs = ) xs = 3 Vams ns referir às variáveis crrespndentes as dis primeirs elements nã-nuls cm variáveis líderes.* Entã, x,, x3 e x, sã as variáveis líderes. As variáveis restantes, crrespndentes às clunas que fram puladas n prcess de reduçã, serã chamadas de variáveis livres. Lg, as variáveis livres sã x2 e x4. Transferind as variáveis livres para lad direit em (), btems sistema xi -F x3 + xs = x2 X4 (2) X3 4-2xs = x4 xs = 3 sistema (2) é triangular nas incógnitas xi, x3, x,. Prtant, para cada par de valres dads a x2 e x4, existirá uma única sluçã. Pr exempl, se x2 = x4 =, entã x, = 3, x3 = 6, x, = 4, lg (4,, 6,, 3) é uma sluçã d sistema. Definiçã. Uma matriz está em frma escada se: (i) primeir element nã-nul de cada linha é ; (ii) se a linha k nã cnsiste apenas em zers, númer de zers n iníci da linha k + é mair d que númer de zers n iníci da linha k; (iii) se existirem linhas cm tds s elements iguais a zer, elas ficam abaix de tdas as linhas nã-nulas. * Essa terminlgia nã é padrã. (N. T.)

13 Matrizes e Sistemas de Equações 3 EXEMPL 2. As matrizes a seguir estã em frma escada. 4 2 ) 2 3 ( 3 ( 03, 00, EXEMPL 3. As matrizes a seguir nã estã em frma escada. ( , 4 ( ' ei 0) A primeira matriz nã satisfaz a primeira cndiçã. A segunda matriz nã satisfaz a terceira cndiçã e a terceira matriz nã satisfaz a segunda cndiçã. Definiçã. prcess de usar as perações I, II e III para transfrmar um sistema linear em utr cuja matriz aumentada está em frma escada é chamad de métd de Gauss. bserve que a peraçã elementar II é necessária para multiplicar as linhas pr escalares de md que s primeirs ceficientes nã-nuls de cada linha sejam iguais a. Se a matriz em frma escada cntém uma linha da frma ( I ) sistema é incmpatível. Cas cntrári, sistema é cmpatível. Se sistema é cmpatível (u cnsistente) e as linhas nã-nulas da matriz em frma escada representam um sistema triangular, entã sistema tem uma única sluçã. SISTEMAS CM MAIS EQUAÇÕES D QUE INCÓGNITAS Um sistema linear tem mais equações d que incógnitas se m > n. Em geral (mas nem sempre), tais sistemas sã impssíveis. EXEMPL 4. (a) xi + x2 = x2 = 3 xi + 2x2 = 2 (c) xi + 2x2 + x3 = 2xi x2 + x3 = 2 4xi + 3x2 + 3x3 = 4 3x + x2 + 2x3 = 3 (b) xi + 2x2 + x3 = 2xi x2 + x3 = 2 4xi + 3x2 + 3x3 = 4 2xi x2 ± 3x3 = 5 SLUÇÃ. leitr já deve estar suficientemente familiarizad cm métd de Gauss, de md que pdems mitir as etapas intermediárias na reduçã de cada um desses sistemas. Sistema (a) ( ( Pela última linha da matriz reduzida, vems que sistema é incmpatível. As três equações d sistema (a) representam retas n plan. As duas primeiras se interceptam n pnt (2, ). N entant, a )

14 4 Álgebra Linear cm Aplicações FIG..2. terceira reta nã cntém esse pnt. Lg, nã existe nenhum pnt pertencente a tdas as três retas (ver Fig..2.). Sistema (b) ( ),k ) 3 Usand substituiçã, vems que sistema (b) tem exatamente uma sluçã (0,, 0,3,,5). A sluçã é única, pis as linhas nã-nulas da matriz reduzida frmam um sistema triangular. Sistema (c) ( Reslvend para x2 e xi em terms de x3, btems 2 -} l X2 = -0,2X3 XI = - 2X2 - X3 = - 0,6X3 Lg, cnjunt sluçã é cnjunt de tdas as triplas rdenadas da frma (, 6a,, 2a, a), nde a é um númer real. sistema é pssível e indeterminad (tem infinitas sluções) pr causa da variável x3. I= SISTEMAS CM MENS EQUAÇÕES D QUE INCÓGNITAS Um sistema linear tem mens equações d que incógnitas se rn < n. Embra seja pssível para um tal sistema ser incmpatível, eles sã, em geral, cmpatíveis e indeterminads. Um tal sistema nunca pde

15 Matrizes e Sistemas de Equações 5 ser pssível e determinad (ist é, ter uma única sluçã). A razã diss é que a frma escada da matriz de ceficientes tem que ter r 5_ m linhas nã-nulas. Terems entã r variáveis líderes e n r variáveis livres, nde n r n m >. Se sistema fr cmpatível, pdems dar valres arbitráris para as variáveis livres e reslver para as utras variáveis. Prtant, um sistema cmpatível cm mens equações d que incógnitas sempre tem infinitas sluções. EXEMPL 5. sluçã (a) x + 2 x 2 + x3 = 2xi + 4x2 + 2x3 = 3 (b) xi + X2 ± X3 ± X4 ± X5 = 2 xi + x2 + x3 + 2x4 + 2x5 = 3 xi + x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 2 Sistema (a) ( ) É clar que sistema (a) é incmpatível. Pdems pensar nas duas equações d sistema (a) cm representand plans n espaç tridimensinal. Em geral, dis plans se interceptam a lng de uma reta; n entant, nesse cas, s plans sã paralels. Sistema (h) 2 ( 2 ) > sistema (b) é cmpatível, e, cm existem duas variáveis livres, sistema tem infinitas sluções. É muitas vezes cnveniente, cm sistemas desse tip, cntinuar prcess de reduçã até anular tds s terms acima ds primeirs elements nã-nuls de cada linha. Para sistema (b), entã, vams cntinuar e anular s dis primeirs elements da quinta cluna e, depis, primeir element da quarta cluna. ( ) > ) Clcand as variáveis livres d lad direit d sinal de igualdade, btems Prtant, para quaisquer a e /3 reais, a quíntupla é uma sluçã d sistema. xi = X4 = 2 X5 = X2 - X3 ( a 3, a, /3, 2, ) E

16 6 Álgebra Linear cm Aplicações FRMA ESCADA REDUZIDA PR LINHAS Definiçã. Uma matriz está em frma escada reduzida pr linhas se: (i) a matriz está em frma escada; (ii) primeir element nã-nul de cada linha é únic element diferente de zer na sua cluna. As seguintes matrizes estã em frma escada reduzida pr linhas: ( ) ' (00 3) (020) (20) 002, 000, prcess de usar perações elementares para clcar uma matriz em frma escada reduzida pr linhas é cnhecid cm métd de Gauss-Jrdan. EXEMPL 6. Use métd de Gauss-Jrdan para reslver sistema sluçã xi + X2 - X3 4-3X4 = 3Xi X2 - X3 - X4 = 2x X2-2X3 - X4, = ( ± (0 -* ( 3 C) ) 00 ) frma escada ) frma escada reduzida pr linhas Igualand x4 a um númer real arbitrári a, tems x, = a, x2 = a e x3 = a. Prtant, tdas as quádruplas da frma (a, a, a, a) sã sluções d sistema. APLICAÇÃ : FLUX DE TRÁFEG Em uma certa seçã d centr de determinada cidade, dis cnjunts de ruas de mã única se cruzam, cm ilustra a Fig A média d númer de veículs pr hra que entram e saem dessa seçã durante hrári de rush é dada n diagrama. Determine a quantidade de veículs entre cada um ds quatr cruzaments. SLUÇÃ. Em cada cruzament, númer de veículs que entra tem que ser igual a de veículs que sai. Pr exempl, n cruzament A, númer de veículs que entra é x, e númer de veículs que sai é x Lg, Analgamente, xi -I- 450 = x (cruzament A) x2 ± 520 = x (cruzament B) x = x4 600 (cruzament C) x4+640 =x+30 (cruzament D)

17 Matrizes e Sistemas de Equações A x i X 2 X I 480 I X 3 C 390 FIG..2.2 A matriz aumentada para esse sistema é ( A frma escada reduzida pr linhas dessa matriz é 60) ( 330) sistema é cmpatível, e, cm tem uma variável livre, existem muitas sluções pssíveis. diagrama de flux d tráfeg nã cntém infrmaçã suficiente para determinar x x2, x3, x4. Se númer de veículs entre dis ds cruzaments fsse cnhecid, tráfeg ns utrs cruzaments estaria determinad. Pr exempl, se uma média de 200 carrs trafega pr hra entre s cruzaments C e D, entã x4 = 200. Pdems, entã, reslver para x x2, x3 em terms de x4, btend

18 8 Álgebra Linear cm Aplicações xi = x = 530 x2 = x4 70 = 370 x3 = x4 --E 20 = 40 SISTEMAS HMGÊNES Um sistema de equações lineares é dit hmgêne se tdas as cnstantes d lad direit ds sinais de igualdade sã nulas. Sistemas hmgênes sempre sã cmpatíveis. É trivial encntrar uma sluçã: basta fazer tdas as variáveis iguais a zer. Prtant, se um sistema hmgêne m X n tiver uma única sluçã, ela tem que ser a sluçã trivial (,,..., ). sistema hmgêne n Exempl 6 tem m = 3 equações e n = 4 incógnitas. N cas em que n > m, sempre vai existir uma variável livre e, prtant, sempre vã existir sluções nã-triviais. Esse resultad fi essencialmente mstrad na nssa discussã sbre sistemas cm mens equações d que incógnitas, mas, devid à sua imprtância, vams enunciál cm um terema. Terema.2.. Um sistema hmgêne m X n de equações lineares tem uma sluçã nã-trivial se n > m. Demnstraçã. Um sistema hmgêne é sempre cmpatível. A frma escada da matriz pde ter, n máxim, m linhas nã-nulas:lg, existem, n máxim, m variáveis líderes. Cm existem n > m variáveis a td, sempre vai existir alguma variável livre. As variáveis livres pdem assumir valres arbitráris. Entã, existe uma sluçã d sistema para cada cnjunt de valres das variáveis livres. El APLICAÇÃ 2: CIRCUITS ELÉTRICS Em una circuit elétric é pssível determinar a crrente em cada trech em terms das resistências e das diferenças de ptencial. Na Fig..2.3 símbl representa uma bateria (medida em vlts) que gera uma carga que prduz uma crrente. A crrente sai da bateria d lad que cntém a reta verti- cal mais lnga, ist é, ( h. símbl Wse-- representa um resistr. As resistências sã medidas em hms. As letras maiús-culas representam s nós, e i representa a crrente entre s nós. As crrentes sã medidas em ampères. As setas mstram sentid d flux da crrente. Se, n entant, uma das 8 vlts 2 hms i2 hms 3 hms 2 hms FIG vlts

19 Matrizes e Sistemas de Equações 9 crrentes, i2, pr exempl, é negativa, iss significa que a crrente naquele trech flui n sentid pst a da seta. Para determinar as crrentes, sã utilizadas as leis de Kirchhff:. Em cada nó, a sma das crrentes que entram é igual à sma das crrentes que saem. 2. Em cada cicl fechad, a diferença de ptencial ttal é zer. A diferença de ptencial elétric E em cada resistr é dada pela lei de hm: E = ir nde i representa a crrente em ampères e R a resistência em hms. Vams encntrar as crrentes n circuit ilustrad na Fig Da primeira lei, btems Da segunda lei, tems 2 (a) ( 4 ) 3 i2 i3 = (nó A) 4i -I- 2i2 = 8 i2 i3 = (nó B) 3 (b) ( (eid superir) 2i2 -I- 5i3 = 9 (cicl inferir) circuit pde ser representad pela matriz aumentada ( Essa matriz pde ser facilmente reduzida à frma escada ( - Reslvend pr substituiçã, vems que =, i2 = 2 e =. EXERCÍCIS. Quais das matrizes a seguir estã em frma escada? Quais estã em frma escada reduzida pr linhas? (a) ( 2 3 4) 2 ) ) 3 ) ) (b) (c) ( (d) ( ( 4 6 ) ) (e) 02 (f) 00 (g) 0024 (h) Cada uma das matrizes aumentadas a seguir está em frma escada. Para cada uma delas, indique se sistema linear crrespndente é cmpatível u nã. Se sistema tiver uma única sluçã, encntre-a. ) 2 4 ) (c) ( 3 00

20 20 Álgebra Linear cm Aplicações 2 2 (d) (e) 2 2 ) 4 (f) ( ) Cada uma das matrizes aumentadas a seguir está em frma escada reduzida pr linhas. Para cada uma delas, encntre cnjunt sluçã d sistema linear crrespndente. (a) ( 2 ) 4 5 (b) 2 ) ( 3 2 ) 3 (c) 2 (d) ( (e) 54 ) ( (f) 2 ) - 4. Para cada um ds sistemas de equações lineares a seguir, use métd de Gauss para bter um sistema equivalente cuja matriz de ceficientes esteja em frma escada. Indique se sistema é u nã cnsistente. Se sistema fr pssível e determinad (ist é, sem variáveis livres), use substituiçã para encntrar a única sluçã. Se sistema fr pssível e indeterminad, clque em frma escada reduzida pr linhas e encntre tdas as suas sluções. (a) xi 2x2 = 3 (b) 2xi 3x2 = 5 (c) xi + x2 = 2xi x2 = 9 4xi + 6x2 = 8 2xi + 3x2 = 3xi 2x2 (d) 3xi + 2x2 x3 = 4 (e) 2xi + 3x2 + x3 = (0 xi x2 + 2x3 = 4 xi 2x2 + 2x3 = xi + x2 ± x3 = 3 2xi + 3x2 x3 = lxi + 2x2 + x3 = 4 3xi 4x2 2x3 = 4 7xi + 3x2 + 4x3 = 7 (g) (i) XI -f- X2 -I- X3 -I- X4 = 2xi + 3x2 X3 - X4 = 2 3xi + 2x2 + x3 + x4 = 5 3xi + 6x2 x3 X4 = 4 xi + 2x2 x3 = 2 2xi 2x2 + x3 = 4 3xi + 2x2 + 2x3 = 5 3xi + 8x2 + 5x3 = 7 (h) xi 2x2 = 3 2xi + x2 = 5xi + 8x2 = 4 (i) XI 2X2-3X3 X4 = -Xi - X2 4X3 - X4 = 6 2x 4x2 + 7x3 X4 = (k) xi + 3x2 + x3 + x4 = 3 2xi 2x2 + x3 + 2x4 = 8 xi 5x2 + x4 = 5 () xi 3x2 + x3 = 2xi + x2 x3 = 2 xi + 4x2 2x3 = 5xi 8x2 + 2x3 = 5

21 Matrizes e Sistemas de Equações 2 5. Use métd de Gauss-Jrdan para reslver cada um ds sistemas a seguir. (a) xi + x2 = (b) xi + 3x2 + X3 4- X4 = 3 4xi 3x2 = 3 2xi 2x2 + x3 + 2x4 = 8 3xi + X2 2X3 - X4 = - (C) Xi X2 -I- X3 (d) xi + x2 + x3 + x4 = xi X2 - X3 = 2X 4- X2 - X3 3X4 = XI - 2X2 X3 ± X4 = 6. Cnsidere um sistema linear cuja matriz aumentada tem a frma ( a 3 ) Para que valres de a sistema tem uma única sluçã? 7. Cnsidere um sistema linear cuja matriz aumentada é da frma 2 ( /3 (a) sistema pde ser incmpatível? Explique. (b) Para que valres de (3 sistema tem infinitas sluções? 8. Cnsidere um sistema linear cuja matriz aumentada tem a frma ( a (a) Para que valres de ae b sistema tem uma infinidade de sluções? (b) Para que valres de a eb sistema é impssível? 9. Dads s sistemas lineares (a) xi + 2x2 = 2 (b) xi 2x2 = 3x + 7x2 = 8 3xi 7x2 = 7 reslva simultaneamente ambs s sistemas incrprand s terms à direita ds sinais de igualdade em uma matriz B 2 X 2 e clcand em frma escada reduzida pr linhas a matriz 0. Dads s sistemas lineares (AlB) = ( 3 (a) xi 2x2 -I- x3 = 2 xi x2 -I- 2x3 = 3 2xi 3x2 = 2 7 (b) ) 2 ) 8 7 xi xl 2x 2x2 -I- x3 = x2 ± 2x3 = 3x2 = reslva simultaneamente ambs s sistemas clcand em frma escada a matriz aumentada (AIB) e usand substituiçã duas vezes.. Seja (ci, c2) um sluçã d sistema 2 X 2 ) aiixi ai2x2 = anxi + a22x2 = 2 2

22 22 Álgebra Linear cm Aplicações Mstre que, qualquer que seja númer real a, par rdenad (aci, ac2) é também uma sluçã. 2. Determine s valres de xi, x2, x3, x4 para seguinte diagrama de flux de tráfeg: I x, 450 I x I Cnsidere seguinte diagrama de flux de tráfeg: b b x, a4...s arrem x2 a2 X3 b I b, a3 nde ai, a2, a3, a4, bi, b2, b3, b4 sã inteirs psitivs fixs. Escreva um sistema linear cm as incógnitas x,, x2, x,, x4 e mstre que sistema é cmpatível se e smente se ai a2 a3 ai bi b2 4- b3 ba