Aula 03 Sinais singulares
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- Márcia Belém Casqueira
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1 Ala 03 Sinais singlares
2 Intrdçã as Sinais Singlares Os sinais singlares, também chamads sinais de excitaçã frmam ma família [n], 1 [n], 2 [n],..., n cas discret;, (t), 1 (t), 2 (t),..., n cas cntín; Eles sã sinais recrrentes, ist é, cada sinal desta família é definid em fnçã d anterir. Matematicamente é mesm pssível definir esta seqência de sinais infinitamente para s dis lads, intrdzind também s sinais, -1 [n], -2 [n],..., -1 (t), -2 (t),..., mas ist, entretant, é sem grande interesse prátic. Apenas k [n] e k (t) para k 0 terã aplicações práticas em engenharia.
3 Prtant, embra sejam m númer infinit de sinais nesta família, na prática apenas algns de mais interesse sã realmente tilizads, em especial dis deles: e impls nitári (t) degra nitári 1 (t), nrmalmente sads cm sinais de excitaçã (i.e., de inpt de entrada) de sistemas qe estã send analisads.
4 Sinais singlares discrets
5 Sinais singlares discrets O sinal impls nitári discret ( nit implse ) A ntaçã d impls nitári discret é: [n] δ[n] [ n] 0, 1, n n 0 0 Se mltiplicarms impls nitári [n] pr ma cnstante C 0 bterems m impls também, mas neste cas m impls nã nitári, m impls de área C, nde C pde ser até mesm negativ. Obs.: A cnstante C é chamada de área d impls, inspirads n cas cntín qe será vist mais adiante, embra aqi n cas discret nã tenha significad qe terá n cas cntín.
6 O sinal impls nitári discret mltiplicad pr ma cnstante: C [n]. Para C > 0, impls de área psitiva e C < 0, impls de área negativa.
7 Prpriedades d impls nitári discret: [n k] 0, para n k m k l [n k] 1, l < k < m eq. (3.1) eq. (3.2) m k l x[n] [n k] x[k], l < k < m eq. (3.3) A eq. (3.3) é chamada de sma de cnvlçã e define a cnvlçã entre s sinais x[n] e [n].
8 O sinal degra nitári discret ( nit step ): A ntaçã d degra nitári discret é: 1 [n] [n] 1 [ n ] 0, 1, n n 1, 2, L 0,1, 2, L Se mltiplicarms degra nitári 1 [n] pr ma cnstante C 0 bterems m degra também, mas neste cas nã nitári, e de amplitde C, nde C pde ser até mesm negativ.
9 O sinal degra nitári discret mltiplicad pr ma cnstante: C 1 [n]. Para C > 0, degra de amplitde psitiva e C < 0, degra de amplitde negativa.
10 Relaçã entre [n] e 1 [n]: Das eqações fáceis de serem verificadas e qe relacinam cm sã dadas abaix: impls nitári discret [n] degra nitári discret 1 [n] [n] 1 [n] 1 [n 1], n eq. (3.4) n [ n] [ n m ], n 1 m 0 eq. (3.5)
11 O sinal rampa nitária discreta ( nit ramp ): A ntaçã da rampa nitária discreta é: 2 [n] 2 [ n ] 0, n, n n 1, 2, L 0,1, 2, L Se mltiplicarms a rampa nitária 2 [n] pr ma cnstante C 0 bterems ma rampa também, mas neste cas nã nitária, e de declive ( inclinaçã) C, nde C pde ser até mesm negativ.
12 O sinal rampa nitária discreta mltiplicad pr ma cnstante: C 2 [n]. Para C > 0, rampa de declive psitiv e C < 0, degra de declive negativ.
13 Prtant, impls discret fica bem determinad pela sa área, degra pela sa amplitde e a rampa pel se declive ( inclinaçã). Estes terms farã mais sentid qand verms impls, degra e a rampa cntíns, seja, s sinais singlares cntíns..
14 Relaçã entre 1 [n] e 2 [n]: Algmas eqações fáceis de serem verificadas e qe relacinam cm sã dadas abaix. degra nitári discret 1 [n] a rampa nitária discret 2 [n] Nte qe: 2 [n] n 1 [n], n eq. (3.6) também, na frma da eq. (3.5): n + eq. (3.7) 1 m [ n 1] [ m ], n 2 Pr tr lad, na frma da eq. (3.4), 1 [n] 2 [n+1] 2 [n], n eq. (3.8)
15 A família de sinais singlares discrets: Observand-se bem a relaçã entre [n] e 1 [n] dada pelas eq. (3.4) e eq. (3.5) e a relaçã entre 1 [n] e 2 [n] dada acima pelas eq. (3.6), eq. (3.7) e eq. (3.8), vems qe estes sinais sã recrrentes. O seja, pderíams cntinar definind 3 [n], 4 [n], etc. cm ma família de sinais singlares discrets, nde: k [n] k+1 [n] k+1 [n 1], n, k 0, 1, eq. (3.9) n [ n] [ m ], n, k 0,1, L k k 1 m eq. (3.10)
16 Exempls de Sinais singlares discrets
17 Exempl 3.1: Algns sinais qe pdem ser escrits analiticamente em terms ds sinais d tip degra, impls e rampa. Os sinais x[n] e y[n] qe aparecem abaix sã implss transladads e prtant pdem ser representads pr: x[n] 3 [n 2] y[n] 2 [n+1]
18 Exempl 3.2: O sinal x[n] abaix pde ser express cm m degra revertid n temp e transladad: x[n] 2 1 [ n+2]
19 Exempl 3.3: Cnsidere sinal x[n] abaix. Este sinal tem valres nã nls à esqerda da rigem (ist é, x[n] 0 para valres de n < 0). A mltiplicarms x[n] pr 1 [n] btems m sinal qe tem tds s ses valres nls à esqerda da rigem, ist é, x[n] 1 [n] 0, n 1, 2,, a pass qe é idêntic à x[n] na rigem e à direita da rigem, seja, x[n] 1 [n] x[n], n 0, 1, 2, O sinal x[n] cm valres de x[n] 0 à esqerda da rigem sinal x[n] 1 [n], qe tem tds s ses valres nls à esqerda da rigem mas é idêntic à x[n] na rigem e à sa direita.
20 Exempl 3.4: O sinal x[n] abaix pde ser express cm: x 3 [ n] [n] k [ n k] 1 k 1 nde tem-se m degra nitári, e depis retira-se valres pntalmente cm implss em t 1, t 2 e t 3, para se ter s valres crrets de x[1], x[2] e x[3]. x[n] 1 [n] 2 [n] + 2 [n 4] + 1 [n 4] Entretant, x[n] também pde ser representad, de frma eqivalente pela expressã: [ n] [n] [ n] + [n 4] + [ n 4] x
21 Exempl 3.5: Em mits cass s sinais têm mesm várias expressões diferentes. Os sinal x[n] qe aparece abaix pde ser representad pr: x [ n] 2 [n] 2 [n] [n 1] 1 nde tem-se m degra de amplitde 2, e depis tira-se valres pntalmente cm implss em t 0, t 1 e t 2, para se ter s valres crrects de x[1], x[2] e x[3]. também pr: x [ n] 2 [n 2] + [n 1] 1 ainda, pela sbtraçã de das rampas: [ n] [n] + [n 2] x 2 2 mas bserve qe x[n] também pde ser representad, de frma eqivalente pela expressã: x [ n] 2 [n 1] [n 1] 1
22 Exempl 3.6: O sinal discret x[n] abaix é ma seqência de plss de largra 3. Este sinal pde ser escrit em terms de degras da seginte frma: x [ n] 1 1 [n] [n] + 1 [n 3 k 1,2,3, L ] + ( 1) 3 k 1 [n 1 [n 6 ] 3 1 k] [n 9 ] + L Sinal discret x[n], seqência de plss de largra 3.
23 Alternativamente este sinal x[n] pde ser escrit em terms de implss da seginte frma: x [ n] [n] + k 0,1,2,3, L k 0,1,2,3, L l 0,3, L [n 1] + 2 [n 6k] + [n 2] + [n (6k + 1)] + [n (6k + l)] [n 6] + [n 7] + [n (6k + 2)] [n 8] + L
24 Sinais singlares cntíns
25 Sinais singlares cntíns O sinal impls nitári ( nit implse ): O sinal impls nitári cntín também é chamad de fnçã delta delta de Dirac, em alsã a físic e matemátic britânic Pal Adrien Marice Dirac ( ). O impls nitári tem a seginte ntaçã: (t) δ(t) Pal Dirac (t) 0, t 0 β α (t)dt 1, α < 0 < β O sinal impls nitári cntín (t)
26 O impls nitári (t) pde ser interpretad cm limite de ma seqência de plss de área 1 x (t) (t { } ) Seqência de plss de área igal a 1 qe cnvergem para sinal impls nitári cntín (t). n
27 Nte qe s sinais x n (t) (plss) acima sã cada vez mais magrs e mais alts, a medida qe n cresce, mas entretant, eles têm tds área sb a crva igal a 1. Desta frma é fácil de cmpreender qe impls nitári (t), send limite desta seqência de plss vai a infinit em t 0 e a área (i.e., a integral sb a crva) n interval [ α, β ] (para α < 0 < β) é igal a 1. { x n (t) }, Se mltiplicarms impls nitári (t) pr ma cnstante C 0 bterems m impls também, mas neste cas nã nitári, e de área C, nde C pde ser até mesm negativ.
28 O sinal impls nitári cntín mltiplicad pr ma cnstante: C (t). Para C > 0, impls de área psitiva e C < 0, impls de área negativa.
29 Prpriedades d impls nitári cntín: É fácil de se verificar qe impls nitári (cas cntín), cnfrme definid acima, satisfaz as segintes prpriedades: (t a) 0, para t a eq. (3.11) β α (t a) dt 1, α < a < β eq. (3.12) β α x(t) (t a) dt x(a), α < a < β eq. (3.13) As expressões das eqações eq. (3.11), eq. (3.12) e eq. (3.13) crrespndem, n cas discret, às eqações: eq. (3.1), eq. (3.2) e eq. (3.3). A eq. (3.13) é chamada de integral de cnvlçã e define a cnvlçã entre s sinais x(t) e impls nitári (t).
30 O sinal degra nitári ( nit step ): A ntaçã d degra nitári cntín é: 1 (t) (t) 1 (t) 0, 1, t < 0 t 0 O sinal degra nitári cntín 1 (t) Se mltiplicarms degra nitári 1 (t) pr ma cnstante C 0 bterems m degra também, mas neste cas nã nitári, e de amplitde C, nde C pde ser até mesm negativ.
31 O sinal degra nitári cntín mltiplicad pr ma cnstante: C 1 (t). Para C > 0, degra de amplitde psitiva e C < 0, degra de amplitde negativa.
32 Relaçã entre 1 (t) e (t): O degra nitári 1 (t) é a integral d impls nitári (t), enqant qe, pr sa vez, impls nitári (t) é a derivada d degra nitári 1 (t), seja: (t) 1 t (t)dt eq. (3.14) d1(t) (t) dt eq. (3.15)
33 O sinal rampa nitária ( nit ramp ): A ntaçã da rampa nitária cntína é: 2 (t) 2 (t) 0, t, t t < 0 0 O sinal rampa nitária cntína 2 (t) Se mltiplicarms a rampa nitária 2 (t) pr ma cnstante C 0 bterems ma rampa também, mas neste cas nã nitária, ma rampa de declive C ( inclinaçã C), nde C pde ser até mesm negativ.
34 O sinal rampa nitária cntína mltiplicad pr ma cnstante: C 2 (t). Para C > 0, degra de declive psitiv e C < 0, degra de declive negativ.
35 Relaçã entre s 3 sinais (t), 1 (t) e 2 (t): A rampa nitária 2 (t) é a integral d degra nitári 1 (t), e a integral dpla d impls nitári (t). Pr tr lad, degra nitári 1 (t) é a derivada da rampa nitária 2 (t), e impls nitári é a derivada segnda da rampa nitária 2 (t). O seja: d 2(t) 1 (t) dt eq. (3.16) (t) d 2 dt 2 2 (t) eq. (3.17) (t) 2 t 1 (t)dt eq. (3.18) 2(t) (t) dt t t eq. (3.19)
36 Além diss, cm já fi dit acima, impls fica bem determinad pela sa área, degra pela sa amplitde e a rampa pel se declive ( inclinaçã). A família de sinais singlares cntíns: Os sinais singlares na verdade sã ma família bem mais ampla d qe apenas (t), 1 (t) e 2 (t). Eles saem recrrentes ns ds trs pelas fórmlas: d 1(t) (t) dt k+, k 0,1, 2,L eq. (3.20) k t (t) k k 1 (t) dt, k 1, 2,L eq. (3.21) Desta frma pderíams cntinar definind 3 (t), 4 (t),, etc.
37 Pr exempl, 3 (t) tem a expressã: 2 t 3 (t), t > 0 2 seja, sinal 3 (t) é fnçã semi-parabólica. 0, (t) t, t < 0 t 0 e facilmente se bserva qe a derivada de 3 (t) é 2 (t).
38 Pr tr lad, a expressã de 4 (t) é dada pr: 3 3 t t 4 (t), t > 0 e nvamente se bserva qe a 3 2 3! derivada de 4 (t) é 3 (t). Pr sa vez, a expressã de 5 (t) é dada pr: 4 4 t t (t) 5, t > ! lg, a derivada de (t) 5 é 4 (t), Desta frma tems a expressã geral: e assim pr diante. n t + 1(t), t 0, n 0, 1, 2, 3, eq. (3.22) n! n > Nas expressões acima, definidas apenas para t > 0, assme-se qe n + 1 (t) 0, t < 0 para td n 0, 1, 2, 3, pis as sinais singlares sã sempre nls à esqerda da rigem.
39 Exempls de Sinais singlares cntíns
40 Exempl 3.7: O sinal x(t) abaix é a sma de dis sinais implss, de áreas π e -π, transladads. Facilmente verifica-se qe pde ser escrit na frma: x(t) π [ (t t ) (t t )] + Sinal x(t), sma de implss transladads.
41 Exempl 3.8: O sinal x(t) abaix é a sma de infinits sinais implss transladads e facilmente verifica-se qe pde ser escrit na frma: x(t) (t) (t 1) + (t 2) (t 3) +L seja, x(t) k 0 ( 1) k (t k) Sinal x(t), sma de implss transladads.
42 Exempl 3.9: Os sinais x(t), y(t) e v(t) abaix sã degras transladads qe pdem ser escrits em terms de sinais singlares d tip degra qe fram transladads. Facilmente bserva-se qe as expressões de x(t), y(t) e v(t) sã: x(t) C 1 (t + 2) y(t) C 1(2 t) 2 v(t) 1(t a) 3
43 Exempl 3.10: Aqi vems dis sinais qe pdem ser escrits analiticamente em terms ds sinais singlares d tip degra e rampa. Em algns cass s sinais têm várias expressões diferentes. Facilmente bserva-se qe as expressões de x(t) e y(t) acima sã: x(t) 1(t) 2 (t 1) + 2 (t 2) y 1 (t) 2 (t) 2 (t 1) (t 3)
44 Exempl 3.11: Os sinais abaix sã cnstitíds de plss também chamads, ndas qadradas e facilmente verifica-se qe eles pdem ser expresss exclsivamente em terms de degras. Pde-se expressar x(t) cm: e y(t) cm: y(t) 1 1 (t) + x(t) 1(t) 1(t 1) + 1(t 2) 1(t 3) (t) 2 k (t 1) + 2 ( 1) k 1 1 (t 2) 2 (t k) 1 (t 3) + L
45 Exempl 3.12: Os dis sinais qe aparecem abaix pdem ser escrits exclsivamente em terms de rampas.
46 Exempl 3.12 (cntinaçã): Facilmente verifica-se qe as expressã de x(t) é dada pr: x(t) 2 (t 1) 2 2 (t 2) + 2 (t 3)
47 Exempl 3.12 (cntinaçã): enqant qe a expressã de y(t) é dada pr y(t) 2 2 (t (t 1) 2 1) + 2 k 2,4, L (t 2) ( 1) (k / 2) 2 (t 4) 2 2 (t k) 2 (t 6) (t 8) L 2 (t 1) + k 1,2, L 2 ( 1) (k) 2 (t 2k)
48 Exempl 3.13: Cnsidere sinal x(t) d Exempl 3.12, qe repetims abaix e impls transladad de a, (t a), também ilstrad abaix. Usand a eq. (3.13) tems abaix algns exempls d s da integral de cnvlçã entre x(t) e (t a) para a 1,5, a 2 e a 2,5: 3 1 x(t) (t 1,5)dt x(1,5) 0,5 3 1 x(t) (t 2,5)dt x(2,5) 0,5 3 1 x(t) (t 2)dt x(2) x(t) (t 2,5) dt 0
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matemática 2 Questão 7
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cos. sen = ; tg 2x
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grau) é de nida por:
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