1. PROBLEMA LóGICO. R. Adm. Emp., Rio de. Janeiro, 14(4) : 79-84, jul./ago. 1974

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1 1. Prblema lógic; 2. Cálcul dai pi'opofriçõeb e álgebra bie4na; 3. Ji'unçõeB bleanaa; 4. Resluçã d prblema; 5. Algritm RQ; 6. Interpretaçii ds ruultads. Walter Del Picchia Este artig tem dupla finalidade: a) mstrar cm prblemas lógics pdem ser equacinads em terms das equações bleanas; b) apresentar um prcess riginal de resluçã dessas equações, algritm rest-quciente, u algritm RQ. O métd de resluçã apresentad é resultad de trabalhs desenvlvids n Departament de Engenharia de Eletricidade da Esc0- la Plitécnica da USP, trabalhs que deram rigem a artigs enviads para publicaçã n exterír.> Send este um trabalh de divulgaçã, métd será descrit sem excessiva precupaçã de rigr; cntentar-ns-ems em mstrar cm as equações pdem ser frmuladas e reslvidas. 1. PROBLEMA LóGICO Prfessr-adjunw d Departament de Engenharia de Eletricidade da BBcla Plitécnica da Universidade de Sã Paul. Frmad em engenharia eletrônica pela Escla Plitécnica da USP. Livre-dcente pel Departament de Engenharia de Eletricidade da BPUSP. R. Adm. Emp., Ri de. Janeir, Nss prblema-exempl é seguinte: 2 A junta de diretres de certa firma manufatureira reuniu-se para decidir sbre a plítica de seus futurs negócis à luz de seus bjetivs. Eles discutiram as relações entre dinheir gast em prpaganda, preç das mercadrias manufaturadas, a percentagem das cmissões ds vendedres e as pssíveis mudanças para um tip mais aperfeiçad de seus prduts, e também s váris efeits que suas atitudes teriam n lucr ttal da firma e na quantidade d prdut vendid. Os bjetivs da firm~ fram claramente definids: a) bter grande lucr (respnsabilidade assumida pels diretres); b) vender grandes quantidades de artigs manufaturads, para levar a peraçã da fábrica à sua máxima capacidade pssível. Tds eles cncrdaram ns cinc pnts seguintes: a) se a plítica da empresa fr u aperfeiçar prdut, u crtar anúncis nerss, u pagar as vendedres uma cmissã mais elevada u elevar preç das mercadrias vendidas a varej, cm a venda de um pequen númer de artigs, em qualquer desses cass, entã lucr será pequen; b) se grandes smas frem gastas em prpaganda, sem alteraçã n tip d prdut,u se huver mudança para um tip mais aperfeiçad e reduçã na dtaçã para prpaganda, entã nã haverá simultaneamente um grande vlume de vendas e grandes lucrs; c) se a firma tiver grande lucr u se seu vlume de vendas fr elevad, entã preç ds artigs n varej será baix e gast em prpaganda elevad; u entã preç da venda a varej será baix cm uma pequena dtaçã para prpaganda, e haverá uma mudança para um.melhr tip de prdut sem uma baixa cmissã para s vendedres; 14(4) : 79-84, jul./ag Resluçã de equações bleanas aplicaçã a um prblema de decisã empresarial qualitativa

2 80 d) se preç da venda a varej fr baix, se nã huver crte na despesa para prpaganda, e se huver cmissões elevadas para s vendedres, u se preç de venda e as. cmjssões frem baixs cm uma mudança para aperfeiçar prdut, entã uma grande quantidade de artigs será vendida; e) se huver um grande gast em prpaganda, cm uma mudança para um prdut aperfeiçad, mas cm preç de venda cnservad baix e cm muits artigs vendids, entã haverá um lucr elevad. Pede-se, cm essas regras gerais cm guia, qual deverá ser a plftica de tmadas de decisões da diretria para se atingir s seguintes bjetivs: a) bter grande margem de lucr; b) bter grande vlume de vendas; c) bter simultaneamente grande lucr e grande vlume de vendas? 2. CALCULO DAS PROPOSIÇOES E ALGEBRA BOOLEANA Para equacinar nss prblema necessitams intrduzir alguns cnceits. O expsta é um prblema de cálcul das prpsições e pde ser equacinad cm auxili da álgebra bleana de dis valres. A álgebra bleana de dis valres é definida sbre um cnjunt A de dis elements e apresenta três perações (+,., ') adiante definidas. Essas perações devem bedecer certas prpriedades para bterms uma álgebra bleana de dis valres definida sbre ó cnjunt A.!i Ntarems Os dis elements d cnjunt A cm s símbls 1 e O. Prtant, A = (1,0) = cnjunt frmad pels elements 1 e O. As perações +,., ' sbre (1,0) bedecem às seguintes tabelas (a e b representam elements de' A, e pdem tmar s valres 1 u O) : Tabela d + Tabela d Tabela d ' a bltj+b a b I a. b a I a' O O O O O O O 1 O 1 1 O 1 O 1 O 1 O 1 1 O O I Tdas as pssíveis cmbinações de O e 1 (valres de a e b) estã nas tabelas citadas. N cas d cálcul das prpsições, btems uma álgebra bleana de dis valres definind: Revista de Administraçã de Empresas I A = (V, F) = cnjunt frmad pels elements "prpsiçã verdadeira" e "prpsiçã falsa" V = prpsiçã verdadeira F = prpsiçã falsa. Tems: A peraçã + sbre 1,0 é a peraçã u sbre V, F A peraçã sbre 1,0 é a peraçã e sbre V~ F A peraçã, sbre 1,0 é a peraçã nã sbre V,F Desse md, assciand V cm 1, F cm O, u cm +, e cm., nã cm " btems as seguintes versões das tabelas de +,., ' vistas: Tabela d u Tabela d e Tabela d nã a b (j, u b a b I a e b a I nã a F F F F F F F V V F V F F V F V V /<' F V V V V V V ~ Pr exempl, nestas tabelas se lê: Se X fr uma. prpsiçã falsa e verdadeira (X = F e = V), tems: - a prpsiçã cmpsta X u é verdadeira - a prpsiçã cmpsta X e é falsa - a prpsiçã cmpsta nã X é verdadeira. Este últim cas traduz-se pr: "a negaçã d fals é a verdade". Utilizand s cnectivs u, e, nã repetidamente pdems frmar prpsições cmpstas bem mais cmplexas, e pr mei das tabelas citadas, usadas sucessivamente, pdems bter valr (Vu F) das prpsições cmpstas cnstruídas. Pr cnveniência de ntaçã, em lugar de V, F, u, e, nã, vams usar de agra em diante s símbls 1,0, +,., ', respectivamente (as duas ntações sã equivalentes). Desse md, a prpsiçã cmpsta " sl é rednd, e a lua nã é azulu é amarela" se escreve: x. (y' + 2) cm: x = sl é rednd y a lua é azul 2 = a lua é amarela. Igualmente a frase "ter lucr alt u diminuir númer de vendedres é equivalente a diminuir a prduçã e nã gastar mais.em pr-

3 paganda cm um aument n númer de vendedres" se escreve: cm: a + b' = c', d', b â a ter lucr alt b aumentar númer de vendedres c aumentar a prduçã gastar mais em prpaganda. Nesses exempls, s valres pssíveis para cada variável sã só dis; supusems, pr exempl, que só é pssível aumentar u diminuir a prduçã e, desse md, "aumentar a prduçã" é a negaçã de "diminuir a prduçã", e vice-versa. Apresentams, a seguir, uma tabela de "traduções" de expressões da língua prtuguesa, nas expressões crrespndentes, escritas na ntaçã vista anterirmente (z, y sã prpsições). z e y x cm y x mas y x embra y x u y (inclusiv) nã x x sem y x cm nã y X'y x+y nem x nem y x' y' nã x mas y x' y nã ambs x e y nã z e y simultaneamente x' x' y' (z ' V)' x u y (exclusiv) x : y' + x', y x diferente de y x implica y se x entã y ysex y sb a cndiçã que x y é cndiçã necessária para x x smente se y y devid a x x é cndiçã suficiente para y y quand x x..é cndiçã necessária e suficiente para y x se e smente se y x é equivalente a y x->y x'+y x = y Nesta tabela há duas nvidades que necessitam de explicaçã: I) x u (exclusiv): em nssa linguagem tems dis tips de u, u inclusiv (u a, u b, u ambs) e u exclusiv (u a u b, mas nã ambs). Numa frase, às vezes, é difícil determinar qual ds u's estams usand; utras vezes, a determinaçã é feita pel sentid. Pr exempl, na frase " prfessr entru na classe pela prta da direita u pela prta da esquerda", u é exclusiv, pis prfessr pde ter entrad pela prta da direita u (exclusivamente) pela prta da esquerda. Prva-se que "x u (exclusiv) y" é equivalente a "s: e nã y, u (inclusiv) nã x e y" (u seja, x ' y' + x', y). li) x implica y: identicamente, prva-se que "x implica y" é equivalente a "nã x u y" (u seja x ~ y é equivalente a X' + y). 3. FUNÇõES BOOLEANAS Antes de reslver prblema apresentad n item 1, necessitams de mais alguns cnceits. Funçã bleana de N variáveis é uma crrespndência entre cada uma das 2 N pssíveis cmbinações de valres 0,1 das variáveis a, b, c,... n, cm um só ds valres O u 1. Essa crrespndência 'é apresentada pr mei da "tabela das cmbinações", vista adiante. Para N = 3 variáveis uma pssível funçã de a, b, c é a funçã z, especificada pela tabela seguinte (as cmbinações abc sã dispstas em rdem de 000 a 111). Tabela de cmbinações I a b c I z =f(a, b, c) O O O O O 1 O O O 1 O 1 3 O 1 1 O 4 1 O O O 5 1 O 1 O O A seqüência 1 1 O O O 1 1 O (que é a cluna da direita lida de baix para cima), desde que se especifique a rdem das variáveis, define cmpletamente a funçã z. Essa seqüência, junt cm N (númer de variáveis), e as variáveis abc, na rdem utilizada na tabela, recebe nme de transfrmada numérica 4 e fi a c!;iaçã desse cnceit 5 que pssibilitu a deduçã d algritm rest-quciente que verems adiante. Pr simplicidade, tda vez que ns quiserms referir àquela seqüência prveniente da tabela da funçã z, ntarems "J,,". Prtant, n exempl, J" = 1 1 O O O 1 1 O. 81 Equações bleanas

4 82 Um md usual de representar uma funçã bleana é a ntaçã de Caldwell, que especifica as psições ds 1's na seqüência Je- N exempl dad, tems l's nas psições 7,6, 2, 1. Na ntaçã de Caldwell escreveríams: z = ~ (7,6,2, 1) Observe-se que da ntaçã de Caldwell pdems facilmente determinar Jz e tend-se Jz pdems determinar facilmente a ntaçã de Caldwell da funçã. Outr md usual de representar uma funçã é a frma algébrica; nesse cas, a funçã se escreve: z = a' b' = b c' C + a' b + a. b + c.' c' b' + a C b c' + a b c = A primeira expressã é btida diretamente da tabela, e a segunda é deduzida da primeira pr manusei algébric. 6 Dand a a, b, c s valres da tabela de cmbinações, linha pr linha, e efetuand as perações de acrd cm as tabelas de.+., I, btems a cluna z. Passar da ntaçã algébrica de z para Jz chama-se "transfrmar z", e passar de Jz para a ntaçã algébrica chama-se "antitransfrmar Jz" e há métds própris para as duas perações. 4. RESOLUÇAO DO PROBLEMA Em primeir lugar, vams escrever sistema de equações que traduz prblema prpst e transfrmá-l numa só equaçã equivalente a sistema. Sejam as prpsições: A - gastar muit em prpaganda B - melhrar tip de prdut C - ter alt preç de venda a varej D -. pagar altas cmissões de vendas X - ter alt lucr }- - ter alt vlume de vendas. O leitr pderá verificar, cnsultand ítem 2, que as cinc afirmações.("verdades") d prblema se escrevem: I) (B + A I + D + C) 11) A B'+A' B- (X 111) X ~ - A + A' IV) A V) A B D + B - X ' B --+ X' )' -~ Revista de Administraçã de Empresas Cm sabems, "x ~ y" (implicaçã) é equivalente a "x! + y". Cm as afirmações d prblema sã admitidas verdadeiras (base d prblema), escreverems x! + y = 1. Aplicand essa igualdade às implicações cítadas, pr manusei das expressões, vem: I) + A 11) A' 111) X' IV) C + A' B' ' B' + A + A D B + B' + X' = 1 + X' + ' = 1 + A I B + = 1 V) A' + B' + C + ' + X = 1 = 1 Se tems várias expressões iguais a 1, a expressã btida pel prdut (peraçã-) de tdas expressões entre si, igualad a 1, é equivalente às expressões riginais dadas. Assim, chamand de P, Q, R, S, T às expressões à esquerda nas igualdades I, II, m, IV, V, respectivamente, btems: pqrs T=l Efetuand prdut btems uma funçã de X,, A, B, C. D que chamarems de w (X,, A, B, C, D). Prtant: w'(x,, A, B, C, D) = P Q R S T = 1 A funçã w é chamada funçã equivalente a sistema e pde ser expressa na ntaçã de Caldwell. Em geral, prdut pde ser mais facilmente efetuad cm auxíli da transfrmada numérica: (TN): btém-se a TN de w, e a partir da mesma btém-se a ntaçã de Caldwell de w. N exempl dad, efetuand prdut btems, para a equaçã equivalente: W (Xi, A, B, C, D) = ~ (61, 60, 40, 25, 24, 20, Ui, 14, 11, 10, 8, 7, 6, 5, 3, 2, 1, O) Os detalhes dessa multiplicaçã serã mitids aqui, pr nã serem essenciais à cntinuaçã d artig. Ainda, prblema pede (ver item.1): a) X em funçã de A, B, C, D b) em funçã de A, B, C, D c) X em funçã de A, B, C, D Em seguida verems cm se determinam s itens a), b) e c).

5 5. ALGORITMO RQ Apresentarems algritm à medida que aplicarms na resluçã d prblema prpst. N exempl prpst, tems N = 6 variáveis e desejams duas dessas variáveis (X e ) em funçã das utras 4 (2 variáveis dependentes e 4 independentes). Chamand de ; númer de variâveis dependentes, vem: I) Dividem-se s númers da ntaçã de Caldwell de w pr 2 N -J = = 16, btend-se qucientes q e rests r: q O O O O 10 8 O 8 7 O 7 O 6 5 O 5 3 O 3 2 O 2 1 O 1 O O O Pr exempl, 61 -;- 16 = 3, cm rest 13. II) Ordenam-se s qucientes q de acrd cm s rests r crrespndentes (r vai de O a 2 N - J -1, que é igual a 15). r I qucientes O O 1 O 2 O 3 O O 6 O 7' O 8 0,1, O 11 O O 15 O li!) Determinam-se tdas as cmbinações de q's, tmand um só q. para cada r; na rdem r = 2 N -J-l a r = O (sã as várias seqüências de númers que se btêm, lend-se a cluna da direita da tabela anterir de baix para cima). a) (O O 3 3 O 1 2 O O O 1 O O O O) b) (O 3 3 O 1 1 O O O 1 O O O O) c) (O O 3 3 O O 1 O O O O 1 O O O O) r IV) Cada sluçã para X, (variâveis dependentes) é btida cnstruind, para cada cmbinaçã citada, uma matriz cujas clunas sã s númers da cmbinaçã dada expresss em base 2, de cima para baix: ~ /XI_/001, ~ /X/_/00II / c) I X I _ O O O O O O O O O O O I Pr exempl, na sluçã d item a), terceir númer é 3, qual em base 2 é 11. Seja a primeira sluçã: X Tais seqüências sã JX de X e J de (ver item 3). Antitransfrmand btems: 7 3;) X - A. B. + A.. (1) - B. Cf. + A.. (". D + A. B. (2) D mesm md btems para as utras sluções b) X - A B Cf - AC f + B.. c) X - A. B - B. Cf. D + A.. D + A. B. Cm prblema pede também X = f (A, B, C, D), efetuand prdut btems: X =A B C f (4) Neste exempl, as três sluções a, b, c de X. cincidem entre si. 6. INTERPRETAÇÃODOS RESULTADOS Em cada sluçã encntrada, atribuind às variáveis independentes A, B, C, D valres desejads e efetuand as perações +,., f indicadas, btems s crrespndentes valres de X e, variáveis dependentes. Pr exempl, na 83 Equações bleanas

6 84 sluçã a), d item 5 para A = 1, B = O,C = = O e D = 1 btems: x = 1 0 (0)' + 1 (0)'. (1)' =0+0=0 = 0 (0)' (1)' + 1 (0)' (0)' A =0+1+0= 1 Prtant, se fizerms , u seja, gastarms muit em prpaganda B O, u seja, nã melhrarms tip d prdut C D 0, u seja, nã terms alt preç de venda a varej 1, u seja, pagarms altas cmissões de vendas entã terems: X O, u seja, nã terems alt lucr 1, u seja, terems alt vlume de vendas. D exame das expressões de X e pdems deduzir s valres que devem _ser atribuíds a A, B, C e D para acarretar X = 1, = 1, u X = 1 (X=l e =l simultaneamente). Tems: De -(1), X = A B + A, vems que A=l, B=l e C=O (cm D qualquer) acarretam X=l, u que A=l, C=O, D=O (cm B qualquer), também acarretam X= L Prtant "terems alt lucr" se "gastarms muit em prpaganda", "melhrarms tip d prdut" e "nã tiverms alt preç de venda a varej", u se "gastarms muit em prpaganda", "nã tiverms alt preç de venda a varej" e "nã pagarms altas cmissões de vendas". Desse md vems que cada term de X = A. B + A ns frnece uma alternativa para bter' X=l, u seja, para "ter alt lucr". Aplicand essas cnclusões a (2), = B. + A D + A B, cncluíms que a sluçã a) ns frnece três alternativas para bter =l, u seja, "terms alt vlume de vendas": 1~ alternativa: B = 1, C = Oe D = O (cm A qualquer) 2~ alternativa: A 1, C = Oe D 1 (cm B qualquer) Revista de Administraçã de Empresas 3~ alternativa: A = 1, B= 1 e C = O (cm D qualquer). Nte-se que valres de A, B, C e D, que acarretam X=l na sluçã a) pdem nã acarretar =l na mesma sluçã, e vice-versa. Se desejarms bter X. = 1 (X=l e =l simultaneamente), devems examinar a expressã (4), X. :;=A B, da qual se cnclui que: "terems alt lucr" e "alt vlume de vendas" simultaneamente se "gastarms muit em prpaganda", "melhrarms tip d prdut" e "nã tiverms alt preç de venda a varej"; D pde ser qualquer, u seja, pdems pagar u nã altas cmissões de vendas, que resultad será mesm. A análise que fizems para a sluçã a) pde ser repetida para as utras sluções b) e c), levand a utrs valres de A, B, C e D que acarretam X=l, =l u X =l Nte-se que cada sluçã, a), b) u c), deve ser estudada isladamente, cm fizems cm a sluçã a). Nã é permitid, pr exempl, utilizar a expressã (1) para bter X, juntamente cm a expressã (3) para bter. Pr exempl, A=l, C=O e D=O (cm B qualquer) acarretam X=l se usarms a expressã (1). Esses mesms valres acarretam = 1, se utilizarms a expressã (3), prém a cnclusã que A=l, C=O e D=O (cm B qualquer) acarretam X=l e =l é incrreta. O algritm RQ aqui apresentad é facilmente prgramável em cmputadres, permitind manusei de expressões cm grande númer de variáveis. Esse algritm já fi implementad em cmputadr, cm sucess, frnecend as sluções algébricas, a partir d sistema' inicial frnecid também em frma algébrica. O 1 Del Picchia, W. & Martins, W. W. The numerical transfrm Part I: Basls, the numeríeal transfrm Part 11: Simplif1catin f blean runctíns, the numerical transfrm Part 111: Reslutin f blean equatins, repsitrysystem. IEEE transactins n cmputers. Númers R72-78, R72-176, R72-177, submetids as IEEE Transactins n Cmputers; e Del Picchia, W. A numerical algrithm fr the reslutin f blean equatins. IEEE transactin n cmputers Ledley, R. S. Digital cmputer and cntrl engineering. New rk, McGraw-Hill, Eldn, J. Whitesitt. Blean algebra and its applicatins. Addisn-WeSIey, Publ., Del Pícchía, W. & Martins, W. W. p. cit Martins, W. W Escla Plitécnica da USP. 6 Eldn, J. Whitesitt. p, cit. 7 Del Picch1a, W. & Martins, W. W. p. cit