Transformada de Laplace

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA Transfrmada de Laplace Prf. Juan Mises Maurici Villanueva

2 Transfrmada de Lapace A transfrmada de Laplace (TF) é imprtante para a análise de sistemas: Lineares Invariantes n temp N temp cntínu st L f ( t ) ( s ) f ( t ) e d t F ( s ) 0 F(s) é a transfrmada de Laplace de f(t) 2

3 Transfrmada de Lapace Assume-se que a funçã f(t) é tip expnencial, ist é: t f ( t ) C. e, C ( s ) Se a parte real de s, satisfaz:,,, entã a integral que define a transfrmada de Laplaca cnverge. 0 0 ( ) j t F ( s ) C. e d t 0 st t st F ( s ) f ( t ) e d t C. e. e d t 3

4 Definiçã da Transfrmada de Laplace Transfrmada de Laplace s=+j 0 st X ( s ) L x ( t ) x ( t ) e d t s: é uma variável cmplexa : é a cmpnente real de s : é a cmpnente imaginaria de s Ntaçã: L x( t) X ( s) 4

5 Definiçã da Transfrmada de Laplace A Transfrmada de Laplace cnverte uma equaçã diferencial (n temp cntinu) para uma equaçã plinmial/algébrica (na frequência). Equaçã diferencial a x t a x t n ' 0 ( ) ( ) 0 x( t) transfrmada L L transfrmada inversa Equaçã algébrica a s X ( s) a sx ( s) 0 n 0 Sluçã em X ( s) 5

6 Transfrmada de Laplace e Furier Cas a variável de Laplace seja imaginaria pura: s=j st X ( s) x( t) e dt s j 0 jt X ( s) x( t) e dt X ( j) s j 0 Entã, a transfrmada de Laplace é igual à transfrmada de Furier quand a variável s=j, u seja para qualquer valr de s que esteja lcalizad n eix cmplex 6

7 Exempls: Degrau Unitári u( t) 0, t 0, t 0 st e U ( s ) L u ( t ) ( s ). e d t 0 s st e U ( s ) lim t s s st 0 Avaliand a funçã limite: e e e lim lim lim e t s t s t s st ( j ) t j t. t Para >0 a expnencial é decrescente, e a avaliaçã d limite é zer 7

8 Exempls: Degrau Unitári e s e s st j t lim. t lim e 0 t t Oscilatória Para >0 a expnencial é limitada para t U st e ( s ) lim t s s s Fi esclhida uma regiã de s (para (s)>0) para garantir a cnvergência na avaliaçã ds limites da integral da transfrmada de Laplace. Regiã de Cnvergência RC: (s)>0 8

9 Alguns pares da Transfrmada de Laplace Funçã Laplace RC ( t) s ( t T ) st e s u( t) s { s} 0 t e u( t) s { s} s cs tu( t) s { s} sin tu( t) { s} 0 s 2 2 9

10 Amplificadr Operacinal Funçã de Transferência de um Opamp. A=Ganh =Cnstante de temp A V ( ) s V ( s) V ( s) s 0

11 Amplificadr Inversr Tensões nas entradas V ( s) 0 R V ( s) V Vin Vin R R 2 A V ( s) V ( s) V ( s) s V ( s) A V R V 2 in s R R2 R R2 R

12 Amplificadr Operacinal V ( s) A V R V 2 in s R R2 R R2 R Funçã de Transferência V ( s) R2 Vin ( s) R R R2 s. R A 2

13 Análise em Frequência s j Cnst. detemp Funçã de Transferência: V ( s) R2 Vin ( s) R j R R 2. R A 3

14 Para Frequências Baixas <<< e A V ( s) R2 Vin ( s) R j R R 2. R A V ( s) R2 Vin ( s) R R R2. R A V ( s) R V ( s) R in A 2 Ganh d amplificadr invers 4

15 Largura de Banda d Amplificadr G R R 2 Ganh d amplificadr inversr Define-se a largura de banda d Amplificadr inversr, W, cm a frequência na qual a magnitude da respsta em frequência decai para G / 2 u equivalentemente para G-3dB 5

16 Largura de Banda d Amplificadr G R R 2 Ganh d amplificadr V ( jw ) R2. V ( jw ) R 2 in =W V ( j) R2 Vin ( j) R j R R 2. R A 6

17 Largura de Banda d Amplificadr G R R 2 Ganh d amplificadr R jw R R A 2. 2 Cnsiderand-se que W>> R R W R 2.. j 2 A Parte imaginaria R R2 W.. R A 7

18 Largura de Banda d Amplificadr G R R 2 Ganh d amplificadr R R2 W.. R A W G.. A aprximand W G.. A W A. G A. G Largura de banda d amplificadr inversr A=Ganh d pamp =Cnst. de temp d pamp. G=Ganh d amplificadr inversr 8

19 Largura de Banda d Amplificadr Gain Bandwidth Prduct A G. W Este prdut é cnstante e depende das características d pamp, usualmente especificad ns data-sheet d fabricante. 9

20 Prpriedades da Transfrmada de Laplace 20

21 Prpriedades da Transfrmada de Linearidade Laplace Se Entã x ( t) X ( s), cm ROC R L x ( t) X ( s), cm ROC R L ax ( t) bx ( t) ax ( s) bx ( s), cm ROC R R L

22 Prpriedades da Transfrmada de Deslcament n Temp Laplace Se Entã L x( t) X ( s), cm ROC R L st x( t t ) e X ( s), cm ROC R Deslcament em s Se L x( t) X ( s), cm ROC R Entã st L e x( t) X ( s s ), cm ROC R R { s } 22

23 Prpriedades da Transfrmada de Escalament n Temp Laplace Se Entã L x( t) X ( s), cm ROC R L s x( at) X, a a cm ROC R / a Cnvluçã Se Entã x ( t) X ( s), cm ROC R L x ( t) X ( s), cm ROC R L x ( t)* x ( t) X s X s, cm ROC R R L

24 Prpriedades da Transfrmada de Laplace Derivada n dmíni d Temp Se Entã L x( t) X ( s), cm ROC R dx( t) L sx s, dt cm ROC R Derivada n dmíni s Se L x( t) X ( s), cm ROC R Entã L dx ( s) tx( t), cm ROC R ds 24

25 Prpriedades da Transfrmada de Laplace Integraçã n dmíni d Temp Se Entã L x( t) X ( s), cm ROC R t L x( ) d X ( s), s cm ROC R { { s} 0} Terema d valr inicial e final x(0 ) lim sx ( s) s lim x( t) lim sx ( s) t s0 25

26 Teremas da Transfrmada de Laplace Terema da Derivaçã Real d L f ( t) sf( s) f (0) dt Em que f(0) é valr inicial de f(t) calculad em t=0 L f t s F s s f s dt dt dt n n d n n n2 df (0) d f (0) ( ) ( ) (0)... n n 26

27 Teremas da Transfrmada de Laplace Terema d Valr Final Exempl: lim f ( t) lim sf( s) t s0 L f ( t) F( s) s( s ) lim f ( t)? t lim f ( t) lim sf( s) t s0 Terema d Valr Final s lim f ( t) lim lim t s0 s( s ) s0 ( s ) 27

28 Teremas da Transfrmada de Laplace Terema d Valr Inicial f (0 ) lim sf( s) s Terema da Derivada d Ltf ( t) F( s) ds 2 2 d L t f ( t) F( s) 2 ds n n n d L t f ( t) ( ) F( s) n ds 28

29 Exempls: Circuit RLC Para: V 5 v, R 0, L 0 mh, C 625F Cndições iniciais nulas, ist é, sem flux de crrente e sem carga n capacitr. Para t=0: di t 0i i( z) dz 5 u( t) dt 0 Resistr Indutr Capacitr Fnte 29

30 Exempls: Circuit RLC Aplicand a Transfrmada de Laplace, cm cndições iniciais nulas: di t 0i 0,0 600 i( z) dz 5 u( t) dt ,0 s I ( s) s s I( s) s 2 L x( t) X ( s) t L x( ) d X ( s) s s I( s) 500 A B s 200 s 800 s 200 s 800 (Decmpsiçã em frações parciais) 500 A( s 800) B( s 200) A 5 / 6, B 5 / 6 30

31 Exempls: Circuit RLC Aplicand a Transfrmada de Laplace Inversa I( s) (5 / 6) (5 / 6) s 200 s 800 Prpriedade e t u( t) s 5 i t e e u t 6 200t 800t ( ) ( ) i(a) 3

32 Exempls: Circuit RLC Verificand resultad utilizand terema de valr inicial e final I( s) (5 / 6) (5 / 6) s 200 s t(s) f (0 ) lim sf( s) s lim f ( t) lim sf( s) t Valr Inicial s0 (5 / 6) (5 / 6) i(0 ) lim s s s 200 s s s i(0 ) lim. s 6 s 200 s i(0 ) lim. s / s 800 / 5 i(0 ) lim. 0 s s 32

33 Exempls: Circuit RLC Verificand resultad utilizand terema de valr inicial e final 0.4 I( s) (5 / 6) (5 / 6) s 200 s 800 f (0 ) lim sf( s) s lim f ( t) lim sf( s) t s Valr Final t(s) (5 / 6) (5 / 6) lim i( t) lim s t s0 s 200 s s s lim i( t) lim. t s0 6 s 200 s lim i( t) lim. 0 t s

34 Caracterizaçã de SLIT usand a TL Y ( s) H ( s) X ( s) Exempl: dy( t) 3 y( t) x( t) dt sy ( s) 3 Y ( s) X ( s) Y ( s) H ( s) X ( s) s 3 RC s 3 h t e u t 3t ( ) ( ) 34

35 Mdels Matemátics de Cmpnentes Eletrônics Discrets C di( t) vl ( t) L dt V ( s) LsI( s) L v ( t) Ri( t) R V ( s) RI( s) R v c ( t ) i( t ) dt C V c ( s ) sc 35

36 Exempl: Circuit RLC Mdel Matemátic de um circuit elétric ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( t e dt t i C dt t i C t Ri dt t di L t e i 36

37 Exempl: Circuit RLC di( t) ei ( t) L Ri( t) i( t) dt i( t) dt e ( t) dt C C Aplicand-se a transfrmada de Laplace E i( s) LsI( s) RI( s) I( s) I ( s) E( s) Cs Cs Cmbinand as equações E i( s) Ls CsE ( s) R CsE ( s) CsE ( s) Cs 2 E i( s) E ( s) LCs RCs E ( s) E s LCs RCs 2 i ( ) Funçã de Transferência 37

38 Funçã de Transferência FT: Y ( s) Mudança na saída d prcess X ( s) Mudança na entrada d prcces Ei(s) (Tensã de entrada) LCs H(s) 2 RCs E(s) (Tensã de saída) Analise d sistema : -Respsta a degrau -Respsta a impuls -Diagrama de zers e pls 38

39 Respsta a degrau (step).4 Step Respnse.2 Amplitude Time (sec) 39

40 Respsta a impuls (impulse) 0.6 Impulse Respnse Amplitude Time (sec) 40

41 Diagrama de zers e pls (rlcus) LCs 2 RCs 4 Plan s Rt Lcus Si L R y C 3 2 s 2 s Imaginary Axis zers Nemhum Pls s s 2 : j j Real Axis 4

42 Análise de Sistemas usand a Transfrmada de Laplace

43 Filtrs Analógics Os filtrs eletrônics restringem pass de alguns cmpnentes de frequência. j H ( ) H ( ) e ( ) 43

44 Aplicações de Filtrs Rádis Televisres Sistemas multimídia Analisadres de espectrs Geradres de sinais Cmpnente ds sistemas digitais para prever efeit aliasing Element primári para reduzir EMI (electr-magnetic interference) Para limitar a largura de banda ds sistemas

45 Funçã de Transferência

46 Filtr Passa-Banda V H ( s) V i ( s) ( s) 46

47 Funçã de Transferência de 2a Ordem H ( s) s 2 Q Q s 2 s H Q H Frequência Natural Fatr de qualidade Ganh d filtr passa-banda 47

48 48 Q Q Q Q Largura de banda BW Q H s Q s s Q s H 2 2 ) (

49 Implementaçã d Filtr Determinar s parâmetrs d filtr passa-banda cm as especificações dadas. Utilizar uma estrutura cm cmpnentes eletrônics passivs e ativs 49

50 Implementaçã d Filtr usand cmpnentes eletrônics discrets H ( s) Y Y 3 5 Y 4 ( Y Y Y 3 Y 2 Y 3 Y 5 ) H ( s) s 2 s H s RC 5 Q s s s R Q 4 C3 C5 R4C3C5 R R

51 Identificand s elements crrespndentes 5 ) ( R R C C R ) ( C C R Q 5 R C H Q

52 Para as especificações f 60 Hz, H 0, BW 2Hz 0 Valres Teórics ds cmpnentes R C C K 00nF 00nF R R M Valres Cmerciais ds cmpnentes (Reais) R C C K 00nF 00nF R R M 52

53 Simulaçã cm valres terics/reais 53

54 Simulaçã f 60 Hz, H 0, BW 2Hz 0 54