CAPÍTULO I EQUAÇÕES DA RETA

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1 CAPÍTULO I EQUAÇÕES DA RETA Equaçã vetial Um ds aximas da gemetia euclidiana diz que dis pnts distints deteminam uma eta Seja a eta deteminada pels pnts P e P P P Um pnt P petence à eta se, e smente se, s vetes P P e sã clineaes Cm P e P entã existe um escala λ tal que e smente se, P = P + λp P ; λ pnt da eta satisfaz à equaçã: sã distints, vet P P = λ P P fi X P P P P é nã nul, Assim, P petence a se, IR Pdems entã cnclui que td = P + l P P ; l IR, que é chamada de equaçã vetial da eta Obsevems que fundamental na deteminaçã da equaçã vetial de uma eta, é cnhecems um pnt desta eta e um vet ( nã nul ) na sua dieçã Um vet na dieçã da eta é chamad vet dieçã da eta, e indicad p v : X = P + hv ; h IR v P Assim, cada escala h detemina um únic pnt P petencente a e, ecipcamente, paa cada pnt de, existe um únic val eal h tal que P = P + h v

2 Equações paaméticas e siméticas Fixad um sistema de cdenadas, sejam P (x, y, z) e v = (a, b,c) A equaçã vetial da eta, deteminada p P e v é: :(x, y, z) =, (x, y, z) + h (a,b, c); h IR que equivale a sistema = x : y = y = z + h a + h b + h c ;h IR As equações acima sã chamadas de equações paaméticas da eta Se abc 0, eliminand paâmet h d sistema, btems x - x y y z z : - - = = a b c Estas equações sã denminadas equações siméticas da eta As equações em, pdeiam se btidas bsevand paalelism que deve existi ente s vetes: P P = (x x,y y,z z ) e v = (a,b,c), abc 0 Exempls Detemine uma equaçã da eta que: a) passa pels pnts P (3,,) e P (,,) ; b) passa pel pnt P(4,,0) e cntém epesentantes d vet u = (,6, ) Sluçã: a) Cm P e P sã distints, deteminam uma eta de equaçã vetial X = P + hp P ; h IR, ist é, : (x,y,z) = (3,,) + h (,,);h R

3 b) : x y z 4 = = ( equações siméticas da eta) 3 Veifique se pnt P(,0,) petence às etas: a) :(x, y,z) = ( 7, 3, 7) + h (,,3); h IR = 3+ h b) s: y = + h ; h IR = h c) t : x + = y 3 = z 4 Sluçã: a) P se, e smente, existe h IR tal que:,0,) = ( 7, 3, 7) + h (,,3) ( Ou seja, ( 6,3,9) = h(,,3) É fácil veifica que h = 3 tna a igualdade acima vedadeia, lg P = 3 h b) P s se, e smente, existe h IR tal que 0 = + h = h que é impssível, pis, da pimeia equaçã tems h = e da segunda h = Lg, P s c) P t se, e smente, P t = = 3 Cm 0 tems que x y + 3 Seja : = = z Detemine uma equaçã de nas fmas 4 vetial e paamética 3

4 Sluçã: Das equações siméticas de tems v = (,4,) e P(,,0) é um pnt da eta Assim, (x, y, z) = (,,0) + h (,4,); h IR e = + h y = + 4 h ; h IR, sã equações da eta nas fmas vetial e = h paamética, espectivamente CAPÍTULO II - EQUAÇÕES DO PLANO Equaçã Vetial Um ds aximas da Gemetia Espacial ns diz que tês pnts nã clineaes deteminam um plan Cnsideems entã π plan deteminad pels pnts A, B e C Desejams encnta uma cndiçã necessáia e suficiente paa que um pnt X petença a plan π Obsevems entã que, cm A, B e C sã nã clineaes, s vetes BA e AC sã lineamente independentes cm epesentantes em π Ptant, um pnt X petence a plan π se, e smente se, vet XB é cplana cm s vetes e BA Assim, existem escalaes t e h AC D C π tais que XB = tba+ hac A B X Daí, um pnt X petence a plan π se, e smente se, + X = B + t BA hac ; t, h IR Esta equaçã é chamada de equaçã vetial d plan p 4

5 Obsevems que fundamental na deteminaçã da equaçã de um plan é cnhecems um pnt deste plan e dis vetes lineamente independentes, cm epesentantes n mesm Um vet cm epesentante em um plan é dit paalel a plan Assim, uma equaçã vetial de um plan paalel as vetes LI u e v e que passa p P é : X = P + tu + hv; t, h IR u v P Obsevems ainda que paa cada pnt X d plan, existe um únic pa denad ( t, h ) satisfazend a esta equaçã e ecipcamente Equações Paaméticas Fixems um sistema de cdenadas d espaç Sejam u = ( a, b, c), v = ( a, b, c ) vetes lineamente independentes paalels a plan e P ( x, y, z ) um pnt de Assim, uma equaçã vetial d plan pde se escita cm: ( x, y,z) ( x, y, z ) + t( a,b,c ) + h( a, b, c ) =, t, h IR A equaçã acima equivale a sistema: = x y = y = z + a + b + c t + a h t + b h t + c h ; t, h IR As equações deste sistema sã chamadas equações paaméticas d plan a Exempls Dê uma equaçã vetial d plan deteminad pels pnts A = (,,0), B = (,,) e C = (3,,) 5

6 Sluçã: Cm s vetes AB = (,, ) e CA = (,, ) sã lineamente independentes, s pnts A, B e C nã sã clineaes, lg deteminam um únic plan Uma equaçã vetial d plan ABC é : ( x, y, z) = (,,0) + t(,,) + h(,,) ; t,h IR Dê as equações paaméticas d plan paalel as vetes u = (,,), v = (,0,3) e que passa pel pnt P = (,4, ) Sluçã: Cm s vetes u e v sã lineamente independentes entã P, deteminam um plan de equações paaméticas: u e v = t + h y = 4 + t = + t + 3h ; t, h IR 3 Dê uma equaçã vetial d plan, dad a segui; Sluçã: = + h t : y = + h + 3t = 3+ 5h ; t,h IR Das equações paaméticas de tems que P = (,,3) é um pnt de e s vetes u = (,,5) e v = (,3,0) sã lineamente independentes cm epesentantes em Assim, uma equaçã vetial de é dada p ; : (x, y,z) = (,,3) + t(,,5) + h(,3,0) ; t,h IR 4 Detemine as equações paaméticas d plan paalel a vet u = (5,,) e que passa pels pnts A = (3,, ) e B = (,,0) 6

7 Sluçã: Obsevems que s vetes u = (5,, ) e AB = (,0, ) sã lineamente independentes cm epesentantes n plan Assim, as equações paaméticas de sã: = 3 + 5h t : y = + h ; t, h IR = + h t 3 Equaçã Geal Seja plan deteminad pel pnt P ( x, y, z ) e pels vetes u e v Lembems que um pnt X(x, y, z) petence a se, smente se, s vetes PX, u e v sã cplanaes Assim, [ PX,u, v ] = 0, u seja, ( u v) P X = 0 Cnsideand u v = (a,b,c), pdems esceve: u equivalentemente, nde d ( ax + by + cz ) ( = a, b, c) (x x, y y, z z ) 0, ax + by + cz + d = 0, u v P X = A equaçã é chamada de equaçã geal d plan a Dizems que um vet nã nul é n nmal a um plan se, smente se, é tgnal a tds s vetes que v pssuem epesentantes neste plan É u P usual indicams um vet nmal a plan p n Obsevems que s ceficientes a, b e c da equaçã geal d plan cespndem às cdenadas de um vet nmal a este plan 7

8 Exempls Detemine uma equaçã geal d plan que passa pel pnt P = (3,,) e é paalel as vetes u = (,,) e v = (,,0) Sluçã : Cm u e v sã LI e têm epesentantes em, pdems cnsidea n paalel a pdut vetial u v = (,,0) Cnsideand n = (,,0 ), uma equaçã geal d plan tem a fma x + y + d = 0, paa um cet val eal de d Cm pnt P petence a plan suas cdenadas satisfazem a esta equaçã, assim tems: 3 + ( ) d = 0, daí, d = 4 Lg, x + y 4 = 0 é uma equaçã d plan Sluçã : n =,,0 Seja ( ) e X um pnt genéic de Entã, P X n = 0, u equivalentemente, ( x 3, y +, z ) (,,0) = 0 P n X Daí, uma equaçã geal d plan é x + y = 0 Detemine um vet nmal a plan ns seguintes cass: a) : X = (,0,) + t(,,3) + h(,,0) ; t,h IR b) = + 3t : y = + t h; t, h IR = t + h c) : x 3y + z = 0 Sluçã : a) n = (,,3) (,,0) = ( 3,3,3) b) n = (3,, ) (0,,) = (3, 6, 3) c) n = (, 3,) 8

9 CAPÍTULO III - POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS N espaç IR 3, dis plans e sã paalels u cncentes Se s plans e sã paalels tems: Paalels distints : n = φ n Paalels cincidentes : n n Obsevems que dis plans sã paalels se, smente se, seus vetes nmais sã paalels Cnsideems : a x + by + cz + d = 0 e : a x + by + c z + d = 0 Tems que e sã paalels se, smente se, existe um eal k tal que: a b c = ka = kb = kc Se s plans e sã paalels e, além diss, pssuem um pnt em cmum, entã eles sã cincidentes Supnhams que P(x, y, z) seja esse pnt cmum Assim, as cdenadas de P satisfazem às equações de e : ax + by + cz + d = 0 a x + by + cz + d = 0 Ou equivalentemente, ka x + kb a x + by Daí, d k( a x b y c ) z y + c + kc z z + d + d = 0 = 0 = Lg, d = kd 9

10 Se s vetes nmais ds plans e nã sã paalels, entã estes plans sã cncentes Neste cas, eles se inteceptam segund uma eta Assim, um pnt P (x, y,z) petence à eta se, smente se, suas cdenadas satisfazem a sistema: a a x + b x + b y + c y + c z + d z + d = 0 = 0 v n n Este sistema é denminad equaçã geal da eta Obsevems que um vet dieçã da eta, v, pssui epesentantes ns plans e Daí, v é tgnal a n e tgnal a n Pdems cnclui entã que v é paalel a vet n n Se s vetes n e n sã tgnais dizems que s plans e sã pependiculaes Assim, dis plans sã pependiculaes se, smente se, n n = 0 n n Exempls Estude a psiçã elativa ds plans: a) : x + y z + = 0 e : 4x + y z + = 0 b) : X = (,0,) + t(,,3) + h(0,0,) ; t, h IR e : x + y z + = 0 c) : X = (,0,) + t(,,3) + h(0,0,) ; t, h IR = 4t e : y = + t ; t,h IR = + 5t h 0

11 Sluçã : a) Obsevems que n = n, assim, s plans e sã paalels Além diss, tems que d = d Lg, pdems cnclui que e sã cincidentes b) Cnsideems s vetes n = (,,3) (0,0,) = (,,0) n = (,, ) Cm estes vetes nã sã paalels, tems que s plans e sã cncentes Se é a eta inteseçã de e, entã a equaçã geal de pde se dada pel sistema: y = 0 : x + y z + = 0 Obsevems ainda que n n = 0, assim e sã pependiculaes c) Cnsideems s vetes n = (,,0) e n = (, 4,0) Obsevems que n = n, daí, s plans e sã paalels N entant, P = (, 0,) petence a plan e nã petence a plan Cnsequentemente, e sã estitamente paalels Detemine uma equaçã d plan paalel a : x 6y + 4z = 0 e que passa pel pnt P = (, 0, ) Sluçã : Cm plan é paalel a plan, tems que n = k n, k 0 Pdems entã cnsidea n = (, 6, 4) Assim, pdems esceve: : x 6y + 4z + d = 0 Paa deteminams val de d basta utilizams fat de que pnt P petence a e p iss, satisfaz a sua equaçã Daí, ( ) + d = 0, u seja, d = 6 Lg, uma equaçã geal de é x 6y + 4z + 6 = 0 3 Dads s plans : x + 4y z + = 0 e : x + y + z + = 0 detemine uma equaçã vetial da eta inteseçã ds plans e

12 Sluçã : É fácil btems uma equaçã vetial de uma eta se cnhecems dis de seus pnts Oa, uma equaçã geal da eta pde se dada pel sistema: + 4y z + = 0 : x + y + z + = 0 Assim, basta cnseguims dis pnts cujas cdenadas satisfaçam a este sistema Cm este sistema é pssível e indeteminad, pdems cnsegui uma sluçã cnsideand y = 0 Entã, z + = 0 x + z + = 0 Daí, x = 3, z = 5 e P( 3,0, 5) petence à eta De md análg, se cnsideams x = 0 n sistema, bteems y =, z = e Q = (0,, ) petence à eta Daí, vet v = PQ = (3,,4) é um vet dieçã da eta e uma equaçã vetial desta eta pde se dada pela equaçã: : (x, y, z) = ( 3,0, 5) + h (3,,4); h R Uma uta maneia de deteminams um vet dieçã da eta é btida quand utilizams fat de que este vet é paalel a vet n n Assim, pdems cnsidea v = (,4, ) (,,) = (6,,8) e :(x, y, z) = ( 3,0, 5) + h (6,,8); h IR é uma equaçã uta vetial de 4 Dada a eta :(x, y, z) = (,,0) + h (,4,); h IR, detemine uma equaçã geal da mesma Sluçã : Devems detemina as equações geais de dis plans distints e que cntém a eta

13 Obsevems que se um pnt nã petence a uma eta, plan deteminad p este pnt e esta eta, natualmente, cntém a eta Assim, seja plan deteminad pela eta e pel pnt P(0, 0, ) O vet nmal de pde se dad p n = v AP, nde A é um pnt de Entã, cnsideand A(,,0) tems que n = ( 6,,8 ) e : 6x + y + 8z + d = 0 Paa deteminams val de d, substituims na equaçã antei as cdenadas de um pnt qualque de P exempl, substituind as cdenadas d pnt P, btems : ( ) + d = 0 Daí, d = 8 e : 6x + y+ 8z+ 8 = 0 A equaçã geal d plan é btida de md análg a utilizad paa btençã da equaçã d plan Chamams pém a atençã especial paa a esclha d pnt: aga ele deve se esclhid fa d plan a Cnsideand plan deteminad pela eta e pel pnt O(0,0,0) tems que: n = v AO = (,,8) O A v P A v P e : x y+ 8z + d = 0 Cm plan passa pela igem d sistema de cdenadas tems que d = 0 Lg, : x y + 8z = 0, ptant uma equaçã geal da eta é 6x + y + 8z + 8 = 0 : x y + 8z = 0 3

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